Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet!

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 2. juni 2008 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 13 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Opgave I.1 I.2 I.3 I.4 I.5 II.1 II.2 II.3 II.4 III.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave III.2 IV.1 V.1 V.2 VI.1 VII.1 VII.2 VIII.1 VIII.2 IX.1 Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave IX.2 X.1 X.2 X.3 X.4 XI.1 XI.2 XII.1 XII.2 XIII.1 Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at forsyne opgavesættet med dit nummer. Sættets sidste side er nr 19; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I I et indledende studie ønskede man at bedømme, hvor meget føde nogle laboratorierotter kunne forventes at indtage under nogle givne forsøgsbetingelser. For 10 dyr målte man følgende indtag, x i, pr dag (g): Det oplyses at 10 i=1 x i = og 10 i=1 (x i 20.67) 2 = Man antager, at data tilnærmelsesvist kan beskrives ved en normalfordeling: N(µ,σ 2 ). Spørgsmål I.1 (1): Et 95% konfidensinterval for middelværdien µ fås som: ± / ± / ± / ± / ± /9 Spørgsmål I.2 (2): Et 95% konfidensinterval for variansen σ 2 fås som: ± / < σ 2 < < σ 2 < ± / < σ2 < Fortsæt på side 3 2

3 Spørgsmål I.3 (3): Medianen og den øvre kvartil for de 10 målinger er: (brug her bogens definition og ikke Splus, der har en anden definition) 1 Median= 20.9 og øvre kvartil= Median= og øvre kvartil= Median= 20.5 og øvre kvartil= Median= 19.8 og øvre kvartil= ( )/2 5 Median= 20.9 og øvre kvartil= ( )/2 Spørgsmål I.4 (4): Man ønsker at teste hypotesen: medianen for fødeindtaget er 20 g, men uden at bruge antagelsen om at data er normalfordelt. Resultatet kan bedst opsummeres som: 1 Hypotesen forkastes idet P-værdien er Hypotesen forkastes idet data er normalfordelt 3 Hypotesen accepteres idet P-værdien er P(Y 10), med Y binomialfordelt med p = 0.4 og n = 10 4 Hypotesen accepteres idet P-værdien er Hypotesen accepteres idet P-værdien er P(Y < 4), med Y binomialfordelt med p = 0.5 og n = 10 Spørgsmål I.5 (5): I en ny undersøgelse vil man gerne kende det gennemsnitlige indtag µ ret præcist. Man ønsker et 98% konfidensinterval for µ på omtrent plus/minus 1.5 gram. Hvor mange rotter skal man undersøge for at opnå denne præcision, hvis det antages at spredningen σ er lig med 5, og data antages normalfordelt? 1 Omtrent 74 rotter 2 Omtrent 10 rotter 3 Omtrent 43 rotter 4 Omtrent 60 rotter 5 Omtrent 50 rotter Fortsæt på side 4 3

4 Opgave II Indtagelse af amphetamin bevirker (blandt andet) appetitnedsættelse. I et studie af denne effekt inddeltes 12 rotter (ved tilfældig allokering) i tre grupper á 4 rotter og disse behandledes med amphetamin ved dosisniveau 3.0 mg/kg, 6.0 mg/kg eller med placebo (saltvandsopløsning). Derefter måltes over en periode på 3 timer, hvor meget føde (g/kg legemsvægt) de enkelte dyr indtog. De indtagne fødemængder, y i, er vist i nedenstående tabel: x = dosis (mg/kg) Organiseres data i par (x i,y i ) findes disse 12 par som (0.0,103.5), (0.0,107.3), (0.0,97.5),..., (6.0,55.1). Følgende beregninger foreligger (idet alle summer er fra 1 til 12): y = i y i/12 = 939.2/12 = x = i x i/12 = 36.00/12 = 3.0 i (y i y) 2 = i(x i x) 2 = i (y i y)(x i x) = Man ønsker at estimere en model af formen y i = α+β x i +ɛ i, hvor ɛ i er en tilfældig afvigelse med middelværdi 0 (nul) og varians σ 2. Spørgsmål II.1 (6): Ved den sædvanlige estimeringsmetode finder man: (a er estimat for α og b er estimat for β) 1 a = og b = a = og b = 78.27/3.0 3 a = og b = /11 4 a = og b = 577.8/12 5 a = og b = 3.0 Fortsæt på side 5 4

5 Spørgsmål II.2 (7): Man er også interesseret i at estimere σ 2. Det sædvanlige estimat for σ 2 er: 1 σ 2 = /11 2 σ 2 = [72 (577.8) 2 / ]/10 = σ 2 = [ (577.8) 2 /72]/12 = σ 2 = [ (577.8) 2 /72]/10 = σ 2 = [72 (577.8) 2 / ]/12 = Spørgsmål II.3 (8): Man ønsker at estimere den forventede fødeindtagelse for populationen af rotter med en amphetamindtagelse på 5.0 mg/kg. Stikprøvespredningen (usikkerheden) for dette estimat er: 1 σ/ 2(1 + 1/10) 2 σ/ 12(1 + 4/72) 3 σ (1 + 1/12 + 4/72) 4 σ/ 12 5 σ (1/12 + 4/72) Spørgsmål II.4 (9): Hvilken af følgende antagelser er ikke en af de sædvanlige antagelser, der ligger til grund for en lineær regressionsananlyse: 1 Afvigelserne fra linien er normalfordelt 2 Spredningen for ɛ i afhænger ikke af x 3 Der er en lineær relation mellem de forventede værdier af y og x 4 Observationerne er uafhængige 5 Forklaringsgraden er stor Fortsæt på side 6 5

6 Opgave III I en undersøgelse af nogle tabletter er fundet følgende indhold, x i, af den aktive ingrediens (mg): Man antager, at data tilnærmelsesvist kan beskrives ved en normalfordeling: N(µ,σ 2 ). Følgende Splus kommandoer: x=c(201,191,198,192,199,193,197,193,204) t.test(x) t.test(x,mu=200) t.test(x,mu=200,conf.level=0.99) gav outputtet: One Sample t-test data: x t = , df = 8, p-value = 1.236e-14 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x One Sample t-test data: x t = , df = 8, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of x One Sample t-test data: x t = , df = 8, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of x Fortsæt på side 7 6

7 Spørgsmål III.1 (10): Fabrikanten påstår, at middelindholdet, µ, i tabletterne er 200 mg. Hypotesen testes på niveau α = 5% mod et tosidet alternativ. Hvilket udsagn udtrykker mest korrekt resultatet? 1 Hypotesen accepteres, idet P-værdien er mindre end 5% 2 Hypotesen accepteres, idet 200 er inkluderet i 99% konfidensintervallet for µ 3 Hypotesen accepteres, idet 200 ikke er inkluderet i 95% konfidensintervallet for µ 4 Hypotesen forkastes, idet P-værdien er som er mindre end 5% 5 Hypotesen forkastes, idet P-værdien er næsten 0. Spørgsmål III.2 (11): Benyt estimaterne for µ og σ til at skønne den andel, af tabletterne, som har et indhold på 200 mg eller mere. (Splus-kaldet der kan svare på spørgsmålet er angivet i parantes) (1-pnorm(mean(x),mean(x),sqrt(var(x)))) (1-pnorm(200,mean(x),sqrt(var(x)))) (pnorm(200)) (pnorm(mean(x),var(x),200)) (1-pnorm(200,mean(x),1.96)) Fortsæt på side 8 7

8 Opgave IV I mange statistiske undersøgelser bygger man analysen på anvendelse af normalfordelingen til (eventuelt tilnærmelsesvist) at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål IV.1 (12): For hvilken af følgende 5 stokastiske variable egner normalfordelingen sig ikke til beskrivelse af den tilfældige variation: 1 X 1 = faktisk resultat af en diametermåling af et laserhul i en aluminiumsplade 2 X 4 = antal forsøgsdyr blandt 8, som reagerer positivt på en behandling 3 X 2 = indhold (mg) af acetylsalisylsyre i én aspirintablet 4 X 3 = gennemsnitlig koncentration af det aktive hormon i 28 p-piller 5 X 5 = hovedomkredsen hos en voksen normalt udviklet mand Fortsæt på side 9 8

9 Opgave V I en undersøgelse af en laserkanons evne til at skyde huller i aluminiumsplader måltes huldiameteren i 10 plader af to forskellige tykkelser. Man fik følgende data: Huldiameter(µm) Tynde plader Tykke plader n = 5 n = 5 x = x = s 2 = s 2 = Spørgsmål V.1 (13): Inden man vurderer, om der er systematisk forskel på huldiameteren i tykke og tynde plader, vil man undersøge, om den tilfældige variation er den samme for de to typer plader. Hvilket test benytter man sædvanligvis? 1 Et parret t-test med 4 frihedsgrader 2 Et tosidet test i binomialfordelingen for p = 1/2 med n = 5 3 Et tosidet F-test med (4,4) frihedsgrader 4 En ensidet variansanalyse med et F-test med (1,8) frihedsgrader 5 Et χ 2 -test med 8 frihedsgrader Spørgsmål V.2 (14): Det mest passende sædvanlige test for om der er forskel på middelhuldiameter for de to typer plader er givet ved følgende teststørrelse: / / ( ) 3 ( )/ / / / 3.885/5 Fortsæt på side 10 9

10 Opgave VI I et studie, hvor formålet var at sammenligne to smertestillende midler, angav deltagerne, hvor meget nedsættelse af smerte, de opnåede med de to midler, som vist i nedenstående tabel. 40 personer modtog middel A og 35 andre personer modtog middel B (uden at vide, hvilket middel, de faktisk fik). Smertened- Behandling sættelse Middel A Middel B Ingen Middel Komplet 9 7 Spørgsmål VI.1 (15): Ved det sædvanlige test af, om de to midler virker ens mht. smertenedsættelse benyttes et af følgende tests. Hvilket? 1 Et almindeligt (ikke parret) t-test med 4 frihedsgrader 2 Et χ 2 -test med (3 1)(2 1) = 2 frihedsgrader 3 Et test i binomialfordelingen for p = 1/2 med n = 35 4 En tosidet variansanalyse med et F-test med (1,4) frihedsgrader 5 Et parret t-test med 2 frihedsgrader Fortsæt på side 11 10

11 Opgave VII I en undersøgelse af trykfaldet for forskellige typer reguleringsventiler til anvendelse i et laboratorieapparatur har man for 5 ventiler af hver af typerne A, B og C fundet følgende trykfald (mbar) ved et bestemt flow: Type A Type B Type C Man kørte Spluskoden anova(lm(trykfald~type)) og fik resultatet: Analysis of Variance Table Response: trykfald Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) type Residuals Spørgsmål VII.1 (16): Hvad er det sædvanlige fælles estimat for spredningen af trykfaldene inden for den enkelte type? = = = = /2 = Fortsæt på side 12 11

12 Spørgsmål VII.2 (17): Konklusionen omkring hvorvidt trykfaldene for de tre typer ventiler kan påvises forskellige (ved det pågældende flow) er: 1 Ja de kan påvises forskellige, idet P-værdien er større end 5% 2 Nej de kan ikke påvises forskellige, idet P-værdien er større end 5% 3 Ja de kan påvises forskellige, idet F-værdien er klart større end 1 4 Nej de kan ikke påvises forskellige, idet varianserne er meget små 5 Ja de kan påvises forskellige, idet < 0.05 Opgave VIII I en undersøgelse af en ny laserkanons evne til at skyde huller i aluminiumsplader måltes huldiameteren i 25 plader. En gammel laserkanon lavede huller af middelstørrelse 45 µm. For de 25 nye målinger blev resultatet et gennemsnit på x = 43µm og en spredning(standardafvigelse) på s = 5µm. Man ønsker nu en bedømmelse af, om dette resultat er usædvanligt. Spørgsmål VIII.1 (18): Forudsat, at de 25 målinger er normalfordelt, hvor stor kan man da vurdere sandsynligheden for at finde en så lav gennemsnitlig huldiameter som 43.0 µm eller endnu lavere til at være: 1 P {X 43.0} P {X 43.0} P {X 43.0} P {X 43.0} P {X 43.0} Fortsæt på side 13 12

13 Spørgsmål VIII.2 (19): Den gamle laserkanon gav en spredning i huldiametere på 9 µm. Er den nye kanon signifikant (med α = 5%) bedre end den gamle? (Altså: har den en signifikant lavere spredning?)(både svar og argument skal være i orden) 1 Ja, idet 24 25/81 = 7.41 < χ = Nej, idet 9/5 = 1.8 < z = Ja, idet 9/5 = 1.8 > z 0.05 = Nej, idet konfidensintervallet for variansen ikke indeholder Nej, idet 81/25 = 3.24 > F 0.95 (25,25) = 1.96 Opgave IX På en virksomhed vil man undersøge, om valg af laborant og/eller termometer har indflydelse på måleresultatet ved måling af hydroquinons smeltepunkt. Man har undersøgt 4 termometre og 3 laboranter således, at hver laborant prøvede alle 4 termometre. Man fik følgende aflæsninger samt beregninger: Laborant Termometer I II III IV Variations- SS (Kvadratkilde afvigelsessum) Termometre Laboranter 4.61 Restvariation 3.66 I alt Spørgsmål IX.1 (20): Den sædvanlige teststørrelse (her kaldet V ) for, om der er systematisk forskel mellem termometrenes visninger er: 1 V = (13.83/2)/(22.10/11) 2 V = (13.83/2)/(3.66/6) 3 V = (13.83/3)/(( )/5) 4 V = (13.83/3)/(3.66/6) 5 V = (13.83/3)/(( )/8) Fortsæt på side 14 13

14 Spørgsmål IX.2 (21): Hvis forsøget havde været udført med 12 laboranter i stedet for (4 til hvert termometer), men altså med de samme 12 observationer, hvad ville så den sædvanlige teststørrelse for, om der er systematisk forskel mellem termometrenes visninger være:(her kaldet V ) 1 V = (13.83/4)/(( )/8) 2 V = (13.83/3)/(3.66/8) 3 V = (13.83/4)/(4.61/5) 4 V = (13.83/3)/(22.10/11) 5 V = (13.83/3)/(( )/8) Opgave X Ved en bestemt produktion af fladskærms TV-apparater har erfaringen vist, at hver 20. apparat er behæftet med fejl. Spørgsmål X.1 (22): Ud af en produktion på 20 TV-apparater, hvad er sandsynligheden for, at der højst er et TV med fejl? Fortsæt på side 15 14

15 Spørgsmål X.2 (23): For en ny produktion ser man, at ud af en større kontrolstikprøve på 200 apparater er 20 behæftet med fejl. Et approksimativt 95%-konfidensinterval for fejlandelen, p, for den nye produktion og konklusionen derudfra bliver: 1 [0.058,0.142], dvs.: p konkluderes at være anderledes end hidtil 2 [0.050,0.100], dvs.: p konkluderes ikke at være anderledes end hidtil 3 [0.020,0.080], dvs.: p konkluderes ikke at være anderledes end hidtil 4 [0.010,0.090], dvs.: p konkluderes ikke at være anderledes end hidtil 5 [0.058,0.142], dvs.: p konkluderes ikke at være anderledes end hidtil Spørgsmål X.3 (24): Man vil gerne kende fejlandelen af en kommende produktion med en nøjagtighed svarende til, at et 95%-konfidensinterval udgør plus/minus 1%-point af den estimerede andel. Man forventer, at fejlandelen vil ligge på omkring 5%. Hvor mange apparater skal man udtage til sin stikprøve for at opnå den ønskede præcision? 1 Omtrent (2.576/0.01) 2 = Omtrent ( /0.01) 2 = 96 3 Omtrent ( /0.01) 2 = 68 4 Omtrent (1.96/0.01) 2 = Omtrent 1/4 (1.96/0.01) 2 = 9604 Fortsæt på side 16 15

16 Spørgsmål X.4 (25): I en sammenligning af to produktioner fik man følgende antal fejlbehæftede apparater i stikprøver fra de to produktioner: Antal med fejl Total antal Produktion A Produktion B Et hypotesetest for om der er forskel i fejlandelene kan udføres ved anvendelse af følgende teststørrelse og tilhørende kritisk værdi: 1 ( ) ( ) = , χ (1) = ( ) ( ) ( ) ( ) = , χ (3) = ( ) ( ) ( ) ( ) = , χ (1) = ( ) ( ) = , χ (2) = ( ) ( ) ( ) ( ) = , χ (4) = Opgave XI Man har en produktion af fordøjelige kapsler til medicin på væskeform. Kapslerne har en bestemt tilstræbt dosering, der er 1.00 ml. Man regner med, at det faktiske indhold i en kapsel (med god tilnærmelse) er normalfordelt med en middelværdi på µ = 1.00 ml og en varians på σ 2 = ml 2. Spørgsmål XI.1 (26): Hvor stor er sandsynligheden, p, for, at en kapsel faktisk har et indhold, som ligger mellem 0.95 og 1.05 ml (dvs det tilstræbte ± højst 5%)? Vælg det nærmeste blandt følgende forslag: 1 p = ca p = ca p = ca p = ca p = ca 0.50 Fortsæt på side 17 16

17 Spørgsmål XI.2 (27): Normal behandling med den pågældende medicin består i indtagelse af 3 kapsler 3 gange dagligt. For døgndosis D gælder, at den igen vil være en stokastisk variabel, og at D har middelværdi og varians hhv: 1 µ D = 9.00 og σd 2 = µ D = 9.00 og σd 2 = µ D = 9.00 og σd 2 = µ D = 9.00 og σd 2 = /6 5 µ D = 9.00 og σd 2 = Opgave XII Stoffet m-chlorophenylpiperazin (mcpp) menes at påvirke appetit og fødeindtag hos mennesker. I et studie af effekten blev 9 let overvægtige mænd givet mcpp i en periode og i en anden periode blev de givet Placebo (virkningsløst stof) i begge tilfælde i forbindelse med én og samme bestemte kostplan. I følgende tabel ses vægttabene (kg): (negative vægttab betyder således vægtstigning) Person Behandling nr Placebo (x1) mcpp (x2) Sum Varians Det oplyses derudover at 9 i=1 (x2 i x1 i 1) 2 /8 = Fortsæt på side 18 17

18 Spørgsmål XII.1 (28): Hvad er det bedste svar på spørgsmålet: Kan der påvises nogen vægtændring som konsekvens af placebo-behandlingen? 1 Nej, for ( 0.8/9)/(0.8781/3) = 0.30 er numerisk mindre end t (8) = Ja, for (0.8/9)/(0.8781/3) = 0.30 er mindre end t 0.05 (8) = Nej, for / = 1.42 er mindre end z = Ja, for / = 2.98 er mindre end χ = Nej, for / = 2.98 er mindre end χ = Spørgsmål XII.2 (29): Kan der hos forsøgspersonerne påvises noget vægttab som konsekvens af mcpp-behandlingen sammenlignet med vægttabet ved placebobehandlingen? 1 Ja, for 1/ ( )/3 = er mindre end t (8) = Nej, for 0.1/(0.7194/3) = er mindre end t (8) = Ja, for 1/(0.7194/3) = 4.17 er større end t 0.05 (8) = Nej, for et gennemsnitlig vægttab på 8.2/9kg er mindre end 1 kg 5 Ja, for / = 2.98 er mindre end χ = Fortsæt på side 19 18

19 Opgave XIII I en undersøgelse af blodtyper hos afro-amerikanere har man i et udsnit af en større undersøgelse fundet følgende data for 165 hhv. 245 personer fra Iowa og Florida: Blod- Stat type Iowa Florida A B AB 8 12 O Totalt Spørgsmål XIII.1 (30): Hvilken af følgende metoder er bedst egnet til at analysere om blodtypefordelingerne er de samme i de to stater? 1 Tosidig variansanalyse 2 Ensidig variansanalyse 3 Uafhængig t-test 4 Rang sum test 5 χ 2 -test for en antalstabel Slut på opgavesættet. GOD SOMMER! 19