BETA: MATEMATIK C-NIVEAU

Transkript

1 BETA: MATEMATIK C-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

2 BETA: MATEMATIK C-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik hf 2010 Dette hæfte indeholder løsninger af matematik C hf eksamensopgaver. Bogen er en beta og den endelige er på trapperne! Ingen opgaver fra kapitel 1 er løst endnu, men de er også på vej. Alle eksamensopgaver løses enten i WordMat eller Maple Eksamensopgaverne i kapitel 2 har den respektive overskrift og navn på eksamenssættet samt opgave nummeret X.XXX. De løste opgaver i kapitel 2 er hermed listet fra årstal 2006 til og 2010 er på vej! For anvendelse af dokumentet, anbefales det, at man prøver at løse opgaven først, inden man anvender løsningerne. Eksamensopgaver: - Matematik C-niveau, HF - maj Matematik C-niveau, HF - august Matematik C-niveau, HF - december Matematik C-niveau, HF - maj Matematik C-niveau, HF - august Matematik C-niveau, HF - december Matematik C-niveau, HF - maj Matematik C-niveau, HF - august Matematik C-niveau, HF - december Matematik C-niveau, HF - maj 2009 [IKKE FÆRDIG ENDNU] - Matematik C-niveau, HF - august 2009 [IKKE FÆRDIG ENDNU] - Matematik C-niveau, HF - december 2009 [IKKE FÆRDIG ENDNU] - Matematik C-niveau, HF - juni 2010 [IKKE FÆRDIG ENDNU] - Matematik C-niveau, HF - august 2010 [IKKE FÆRDIG ENDNU] - Matematik C-niveau, HF - december 2010 [IKKE FÆRDIG ENDNU] Fortsættes 2016 næste side Side 1 ud af 43

3 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 HF matematik C niveau, kapitel 2 Opgave a) Asf b) Saf Side 2 ud af 43

4 Opgave a) G Opgave a) A Fortsættes næste side Side 3 ud af 43

5 b) A Opgave a) As b) A Side 4 ud af 43

6 Opgave a) A b) A Side 5 ud af 43

7 Opgave a) A Opgave a) A Opgave a) a Side 6 ud af 43

8 Opgave Delopgave a) og delopgave b) slås sammen. a) A Slut på opgavesættet: maj 2006 MAT C Side 7 ud af 43

9 Opgave a) As Opgave a) A Fortsættes næste side Side 8 ud af 43

10 Opgave b) Fortolkning af tallene a og b. Tallet a fortæller, at for hver meter man får, stiger prisen med 4.84kr Tallet b fortæller, at begyndelsesprisen for en slange er 297.5kr a) a Man kan også avende WordMat til at bestemme og tegne trekanten. Side 9 ud af 43

11 Opgave a) A b) a Opgave a) Medianen aflæses til at være 43.5, altså må 50% eller deromkring af diplomatledere have en alder på 43.5 år. b) Der aflæses og man kan se, at har en procent fra 13.5% 32% har en procent fra 32% 60% har en procent fra 60% 84% Differencen imellem findes 32% 13.5% = 18.5% 60% 32% = 28% 84% 60% = 24% Altså må det være i aldersgruppen 40 45, at der er flest deltagere af diplomlederuddannelsen. Side 10 ud af 43

12 Opgave a) A b) A Opgave a) A b) Side 11 ud af 43

13 Opgave a) A b) A Slut på opgavesættet: august 2006 MAT C Side 12 ud af 43

14 Opgave a) A Opgave a) Ligningen løses først pr. håndkraft. 3(2x 1) = 4x 9 6x 3 = 4x 9 2x = 6 x = 3 Man kunne også få Maple til at udføre arbejdet. Opgave Opgave a) Modellen opstilles ud fra oplysningerne. Man får y = 2100x Som beskriver faldet af medlemmerne i Dansk Tennis Forbund. Modellen gælder fra år a) Fra figuren regnes længden AH. Formlen anvendes nedenfor: b = h cos(a) Værdierne indsættes b = 17 cos(38 o ) = Som er den ønskede længde. Fortsættes næste side Side 13 ud af 43

15 b) Arealet bestemmes vha. ½appelsinformlen. Værdierne indsættes T = 1 b c sin(a) 2 T = 1 2 ( ) 17 sin(38o ) = Som er det ønskede areal. Hvis man ikke fik gennemskuet den metode, så kunne man stadig regne arealet. Først finder man BH BH = = Altså kan arealet bestemmes. T ABH = 1 2 h g = = T BHC = 1 2 h g = = T = T ABH + T BHC = = Opgave a) Tallene a og b bestemmes. Så bestemmes b a = log ( y 2 y 1 ) log ( x 2 x 1 ) = log ( ) log ( 25 4 ) = 1.5 b = y 1 a x = = 3 Derved er forskriften y = 3 x 1.5 Skulle man have glemt formlerne for a og b kunne man regne dem på en anden måde. 375 = b 25 a 24 = b 4 a = 6.25a log(15.625) = a log(6.25) Så har man en ligning. a = log(15.625) log(6.25) = = b b = = 3 b) Hvis y = 11.5 så bestemmes x, man har 11.5 = 3 x = x1.5 x = = Side 14 ud af 43

16 Opgave Opgave Opgave a) Ud fra tabellens oplysninger, er det muligt at finde ud af, hvad en Kung Fu is kostede i 1994, når den koster 13kr i år = 100 x Så har man en ligning = 100 x Så i år kostede isen 7kr = x 1300 = 185.7x x = = 7 a) Man får oplyst formlen. y = 3.5x Temperaturen angiver trykket, så hvis 10 o C indsættes, fås trykket. Man har y = = 990 Så trykket er 990hPa ved en temperatur på 10 o C a) A Tallet 3.5 fortæller, at for hver gang temperaturen øges, så stiger trykket med 3.5hPa. b) A Fortsættes næste side Side 15 ud af 43

17 c) Aa Opgave a) Kvartilsættet fra Steady Eddie aflæses til {16, 20.5, 26.5, 29.5, 33} Kvartilsættet for Big Mac bestemmes. 3,9,9,22,29,32,32,33,39,39,42,49,52,58,65,70 Så bestemmes kvartilerne. Start = Nedre = = Median = = Øvre = = Top = 70 Så er kvartilsættet {3, 25.5, 36, 50.5, 70} Fortsættes næste side Side 16 ud af 43

18 b) Boksplottene tegnes vha. Excel. Big Mac Steady Eddie Det ses, at Steady Eddie er god til at skyde i et koncentreret omfang. Big Mac er dog bedre til at lave gode homeruns, men dog i et mere sporadisk omfang. Slut på opgavesættet: december 2006 MAT C Side 17 ud af 43

19 Opgave Opgave Opgave Der er givet to ensvinklede trekanter. a) Først findes forstørrelsesfaktoren. k = Q 1R 1 QR = = 1.2 Da man har sin forstørrelsesfaktor, er det nu muligt at bestemme P 1 Q 1 vha. den lille trekant. P 1 Q 1 = k PQ Indsæt da værdierne. P 1 Q 1 = = 23.4 Dermed blev P 1 Q 1 bestemt til 23.4 a) Personen indsætter 15000kr med en rente på 2.6%. Renteformlen anvendes. K 20 = (1 + ( )) = Så 20 år efter har man kr på kontoen. b) Man får oplyst det dobbelte, altså K n = 30000, så er året det samme. Renten bestemmes = (1 + r) = (1 + r) = 1 + r = r r% = ( ) 100 = 3.526% Så renten er 3.526% som giver det dobbelte på 20 år. a) Modellen er givet. S = 1.82x Man indsætter 8 på x s plads og får S = = Derved er boligindtægterne 15.06mia kr betyder, at for hvert år der går efter år 2000, stiger indtægten med 1.82 mia kr. Fortsættes næste side Side 18 ud af 43

20 Opgave Opgave Opgave b) Man løser en ligning 19 = 1.82x = 1.82x x = Så efter 10 år har man 19 mia. kr. a) Kvartilerne aflæses for begge boksplot. Onsdag: Start=10.35 Nedre=10.5 Median=10.55 Øvre=10.64 Top= Weekend: Start=9.4 Nedre=9.55 Median=10.12 Øvre=10.43 Top=10.54 Det ses, at der om onsdagen generelt er dyrere end weekenden, dvs. ca. 50% af tilfældene er prisen for benzin pr. liter ca kr, hvor i weekenden er prisen 10.12kr, hvilket har meget at sige. a) Modellen opstilles ud fra oplysningerne, og man får y = 2460x Der beskriver den årlige udvikling af biler på Køge Bugt motorvej. a) Længden af DE kan hurtigt bestemmes. DE = AD BC Så indsættes værdierne DE = = 85 Så længden af DE = 85cm Højden AB = CE altså kan man anvende Pythagoras DE 2 + CE 2 = CD 2 Så indsættes værdierne CE 2 = CE = = Hermed er højden fundet til at være cm Fortsættes næste side Side 19 ud af 43

21 b) Vinklerne C og D bestemmes. Vinkel C bestemmes først. Heri indsættes værdierne C = sin 1 ( DE CD ) C = sin 1 ( ) = 60o Så bestemmes D vha. vinkelsummen. D = 180 o E C = 180 o 90 o 60 o = 30 o Altså er vinklerne C og D bestemt til hhv. C = 60 o ; D = 30 o Opgave <- fejl fra opgavekommissionens side. a) Ud fra oplysningerne kan man opstille et histogram. Dette udføres vha. Excel. et tern er 4% Histogram Observationer Opgave Her er de sorte for København og de orange for Hillerød. Man kan se, at folk med alderen ligger væsentlig lavere procentmæssigt, hvorpå Københavnere har en større procentvise rate. Alle andre tilfælde ligger Hillerød generelt højere, på nær den sidste kasse, der er Københavnerne en anelse højere. a) Først bestemmes antallet af motorcykler i år = x 68.6 = x = x Så i år 2000 er der ca registrerede motorcykler = x = x = x 100 Så i år 2005 er der ca registrerede motorcykler. Side 20 ud af 43

22 Opgave a) Tallene a og b bestemmes. Så bestemmes b x2 x1 a = y 2 y = 688 = b = y 1 a x = = 205 Derved er forskriften y = x Skulle man have glemt formlerne for a og b kunne man regne dem på en anden måde. 688 = b a = b a = a56 56 a = a = Så har man en ligning. 205 = b b = 205 b) I år 1950 var antallet af ældre over 60år ca. 205mio Dette forventes med at stige med en procent på 2.18% for hvert år efterfølgende, = 1 + r r = r% = 2.18% c) Man har en ligning y = = 1.77mia Hermed har man en omfattende difference = 0.23mia Slut på opgavesættet: maj 2007 MAT C Side 21 ud af 43

23 Opgave Opgave Metode 1) - Rentesregning a) Anvend renteformlen. K 10 = ( ) 10 = Metode 2) - Eksponentiel a) Anvend y = b a x, hvor a = (1.024), så er b = y = x Indsæt 10 på x y = = Begge er ens, og det er fordi renteformlen stammer fra eksponentielle funktioner. Så ved man det. Med andre ord, efter 10år vil der stå kr på kontoen. a) For at regne a og b, får man heldigvis givet nogle støttepunkter. Derved regnes tallene a og b nedenfor: a = y 2 y 1 x 2 x 1 = ( 6) = 6 8 = 3 4 b = y 1 ax 1 = ( 6) = 4 2 b = y 2 ax 2 = = Så er forskriften (selvom tallene a og b var svar nok) y = 3 13 x Hvis man skulle have glemt formlerne for a og b, så kan man løse to ligninger med to ubekendte. Man har 8 = a 2 + b (1) 2 = a ( 6) + b (2) Isolér b i første udtryk (1). 8 = a 2 + b b = 8 2a Indsæt i (2) Indsæt oppe i (1). Altså er forskriften 2 = a ( 6) + (8 2a) 2 = 8a + 8 a = = b b = 4 2 y = 3 13 x Hvor den approximerede form er a = 0.75 og b = 6.5 Side 22 ud af 43

24 Opgave a) De kumulerede frekvenser regnes < 5% 21% 35% 25% 8% 6% 5% 26% 61% 86% 94% 100% Disse indskrives i WordMat s Excel program og man får 100% 75% 50% 25% 0% b) Medianen, dvs. 50% viser, at folk har en boligstørrelse i etageegendommen på 53.71m 2 c) Omtrent 20% har en boligstørrelse på ca.77m 2 dvs. 100%-80%=20% Opgave En figur er givet. a) Pythagoras anvendes, således man kan bestemme AB. AB 2 = AC 2 + BC 2 Værdierne indsættes. AB = = = Altså kan man konkludere, at hypotenusen er Vinkel B ønskes bestemt. Man kender alle længder og vinkel C, altså anvendes formlen B = sin 1 ( AC AB ) = sin 1 ( ) = o Som er den ønskede vinkel. Man kan bestemme vinkel A meget nemt = Altså er vinkel B = o og vinkel A = o Fortsættes næste side Side 23 ud af 43

25 Opgave b) Man kender hypotenusen i denne vilkårlige trekant. Man kender endvidere AD og på sin vis også vinkel A. Derfra er det muligt at bestemme vinkel B. Vinkel A bestemmes = Så vinkel A er bestemt til o Dermed kan man anvende cosinusrelationerne til at bestemme BD hvorefter man igen kan bruge cosinusrelationerne til at bestemme vinkel B. BD = AD 2 + AB 2 2 AD AB cos(a) Værdierne indsættes og man får BD = cos( ) Så har man længden der gør, at vinkel B kan bestemmes B = cos 1 ( BD 2 + AB 2 AD 2 ) 2 BD AB Værdierne indsættes. B = cos 1 ( ) = Altså er vinkel B bestemt til o a) Der opstilles en rå model ud fra oplysningerne, men inden da regnes fremskrivningsfaktoren først. a = 1 + r Hvor r = 5.5%, altså er a = 1 + ( ) = Så er den eksponentielle voksende model y = x b) Så har man en ligning = x = 1.055x ln ( 2100 ) = x ln(1.055) 1222 ln (2100 x = 1222 ) = ln(1.055) Så i år 2013 vil antallet af konstaterede modermærkekræft være Side 24 ud af 43

26 Opgave Opgave Opgave a) Modellen er givet over luftmodstanden på en accelererende bil. y = 0.035x 2 Man indsætter 80 og får y = = 224newton b) Her regnes den procentvise ændring. Man anvender formlen F y = F x a Så indsættes værdierne. (1 + r y ) = ( ) r y = 1.69 r y = 0.69 r y % = 69% Så hvis bilens fart øges med 30%, så øges luftmodstanden med 69% a) Man har en ligning. 300 = 200 (1 + r) = (1 + r) = 1 + r 39 r% = ( 1.5 1) 100% = 1.045% Så den gennemsnitlige årlige procentvise stigning er 1.045% a) Her har men med ligefrem proportionalitet, altså er det af formen P = k h Så er støttepunkterne 3450 = h 50 h = = 69 Så koster en 70mm P = 69 h Så er P = = 4830 Så den koster altså 4830kr Så har man en ligning = 69 h h = = 130 Man kan altså få en 130mm høj spalteannonce for 8970kr b) Man anvender formlen fra tidligere og får P = 69 h Som er en lineære model. Slut på opgavesættet: august 2007 MAT C Side 25 ud af 43

27 Opgave a) a Opgave Opgave a) Tallene a fortæller, at for hvert år der går, stiger omsætningen med 2.5 mia. kr. b fortæller, at i år 2000 var omsætningen på 10.5 mia. kr. b) Man indsætter 5 på x og får y = = 23 Dvs. ifølge modellen er omsætningen i år 2005 på 23 mia. kr. Differencen imellem 26.8 og 23 er 3.8 mia. kr. hvilket er en stor afvigelse, derved må modellen forkastes! a) Oplysninger: K 0 = 8000, K 6 = , n = 6 Renteformlen anvendes = 8000 (1 + r) = (1 + r) = 1 + r 6 r = ( ) 100% = 1.75% 8000 Så med en rente på 1.75 fås kr på 6 år. Side 26 ud af 43

28 Opgave <- Endnu en fejl fra opgavekommissionen. Opgave a) Vinkel C bestemmes. cos(c) = HC AC Man indsætter sine værdier og får C = cos 1 ( ) = Hermed er vinkel C bestemt til C = o Længden AH bestemmes nemt med Pythagoras. AH 2 + HC 2 = AC 2 Værdierne indsættes AH = 29 2 AH 2 = = 165 = Altså er AH = b) Man kan slå BH og HC sammen og så får man BC. Derved kan man anvende cosinusrelationerne for at få AB og endelig kunne bestemme vinkel A. AB = BC 2 + AC 2 2 BC AC cos(c) Så indsættes værdierne. AB = ( ) ( ) 29 cos(26.291) = Endelig bestemmes vinkel A. A = cos 1 ( AC 2 + AB 2 BC 2 ) 2 AC AB Værdierne indsættes. A = cos 1 ( ( ) 2 ) = Så vinkel A blev altså o a) Der opstilles en rå model ud fra oplysningerne, men inden da regnes fremskrivningsfaktoren først. a = 1 + r Hvor r = 40%, altså er a = 1 + ( ) = 1.4 Så er den eksponentielle voksende model y = x b) Så har man en ligning = x Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. x = Så i løbet af år 2009 vil antallet af internetbutikker være Side 27 ud af 43

29 Opgave Excel metode a) På baggrund af oplysningerne er det hermed muligt at skulle konstruere et histogram. Dette kan let gøres i Excel. Middeltallet bestemmes vha. alle observationer divideret med antal observationer. (75 13) + (125 26) + (175 8) + (225 8) + (275) + (325 4) m = = Så middeltallet er altså m = 150 b) Øvre kvartil aflæses til at være ca. 187kr (svær at aflæse). Det betyder, at 75% af frimærker har en pris på 187kr pr. stk. eller mindre. Side 28 ud af 43

30 Opgave Maple metode a) s b) Øvre kvartil aflæses til at være ca. 187kr (svær at aflæse). Det betyder, at 75% af frimærker har en pris på 187kr pr. stk. eller mindre. Side 29 ud af 43

31 Opgave Opgave Modellen over pattedyr er givet ved y = b x a a) Tallene a og b bestemmes. 5.9 = b 70 a 5.9 a 1.5 = b = 3.5a a = log ( ) log(3.5) = Tallet b bestemmes. 5.9 = b b = = Altså er modellen y = x b) Kropsvægten bestemmes. 787 = x = x Så elefantens kropsvægt er kg x = 787 = c) Her regnes den procentvise ændring. Man anvender formlen r y = ((1 + r x ) a 1) 100% Så indsættes værdierne. r y = (( ) ) 100% = % Altså er bengalkattens skeletvægten 55.77% større end siameserkattens skeletvægt. a) Ud fra oplysningerne opstilles en omvendt proportional model. F = k 1 l Her indsættes oplysningerne og man isolerer for k = k k = = Så bestemmes røret, som har en grundtone på 588Hz 588 = 8272 l = 8272 l 588 = Altså skal rørets længde være cm for at man får en frekvens på 588Hz Slut på opgavesættet: december 2007 MAT C Side 30 ud af 43

32 Opgave Opgave Opgave Opgave a) Først bestemmes BC = a. a = c sin(a) Man indsætter sine oplysninger. Her er c = AB. a = 6.4 sin(37) = Så anvendes Pythagoras til den sidste længde. Altså er b 2 = b = = AC = & BC = a) Oplysningerne er givet, man har r = 2.75%, n = 7, K 7 = Så er renteformlen = K 0 (1 + ( )) Ligningen løses for K0 vha. CAS-værktøjet WordMat. K 0 = Så for 8 år siden stod der 7300kr på kontoen. a) På baggrund af oplysningerne opstilles en rå model. y = 2900x Der beskriver faldet af ledige i perioden april 2005 til november 2006 a) En person har taget amfetamin og modellen er givet y = x Som er en eksponentiel aftagende model. Tallet 15 fortæller, at mængden ved første måling er 15mg amfetamin hvorefter det så vil aftage med 16% for hver time = 1 + r r = 0.16 r% = 16 b) Så indsættes x = 2 i modellen. y = = Efter 2 timer vil mængden være mg. Halveringstiden bestemmes. T1 2 = ln (1 2 ) ln(0.84) = Så efter ca. 4 timer, er mængden af amfetamin halveret. Side 31 ud af 43

33 Opgave a) De kumulerede frekvenser bestemmes på baggrund af frekvenserne. Alder Frekvens 19% 22% 31% 18% 8% 2% Kumulerede 19% 41% 72% 90% 98% 100% I Excel kan man indtegne sumkurven. Opgave Nedre kvartil (25%) fortæller, at 32-årige eller yngre, er ejer af en motorcykel. Der er givet en model over en ørred. y = x 3.10 a) Ved indsættelse af 30 i modellen fås vægten. y = = Så fisken vejer gram. b) Så løses en ligning mht. x, man har 500 = x = x x = 500 = Så er længden cm for en ørred med en vægt på 500gram. Fortsættes næste side Side 32 ud af 43

34 Opgave c) Man finder den procentvise ændring i vægten. r y = ((1 + ( )) 1) 100% = % Så hvis længden øges med 15%, så øges vægten med % a) Vinkel A bestemmes i denne geometrifigur. Formlen for det anvendes. Man indsætter tallene. Vinklen er A = o A = tan 1 ( AH BH ) A = tan 1 ( ) = o b) Der tegnes en tegning over den idé, man kunne bruge. Den nye trekant får nye øgenavne. Opgave Så anvendes formlen b = c cos(a) Man indsætter værdierne = c cos(72.801) c = cos(72.801) Så er hypotenusen bestemt. Altså kan man bestemme a, dvs. højden. a = a = Højden er tilnærmelsesvis fod. a) Tallene a og b regnes a = 10 0 = 0.23 b = = 78 Altså er modellen (med tallene a og b) y = 0.23x + 78 b) Så har man en ligning 81.5 = 0.23x = 0.23x x = Så i år =2010 vil middellevetiden være 81.5 år Slut på opgavesættet: maj 2008 MAT C = Side 33 ud af 43

35 Opgave Opgave a) Man får oplyst følgende: n = 7, K 0 = 8700, r = 4.0% Så anvendes renteformlen. K 7 = 8700 (1 + ( )) = Så efter 7 år med en rente på 4.0% vil man have kr. på kontoen. a) A b) b Side 34 ud af 43

36 Opgave WordMat edition a) Vinkel A bestemmes vha. WordMat s trekantsberegner. WordMat's trekantsløser anvendes med input: H = 90, BH = 9,5, AB = 16,2 54,1 A = 35,90335 B = 54,09665 H = 90 16,2 9,5 BH = 9,5 AH = 13,12212 AB = 16,2 35,9 13,1 90 Længden af siden AH findes vha. Pythagoras AH = AB 2 BH 2 = 16,2 2 9,5 2 = 13,12212 Vinkel A findes vha. sinus A = sin 1 ( BH AB ) = sin 1 ( 9,5 16,2 ) = 35,90335 Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180 i en trekant B = 180 H A = ,90335 = 54,09665 SÅ ved den smarte anvendelse, blev vinkel A bestemt til o b) Længden HC bestemmes vha. WordMat s trekantsberegner. WordMat's trekantsløser anvendes med input: H = 90, C = 21, HB = 9,5 69 H = 90 B = 69 C = 21 9,5 26, ,7 BC = 26,50907 HC = 24,74835 HB = 9,5 Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180 i en trekant B = 180 H C = = 69 Længden af siden BC findes vha. sinus BC = HB sin(c) = 9,5 sin(21) = 26,50907 Længden af siden HC findes vha. tangens HC = HB tan(c) = 9,5 tan(21) = 24,74835 Altså er længden AC = HC + AH = 24, = Side 35 ud af 43

37 Opgave Opgave Skulle man ikke kunne vide, at man kunne bruge WordMat, så er det også muligt at regne pr. håndkraft. a) Vinkel A bestemmes. A = sin 1 ( ) = Hermed er vinkel A bestemt til at være o b) Man kan bestemme AC ved at bestemme AH og HC. Her er AH lettest at starte med, da Pythagoras vil være en god idé AH 2 = AH = = Så er længden AH bestemt. Så bestemme HC. Formlen anvendes: tan(c) = BH HC HC = BH tan(c) Så indsætter man sine oplysninger. HC = 9.5 tan(21) = Så længden af AC = HC + AC = a) Der er givet to støttepunkter og tallene a og b regnes. Metode 1) 314 = b 160 a 314 a 30 = b = 160 a 69 Så beregnes b. 314 = b 69 Altså er tallene a og b bestemt til a ln ( ln( ) ln( 69 ) = ln ( ) b = ln (314 a = 30 ) ln ( ) 30 b = ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) 314 ln ( ) a = 30 ) 69 Metode 2) De sidste led i metode 1 er faktisk formlerne for a og b. a = log(y 2) log(y 1 ) log(314) log(30) = log(x 2 ) log(x 1 ) log(160) log(69) b = y 1 x 1 a = (log(314) log(30) log(160) log(69) ) Altså er forskriften y = x Fortsættes næste side ln ( ) Side 36 ud af 43

38 b) Vægten bestemmes ved indsættelse af 130 cm i forskriften. y = = Altså vejer dyret kg. c) Vægten bestemmes efter en periode, hvor bringemålet er steget med 10%. Her er r x % = 10%, så findes r y %. r y % = ((1 + r x ) a 1) 100% Værdierne indsættes. Opgave Regression edition a) A r y % = ((1 + ( )) ) 100% = % Så hvis bringemålet øges med 10%, så stiger vægten med 30.5% b) A c) A Side 37 ud af 43

39 Opgave a) Ud fra de oplysninger man har, er det muligt at aflæse kvartilsættet. Start: = 2 Nedre: = 3 Median: = 4 Øvre: = 6 Top: = 14 Altså er medianen 4 Middeltallet bestemmes for en ugrupperet observation Altså er middeltallet M = 4.60 I Excel tegnes boksplottet over observationerne. Harry Potter HF bekendtgørelse Opgave Det ses, at der i HF-bekendtgørelsen er i højere grad flere ord, som er lange. Det ses, at medianen fra HF-bekendtgørelsen er øvre kvartil for Harry-Potter bøgerne. Altså er 75% eller mindre af ordene i Harry-Potter bøgeren ca. 6 bogstaver lange. I HF-bekendtgørelsen drejer det sig om 50% eller mindre, der har lange ord på 6 bogstaver. - Det giver klart mening, for en bekendtgørelse og skønlitteratur skrives i to forskellige kalibrer. Fælles for dem begge er, at der er or der har 2 og 3 bogstaver, som udgør hhv. start og nedre kvartil for dem begge. a) Tallet a omregnes = 1 + r r = r % = 2.3% Dvs. I år 2000 var der 14 mio. indbyggere og dette forventes med at sige med ca. 2.3% om året. Side 38 ud af 43

40 Opgave Opgave Man får givet en formel for sammenhængen mellem m, d og h i en formel for den danske 10-krone. a) Så er m = k d 2 h Man indsætter sine værdier. 7 = k = k k = = Hermed har man k = som er den ønskede værdi. a) Man har tabellen. Årstal Forbrug 7.3 x 9.4 Indekstal y Man har nogle ligninger. Først for x = x x = x = = Beregning for ligningen y sker på samme måde = y Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat. y = Altså er den nye tabel Årstal Forbrug Indekstal b) Man anvender renteformlen. 9.4 = 7.3 (1 + r) 6 Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat. r = r = Så forkastes den negative værd. Den positive ganges med 100 og man har den gennemsnitlige ændring. r % = = % Slut på opgavesættet: august 2008 MAT C Side 39 ud af 43

41 Opgave Opgave a) Man regner det beløb der står om 6 år. Man har K 0 = 10000, n = 6, r = 2.5% så indsættes det i renteformlen. K n = (1 + ( )) Så efter 6 år står der omtrent kr b) Metode 1) Man har en ligning. 6 = = (1 + ( 2.5 n 100 )) = ( )n 2 = n ln(2) = n ln(1.025) n = ln(2) ln(1.025) = Så efter 28 år vil beløbet være fordoblet. Metode 2) Man anvender fordoblingskonstanten. T 2 = Så efter 28 år vil beløbet være fordoblet. ln(2) ln(1.025) = a) Højden BC = a, så man har formlen. a = b tan(a) Man indsætter tallene. a = 140 tan(42.9) = Så har man højden BC = cm Længden AB = c kan bestemmes. Så er c = a sin(a) c = sin(42.9) = Altså har man længden AB = cm Pythagoras kunne også anvendes = AB 2 AB = Altså vil man få det samme. Fortsættes næste side Side 40 ud af 43

42 Opgave Opgave b) Her bestemmes vinkel E. Man kan se, at højderne BC og DF er ens. Så har man formlen for vinkel E. E = sin 1 ( DF EF ) Så indsættes oplysningerne. E = sin 1 ( ) = Altså er vinkel E = o a) Der opstilles en model ud fra oplysningerne og man har f(x) = 1300x Som beskriver de danskere, der har en årlig indkomst på en million. Dette forventes voksende for hvert år der går. b) Man indsætter 9 på x s plads. f(9) = = Så har man en ligning = 1300 x = 1300x = 1300x = x x = Så i år 2012 vil der være danskere med en indkomst på 1 mio. kr. a) Der er givet en tabel over pædagogstuderende i Danmark. Man antager, at basisåret er År Antal Indekstal 100 p Så løser man en ligning for p = p = p = = p Så er indekstallet i år Side 41 ud af 43

43 Opgave a) Man får oplyst et skema med støttepunkter. Så beregner man en forskrift. x2 x1 a = y 2 y = = b = y 1 a x = = Så er forskrift P(t) = t Hvor P er antal personrejsende og t er tiden, målt i år. b) Så indsætter man t = 6 i modellen. P(6) = = Det ses, at differencen mellem er enorm høj. Den er = ( ) 100% = 11.15% Så den afviger faktisk med 11.15% derfor må modellen efter år 2005 forkastes. Opgave a) Der er givet en funktion over en bestemt bladfjeder. T(x) = 0.28 x 1.5 Man indsætter 0.5 på x. T(0.5) = = Så er svingningstiden ca. T = s b) Da der er tale om en potensfunktion, har man formlen a F y = F x Så har man (1 + r y ) = (1 + ( )) 1 + r y = r y = = % Så svingningstiden vokser med %. Side 42 ud af 43

44 Opgave a) Boksplottene tegnes i Excel og man får Person 2 Person 1 Opgave Opgave Det ses, at person 2 er generelt bedre til at ramme skydeskiven end person 1. Men person 1 kan dog være heldig ramme i enkelte tilfælde, hvor person 2 aldrig rammer det samme sted. Person 1 kommer altså tættest på skydeskiven, da vedkommende er ca. 4 mm. fra. Her er person 2 8mm. fra. a) Man har formlen for lygten. Så indsættes 20 i x. Så har man en ligning. l = x 2 l = = μW/m 2 95 = x 2 95 x 2 = x 2 = x = = Så lysstyrken er 95μW/m 2 når afstanden er cm a) Der opstilles en tabel. Vægt Frekvens 8% 18% 39% 30% 5% Omregnet Så bestemmes middeltallet. ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Så er middeltallet Slut på opgavesættet: december 2008 MAT C 1 M = 91.2 = 91.2 Side 43 ud af 43