Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
|
|
- Lærke Hansen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
2 Indhold 1 Introduktion Om at identificere koefficienterne Løsningsmetode Om formler En advarsel Løsningsmetode Kvadrater At færdiggøre et kvadrat Fremgangsmåde
3 Resumé I dette dokument skal vi se hvordan man løser andengradsligninger. Der gives to forskellige løsningsmetoder. Den sidste er både den sværeste og den mest nyttige at lære. 1 Introduktion Vi starter med en definition af hvad vi vil snakke om: Definition 1 En andengradsligning er en ligning af typen: a x 2 + b x + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0, og x er den ukendte størrelse. De tre tal, a, b og c omtales som koefficienterne i andengradsligningen. Som sædvanligt vil vi udelade gangetegnene, så ligningen kommer til at se sådan ud: ax 2 + bx + c = 0 Eksempel 1 Når f.eks. a = 1, b = 2 og c = 3 har vi ligningen: x 2 + 2x + 3 = 0 Bemærk at når a, b og c er negative, så kan ligningen se lidt anderledes ud. Hvis f.eks. a = 1, b = 2 og c = 4 svarer det til ligningen: x 2 2x 4 = 0 side 1
4 Forudsætninger: Inden du læser dokumentet skal du kunne læse et kompliceret regneudtryk, og du skal vide hvad en ligning er 1. Desuden skal du være rimeligt rutineret i at løse simple ligninger 2 for at forstå den sidste af metoderne. 1.1 Om at identificere koefficienterne Det kan nogle gange være en udfordring at gennemskue hvilke tal der spiller rollen som koefficienterne, a, b og c i en given andengradsligning. Det giver vi lige nogle eksempler på: Eksempel 2 (Fortegn) Det første problem kan være fortegnet af koefficienterne. Bemærk at løsningsmetoden handler om ligninger af typen: ax 2 + bx + c = 0 altså hvor der står plus imellem alle leddene! Det betyder at ligningen: 5x 2 2x 6 = 0 ikke umiddelbart er af den rigtige type. Men hvis man tænker på alle minus-operationerne som et fortegnsskift og et plus 3, kan man skrive ligningen som: ( 5)x 2 + ( 2)x + ( 6) = 0 og nu er det meget nemt at genkende at ligningen som en andengradsligning af den omtalte type, nemlig med koefficienterne: a = 5, b = 2 og c = 6 1 Læs om udtryk og ligninger her 2 Læs om løsning af simple ligninger her side 2
5 Eksempel 3 (Nuller og ettaller) Nogle gange kan tingene blive så nemme at man bliver forvirret. Læg mærke til at hvis en af koefficienterne er lig 1, så behøver man ikke skrive den. Således er ligningen: præcis den samme som: x 2 x + 2 = 0 1x 2 1x + 2 = 0 Hvis man møder ligningen på den første form kan man nogle gange have svært ved at gennemskue at koefficienterne er: a = 1, b = 1 og c = 2 Nogle elever kan endda finde på at tro at a eller b er nul, fordi de slet ikke er der. Derfor er det en god ide selv at gange nogle usynlige et-taller på de led som ikke har en koefficient. Tilsvarende kan det også volde problemer hvis en af koefficienterne er lig nul. (Bemærk at a aldrig må være nul, fordi der slet ikke er tale om en andengradsligning i det tilfælde.) F.eks. er ligningen: 2x 2 = 0 præcis den samme som: 2x 2 + 0x + 0 = 0 Men hvis man skriver de to usynlige nuller bliver det meget lettere at gennemskue hvad de enkelte koefficienter er. side 3
6 Eksempel 4 (Omskrivninger) Et sidste problem er at mange andengradsligninger opstår på en form som slet ikke ligner den rigtige. Betragt f.eks. ligningen: 6x x 5x 2 + 2x = 4 Den er slet ikke på den rigtige form: Der er alt for mange led, og der står ikke nul på højresiden af lighedstegnet. Dette kan dog hurtigt ordnes ved at lave nogle omskrivninger af ligningen: 6x x 5x 2 + 2x = 4 dvs. (Idet vi trækker 4 fra begge sider): 6x x 5x 2 + 2x 4 = 0 dvs. (Idet vi ombytter nogle led): 6x 2 5x 2 x + 2x = 0 dvs. (Idet samler led af samme type): x 2 + 1x + 0 = 0 Og nu er ligningen på den rigtige form. side 4
7 2 Løsningsmetode 1 Den første løsningsmetode kaldes normalt for diskriminantformlen. Det er fordi den benytter en hjælpestørrelse som vi kalder diskriminanten 4. Definition 2 Til en andengradsligning: ax 2 + bx + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0 og x er en ukendt reel størrelse, knytter vi en hjælpestørrelse ved navn diskriminanten. Den er defineret ved: d = b 2 4ac Eksempel 5 Hvis f.eks. a = 3, b = 2 og c = 1, så ser andengradsligningen ud som følgende: 3x 2 2x 1 = 0 og ligningens diskriminant er lig med: d = b 2 4ac = ( 2) ( 1) = 4 ( 12) = 16 Bemærk at man skal passe godt på med fortegnsfejl når man beregner diskriminanter. 4 Ordet diskriminant er i familie med det kendte ord at diskriminere som betyder at forskelsbehandle eller gøre forskel. Og det er netop hvad diskriminanten gør: Den sørger for at vi behandler andengradspolynomiet forskelligt, alt efter om diskriminanten er positiv, negativ eller nul. side 5
8 Sætning 1 En andengradsligningen af formen: ax 2 + bx + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0 og x er en ukendt reel størrelse har enten 2 løsninger, 1 løsning eller slet ingen løsninger. Diskriminanten: d = b 2 4ac afgør antallet af løsninger: Hvis d < 0 er der ingen løsninger. Hvis d = 0 er der 1 løsning. Hvis d > 0 er der 2 løsninger. Eksempel 6 Ligningen fra eksempel 5 har således 2 løsninger. Sætning 2 En andengradsligning af formen: ax 2 + bx + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0 og x er en ukendt reel størrelse har følgende løsninger: Hvis d = b 2 4ac er negativ er der ingen løsninger. Hvis d = b 2 4ac er lig nul er den eneste løsning givet ved: x = b 2a side 6
9 Hvis d = b 2 4ac er positiv er de to løsninger givet ved: x = b ± d 2a Eksempel 7 Vi kan bestemme de to løsninger til ligningen fra eksempel 5: og: x 1 = ( 2) = = 1 x 2 = ( 2) 16 = 2 4 = (Prøv selv at indsætte disse to værdier i ligningen for at se at de er løsninger.) Der er flere måder at skrive konklusionen på. Ovenfor har vi valgt at give de to løsninger hver sit navn hvilket er meget fornuftigt hvis de skal bruges senere. Alternativt kunne man også bare have skrevet de mulige løsninger til ligningen som at: x = 1 x = 1 3 Bemærk at det er lidt sværere at få mellemregningerne til at passe med denne opskrivning. Øvelse 1 Løs følgende andengradsligninger: 3x 2 + 6x + 1 = 0 side 7
10 Find selv på flere... 2x 2 + x + 10 = 0 x 2 + 2x + 1 = 0 x 2 + x + 2 = Om formler En advarsel Nu kan vi løse andengradsligninger. Og hvad så? Det kunne lommeregneren allerede i forvejen, og ved at indtaste ligningen direkte i lommeregneren, slipper man endda for at skulle identificere koefficienterne. Det er en ufatteligt udbredt misforståelse at matematik handler om at finde den rigtige formel og sætte tal ind! Hvis man overførte denne opfattelse til en pilotuddannelse, ville det svare til at de nye piloter lærte udenad i hvilken rækkefølge de skulle trykke på knapper og trække i håndtag for at flyve fra København til Moskva. Uden de nogensinde fik forklaret hvad de enkelte knapper og håndtag gjorde ved flyet. Personligt ville jeg ikke bryde mig om at flyve med en sådan pilot hvis der skulle ske noget uforudset. Eller hvis jeg i virkeligheden ikke skulle til Moskva. Det interessante er selvfølgelig ikke at regne løsningerne ud til en konkret ligning, men derimod at forstå hvorfor løsningerne opfører sig på den måde som de gør, og hvordan løsningsmetoden er opstået, fordi det er dén slags lærdom som senere kan bruges til at forstå andre situationer. For at komme i nærheden af en sådan forståelse er der en anden løsningsmetode, som vi vil gennemgå i næste afsnit. Præcis den samme metode viser sig at kunne genbruges i forbindelse med arbejdet med cirkler i planen. side 8
11 3 Løsningsmetode 2 Den anden løsningsmetode er ikke en formel, men derimod en teknik til at omskrive en andengradsligning til en simpel ligning. Derefter kan den løses ved hjælp af fremgangsmåden for simple ligninger. Hele teknikken bygger på følgende begreb: 3.1 Kvadrater Tricket som vi skal bruge tager udgangspunkt i de to første kvadratsætninger: Sætning 3 (Kvadratsætning 1) For vilkårlige reelle tal, a og b gælder: (a + b) 2 = a 2 + b a b. Sætning 4 (Kvadratsætning 2) For vilkårlige reelle tal, a og b gælder: (a b) 2 = a 2 + b 2 2 a b. Disse to sætninger siger at hvis man nogensinde ser en parentes med to led (enten en sum eller en differens) hvor hele parentesen er opløftet i anden potens, så kan det omskrives til det første led i anden potens plus det andet led i anden potens plus (eller minus) det såkaldte dobbelte produkt af de to led; Altså de to led ganget sammen og ganget med 2. side 9
12 Definition 3 I det følgende vil vi omtale en sådan parentes med to led, hvor hele parentesen er opløftet i anden potens, som et kvadrat 5. og F.eks. kan vi udregne kvadraterne: (1 + 2) 2 = = = 9 (6 4) 2 = = = 4 Indtil videre er kvadratsætningerne bare en ekstra besværlig måde at regne regnestykker ud på. Men det bliver mere interessant når det ene led er en ukendt størrelse. F.eks. er: (x + 3) 2 = x x 3 = x 2 + 6x + 9 Pointen i den metode som hedder at færdiggøre kvadratet 6 er at man kan bruge denne omskrivning baglæns! Det betyder, at hvis man nogensinde møder følgende udtryk: så ved vi at det kan omskrives til: x 2 + 6x + 9 (x + 3) 2 (hvis vi ellers kan huske at have lavet udregningen ovenover). Det samme kan gøres med mange andre udtryk som ofte findes på venstre side af lighedstegnet i en andengradsligning. 6 På engelsk: finishing the square. Det bliver senere klart hvorfor metoden hedder sådan side 10
13 Øvelse 2 Omskriv udtrykket: til et kvadrat. x 2 6x + 9 Desværre er det ikke alle udtryk af typen: ax 2 + bx + c som kan omskrives til et kvadrat. Lad os se hvad der kommer ud af kvadratsætningerne hvis man vælger et tilfældigt tal, t og udregner udtrykket: (x + t) 2 = x 2 + t 2 + 2tx = x 2 + (2t)x + (t 2 ) Hvis dette skal være lig med et udtryk af typen: kan vi altså se at: ax 2 + bx + c 1. Koefficienten a skal være lig med Koefficienten b skal være lig med 2t 3. Koefficienten c skal være lig med t 2 Det første krav er ganske klart. Men de to andre krav hænger sammen: Man skal altså kunne vælge t sådan at begge krav er opfyldt på en gang. Ellers kan omskrivningen ikke lade sig gøre. Eksempel 8 Betragt udtrykket: x 2 9x side 11
14 Eftersom koeffecienten foran x 2 er lig 1, er det første krav i orden. Hvis det andet krav skal opfyldes, er vi nødt til at sætte t til at være halvdelen af 9, altså 9. 2 Nu er det så spørgsmålet om dette passer med det tredie krav. Vi udregner: ( t 2 = 9 ) 2 = Så det passer perfekt! Vi kan altså omskrive vores udtryk til: ( ( x + 2)) 9 2 ( = x 9 ) 2 2 (Kontroller selv at dette passer ved at bruge en kvadratsætning forlæns.) Øvelse 3 Omkriv følgende udtryk til kvadrater: 1. x 2 + 8x x 2 8x x 2 + 7x x 2 x Til gengæld kan ingen af følgende udtryk omskrives til et kvadrat: 3x 2 + 2x + 1 x 2 + 6x + 2 x 2 6x + 2 x 2 + 6x 9 side 12
15 Det første kan allerede udelukkes fordi koefficienten foran x 2 ikke er 1 (den er lig 3). Det næste udtryk kan udelukkes fordi der ikke findes noget tal t som både giver 6 når det ganges med 2 og giver 2 når det opløftes i anden potens. (t skulle jo være lig 3 for at det første skulle passe, og 3 2 giver ikke 2.) Det tredie kan på samme måde udelukkes fordi t her skulle være 3 for at sikre at 2t blev 6, men ( 3) 2 giver ikke 2. Det sidste udtryk kan udelukkes øjeblikkeligt fordi der ikke findes noget tal t der giver 9 når det opløftes i anden potens. 3.2 At færdiggøre et kvadrat Lad os kigge på udtrykket: x 2 + 6x + 2 I sidste afsnit så vi at dette ikke kunne omskrives til et kvadrat, altså et udtryk af typen: (x + t) 2 hvor t er et passende valgt tal. Dette var fordi t både skulle opfylde at 2t = 6 og t 2 = 2, og det kunne ikke lade sig gøre. I stedet findes der et trick som kaldes at færdiggøre kvadratet. Det går ud på følgende: I det omtalte eksempel kunne vi sætte t til at være halvdelen af 6, altså t = 3. Dette ville dog ikke passe med kravet om at t 2 = 2, fordi t 2 giver 9. Tricket er nu at vi lægger 9 til og trækker 9 fra! Vi skriver altså udtrykket som: x 2 + 6x Kan du se hvorfor det er smart? For det første har vi intet ændret på udtrykket: Hvis man lægger 9 til og trækker 9 fra bagefter har man intet gjort. Men for det andet har vi nu de tre første led som passer perfekt med et kvadrat. Derfor kan vi omskrive: x 2 + 6x + 2 = x 2 + 6x = (x + 3) = (x + 3) 2 7 side 13
16 Vi har altså omskrevet det oprindelige udtryk til et kvadrat plus et tal der blev til overs (i dette tilfælde 7). Denne proces kaldes at færdiggøre kvadratet, og det kan lade sig gøre med alle udtryk af typen: ax 2 + bx + x hvis blot a = 1. Eksempel 9 Betragt udtrykket: x 2 5x + 8 Hvis dette skulle omskrives til et kvadrat: (x + t) 2 så ville t = 5 2 umiddelbart passe med at det dobbelte produkt giver: 2tx = 5x Desværre giver t 2 ikke 8, men derimod: t 2 = ( 5 ) 2 = Derfor omskriver vi det oprindelige udtryk til: x 2 5x + 8 = x 2 5x Og nu passer de tre første led perfekt med et kvadrat. Derfor kan vi omskrive til: side 14
17 x 2 5x + 8 = x 2 5x ( ( = x + 5 )) ( = x 5 ) ( = x 5 ) Øvelse 4 Færdiggør kvadratet i følgende udtryk: x 2 + 2x + 19 x 2 + 6x + 2 x 2 6x + 2 x 2 + 6x 9 x 2 + x 3.3 Fremgangsmåde Nu kan vi give en fremgangsmåde som kan bruges til at løse andengradsligninger, uden brug af formler: Sætning 5 Enhver andengradsligning af typen: ax 2 + bx + c = 0 side 15
18 hvor a, b og c er reelle tal, a 0 og x er en ukendt reel størrelse kan løses efter følgende fremgangsmåde: 1: Divider med a på begge sider. 2: Færddiggør kvadratet. 3: Løs en simpel ligning. Husk at tage højde for at der kan være to løsninger. Eksempel 10 Vi vil løse ligningen: 3x 2 + 9x 15 = 0 Vi starter med at dividere med 3 på begge sider. Dermed ser ligningen ud på følgende måde: x 2 + 3x 5 = 0 Herefter sætter vi t til at være 3 2 og udregner: t 2 = 9 4 Dette lægges til og trækkes fra i udtrykket på venstre side: x 2 + 3x = 0 De tre første led er et kvadrat, så vi omskriver: ( x + 3 2) = 0 dvs. ( x + 3 ) = 0 side 16
19 dvs. ( x + 3 ) 2 = dvs. x = 4 x = 4 dvs. x = x = Øvelse 5 Løs ligningerne fra opgave 1 ved anvendelse af løsningsmetode 2. side 17
Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereOmskrivningsgymnastik
Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFlere ligninger med flere ukendte
Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereOmskrivningsgymnastik
Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereBogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul
Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereOrdbog over Symboler
Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs merePolynomier. Frank Villa. 26. marts 2012
Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2
Læs mereLektion 3 Sammensætning af regnearterne
Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereBEVISER TIL KAPITEL 3
BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper
Læs mereformler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs mereFortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P
Fortløbende summer NMCC 2018 Danmark Muldbjergskolen 8.P 1 Indholdsfortegnelse: S. 3 Vores første observationer S. 4 Ulige antal af fortløbende tal S. 6 Lige antal af fortløbende tal S. 8 Udvikling af
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSammensætning af regnearterne
Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division
Læs mereDifferentiation i praksis
Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOm problemløsning i matematik
Om problemløsning i matematik Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs mereMat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger
Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette okument må kun anvenes til unervisning i klasser som aonnerer på MatBog.k. Se yerligere etingelser for rug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereMat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser
Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 5 Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1. Fortegn for parenteser 5. Parenteser - En introduktion med opgaver (og facitliste)- Det plus- eller minus- tegn,
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAlgebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk
matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs mereEmil, Nicklas, Jeppe, Robbin Projekt afkodning
Skal man omskrive noget om til en kompakt tekst, eller til specifikt sprog, så kan matematiken være et meget fornuftigt alternativ. Matematiken er et sprog som mange forstår, eller i hvert fald kan lære
Læs mereGrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul
GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel
Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes
Læs mereMatematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver
Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereExcel-2: Videre med formler
Excel-2: Videre med formler Tips: Du kan bruge Fortryd-knappen ligesom i Word! Du kan markere flere celler, som ikke ligger ved siden af hinanden ved at holde CONTROL-knappen nede Du kan slette indholdet
Læs mereLogaritmiske Transformationer
Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereRegneoperationerne plus og minus er hinandens omvendte regneoperation og at gange og dividere er hinandens omvendte regneoperation.
Ligninger Eksempel 1. Et eksempel på en ligning er 2x 4 = 10 En ligning er et matematisk udtryk hvor der indgår et lighedstegn. I en ligning indgår der et bogstav, en ukendt størrelse/variabel. Dette bogstav
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereBogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45
Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,
Læs mereKæmpestore tal og uendelig
Kæmpestore tal og uendelig Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereEulers equidimensionale differentialligning
Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereGrundlæggende færdigheder
Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mere4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg.
. Hvad er brøker?. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitlist - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. Tallet øverst i brøken kaldes tælleren. Tallet
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs merebrikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk
Læs mereStruktureret læsning i Matematik
Struktureret læsning i Matematik Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER
ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis
Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mereOpgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale
Læs merePeriodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum
Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere