TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning."

Transkript

1 Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 1 TALTEORI Følger og den knesske restklassesætnng Dsse noter forudsætter et grundlæggende kendskab tl talteor som man kan få Maranne Terps og Peter Trosborgs noter om talteor Noterne vl prmært ntroducere forskellge opgaveteknkker med fokus på følger, samt opgaver hvor man har brug for den knesske restklassesætnng 1 Følger Mange opgaver tl nternatonale konkurrencer handler om følger af heltal som man typsk skal vse har en bestemt egenskab, fx at de er perodske fra et vst trn eller kke ndeholder kvadrattal Følgerne er ofte beskrevet rekursvt, og derfor skal man ofte se på rekursonsformlen og evt omskrve denne 11 Perodske følger En følge (a n ) n N kaldes perodsk hvs der fndes et postvt helt tal m så a n+m = a n for alle n N Perodens længde er det mndste postve hele tal m med denne egenskab Følgen (a n ) n N kaldes perodsk fra et vst trn hvs der fndes postve hele tal m og k så a n+m = a n for alle n k 12 Eksempel I følgen 1, 9, 7, 7, 4, 7, 5, 3, 9, 4, 1, er hvert cffer fra og med det femte summen af de fre foregående modulo 10 I dette eksempel skal v undersøge hvlken af dsse talkombnatoner der kan ndgå følgen: a) 1,2,3,4, b) 3,2,6,9, c) 0,1,9,7 Da der kun fndes et endelgt antal kombnatoner med fre cfre, vl følgen være perodsk fra et vst trn Men da man ud fra fre cfre følgen også entydgt kan bestemme det foregående, kan man fortsætte den uendelgt begge retnnger med en fast perode Derfor vl 1,9,7,7 optræde gen længere fremme følgen, og cfferet lge nden vl være 0 Dermed optræder kombnatonen 0, 1, 9, 7 følgen I mange opgaver med følger kan man netop konkludere at følgen må være perodsk fra et vst trn da der kun er endelgt mange mulgheder Herefter skal man så overveje om det først er fra et vst trn at den er perodsk, eller om den som dette eksempel er perodsk fra starten V mangler stadgt at fnde ud af om 1,2,3,4 og 3,2,6,9 ndgår følgen Da den er perodsk, kan man jo prncppet blve ved tl man har fundet hele peroden, og så se om de ndgår Dette er dog kke altd en god strateg da længden af peroden kan være temmelg stor Det kan som regel betale sg at lede efter et andet system følgen med en kortere perode Reducerer v dette eksempel følgens cfre modulo 2, får v 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, Her ud fra kan v se at følgen har 1, 1, 1, 1, 0 som perode når v regner modulo 2, og dette udelukker a) og b) 13 Opgave Fbonacc-tallene er som bekendt defneret ved F 0 = 0, F 1 = 1 og F n = F n 1 + F n 2 for n 2 Vs at for ethvert helt tal k fndes et postvt helt tal n så k går op F n 14 Opgave For et postvt helt tal n betegner a n det sdste cffer n (nn) Bevs at følgen (a n ) er perodsk, og bestem længden af peroden (Baltc Way 2006)

2 Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 2 15 Eksempel V ser på følgen a 1 = a 2 = 1 og a n+2 = a n a n for n > 2, og vl gerne vse at der kke fndes noget n, n > 2, så a n er et kvadrattal Følgen er selvfølgelg kke perodsk, men regner v modulo fx 4, er følgen perodsk fra et vst trn Her får v 1, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 3,, dvs at følgen er perodsk fra n = 3 med peroden 2, 3, 3 Da 2 og 3 kke er kvadratske rester modulo 4, er a n kke et kvadrattal for noget n > 2 16 Opgave En følge af postve hele tal (a n ) er gvet ved a 0 = m og a n+1 = a 5 n + 487, n 0 Bestem de værder af m for hvlke følgen ndeholder flest mulgt kvadrattal (NMC 2006) 17 Opgave En følge (x n ) er gvet ved x 0 = a, x 1 = 2 og x n = 2x n 1 x n 2 x n 1 x n for n > 1 Fnd alle hele tal a således at 2x 3n 1 er et kvadrattal for alle n 1 18 Eksempel Om en følge af naturlge tal a 0, a 1, a 2, oplyses at a 0 < a 1 og a n = 3a n 1 2a n 2 for n > 1 V ønsker at vse at a m a m+1 (mod 2 m ) for alle naturlge tal m Følgen er kke perodsk, og da det tal v skal regne modulo afhænger af ndekset, kan v heller kke betragte følgen modulo et fast tal I stedet udnytter v rekursonsformlen og omskrver på følgende måde Da a n = 3a n 1 2a n 2, er a m+1 a m = 2 1 (a m a m 1 ) = 2 2 (a m 1 a m 2 ) = = 2 m (a 1 a 0 ) Her af kan v se at a m a m+1 (mod 2 m ) for alle naturlge tal m 19 Opgave Lad (F n ) være følgen af Fbonacctal Vs at F n og F n+1 er ndbyrdes prmske 110 Opgave En følge af naturlge tal a 1, a 2, a 3, opfylder at hvs m, n N, m < n og m går op n, da vl a m gå op a n og a m < a n Bestem den mndst mulge værd af a 2000 (Baltc Way 2000) 111 Opgave Lad a 1, a 2, være en følge af heltal med uendelgt mange postve og uendelgt mange negatve tal Antag at der for ethvert naturlgt tal n fås n forskellge rester når tallene a 1, a 2,, a n deles med n Vs at ethvert helt tal optræder netop en gang talfølgen (IMO 2005)

3 Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 3 2 Den knesske restklassesætnng I nogle opgaver har man brug for at undersøge om der fndes løsnnger x tl kongruenssystemer af typen x a 1 (mod n 1 ), x a 2 (mod n 2 ),, x a m (mod n m ) Dette handler den knesske restklasse sætnng om 21 Den knesske restklassesætnng Lad n være et naturlgt tal, og n = n 1 n 2 n m, hvor (n, n j ) = 1 når j Da fndes uendelgt mange heltallge løsnnger tl kongruenssystemet x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ) x a m (mod n m ) Samtlge løsnnger udgør netop en restklasse modulo n BEVIS: Sætnngen vses ved ndukton Den er oplagt sand for m = 1 Betragt nu tlfældet m = 2 V ønsker at bestemme en løsnng x tl x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ) Da (n 1, n 2 ) = 1 fndes en nvers n 1 1 tl n 1 modulo n 2 Betragt x = a 1 + (a 2 a 1 )n 1 1 n 1 Der gælder at x = a 1 + (a 2 a 1 )n 1 1 n 1 a 1 (mod n 1 ), og x = a 1 + (a 2 a 1 )n 1 1 n 1 a 1 + (a 2 a 1 ) = a 2 (mod n 2 ) Dermed har v konstrueret en løsnng tl kongruenssystemet V vser nu at samtlge løsnnger netop udgør en restklasse modulo n Det er klart at hvs y x (mod n), da er y også en løsnng Antag nu at x og y er løsnnger Da vl både n 1 og n 2 gå op x y, og da (n 1, n 2 ) = 1, vl også n gå op x y Dermed udgør løsnngerne netop en restklasse modulo n V skal nu tl selve nduktonsskrdtet, men har faktsk lavet alt arbejdet tlfældet m = 2 Antag nu at sætnngen gælder for m V ønsker nu at vse at sætnngen også gælder for m + 1 Lad n = n 1 n 2 n m+1, hvor (n, n j ) = 1 når j Betragt kongruenssystemet x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ) x a m+1 (mod n m+1 ) Ifølge nduktonsantagelsen udgør samtlge løsnnger tl de m første kongruenser netop en restklasse modulo n = n 1 n 2 n m Lad a være en repræsentant for denne restklasse Løsnngerne tl kongruenssystemet x a (mod n ) x a m+1 (mod n m+1 ) er dentske med løsnngerne tl det oprndelge kongruenssystem, og de udgør følge nduktonsantagelsen én restklasse modulo n n m+1 = n, da (n, n m+1 ) = 1 Dermed er sætnngen bevst

4 Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 4 22 Eksempel V ønsker ved hjælp af den knesske restklassesætnng at bestemme samtlge løsnnger tl x 3 (mod 7) x 2 (mod 17) Først bemærker v at 5 er nvers tl 7 modulo 17 da (mod 17) Dermed er x = 3 + (2 3)5 7 = 32 en løsnng tl kongruenssystemet, og v ved at samtlge løsnnger er x = 32 + k7 17, k Z 23 Opgave Bestem samtlge løsnnger tl kongruenssystemet 24 Eksempel x 3 (mod 6) x 6 (mod 19) I eksemplet før så v hvordan man kan benytte den knesske restklassesætnng tl at bestemme samtlge løsnnger tl et kongruenssystem, men nogle opgaver har man blot behov for at vde at der fndes en løsnng I dette eksempel vl v vse at der fndes 1000 (eller så mange det skal være) på hnanden følgende hele tal som alle er delelge med et kubktal større end 1 Først vælger v 1000 forskellge prmtal p 1, p 2,, p 1000 Ifølge den knesske restklassesætnng har følgende kongruenssystem en løsnng x 1 (mod p 3 1) x 2 (mod p 3 2) x 1000 (mod p ) Hvs x er en løsnng, da er x + 1, x + 2,, x tusnd på hnanden følgende hele tal som alle er delelge med et kubktal 25 Opgave Vs at for alle naturlge tal n fndes der n på hnanden følgende hele tal således at tal nummer er delelg en te potens af et helt tal 26 Opgave Vs at for alle naturlge tal n og m fndes n på hnanden naturlge tal, således at hvert af dsse er delelgt med mndst m forskellge prmtal 27 Opgave Vs at der ekssterer en følge af naturlge tal a 1, a 2, således at summen af vlkårlge n på hnanden følgende elementer er delelg med n 2 (Baltc Way 2006)

5 Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 5 3 Løsnnger Opgave 13 Lad k være et fast helt tal, og lad a n betegne resten ved dvson af F n med k Da der kun er k 2 par af restklasser modulo k, må der fndes to ens par (a, a +1 ) og (a j, a j+1 ), 0 < j Det er klart ud fra defntonen af Fbonacc-tallene at følgen af restklasserne er perodsk fra et vst trn, og da den forrge restklasse desuden kan bestemmes ud fra de to efterfølgende (a n 1 a n+1 a n (mod k)), er følgen perodsk fra starten Perodelængden er dvsor j, og derfor er a 0 a j (mod k), dvs at F j er delelg med k Opgave 14 Lad b n betegne det sdste cffer n Det er nemt at se, at hvs b n = 0, 1, 5, 6, da er a n = 0, 1, 5, 6 Hvs b n = 4, 9, gennemløber sdste cffer n m peroden 4 6 eller 9 1 Når b n = 4, er n n lge, og dermed a n = 6 Når b n = 9, er n n ulge, og dermed a n = 9 Hvs b n = 2, 3, 7, 8 gennemløber sdste cffer n m peroden , , eller Her er peroden af længde 4, dvs v skal se på n n modulo 4 Når b n = 2, 8, er n n 0 (mod 4), dvs at a n = 6 Når b n = 3, er n 3 (mod 20) eller n 13 (mod 20), dvs n n 3 (mod 4) eller n n 1 (mod 4) Dermed er a n = 7 eller a n = 3 Når b n = 7, er n 7 (mod 20) eller n 17 (mod 20), dvs n n 3 (mod 4) eller n n 1 (mod 4) Dermed er a n = 3 eller a n = 7 Alt alt ser v at følgen er perodsk med længde 20 Opgave 16 Svaret er m = 9 Bemærk først at hvs a n er et kvadrattal, da er a n 0 a n 1 (mod 4) Hvs a k 0 (mod 4), da er a k+ 3 (mod 4) når er ulge, og a k+ 2 (mod 4) når er lge Dermed er a n kke et kvadrattal for noget ndeks større end k Hvs a k 1 (mod 4), da er a k+1 0 (mod 4) Dermed er a n kke et kvadrattal for noget ndeks større end k + 1 Dette vser at følgen højst ndeholder to kvadrattal Antag at følgen ndeholder to kvadrattal a k og a k+1 Da er a k = s 2, hvor s er ulge, og a k+1 = s = t 2 Lad t = s 5 + r Da er t 2 = (s 5 + r) 2 = s s 5 r + r 2, og dermed 2s 5 r + r 2 = 487 Hvs s = 1, er r(2 + r) = 487 hvlket er umulgt Hvs s = 3, er 486r + r 2 = 487, og dermed r = 1 Hvs s > 3, har lgnngen ngen løsnnger Dermed er a k = 9, og da a n > 487 for n > 0, må m = a 0 = 9 Opgave 17 Lad y n = 2x n 1 Da er y n = 2(2x n 1 x n 2 x n 1 x n 2 + 1) 1 = 4x n 1 x n 2 2x n 1 2x n = (2x n 1 1)(2x n 2 1) = y n 1 y n 2 når n > 1 Bemærk at y 1 = 3, y 2 = 3y 0 og y 3 = y 1 y 2 = 3 2 y 0 Ved ndukton ses let at y 3n = 3 2s y0 t hvor s og t er naturlge tal Dermed er y 3n et kvadrattal for alle n 1 præcs når y 0 er et kvadrattal Da y 0 = 2a 1, fås det ønskede resultat netop når a = (2m 1) for alle naturlge tal m Opgave 19 Da F n+1 = F n + F n 1, er gcd(f n+1, F n ) = gcd(f n+1 F n, F n ) = gcd(f n 1, F n ) Induktvt gver dette gcd(f n+1, F n ) = gcd(f 2, F 1 ) = gcd(1, 1) = 1

6 Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 6 Opgave 110 Bemærk først at a a a a a a a e 2 7 a = 128 Betragt følgen a 1 = 1 og a n = 2 α 1+α 2 ++α k for n = p α 1 1 pα 2 2 pα k k Denne følge opfylder den ønskede betngelse, og da 2000 = , er a 2000 = 128 Opgave 111 Lad A n = {a 1, a 2,, a n } Mængden A n består af n forskellge tal da de har forskellge rester modulo n Bemærk desuden at hvs a, a j A n, da må k = a a j < n, for ellers vl a, a j A k og a a (mod k) V har nu at forskellen mellem det største og det mndste tal A n er mndre end n, og derfor må A n ndeholde n på hnanden følgende tal Da følgen ndeholder uendelgt mange både postve og negatve tal, må alle hele tal forekomme mndst en gang Samlet gver dette at alle heltal netop optræder en gang følgen Et eksempel på en mulg følge: 0, 1, 1, 2, 2, Opgave 23 Samtlge løsnnger er x = 63 + k114, k Z Opgave 25 Først vælger v n forskellge prmtal p 1, p 2,, p n Ifølge den knesske restklassesætnng har følgende kongruenssystem en løsnng x 1 (mod p 1 1) x 2 (mod p 2 2) x 1000 (mod p n n) Hvs x er en løsnng, da er x + 1, x + 2,, x + n n på hnanden følgende hele tal således at tal nummer er delelg med en te potens af et helt tal Opgave 26 For at vse dette har v brug for den knesske restklassesætnng Vælg nm forskellge prmtal p 11,, p 1m, p 21, p 2m, p nm Sæt q j = p j1 p j2 p jm for j = 1, 2, n Da er q 1, q 2,, q n ndbyrdes prmske Den knesske restklassesætnng gver da at der fndes et naturlgt tal x som løsnng tl kongruenssystemet x (mod q 1 ), x (mod q 2 ),, x + n 0 (mod q n ) De n på hnanden følgende tal x+1, x+2,, x+n er nu delelge med mndst m forskellge prmtal hver Opgave 27 V vser at følgen ekssterer ved at vse hvordan man konstruerer det næste element ud fra de foregående Det er klart at a 1 kan vælges fuldstændgt frt Antag nu at a 1, a 2,, a m opfylder at summen af vlkårlge n på hnanden følgende elementer er delelg med n 2 for alle n m V ønsker at konstruere a m+1, så a m+1 (a m n a m ) (mod n 2 ) for alle n m + 1 Lad p 1, p k være samtlge prmtal mndre end eller lg med m + 1, og lad α være det største hele tal så p α m + 1 Lad yderlgere a m+1 være en løsnng tl følgende kongruenssystem: x (a m p α a m) (mod p 2α 1 1 ) x (a α m p k k a m) (mod p 2α k k )

7 Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 7 V ønsker nu at vse at a m+1 opfylder for alle n m + 1 da det gver det ønskede Først vser v at a m+1 opfylder for alle n = p β, = 1, 2,, k og β = 1, α 1 V ved at summen af a α m p +2,, a m+1 1 er delelg med p 2α og dermed også med p 2β Hvs v grupperer elementerne p α β grupper med p β på hnanden følgende elementer hver, ved v om samtlge grupper på nær den sdste, at summen af elementerne gruppen er delelg med p 2β pga konstruktonen af a 1, a 2,, a m Men da summen af samtlge elementer alle grupperne er delelg med p 2β må summen af elementerne den sdste gruppe også være det V har hermed vst at er opfyldet for alle n = p β, = 1, 2,, k og β = 1, α 1 Nu ønsker v at vse at er sand for alle n m+1 Da n er et produkt at prmtalspotenser p β, = 1, 2,, k og β = 1,, α, er det nok at vse at hvs er sand for n = n 1 og n = n 2 med n 1 n 2 m + 1 og (n 1, n 2 ) = 1, da er også sand for n = n 1 n 2 Antag at er sand for n = n 1 og n = n 2 med n 1 n 2 m + 1 og (n 1, n 2 ) = 1 Da summen af n 1 på hnanden følgende elementer er delelg med n 2 1, må summen af n 1n 2 på hnden følgende elementer også være delelg med n 2 1 Tlsvarende gælder for n 2 Da (n 1, n 2 ) = 1 gælder altså at summen af n 1 n 2 på hnanden følgende elementer er delelg med (n 1 n 2 ) 2 hvlket netop var hvad v skulle vse,

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

FRIE ABELSKE GRUPPER. Hvis X er delmængde af en abelsk gruppe, har vi idet vi som sædvanligt i en abelsk gruppe bruger additiv notation at:

FRIE ABELSKE GRUPPER. Hvis X er delmængde af en abelsk gruppe, har vi idet vi som sædvanligt i en abelsk gruppe bruger additiv notation at: FRIE ABELSKE GRUPPER. IAN KIMING Hvs X er delmængde af en abelsk gruppe, har v det v som sædvanlgt en abelsk gruppe bruger addtv notaton at: X = {k 1 x 1 +... + k t x t k Z, x X} (jfr. tdlgere sætnng angående

Læs mere

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

Note til Generel Ligevægt

Note til Generel Ligevægt Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den

Læs mere

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00 Fagblok 4b: Regnskab og fnanserng 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 tl 31.01 2004 kl. 14.00 Dette opgavesæt ndeholder følgende: Opgave 1 (vægt 50%) p. 2-4 Opgave 2 (vægt 25%) samt opgave 3 (vægt

Læs mere

Inertimoment for arealer

Inertimoment for arealer 13-08-006 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme

Læs mere

Elektromagnetisk induktion

Elektromagnetisk induktion Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 8 Elektromotorsk kraft Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres

Læs mere

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf3 Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Gvet n uafhængge

Læs mere

Elektromagnetisk induktion

Elektromagnetisk induktion Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 9 Elektromotorsk kraft: Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres

Læs mere

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk

Læs mere

2. Sandsynlighedsregning

2. Sandsynlighedsregning 2. Sandsynlghedsregnng 2.1. Krav tl sandsynlgheder (Sandsynlghedens aksomer) Hvs A og B er hændelser, er en sandsynlghed, hvs: 1. 0 ( A) 1 n 2. ( A ) 1 1 3. ( A B) ( A) + ( B), hvs A og B ngen udfald har

Læs mere

Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter

Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter Analytsk modellerng af 2D Halbach permanente magneter Kaspar K. Nelsen kak@dtu.dk, psjq@dtu.dk DTU Energ Konverterng og -Lagrng Danmarks Teknske Unverstet Frederksborgvej 399 4000, Rosklde, Danmark 17.

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvanttatve metoder Den smple regressonsmodel 9. februar 007 Regressonsmodel med en forklarende varabel (W..3-5) Varansanalyse og goodness of ft Enheder og funktonel form af varabler modellen

Læs mere

Beregning af strukturel arbejdsstyrke

Beregning af strukturel arbejdsstyrke VERION: d. 2.1.215 ofe Andersen og Jesper Lnaa Beregnng af strukturel arbedsstyrke Der er betydelg forskel Fnansmnsterets (FM) og Det Økonomske Råds (DØR) vurderng af det aktuelle output gap. Den væsentlgste

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

Tabsberegninger i Elsam-sagen

Tabsberegninger i Elsam-sagen Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot

Læs mere

χ 2 -fordelte variable

χ 2 -fordelte variable χ -fordelte varable Defnton af χ -fordelngen Kvadratsummen V n af n uafhængge standardserede normalfordelte stokastske varable sges at være χ -fordelt med n frhedsgrader. V n fremkommer altså som V n =

Læs mere

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved Lgevægt på varemarkedet gen! Sdste gang bestemtes følgende IS-relatonen, der beskrver lgevægten på varemarkedet tl: Y = C(Y T) + I(Y, r) + G εim(y, ε) + X(Y*, ε) Altså er varemarkedet lgevægt, hvs den

Læs mere

Statistisk mekanik 13 Side 1 af 9 Faseomdannelse. Faseligevægt

Statistisk mekanik 13 Side 1 af 9 Faseomdannelse. Faseligevægt Statsts mean 3 Sde af 9 Faselgevægt Hvs hver fase et PVT-system behandles særslt, vl hver fase alene raft af mulgheden for faseomdannelser udgøre et åbent system. Ved generalserng af udtry (3.48) fås dermed

Læs mere

Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder

Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Oblgatorsk opgave 2 Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Opgavens prmære formål er at lgne formen på tag-hjem delen af eksamensopgaven. Der

Læs mere

DLU med CES-nytte. Resumé:

DLU med CES-nytte. Resumé: Danmarks Statstk MODELGRUPPEN Arbejdspapr* Grane Høegh 17. august 2006 DLU med CES-nytte Resumé: Her papret undersøges det om en generalserng af den bagvedlggende nyttefunkton DLU fra Cobb-Douglas med

Læs mere

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Økonometr Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer 7. Dne

Læs mere

TEORETISKE MÅL FOR EMNET:

TEORETISKE MÅL FOR EMNET: TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Kende begreberne ampltude, frekvens og bølgelængde samt vde, hvad begreberne betyder Kende (og kende forskel på) tværbølger og længdebølger Kende lysets fart Kende lysets bølgeegenskaber

Læs mere

Binomialfordelingen: april 09 GJ

Binomialfordelingen: april 09 GJ Bnomalfordelngen: aprl 09 GJ Spm A 14: Sandsynlghedsregnng og statstk. Efter en kort ntrodukton af grundlæggende begreber sandsynlghedsregnng og statstk skal du skal ntroducere bnomalfordelngsmodellen

Læs mere

Økonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1

Økonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1 Økonometr 1 Heteroskedastctet 27. oktober 2006 Økonometr 1: F12 1 Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-4) Sdste gang: I dag: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Korrekton af varansen

Læs mere

EKSAMEN I MATEMATIK-STATISTIK, 27. JANUAR 2006, KL 9-13

EKSAMEN I MATEMATIK-STATISTIK, 27. JANUAR 2006, KL 9-13 EKSAMEN I MATEMATIK-STATISTIK, 7. JANUAR 006, KL 9-13 [HER STARTER STATISTIKDELEN] Opgave 3 (5%): Bologsk baggrundsnformaton tl forståelse af opgaven: Dr producerer kke altd lge meget afkom af hvert køn.

Læs mere

Videregående Algoritmik. David Pisinger, DIKU. Reeksamen, April 2005

Videregående Algoritmik. David Pisinger, DIKU. Reeksamen, April 2005 Vderegåede Algortmk Davd Psger, DIKU Reeksame, Aprl 5 Bsecto problemet Gvet e uvægtet graf G = (V, E) samt et heltal k. E bsecto af grafe G er e opdelg af kudere V to lge store mægder S og T. MAX-BISECTION

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvanttatve metoder 2 Instrumentvarabel estmaton 14. maj 2007 KM2: F25 1 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen F25: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen Kvanttatve metoder Instrumentvarabel estmaton 4. maj 007 F5: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler En regressor,

Læs mere

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødnng Angelo Andersen.. Problemformulerng I forbndelse med ønsket om at reducere kvælstof udlednngen fra landbruget kan det være nyttgt at undersøge hvordan landbruget

Læs mere

Forberedelse INSTALLATION INFORMATION

Forberedelse INSTALLATION INFORMATION Forberedelse 1 Pergo lamnatgulvmateraler leveres med vejlednnger form af llustratoner. Nedenstående tekst gver forklarnger på llustratonerne og er nddelt tre områder: Klargørngs-, monterngs- og rengørngsvejlednnger.

Læs mere

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet BEU - 14.9.2009 - Dagsordenspunkt: 3 09-0855 - JEFR - Blag: 3 Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser nden for FTFområdet Det ndstlles: At BEU tlslutter sg, at KL/FTF-aftalen søges poltsk forankret gennem

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik med binomialfordelingen

Sandsynlighedsregning og statistik med binomialfordelingen Sandsynlghedsregnng og statstk med bnomalfordelngen Katja Kofod Svan og Olav Lyndrup Januar 09 Indhold Stokastske varable... 3 Mddelværd og sprednng... 6 Bnomalfordelngen... Andre sandsynlghedsfordelnger...

Læs mere

Økonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder II Introduktion til Instrumentvariabler 27. november 2006

Økonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder II Introduktion til Instrumentvariabler 27. november 2006 Økonometr 1 Avancerede Paneldata Metoder II Introdukton tl Instrumentvarabler 27. november 2006 Paneldata metoder Sdste gang: Paneldata med to eller flere peroder og fxed effects estmaton. Første-dfferens

Læs mere

Mary Rays. Træn lydighed, agility og tricks med klikkertræning. Mary Ray. Atelier. Andrea McHugh

Mary Rays. Træn lydighed, agility og tricks med klikkertræning. Mary Ray. Atelier. Andrea McHugh Mary Rays Mary Rays Mary Ray Andrea McHugh Træn lydghed, aglty og trcks med klkkertrænng Ateler An Hachette Lvre UK Company Frst publshed n Great Brtan n 2009 by Hamlyn, a dvson of Octopus Publshng Group

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Luftfartens vilkår i Skandinavien

Luftfartens vilkår i Skandinavien Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng for valg af transportform Af Mette Bøgelund og Mkkel Egede Brkeland, COWI Trafkdage på Aalborg Unverstet 2000 1 Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng

Læs mere

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol Udvklng af en metode tl effektvurderng af Mljøstyrelsens Kemkalenspektons tlsyn og kontrol Orenterng fra Mljøstyrelsen Nr. 10 2010 Indhold 1 FORORD 5 2 EXECUTIVE SUMMARY 7 3 INDLEDNING 11 3.1 AFGRÆNSNING

Læs mere

Gulvvarmeanlæg en introduktion. af Peter Weitzmann

Gulvvarmeanlæg en introduktion. af Peter Weitzmann Gulvvarmeanlæg en ntrodukton af Peter Wetzmann Sde 1 Indholdsfortegnelse 1 Forord... 3 2 Introdukton tl gulvvarme... 4 2.1 Hstorsk gennemgang...4 2.2 Fyssk beskrvelse...4 3 Typer... 6 3.1 Tung gulvvarme...6

Læs mere

G Skriverens Kryptologi

G Skriverens Kryptologi G Skrverens Kryptolog Nels Juul Munch, Mdtsjællands Gymnasum Matematk Indlednng I den foregående artkel G Skrverens Hstore blev det hstorske forløb om G Skrveren beskrevet og set sammenhæng med Sverges

Læs mere

Elektromagnetisme 12 Side 1 af 6 Magnetisk energi. Magnetisk energi

Elektromagnetisme 12 Side 1 af 6 Magnetisk energi. Magnetisk energi lektronetsme Sde af 6 Betragt et kredsløb med erstatnngsresstans R og erstatnngs- L nduktans L. Som udtryk (.) er U emf+ R. (.) U R Det arbejde, som batteret skal præstere løbet af tdsrummet strømmen,

Læs mere

Notat om porteføljemodeller

Notat om porteføljemodeller Notat om porteføljemodeller Svend Jakobsen 1 Insttut for fnanserng Handelshøjskolen Århus 15. februar 2004 1 mndre modfkatoner af Mkkel Svenstrup 1 INDLEDNING 1 1 Indlednng Dette notat ndeholder en opsummerng

Læs mere

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013 SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.

Læs mere

Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36.

Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36. Estmaton af varans/sprednng Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - rw@math.aau.dk Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Antag X,..., X n stokastske varable med fælles

Læs mere

Brugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn

Brugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn Brugerhåndbog Del IX Formodel tl beregnng af udlandsskøn September 1999 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 3 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 1. Indlednng FUSK er en Formodel tl beregnng af UdlandsSKøn.

Læs mere

Statistik II Lektion 4 Generelle Lineære Modeller. Simpel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Flersidet Variansanalyse (ANOVA)

Statistik II Lektion 4 Generelle Lineære Modeller. Simpel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Flersidet Variansanalyse (ANOVA) Statstk II Lekton 4 Generelle Lneære Modeller Smpel Lneær Regresson Multpel Lneær Regresson Flersdet Varansanalyse (ANOVA) Logstsk regresson Y afhængg bnær varabel X 1,,X k forklarende varable, skala eller

Læs mere

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf Gvet n uafhængge målnger x,, x n af n størrelser µ,, µ n Målnger

Læs mere

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13 Økonometr 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13 Prram for øvelserne: Gruppearbejde plenumdskusson SAS øvelser Øvelsesopgave: Vækstregressoner (fortsat) Ugeseddel 13 fortsætter den emprske analyse af vækstregressonen

Læs mere

Lidt om lim. (k) og hvad de kan bruges til. Sara Arklint

Lidt om lim. (k) og hvad de kan bruges til. Sara Arklint Ldt om (k) og hvad de kan bruges tl Sara Arklnt Københavns Unverstet Kanddatprojekt (15 ECTS-pont) Aeveret 11. aprl 2007 Vejleder: Anders Frankld Indhold 1. Prolog 1 (k) 2. Beregnng af (k) 3. Forsvndng

Læs mere

Evaluering af vedligehold af 3-registreringen

Evaluering af vedligehold af 3-registreringen Evaluerng af vedlgehold af 3-regstrerngen Notat fra DCE - Natonalt Center for Mljø og Energ Dato: 4. aprl 2019 Gregor Levn Insttut for Mljøvdenskab Rekvrent: Mljøstyrelsen Antal sder: 26 Faglg kommenterng:

Læs mere

Opsamling. Simpel/Multipel Lineær Regression Logistisk Regression Ikke-parametriske Metoder Chi-i-anden Test

Opsamling. Simpel/Multipel Lineær Regression Logistisk Regression Ikke-parametriske Metoder Chi-i-anden Test Opsamlng Smpel/Multpel Lneær Regresson Logstsk Regresson Ikke-parametrske Metoder Ch--anden Test Opbygnng af statstsk model Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde Mandag den 4. marts 2013 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter

Referat fra Bestyrelsesmøde Mandag den 4. marts 2013 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Bestyrelsesmedlemmer er ndkaldt tl bestyrelsesmøde som ovenfor anført. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Bodl Schmdt, Bjarne Vogt, Lars Provstgaard,

Læs mere

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold Kombator, marts 04, Krste Roselde Georg Mohr-Kourrece Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger

Læs mere

Bilag 6: Økonometriske

Bilag 6: Økonometriske Marts 2015 Blag 6: Økonometrske analyser af energselskabernes omkostnnger tl energsparendsatsen Energstyrelsen Indholdsfortegnelse 1. Paneldataanalyse 3 Specfkaton af anvendte panel regressonsmodeller

Læs mere

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 004 Emet for dee forelæsg er stadg de multple regressosmodel (Wooldrdge kap. 3.4-3.5) Praktske bemærkg Opsamlg fra sdst Irrelevate varable og

Læs mere

Økonometri lektion 7 Multipel Lineær Regression. Testbaseret Modelkontrol

Økonometri lektion 7 Multipel Lineær Regression. Testbaseret Modelkontrol Økonometr lekton 7 Multpel Lneær Regresson Testbaseret Modelkontrol MLR Model på Matrxform Den multple lneære regressons model kan skrves som X y = Xβ + Hvor og Mndste kvadraters metode gver følgende estmat

Læs mere

Fysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori

Fysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori Fysk 3 Indhold Termodynamk John Nclasen 1. Sandsynlghedsteor 1.1 Symboler 1.2 Boolsk Algebra 1.3 Betngede Udsagn 1.4 Regneregler 1.5 Bayes' formel 2. Fordelnger 2.1 Symboler 2.2 Bnomal Fordelngen 2.3 ultnomal

Læs mere

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger Vaansanalyse (ANOVA) Repetton, ANOVA Tjek af model antagelse Konfdensntevalle fo mddelvædene Tukey s test fo pavse sammenlgnnge ANOVA - defnton ANOVA (ANalyss Of VAance), også kaldet vaansanalyse e en

Læs mere

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Introdukton af problemstllng og datasæt Gruppearbejde SAS øvelser Paneldata for tlbagetræknngsalder Ugesedlen analyserer et datasæt med

Læs mere

Aftale om generelle vilkår for tillidsrepræsentanter -^ i Magistratsafdelingen for Sundhed og Omsorg 2009-2011

Aftale om generelle vilkår for tillidsrepræsentanter -^ i Magistratsafdelingen for Sundhed og Omsorg 2009-2011 Aftale om generelle vlkår for tlldsrepræsentanter -^ Magstratsafdelngen for Sundhed og Omsorg 2009-2011 1. Aftalens parter Mellem parterne Århus Kommune, Magstratsafdelngen for Sundhed og Omsorg og FOA,

Læs mere

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde.

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde. Ishøj Kommune Att.: Kommunaldrektør Anders Hvd Jensen Ishøj Store Torv 20 2635 Ishøj Lett Advokatfrma Rådhuspladsen 4 1550 København V Tlr. 33 34 00 00 Fax 33 34 00 01 lettl lett.dk www.lett.dk Kære Anders

Læs mere

Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Bilag 365 Offentligt

Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Bilag 365 Offentligt Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Blag 365 Offentlgt Notat Kemkaler J.nr. MST-652-00099 Ref. Doble/lkjo Den 5. maj 2010 GRUNDNOTAT TIL FOLKETINGETS EUROPAUDVALG Kommssonens forslag om tlpasnng tl den

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Onsdag den 18. juni 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Onsdag den 18. juni 1997, kl. Skrftlg Eksamen Datastrukturer og Algortmer (DM02) Insttut for Matematk og Datalog Odense Unverstet Onsdag den 18. jun 1997, kl. 9{13 Alle sdvanlge hjlpemdler (lrebger, notater, etc.) samt brug af lommeregner

Læs mere

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskj Den store russske forfatter tænkte naturlgvs kke på markedsførng, da han skrev dsse lner.

Læs mere

RESEARCH PAPER. Nr. 7, Prisoptimering i logitmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd. Jørgen Kai Olsen

RESEARCH PAPER. Nr. 7, Prisoptimering i logitmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd. Jørgen Kai Olsen RESEARCH PAPER Nr. 7, 23 Prsotmerng logtmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd af Jørgen Ka Olsen INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG PLADS 3, DK-2 FREDERIKSBERG

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelsøgning Modelkontrol

Anvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelsøgning Modelkontrol Anvendt Statstk Lekton 0 Regresson med både kvanttatve og kvaltatve forklarende varable Modelsøgnng Modelkontrol Opsummerng I forbndelse med multpel lneær regresson så v på modeller på formen E[ y] = α...

Læs mere

Ugeseddel 8. Gruppearbejde:

Ugeseddel 8. Gruppearbejde: Ugeseddel 8 Gruppearbejde: 1. Ved at nkludere en dummyvarabel for et bestemt landeområde, svarer tl at konstatere, at dsse lande har nogle unkke karakterstka, som har betydnng for væksten, som kke gør

Læs mere

Kulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan.

Kulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan. Vdenscenter for Transkulturel Psykatr har ekssteret sden 2002 og skal fremme psykatrsk udrednng, dagnostk, behandlng, pleje og opfølgnng af patenter, der har en anden etnsk baggrund end dansk. Kulturel

Læs mere

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel 1,, k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet =( 1,, k

Læs mere

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 10

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 10 Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 0 Program for øvelserne: Gennemgang af teoropgave fra Ugesedel 9 Gruppearbejde og plenumdskusson SAS øvelser, spørgsmål -4. Sdste øvelsesgang (uge 2): SAS øvelser,

Læs mere

Statikstik II 4. Lektion. Generelle Lineære Modeller

Statikstik II 4. Lektion. Generelle Lineære Modeller Statkstk II 4. Lekton Generelle Lneære Modeller Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel X 1,,X k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet X + k = E( Y X ) = α + β x + + β

Læs mere

Import af biobrændsler, er det nødvendigt?

Import af biobrændsler, er det nødvendigt? Vktor Jensen, sekretaratsleder Danske Fjernvarmeværkers Forenng Import af bobrændsler, er det nødvendgt? Svaret er: Nej, kke ud fra et ressourcemæssgt og kapactetsmæssgt synspunkt. Men ud fra et kommercelt

Læs mere

Handleplan for Myndighed (Handicap og Socialpsykiatri)

Handleplan for Myndighed (Handicap og Socialpsykiatri) for Myndghed (Handcap og Socalpsykatr) Baggrund Økonomudvalget besluttede den 17. maj 2010, at der bl.a. på Myndghedsområdet for Handcap og Socalpsykatr skal udarbejdes en handleplan som følge den konstaterede

Læs mere

Stadig ligeløn blandt dimittender

Stadig ligeløn blandt dimittender Stadg lgeløn blandt dmttender Kvnder og mænd får stadg stort set lge meget løn deres første job, vser DJs dmttendstatstk for oktober 2013. Og den gennemsntlge startløn er nu på den pæne sde af 32.000 kr.

Læs mere

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9 Økonometr 1 Efterår 006 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Opsamlng på Ugeseddel 8 Gruppearbejde SAS øvelser Ugeseddel 9 består at undersøge, om der er heteroskedastctet vores model for væksten og så fald,

Læs mere

HASHI HASH? Vidste du at. pillugu suna. nalunngiliuk? Hvad ved du om. Hvad ved du om hash? Mental sundhed. Love og konsekvenser

HASHI HASH? Vidste du at. pillugu suna. nalunngiliuk? Hvad ved du om. Hvad ved du om hash? Mental sundhed. Love og konsekvenser Najoqqutarsat / Klder: Henrk Rndom Rusmdlernes Bolog, udgvet af Sundhedsstyrelsen 2000. www.netstof.dk www.stofnfo.sst.dk www.sundhedsstyrelsen.dk www.sundhed.dk www.peqqk.gl Denne brochure gver dg oplysnnger

Læs mere

Noter til fysik 3: Statistisk fysik

Noter til fysik 3: Statistisk fysik Noter tl fysk 3: Statstsk fysk Martn Sparre www.logx.dk August 27 Bemærk, at log x denne note er den naturlge logartme. Denne verson er fra d. 16 November, hvor flere trykfejl er blevet rettet. 1 Entrop

Læs mere

Kvalitet af indsendte måledata

Kvalitet af indsendte måledata Notat ELT2004-112 Aktørafregg Dato: 23. aprl 2004 Sagsr.: 5584 Dok.r.: 185972 v1 Referece: NIF/AFJ Kvaltet af dsedte måledata I Damark er det etvrksomhederes opgave at måle slutforbrug, produkto og udvekslg

Læs mere

Betjeningsvejledning. Rumtemperaturregulator med ur 0389..

Betjeningsvejledning. Rumtemperaturregulator med ur 0389.. Betjenngsvejlednng Rumtemperaturregulator med ur 0389.. Indholdsfortegnelse Normalvsnng på dsplayet... 3 Grundlæggende betjenng af rumtemperaturregulatoren... 3 Vsnnger og knapper detaljer... 3 Om denne

Læs mere

Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC. Brugervejledning

Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC. Brugervejledning Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC da Brugervejlednng 3 da Indholdsfortegnelse Centralkontrolenhed Indholdsfortegnelse 1 Tl nformaton 8 1.1 Illustraton af trnnene 8 1.2 Vse startmenuen 8 1.3

Læs mere

HI-FI-KOMPONENTSYSTEM

HI-FI-KOMPONENTSYSTEM BEMÆRK: Højttalerne (medfølger kke) kan være forskellge fra dem, der er vst denne betjenngsvejlednng. model RNV70 HI-FI-KOMPONENTSYSTEM Vedlgeholdelse og teknske data Læs betjenngsvejlednngen, før du tager

Læs mere

Udviklingen i de kommunale udligningsordninger

Udviklingen i de kommunale udligningsordninger Udvklngen de kommunale udlgnngsordnnger af Svend Lundtorp AKF Forlaget Jun 2004 Forord Dette Memo er skrevet de sdste måneder af 2003, altså før strukturkommssonens betænknng og før Indenrgsmnsterets

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.4) Kvanttatve metoder Heteroskedastctet 6. aprl 007 Sdste gang: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Whte s korrekton af OLS varansen Test for heteroskedastctet

Læs mere

Kunsten at leve livet

Kunsten at leve livet Kunsten at leve lvet UNGE - ADFÆRD - RUSMIDLER 3. maj 2011 Hvad er msbrug? Alment om den emotonelle udvklng Hvem blver msbruger? Om dagnoser Om personlghedsforstyrrelser Mljøterap, herunder: - baggrund

Læs mere

10. Usikkerhed og fejlsøgning

10. Usikkerhed og fejlsøgning 93 10. Uskkerhed og fejlsøgnng Forbrugerprsndekset er baseret på en stkprøve af varer og tjenester og derfor behæftet med uskkerhed. Kaptlet ndledes derfor med en gennemgang af de væsentlgste klder tl

Læs mere

Der må ikke udelades omkostninger, som er nævnt i vejledningen, ligesom der kun må indberettes de omkostninger, der er nævnt i vejledningen.

Der må ikke udelades omkostninger, som er nævnt i vejledningen, ligesom der kun må indberettes de omkostninger, der er nævnt i vejledningen. VEJLEDNING I OPGØRELSE AF OMKOSTNINGER TIL ENERGIBESPARELSER 1. Vejlednngen skal benyttes af alle fjernvarmeværker Alle værker, der har et energsparemål, skal benytte denne vejlednng tl ndberetnng af omkostnnger

Læs mere

KENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíii"n. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx.

KENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíiin. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx. FOTKEEVENTYRETS KENDETEGN Når du læser et folkeeventyr, er der nogle kendetegn sonì dubør være ekstra opmærksom på. Der er nogle helt faste mønstre og handlnger, som gør, at du kan genkende et folkeeventyr.

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Handlingsplan om bedre overvågning af biologiske lægemidler, biosimilære lægemidler og vacciner 2015-2016

Handlingsplan om bedre overvågning af biologiske lægemidler, biosimilære lægemidler og vacciner 2015-2016 Sundheds- og Ældreudvalget 2014-15 (2. samlng) SUU Alm.del Blag 41 Offentlgt Sundheds- og Ældremnsteret Sundheds- og ældremnsteren Enhed: Jurmed Sagsbeh.: hbj Sagsnr.: 1503875 Dok. nr.: 1768205 Dato: 3.

Læs mere

Pas på dig selv, mand

Pas på dig selv, mand Pas på dg selv, mand Prostatas funkton og sygdomme Kom med Prostatas funkton Du skal passe på dg selv, når det gælder dn prostata. Den kan blve angrebet af kræft mere eller mndre alvorlg grad. Prostata

Læs mere

Økonometri 1. Test for heteroskedasticitet. Test for heteroskedasticitet. Dagens program. Heteroskedasticitet 26. oktober 2005

Økonometri 1. Test for heteroskedasticitet. Test for heteroskedasticitet. Dagens program. Heteroskedasticitet 26. oktober 2005 Dagens program Økonometr Heteroskedastctet 6. oktober 005 Emnet for denne forelæsnng er heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-8.4) Konsekvenser af heteroskedastctet Hvordan fnder man en effcent estmator?

Læs mere

Statikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller

Statikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller Statkstk II 3. Lekton Multpel Logstsk regresson Generelle Lneære Modeller Defntoner: Repetton Sandsynlghed for at Ja tl at være en god læser gvet at man er en dreng skrves: P( God læser Ja Køn Dreng) Sandsynlghed

Læs mere

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte FTF dokumentaton nr. 3 2014 Vden prakss Hovedorgansaton for 450.000 offentlgt og prvat ansatte Sde 2 Ansvarshavende redaktør: Flemmng Andersen, kommunkatonschef Foto: Jesper Ludvgsen Layout: FTF Tryk:

Læs mere

PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC

PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC MEDDELELSE NR. 1075 Vrknngsgraden (gennemslaget) tl en produktonsbesætnng for avlsværdtallet for hanlg fertltet Duroc blev fundet tl 1,50, hvlket

Læs mere

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel. Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)?

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel. Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)? Dagens program Økonometr Heteroskedastctet 6. oktober 004 Hovedemnet for denne forelæsnng er heteroskedastctet (kap. 8.-8.3) Lneære sandsynlghedsmodel (kap 7.5) Konsekvenser af heteroskedastctet Hvordan

Læs mere

Miljø- og Fødevareudvalget MOF Alm.del Bilag 16 Offentligt

Miljø- og Fødevareudvalget MOF Alm.del Bilag 16 Offentligt - at Mljø- Fødevareudvalget 2017-18 MOF Alm.del Blag 16 Offentlgt UDVALGSSEKRETARIATET NOTAT OM FREMMØDE UNDER FORETRÆDER FOR UDVALG FOLKETINGET Præsdet har drøftet fremmødet under foretræde for udvalgene

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

MfA. V Udstyr. Trafikspejle. Vejregler for trafikspejles egenskaber og anvendelse. Vejdirektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998

MfA. V Udstyr. Trafikspejle. Vejregler for trafikspejles egenskaber og anvendelse. Vejdirektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998 > MfA V Udstyr Trafkspejle Vejregler for trafkspejles egenskaber og anvendelse Vejdrektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998 Vejreglernes struktur I henhold tl 6, stk. 1 lov om offentlge veje (Trafkmnsterets

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere