NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4

Transkript

1 NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et seriøst forsøg på at besvare alle tre opgaver (forstået på den måde at der skal være svaret på mindst ét delspørgsmål i hver opgave). Besvarelsen afleveres individuelt. Besvarelsen skal udstyres med en standardforside, det kan fås fra kursushjemmesiden. Der må kun skrives på en side på hvert ark. Besvarelsen skal være hæftet sammen i øverste venstre hjørne, og den må ikke ligge inden i et plastic-charteque Afleveringsfristen er mandag 5. november kl Afleveringen skal ske direkte til Ernst Hansen. Opgave 1 Lad F : R R være givet ved ( α 1 exp( x )) 2 for x > 0 F(x) = 0 for x 0 hvor α > 0 er en parameter. Spørgsmål 1.1. Gør rede for at F er en fordelingsfunktion. Lad ν betegne det sandsynlighedsmål på (R, B) der har F som fordelingsfunktion. Spørgsmål 1.2. Gør rede for at ν har tæthed med hensyn til Lebesguemålet m, og find denne tæthed. 1

2 Antag at X er en reel stokastisk variabel med fordeling ν. Spørgsmål 1.3. Find og identificer fordelingen af den transformerede variabel Y = exp( X 2 ). Spørgsmål 1.4. Vis at Y β har første moment for alle β (0, 1). Brug det til at vise at X har momenter af enhver orden. Spørgsmål 1.5. Find E X 2. Det ønskede resultat er en uendelig række, hvori der hverken indgår integraler, Γ-funktioner eller B- funktioner. Vink: det kan være nyttigt at erindre at log(1 y) = k=1 y k k for alle y (0, 1). Et bevis står f.eks. i Tom Lindstrøms bog Kalkulus, og det er der ingen grund til at reproducere. Opgave 2 De to delspørgsmål i denne opgave er ikke relaterede. Spørgsmål 2.1. Lad f, g : R k C være to Borel-målelige og integrable funktioner (med hensyn til Lebesguemålet). Vis at ˆfg og fĝ begge er integrable og at ˆfg dmk = fĝ dm k R k R k Spørgsmål 2.2. Lad f : R k C være Borel-målelig og integrabel. Er den Fouriertransformerede ˆf altid integrabel? Bevis at påstanden er rigtig, eller kom med et modeksempel. Opgave 3 2

3 Når man regner i sfæriske polære koordinater (se eventuelt beskrivelsen på coordinates) udnytter man at transformationen x 1 ρ cosθ sin ϕ x 2 = ρ sin θ sin ϕ, ρ (0, ), θ (0, 2π), ϕ (0, π), x 3 ρ cosϕ afbilder (0, ) (0, 2π) (0, π) bijektivt på R 3 \ {(x, y, z) x 0}. Man kan tænke på den måde at ρ angiver hvor langt væk punktet befinder sig fra origo, og ρ fastlægger derfor en kugleoverflade. De to vinkler θ og φ svarer til henholdsvis længde- og breddegrad på denne kugleoverflade. Denne transformation kan bruges i Theorem i [EH], og man får da en integrationsformel, hvor man udtrykker integraler over R 3 i sfæriske polære koordinater. Resultatet er at f(x 1, x 2, x 3 ) d(x 1, x 2, x 3 ) = R 3 f(ρ cosθ sin ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cosϕ) ρ 2 sin ϕ d(ρ, θ, ϕ) (0, ) (0,2π) (0,π) for enhver M + (R k )-funktion f og for enhver integrabel kompleks funktion f L 1 (R 3 ). At få denne formel frem fra Theorem foregår på fuldstændigt samme måde som man i eksempel får formlen for polær integration i planen fra Theorem For visse funktioner på R 3 bliver integraler uforholdsmæssigt meget nemmere at regne ud, hvis man bruger sfæriske polære koordinater. Det kun du frit udnytte i det følgende. I denne opgave får vi også behov for lidt lineær algebra. Husk at en isomorfi på R k er en afbildning af formen x A x for x R k hvor A er en invertibel k k matrix. Vi bruger som regel samme bogstav til at betegne isomorfien og den underliggende matrix. En isomorfi er en isometri hvis A x = x for x R k. Det kan vises (det ønskes ikke gjort) at en isomorfi er en isometri hvis og kun hvis den underliggende matrix er ortonormal. Hvis e 1,...,e k og f 1,...,f k er to baser for R k findes der som bekendt netop én isomorfi A så A e 1 = f 1, A e 2 = f 2,...,Ae k = f k 3

4 Det kan i det følgende frit benyttes at denne isomorfi er en isometri hvis både e-basen og f-basen er ortonormalbaser. Spørgsmål 3.1. Lad f L 1 (R k ) være en integrabel kompleks funktion på R k. Lad A være en isomorfi på R k. Vis at g = f A 1 er integrabel, og udtryk den Fouriertransformerede ĝ ved hjælp af ˆf og A. (Du får måske brug for at huske på at Ax y = x A t y hvor A t er den transponerede matrix.) Spørgsmål 3.2. Vis at en funktion f : R k C opfylder at f A = f for alle lineære isometrier A hvis og kun hvis x = y f(x) = f(y) for alle x, y R k. (1) Spørgsmål 3.3. Vis at hvis en integrabel funktionen f : R k C opfylder (1) så vil den Fouriertransformerede ˆf også opfylde (1). I de følgende opgaver betragter vi funktionen f 0 : R 3 R givet ved f 0 (x) = 1 e x 4π x for x 0 med konventionen f 0 (0) = 0. Spørgsmål 3.4. Gør rede for at f 0 er målelig og integrabel. Spørgsmål 3.5. Redegør for at ˆf 0 (ξ) = ˆf 0 ( 0, 0, ξ ) for ξ R 3. (Det kan gøres uden lange udregninger!) Spørgsmål 3.6. Vis at ˆf 0 (ξ) = ξ 2 for ξ R 3, f.eks. ved brug af sfæriske polære koordinater. 4

5 Poissons ligning er den partielle differentialligning på R 3, ( ) 2 u u + 2 u + 2 u = v (2) 2 x 1 2 x 2 2 x 2 hvor v er en given funktion. Vi antager at v er en Schwartz funktion, og vi søger Schwartz funktioner u der løser Poissons ligning. Spørgsmål 3.7. Vis at en Schwartz funktion u løser (2) hvis og kun hvis ( 1 + ξ 2 ) û(ξ) = ˆv(ξ) for ξ R 3. Konkluder at Poissons ligning højst har én løsning i rummet af Schwartz funktioner. Spørgsmål 3.8. Vis at (2) faktisk har en løsning u i rummet af Schwartz funktioner. Udtryk denne løsning som en foldning af to integrable funktioner på R 3. Vink: lidt afhængigt af hvordan man løser opgaven, så kan det være nyttigt at vide at der for ethvert multiindex α N 3 0 findes et polynomimum P α så ( α x 2 ) = P α (x) (1 + x 2 ) m for x R 3 (3) hvor m = 2 α. Det er ikke svært at bevise (3) ved induktion, men du behøver ikke at gøre det. 5