KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008

Transkript

1 KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må besvares med blyant, men hvad der ikke kan læses, kan ikke bedømmes. Opgavesættet består af 5 opgaver af stigende sværhedsgrad. Hvert underspørgsmål giver 5 points, bortset fra opgave Der kan i alt opnås 00 point i sættet. Opgave (20 point) Vælg et af svarene til hvert af de følgende fem spørgsmål. Et rigtigt svar giver 4 point, et forkert 0 point. Det er tilladt, men ikke påkrævet, at begrunde svaret. (a) Hvilket af disse udtryk er enhed for det elektriske E-felt. Joule/Coulomb 2. Newton/Coulomb 3. Newton/Ampere (b) Den totale bundne ladning i et legeme er altid. mindre end den fri ladning 2. større end den fri ladning 3. nul (c) Når en stikprop til en tændt støvsuger trækkes ud af stikkontakten, ses ofte en gnist. Årsagen skal findes i støvsugerens. kapacitans 2. induktans 3. resistans (d) En positiv ladning anbringes i et hulrum i et jordet ledende legeme. Der er ingen ladninger uden for legemet. Det elektrostatiske felt uden for legemet er. nul 2. rettet bort fra legemets overflade 3. rettet ind mod legemets overflade (e) En ledende cirkulær ring falder ind mod en magnets nordpol. Sammenlignet med et frit fald, vil ringen faldhastigheden blive. langsommere 2. hurtigere 3. uændret Side Opgavesættet fortsætter på næste side

2 Opgave 2 (25 point) En massiv kugle har radius R. Den er fremstillet af et isotropt og homogent materiale, som dog ikke er et standard lineært dielektrikum. På kuglens overflade findes der en konstant fri overfladeladningstæthed σ f. Der er ingen fri rumladninger. Kuglesymmetri kan antages overalt i opgaven. Det elektriske felt inden i kuglen er i sfæriske koordinater bestemt til at være hvor k er en konstant. E = k r(r r) r () (a) Bestem D-feltet overalt i rummet. (b) Bestem polarisationen P. Hvad er kuglens totale dipolmoment? (c) Bestem alle bundne ladningsfordelinger. (d) Verificer eksplicit, at den totale bundne ladning inden i kuglen er nul. (e) Hvad er det elektriske felt uden for kuglen? Opgave 3 (5 point) L L 2 L L L 3 L 2 L 2 L 4 (a) (b) (c) To induktorer (kredsløbselementer) har selv-induktanserne L og L 2, men ingen gensidig induktans. (a) Seriel forbindelse. Vis, at den totale induktans bliver summen af induktanserne, L = L + L 2 (2) Vink: Antag at en tidsvarierende strøm I(t) sendes igennem ovenstående kredsløb og beregn den samlede elektromotoriske kraft. (b) Parallel forbindelse. Vis, at den totale induktans bliver den reciprokke sum Vink: som ovenfor. L = L + L 2 (3) (c) Beregn den totale induktans af de parallelt forbundne induktorer, L og L 2, i serie med de parallelt forbundne induktorer, L 3 og L 4. Side 2 Opgavesættet fortsætter på næste side

3 Opgave 4 (5 point) En uendelig lang ledning er formet som en perfekt cylindrisk spiral med radius R og vindingstæthed n (antal vindinger per længdeenhed langs aksen). Ledningen befinder sig i vakuum og bærer strømmen I. Vindingerne ligger så tæt og er så tynde i forhold til R, at strømmen kan tilnærmes ved en ensartet overfladestrømtæthed K = K φ φ + Kz ẑ på cylinderen. (a) Beregn overfladestrømtæthedens komponenter, K φ og K z. (b) Beregn magnetfeltet inden i cylinderen og udenfor. (c) Beregn det magnetiske vektorpotential inden i cylinderen og udenfor. Vink: A-feltet skal være divergensfrit og kontinuert. Opgave 5 (25 point) z V = 0 b a x V = 0 De ledende elektroder i den berømte Penning trap er udformet som to omdrejningshyperboloider, givet ved ligningerne x 2 + y 2 2z 2 = a 2, x 2 + y 2 2z 2 = 2b 2 (4) hvor a og b er konstanter. I figuren til venstre ses et snit gennem xz-planen, som skal roteres omkring z-aksen for at opnå den tre-dimensionale form, der ses til højre. De to adskilte dele af b-elektroden er begge jordede, så at de har potentiale V = 0 og kan ses som en samlet leder. Den sammenhængende ring-formede a-elektrode gives et positivt potentiale. Cylinder symmetri kan antages overalt og elektroderne kan betragtes som uendelig udstrakte. (a) Vis, at potentialet i rummet mellem elektroderne er (b) Beregn det elektriske felt E i rummet mellem elektroderne. x 2 + y 2 2z 2 + 2b 2 a 2 + 2b 2. (5) (c) Beregn overfladeladningstætheden σ(z) på hver af elektroderne som funktion af z. (d) Arealelementet på a-elektroden kan i cylindriske koordinater skrives da = 6z 2 + a 2 dzdφ. Beregn den totale ladning på a-elektroden i området, c z c. (e) Hvad bliver kapacitansen af dette område? Side 3 Opgavesættet slut Benny Lautrup Niels Bohr Institutet

4 Svar a2 b3 c2 d e Svar 2 (a) På grund af kuglesymmetrien må alle felterne være radiale. Da der ikke er frie ladninger inden i kuglen, følger det af symmetrien og Gauss lov, at 0 (r < R) D = (6) R σ 2 f r r (r > R) 2 (b) Derfor bliver P = ɛ 0 E (r < R) 0 (r > R) (7) Det totale dipolmoment, p = P dτ = 0, på grund af kuglesymmetrien. r R (c) Den bundne rumladning er medens overfladeladningen er (d) Kuglens totale bundne rumladning er ρ b dτ = d(r 2 kr(r r)) ρ b = P = (ɛ 0 E) = ɛ 0 r 2 = kɛ 0 (3R 4r). (8) dr r<r Der er ingen bunden overfladeladning. R (e) E = D/ɛ 0 for r > R, hvor D er givet i (a). 0 σ b = P r r=r = 0 (9) ρ b 4πr 2 dr = R 0 kɛ 0 (3R 4r)4πr 2 dr = 0 (0) Svar 3 (a) Da der går samme strøm gennem de to induktorer, vil den totale inducerede emf simpelthen være summen af bidragene fra hver af induktorerne hvoraf svaret aflæses. di E = E + E 2 = L dt L di 2 dt = (L + L 2 ) di dt (b) I dette tilfælde splittes strømmen i to dele, I = I + I 2. Hver af disse giver en induceret emf E = L di dt, E 2 = L 2 di 2 dt. (2) Da de forbindes til samme endepunkter må strømmene tilpasse sig så, at emf erne er ens, E = E 2 = E, hvilket formelt følger af at 0 = E dl = E E 2. Heraf fås di dt = di dt + di 2 dt = E E ( = E + ), (3) L L 2 L L 2 hvoraf svaret aflæses ()

5 (c) Kombineres de to regler fås L = + + L L 2 + = L 3 L 4 L L 2 L + L 2 + L 3L 4 L 3 + L 4. (4) Svar 4 (a) I en længde L af spolen er der nl vindinger og derfor en samlet azimutal strøm nli, således at strømtætheden bliver K φ = ni. Der løber en samlet strøm I langs aksen, således at strømtætheden bliver K z = I/2πR. (b) Benyttes cylindersymmetrien vil K φ skabe et longitudinalt magnetfelt B z og og K z et azimutalt magnetfelt B φ, µ 0 ni (s < R) 0 (s < R) B z =, B φ = µ 0 0 I (5) 2πs (c) Symmetrien og betingelsen A = 0 forlanger, at A = A φ φ + Az ẑ, hvor A φ og A z kun kan afhænge af s. I cylindriske koordinater har vi hvoraf vi finder 2 µ 0nIs (s < R) A φ = µ 0 nir 2 2s B A = da z ds φ + s d(sa φ ) ẑ (6) ds 0 (s < R) A z = µ 0 I 2π log R s (7) Svar 5 (a) Potentialet opfylder Laplace s ligning og antager de givne konstante værdier på lederne. Ifølge entydighedssætningen er dette potential derfor det rigtige. (b) Det elektriske felt bliver (c) Det elektriske felt er altid vinkelret på en leder, med E = V = a 2 (x, y, 2z) (8) + 2b2 σ = ±ɛ 0 E = ±ɛ 0 a 2 + 2b 2 x2 + y 2 + 4z 2 = ɛ 0 a 2 + 2b 2 med det positive fortegn for lederen med positivt potential. + 6z 2 + a 2 (9) 6z 2 2b 2 (d) Der er ikke spurgt om arealelementet, men her er beregningen. Vi har da = sdφ ds 2 + dz 2, hvor s 2 = x 2 + y 2 = a 2 +2z 2 på a-elektroden. Heraf følger sds = 2zdz, så at da = dφ s 2 ds 2 + s 2 dz 2 = dφ 4z 2 + s 2 dz = 6z2 + a 2 dzdφ. Totalladningen på a-elektroden bliver Q = σ(z) da = (e) Kapacitansen bliver z c c c ɛ 0 a 2 + 2b 2 2π(6z2 + a 2 ) dz = 8πɛ 0 V 0 c a2 + 2c 2 a 2 + 2b 2 (20) C = Q V 0 = 8πɛ 0 c a2 + 2c 2 a 2 + 2b 2 (2)