Peter Harremoës Matematik A, delprøve med hjælpemidler. 19 maj x 2. Først findes stationære punkter. f (x) = x 1 /2. 1 x = 0.

Transkript

1

2

3 Opgave 6 Skæringspunktet mellem graferne beregnes. f (x) = g (x) Funktionerne sættes lig hinanden x = x Forskrifterne for f og g indsættes. 9 = 3 x Der er divideret med x på begge sider. x = 2 Den eksponentielle ligning er løst. y = y er beregnet ved at indsætte x = 2i forskriften for f eller g. Skæringspunktet er (x, y) = (2, 28.80). Opgave 7 Funktionen f er givet ved f (x) = x 1 /2 ln (x) 1, x > 0. Da er f (x) = 1 2 x 1 /2 1 x og f (x) = 1 4 x 3 /2 + x 2. Først findes stationære punkter Herefter søger vi vendepunkter ved at løse ligningen f (x) = x 1 /2 1 x = x 1 /2 = 1 x x 1 /2 = 2 x = 4. f (x) = x 3 /2 + x 2 = 0 x 2 = 1 4 x 3 /2 4 = x 1 /2 x = 16. Ved indsættelse af passende værdier under og over x = 16 ses, at f skifter fra positiv til negativ, så f er konveks i ]0; 16] og f er konkav i [16; [. På grund af konveksitet må f skifte fra negativ til positiv i x = 4, så f er aftagende i ]0; 4], og f er voksende i [4; [. Derfor har funktionen mindsteværdi f (4) = 4 1 /2 ln (4) 1 = 2 2 ln (2) 1 = 1 2 ln (2). side 1 af 6

4 Opgave 8 a) Antallet af personer, som har bestilt rejse over telefonen, fremgår af nedenstående tabel. b) Vi opstiller følgende nul-hypotese: H 0 : Brug af mobilen til booking er uafhængig af alder. Da p-værdien er nær nul og dernmed under signifikansniveauet på 5 %, kan vi afvise nul-hypotesen og konkluderer, at der er en sammenhæng mellem alder og brug af mobilen til at bestille rejse. c) Den estimerede andel af unge, som bruger mobilen til rejsebestillinger, er 161 /489 = Det eksakte 95 % konfidensinterval for andelen er beregnet til [0.288;0.373] ved hjælp af nedenstående GeoGebra arbejdsark. d) Sandsynligehden for at højst 25 ud af 100 unge danskere svarer ja, udregnes ud fra en binomialfordeling til at være side 2 af 6

5 Opgave 9 a) Nedenfor ses et histogram over priserne for en stikprøve på 30 vaskemaskiner. b) Middeltallet er 4646 kroner, medianen er 4499 kroner og 25 % fraktilen er 3269 kroner. c) Den rette linje, som passer bedst med data er p (x) = 23.73x d) I en stikprøve på 30 frontbetjente vaskemaskiner viste det sig, at disse i gennemsnit kostede 4646 kroner. Halvdelen kostede under 4499 kroner, og hver fjerde kostede under 3269 kroner. Der var en svag sammenhæng mellem vaskemaskinernes energiforbrug og deres pris således at prisen falder ca. 24 kroner for hver ekstra kwh den bruger om året. Opgave 10 a) Ved hjælp af GeoGebras skæringsværktøj ses, at grafernes skæringspunkter er (0, 0), (4, 4) og (8, 8). side 3 af 6

6 b) Arealet kan udregnes som 4 0 (f (x) g (x)) dx + Arealet er derfor 74 2 / (f (x) h (x)) dx = = ( x 2 + 9x ( x 2 + 5x )) 8 ( dx + x 2 + 9x x ) dx 4x dx = [ 2x 2] [ x3 ( x 2 + 8x ) dx ] x2 4 = ( = 74 2 /3. ) ) ( Opgave 11 a) Da E (x) = 0.015x+2400 og U (x) = 0.025x+700, kan ligevægtsmængden bestemmes ved at løse ligningen U (x) = E (x) 0.025x = 0.015x x = 1700 x = = så ligevægtsmængden er stk., og den tilhørende pris er U (42500) = = , så ligevægtsprisen er kroner. b) Hvis varen pålægges en afgift på T kr. pr. stk., bliver den nye ligevægtsmængde U T (m) = E (m) 0.025m T = 0.015m m = 1700 T m = 1700 T = T. c) Ved en afgift på 500 kr. pr. stk. bliver den nye ligevægtsmængde m = = stk., og skatteprovenuet bliver SP = m T = = d) Skatteprovenuet som funktion af T er givet ved SP = m T = ( T ) T = 25T T. Da skatteprovenuet er en konkav funktion af T, kan det maksimale skatteprovenu beregnes ved at differentiere og sætte lig nul dsp = 50T dt dsp dt = 0 50T = 0 T = = Det største skatteprovenu opnås derfor ved en afgift på 850 kr. pr. stk. Dette er illustreret på figuren, hvor skatteprovenuet er korrekt indtegnet i modsætning til figuren i opgaveformuleringen. side 4 af 6

7 Opgave 12A a) Fremtidsværdien af annuiteten udregnes som A n = y (1 + r)n 1 r = = Gælden er derfor kroner efter sidste udbetaling. b) Ifølge opgaveformuleringen fortsætter renten med at være 0.33 % pr. måned intil tilbagebetalingen påbegyndes. Dette er i modsætning til teksten fra hvor der står, at renten ændrer sig allerede ved afslutningen af uddannelsen. Efter 18 terminer med 0.33 % pr. måned i rente vil gælden vokset være vokset til = kroner. Herefter angives det i opgaveformuleringen, at renten falder til 0.29 % pr. år (hvilket passer dårligt med beskrivelsen på hvor det angives, at renten ændrer sig allerede ved afslutningen af uddannelsen). Hvis vi går ud fra at 0.29 % pr. år er den nominelle rente, så er den månedlige rente /12= (dette passer dog dårligt med beskrivelsen på som giver indtryk af at 0.29 % er den månedlige rente). Hvis vi skal bruge de sædvanlige formler for annuitet til at beregne ydelsen, skal de kroner først tilbageskrives 1 måned med den nye rente, hvilket giver / = Lånet kan så tilbagebetales over 6 år med en månedlig ydelse, som beregnes som y = A 0 = = , r 1 (1 + r) n så den månedlige ydelse bliver kroner pr. måned Opgave 12B a) Produktionstiden er givet ved T (n) = e 0.08n side 5 af 6

8 For at bestemme hvor mange enheder, der skal produceres, for at produktionstiden er under 30 minutter pr. enhed, løses ligningen T (n) = e 0.08n + 25 = 30 e 0.08n = n = ln ( ) = Hvis der produceres 17 eller flere enheder, vil produktionstiden blive under 30 minutter. b) Den afledte er T (n) = ( 0.08) e 0.08n, så T (10) = ( 0.08) e = Det betyder, at produktionstiden bliver ca. 40 sekunder kortere for hver ekstra enhed, der produceres, når der produceres omkring 10 enheder. Opgave 12C a) Dækningsbidraget er givet ved f (x, y) = 40x + 60y. Polygonområdets hjørner er (0, 0), (400, 0), (180, 550) og (0, 700). Dækningsbidragets størrelse i hjørnerne beregnes f (0, 0) = 0 f (400, 0) = f (180, 550) = f (0, 700) = Det optimale er at producere 700 kg MUSCLE-P og helt undlade at producere FIT100. b) Hvis b betegner dækningsbidraget for MUSCLE-P og det stadig skal være optimalt udelukkende at producere MUSCLE-P, så skal der gælde f (0, 700) f (180, 550) b b b b = Dækningsbidraget for MUSCLE-P kan således falde 12 kroner uden at produktionen bør stilles om. side 6 af 6