Matematik og samfundsfag Gini-koefficienten
|
|
- Ivar Lindholm
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Erik Vestergaard Matematik og samfundsfag Gini-koefficienten Den såkaldte Gini-koefficient, introduceret i 92 i en artikel af den italienske statistiker, demograf og sociolog Corrado Gini, er et mål for indkomstuligheden i et samfund. For at beregne gini-koefficienten, skal man først have fat i den såkaldte Lorenz-kurve, opkaldt efter den amerikanske økonom Max Otto Lorenz. Man inddeler befolkningen i ti grupper med lige mange personer i hver. Disse kaldes decilgrupper. Den første gruppe indeholder de 0% af befolkningen, som har den laveste indkomst. Den anden decilgruppe indeholder de 0% af befolkningen, som har de laveste indkomster bortset fra decilgruppe. Tredje decilgruppe indeholder de 0% af befolkningen, som har den laveste indkomst, bortset fra decilgruppe og 2, etc. indtil decilgruppe 0, som indeholder de 0% af befolkningen, som har den højeste indkomst. Som population kan man for eksempel bruge hele befolkningen i et land, befolkningen i en kommune og lignende. Man kan i princippet også undersøge personerne i en organisation, med henblik på at undersøge uligheden i indkomst heri. Vi skal i det kommende gennemregne et eksempel for at forstå processen med at fremstille en Lorenz-kurve og beregne gini-koefficienten. Det skal også lige nævnes, at man kan diskutere, hvad der skal medregnes i indkomsten. Et godt bud er den såkaldte disponible indkomst, hvor forskellige skatter er fraregnet. Se linket [] sidst i dokumentet for en definition heraf. Eksempel Lad os kigge på gruppen af ansatte i en stor virksomhed. De ansatte inddeles i decilgrupper efter, hvor stor deres disponible indkomst er. Decilgruppe Samlede indkomster i mio. kr. Kumulerede samlede indkomster i mio. kr. Kumulerede brøkdele af den totale indkomst ,025 0, ,75 0,250 0,350 0,475 0,625 0,800,000 De ansatte i. decilgruppe har en sammenlagt disponibel indkomst på 5 mio. kr. De ansatte i 2. decilgruppe har en sammenlagt disponibel indkomst på 7 mio. kr., etc. De er nedskrevet i anden række. I 3. række er de kumulerede disponible indkomster udregnet. Således fås værdien ud for for eksempel decilgruppe 4 ved at lægge de samlede disponible indkomster for decilgrupperne, 2, 3 og 4 sammen: , regnet i mio. kr. Denne værdi kunne naturligvis være regnet lettere ud ved at tage den forrige kumulerede værdi fra decilgruppe 3 og lægge sammen med den samlede indkomst i decilgruppe 3 alene:
2 2 Erik Vestergaard I den sidste række i tabellen er udregnet de kumulerede brøkdele af den totale indkomst. For det første er den totale indkomst her 200 mio. kr. Den kan fås ved at lægge alle tallene i række 2 sammen eller alternativt aflæse den sidste værdi i række 3 med de kumulerede indkomster. Den kumulerede brøkdel af den totale indkomst i for eksempel decilgruppe 4 fås ved at tage den kumulerede indkomst i denne decilgruppe og dividere med den totale indkomst: ,75. Tilsvarende i de øvrige decilgrupper. Vi er nu klar til at tegne Lorenz-kurven. Vi laver et koordinatsystem med brøkdele af befolkningen (her ansatte) på. aksen og brøkdelen af den samlede indkomst på 2. aksen. På. aksen er det fornuftigt at afsætte tallene 0; 0,, 0,2; ; 0,9;,0 fordi vi har grupperet de ansatte i grupper af 0% (decilgrupper), og 0% er jo det samme som 0,. 2. aksen går ligeledes fra 0 til, og her kan man også passende inddele i skridt på 0,. For det første afsættes nu punkterne (0,0) og (,) i koordinatsystemet. Dernæst afsætter vi over 0, på. aksen den kumulerede brøkdel af den totale indkomst, der står under decilgruppe. Det er her 0,05. Vi har altså punktet (0,;0,025). På tilsvarende vis afsættes punkterne (0,2;0,060), (0,3;0,0),, (0,9;0,800). Punktet (0,4;0,75) fortæller i øvrigt, at de 40% af de ansatte, der har den laveste indkomst, tilsammen har en indkomst, som udgør 7,5% af den totale indkomst i virksomheden. Vi forbinder nabopunkterne med rette linjestykker. Bag dette valg ligger faktisk den antagelse, at alle personer i en decilgruppe har den samme indkomst (overvej!). Lorenz-kurve for indkomstfordeling i virksomhed 0,9 Brøkdel af totale indkomst 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Brøkdel af alle ansatte Området i diagrammet begrænset af diagonalen fra (0,0) til (,) og Lorenz-kurven er markeret med grønt på figuren på næste side. Det tal, man får ved at dividere arealet af området med /2 ( arealet af trekanten under diagonalen) og derefter gange resultatet med 00, kaldes gini-koefficienten. Vi skal snart indse, at jo større gini-koefficienten er, jo større ulighed er der i befolkningens indkomst.
3 Erik Vestergaard 3 Lorenz-kurve for indkomstfordeling i virksomhed 0,9 Brøkdel af totale indkomst 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Brøkdel af alle ansatte En fornuftig måde at udregne arealet af det grønne område på er ved at tage arealet af hele trekanten under diagonalen (det er /2) og fratrække arealet af det polygonale område under Lorenz-kurven. Sidstnævnte består at 0 trapezer. Arealet af trapezet mellem 0,3 og 0,4 på.aksen fås således ved at tage gennemsnittet af y-værdierne i 0,3 og 0,4, dvs. gennemsnittet af 0,0 og 0,75 og gange resultatet med bredden af trapezet, som er 0,4 0,3 0,. Det giver arealet (0,0 0,75) 2 0, 0,0425. Lorenz-kurve for indkomstfordeling i virksomhed 0,9 Brøkdel af totale indkomst 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Brøkdel af alle ansatte
4 4 Erik Vestergaard Her får vi følgende udregninger: Areal under Lorenz-kurve 0 0,025 0,025 0,060 0,060 0,0 0,0 0,75 0,0 0,0 0,0 0, ,75 0,250 0,250 0,350 0,350 0,475 0,0 0,0 0, ,475 0,625 0,625 0,800 0,800 0,0 0,0 0,0 0, Arealet af det grønne område fås nu ved at trække tallet fra /2: 0,337 0,63. Vi får 2 herefter gini-koefficienten ved at dividere med arealet af trekanten under diagonalen, som er 0,5, og derefter gange med 00: 0,63 0,500 32,6. Dette tal er altså et mål for uligheden i virksomheden. Jo større gini-koefficienten er, jo større ulighed er der i virksomheden, hvad angår indkomsten. () Areal af grønne område Gini-koefficient 00 2 I appendikset sidst i dette dokument kan du se en beskrivelse af, hvordan du kan udregne tallene i tabellen, tegne Lorenz-kurven og udregne gini-koefficienten mere automatisk. Opgave (Egenskaber) For at få større indsigt i Lorenz-kurvens og gini-koefficientens egenskaber, kan du forsøge at besvare spørgsmålene nedenfor. a) Hvorfor er det klart, at Lorenz-kurven altid må være voksende? b) Hvorfor vil Lorenz-kurven altid ligge på eller under diagonalen? c) Hvorfor kan linjestykkerne på Lorenz-kurven aldrig aftage i hældning, når man bevæger sig mod højre på kurven? d) Hvad kan man sige om fordelingen af indkomster, hvis Lorenz-kurven er sammenfaldende med diagonalen, og hvilken værdi for gini-koefficienten vil man få i dette tilfælde? e) Hvordan vil Lorenz-kurven se ud for en befolkning, hvor der er maksimal ulighed, og hvor stor vil gini-koefficienten være i det tilfælde? f) (Svær) Som nævnt forbindes punkterne i Lorenz-kurven med rette linjestykker. Forklar hvorfor det normalt vil være mere rimeligt at lave en blød kurve igennem punkterne, hvor hældningen hele tiden vokser? g) (Svær) Hvis du har et CAS-værktøj til rådighed, kan du fodre værktøjet med de punkter på Lorenz-kurven og lave et fit med et polynomium. Benyt det til at udregne en anden værdi for gini-koefficienten baseret på den nye Lorenz-kurve.
5 Erik Vestergaard 5 Opgave 2 I en virksomhed fordeler de samlede indkomster i decilgrupperne sig som det fremgår af tabellen nedenfor. Decilgruppe Samlede indkomster i mio. kr Kumulerede samlede indkomster i mio. kr. Kumulerede brøkdele af den totale indkomst a) Udfyld de tomme felter i tabellen efter principperne givet i eksempel. b) Tegn Lorenz-kurven i koordinatsystemet nedenfor. c) Bestem gini-koefficienten for medarbejdernes indkomstfordeling i virksomheden. Lorenz-kurve for indkomstfordeling i virksomhed Brøkdel af totale indkomst Brøkdel af alle ansatte
6 6 Erik Vestergaard Opgave 3* (Den gennemsnitlige indkomst kan også bruges ) I eksempel var den samlede indkomst for personerne i hver decilgruppe til rådighed. Undertiden har man kun opgivet den gennemsnitlige indkomst for personerne i hver decilgruppe. Det er for eksempel tilfældet forskellige steder i databanken hos Danmarks Statistik. Påvis ved matematiske argumenter, at man lige så godt kan bruge den gennemsnitlige indkomst i hver decilgruppe til at beregne de kumulerede brøkdele af den totale indkomst som skal bruges for at tegne Lorenz-kurven og beregne gini-koefficienten. Hjælp: Betegn eventuelt de samlede indkomster for personerne i hver decilgruppe med henholdsvis a, a2,, a0, og betegn den gennemsnitlige indkomst i hver decilgruppe med henholdsvis b, b2,, b0. Lad desuden n betegne antallet af personer i hver decilgruppe. Udnyt at ak n bk for alle k, 2,, 0. Man kan udregne gini-koefficienter for indkomster i såvel byer, lande, virksomheder, etc. Bare man har relevant data til rådighed. I den følgende opgave skal du se, hvordan man kan bruge Danmarks statistik til at udregne gini-koefficienten for de disponible indkomster i Danmark for et givet år. Opgaver 4 (Ulighed i Danmark Danmarks statistik). Benyt link [4] til at tilgå den side i Statistikbanken hos Danmarks Statistik (DST), som viser Gennemsnitlig ækvivaleret disponibel indkomst efter decil og socioøkonomisk status. Vi kan for eksempel få de ti deciler for året 207 i Danmark via de valg som ses på figuren nedenfor.
7 Erik Vestergaard Tryk på Vis tabel, hvorved følgende data viser sig: 3. Tryk på knappen ud for Excel (vist med rød pil). Det giver data i et Excel regneark. Ud for hver decilgruppe står gennemsnittet af indkomsterne for indbyggerne med en indkomst i den givne decilgruppe. For eksempel ser vi, at indbyggerne med de 0% laveste disponible indkomster har en gennemsnitlig disponibel indkomst på 7828 kr. Ligeså for de øvrige decilgrupper. 4. Benyt nu Excel-teknikken skitseret i appendikset efter denne opgave til at udregne de kumulerede brøkdele af den totale indkomst, tegne Lorenz-kurven og udregne Gini-koefficienten. Husk at de gennemsnitlige indkomster i hver decilgruppe er lige så gode at bruge som de samlede indkomster i hver decilgruppe, ifølge opgave 3! 5. Når du har udført punkt 4, kan du eventuelt tage data for et andet år ned fra Danmarks Statistik med henblik på at udregne gini-koefficienten og sammenligne. Er der blevet mere ulighed de senere år? NB! Hvis du er smart, kan du copy/paste rækken med data fra det nye år ind i det Excel-regneark, du fra punkt 4. Så skal du ikke til at gentage processen! 6. Man kan også få Gini-koefficienterne for et givet år direkte ved at bruge link [5] bagerst i dette tillæg. Det giver ikke helt den samme Gini-koefficient, som under punkt 4. Det skyldes, at DST har anvendt mange flere punkter til deres Lorenz-kurve, og fordi de har taget hensyn til særlige effekter i fordelingens endepunkter.
8 8 Erik Vestergaard Appendiks: Lorenz-kurve og gini-koefficient i Excel Vi skal se, hvordan de udregninger, vi foretog i eksempel, smart kan udføres i Excel.. Tast data ind i et Excel-regneark, som vist herunder: 2. Skriv et 0 i celle B5. Skriv herefter formlen: =C4+B5 i celle C5, som vist her: 3. Tryk på Enter for at udføre formlen. Nedkopier formelfeltet ved at trække vandret i den lille sorte firkant i nederste højre hjørne af cellen. 4. Skriv endnu et 0, denne gang i celle B6. Skriv herefter formlen: =C5/$L$5 i celle C6, som vist herunder: $-tegnene er vigtige for at feltet L8 ikke nedkopieres senere
9 Erik Vestergaard Tryk på Enter for at udføre formlen. Nedkopier formelfeltet ved at trække vandret i den lille sorte firkant i nederste højre hjørne af cellen. 6. Skriv "Trapez-arealer" og "Gini-koefficient" ude til venstre i række 8 og 9. Skriv herefter formlen: =(C6+B6)/2*0, i celle C8, som vist herunder: 7. Tryk på Enter for at udføre formlen. Nedkopier formelfeltet ved at trække vandret i den lille sorte firkant i nederste højre hjørne af cellen. 8. Lav cellen M8 orange og skriv følgende formel i den: =SUM(C8:L8), som vist her:
10 0 Erik Vestergaard 9. Tryk på Enter for at udføre formlen. Vi har nu udregnet arealet under Lorenz-kurven. 0. Vi skal have udregnet Gini-koefficienten i celle C9 og skriver derfor følgende formel der: =(0,5-M8)/0,5*00, som vist her:. Afslut med et trykke på Enter, hvorefter vi får Gini-koefficienten: 2. Lorenz-kurven: Vi skriver tallene 0; 0,; 0,2; ; i cellerne fra B til L:
11 Erik Vestergaard 3. Vi skal have lavet et diagram: Markér felterne fra B til L og hold derefter Ctrltasten nede, mens du markerer felterne fra B6 til L6. Mens de to rækker er markeret vælges menuen Indsæt og det diagram, som fremgår at figuren herunder: 4. Efter at have rettet akserne til og valgt aksetitler, kan det se således ud: Brøkdel af indkomst 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 Lorenz-kurve 0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Brøkdel af ansatte Hvis du har lyst til at læse mere, kan du læse [3], hvor der også er omtalt et andet indeks, kaldet den maksimale udjævningsprocent, som på engelsk kaldes Robin Hood index eller Hoover index). Se også [2] for alternative ulighedsmål. Links [] [2] [3] [4] [5]
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mereExcel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008
Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere
Læs mereExcel tutorial om lineær regression
Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereStor ulighed blandt pensionister
Formuerne blandt pensionisterne er meget skævt fordelt. Indregnes de forbrugsmuligheder, som formuerne giver i indkomsten, så er uligheden blandt pensionister markant større end uligheden blandt de erhvervsaktive.
Læs mereMicrosoft Excel - en kort introduktion. Grundlag
Microsoft Excel - en kort introduktion Grundlag Udover menuer og knapper - i princippet som du kender det fra Words eller andre tekstbehandlingsprogrammer - er der to grundlæggende vigtige størrelser i
Læs mereSkabelon til funktionsundersøgelser
Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være
Læs mereAnalyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi
Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi Denne gennemgang omhandler figur 13 i Regn med biologi. Man kan sagtens lave beregninger på egne data. Forsøgsmæssigt kræver det bare en tommestok tapet
Læs mereExcel regneark. I dette kapitel skal I arbejde med noget af det, Excel regneark kan bruges til. INTRO EXCEL REGNEARK
Excel regneark Et regneark er et computerprogram, der bl.a. kan regne, tegne grafer og lave diagrammer. Regnearket kan bruges i mange forskellige sammenhænge, når I arbejder med matematik. Det kan gøre
Læs mereResidualer i grundforløbet
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Residualer i grundforløbet I dette lille tillæg til grundforløbet, skal vi kigge på begreberne residualer, residualplot samt residualspredning. Vi vil se, hvad
Læs mereMini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING
MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter
Læs mereDeskriptiv statistik for hf-matc
Deskriptiv statistik for hf-matc 75 50 25 2018 Karsten Juul Deskriptiv statistik for hf-matc Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...
Læs mere9. Indeks - tabeller og figurer
Indeks - 123 9. Indeks - tabeller og figurer 9.1 Persontabeller Persontabeller Side Tabel Alder disponibel indkomst, decil... 120 75 indkomst i alt, indkomsttyper... 42 32 indkomst i alt, oprindelseslandegruppe...
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereDeskriptiv statistik for matc i stx og hf
Deskriptiv statistik for matc i stx og hf 75 50 25 2019 Karsten Juul Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereGrupperede observationer
Grupperede observationer Tallene i den følgende tabel viser antallet af personer på Læsø 1.januar 2012, opdelt i 10-års intervaller. alder antal 0 131 10 181 20 66 30 139 40 251 50 318 60 421 70 246 80
Læs mere1.semester: IT-færdigheder
1.semester: IT-færdigheder Opgave 1: Organisere filer i mapper Du er i gang med en vigtig opgave, og du leder efter et helt bestemt dokument. Du leder og leder og leder, men kan ikke finde det imellem
Læs mered Kopier formlen fra celle A3 ned i kolonne A. Kopier formlen fra celle C3 ned i kolonne C. Undersøg, hvad der sker med formlen, når den kopieres.
KOPIARK 17 # ligninger og formler i excel 2007, 1 1 Du skal lave et regneark, som kan bruges til at løse ligningen 5 x 11 = 7 + 3 x. a Lav et regneark som vist. HUSK: Gør en kolonne bredere Man kan gøre
Læs mereKapitel 2. Indblik i indkomstniveauet og indkomstfordelingen i Grønland
Kapitel 2. Indblik i indkomstniveauet og indkomstfordelingen i Grønland Oversigt 2.1. Udviklingen i personlige indkomster og skatter mv. 1993-2002. 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Mio.
Læs mereExcel - begynderkursus
Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereFormler og diagrammer i Excel 2000/2003 XP
Formler i Excel Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereχ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium
χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium Man kan nemt lave χ 2 -test i GeoGebra både goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. Den følgende vejledning bygger på GeoGebra version
Læs mereU L I G H E D I D A N M A R K
D E N N I S P I P E N B R I N G U L I G H E D I D A N M A R K M AT X. D K Copyright 2013 Dennis Pipenbring offentliggjort på matx.dk layout af tufte-latex.googlecode.com Materialet er til fri afbenyttelse
Læs mereFormler og diagrammer i OpenOffice Calc
Formler i Calc Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereEn lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)
Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...
Læs mereHuskesedler. Anvendelse af regneark til statistik
Huskesedler Anvendelse af regneark til statistik August 2013 2 Indholdsfortegnelse Aktivere Analysis Toolpak... 4 Dataudtræk fra Danmarks Statistik... 4 Kopiering af formler... 4 Målsøgning... 5 Normalfordeling...
Læs mereMandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard
Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er
Læs mereVejledning til WordMat på Mac
Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger
Læs mereMatematik A og Informationsteknologi B
Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mere1. Opbygning af et regneark
1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes
Læs mereStatistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1
Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke
Læs mereAppendiks 2: Progression i de nationale test og Beregneren
: Progression i de nationale test og Beregneren Følgende appendiks indeholder en sammenligning af testsystemets og Beregnerens progression-visninger. Formålet er at give et indblik i de forskellige måder,
Læs mereDen rigeste procent oplever rekordhøj indkomstfremgang
Den rigeste procent oplever rekordhøj indkomstfremgang Mens den rigeste procent har oplevet rekordhøj indkomstfremgang siden, så har indkomstfremgangen været rekordlav for alle andre indkomstgrupper i
Læs mereStatistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1
Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke
Læs mereREDIGERING AF REGNEARK
REDIGERING AF REGNEARK De to første artikler af dette lille "grundkursus" i Excel, nemlig "How to do it" 8 og 9 har været forholdsvis versionsuafhængige, idet de har handlet om ting, som er helt ens i
Læs mere1. Semester: Identitet, sprog og relationer
1. Semester: Identitet, sprog og relationer Opgave 1: Dine arbejdsvaner Du sidder på dit værelse med musik i headsettet, en you-tube-video i gang på computeren, et stykke pizza på tallerkenen, historiebogen
Læs mereBilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen
Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereKompendium til Geogebra
Kompendium til Geogebra Hardsyssel Efterskole Matematik 8. Klasse Side 1 af 12 Kompendium til Geogebra 1. Generel præsentation af Geogebra 1.1 Download af programmet Geogebra kan gratis downloades fra
Læs mereVejledning til Excel 2010
Vejledning til Excel 2010 Indhold Eksempel på problemregning i Excel... 2 Vejledning til skabelon og opstilling... 3 Indskrivning... 5 Tips til problemregninger... 6 Brøker... 6 Når du skal bruge pi...
Læs mereGUX. Matematik. A-Niveau. Torsdag den 1. juni Kl Prøveform a GUX171 - MAA
GUX Matematik A-Niveau Torsdag den 1. juni 017 Kl. 09.00-14.00 Prøveform a GUX171 - MAA 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 1 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål
Læs mereSÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION
SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION I vejledningen bruger vi det gratis program Calc fra OpenOffice som eksempel til at vise, hvordan man bruger nogle helt grundlæggende funktioner i regneark. De øvrige
Læs mereFilarkiv. Sitecore Foundry januar Version 1.2
26. januar 2014 - Version 1.2 Pentia A/S Store Kongensgade 66, Baghuset 1264 København K Telefon: 7023 3330 E-mail: info@foreningssite.dk Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Oprettelse af en filliste...
Læs mereDeskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul
Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereExcel-2: Videre med formler
Excel-2: Videre med formler Tips: Du kan bruge Fortryd-knappen ligesom i Word! Du kan markere flere celler, som ikke ligger ved siden af hinanden ved at holde CONTROL-knappen nede Du kan slette indholdet
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereFP10. 1 Olivers økonomi 2 Hvor mange arbejder som. 3 Oliver og Albert bygger trapper 4 Oliver bygger en terrasse 5 Talkryds. tømrere?
FP10 10.-klasseprøven Matematik December 2015 1 Olivers økonomi 2 Hvor mange arbejder som tømrere? 3 Oliver og Albert bygger trapper 4 Oliver bygger en terrasse 5 Talkryds 1 Olivers økonomi Oliver er i
Læs mereTilpas: Hurtig adgang
Tilpas: Hurtig adgang Genveje, Se skærmtips Se tips Hold alt tasten nede. Og brug bogstaver Word Fanen Filer PDF dokument Brug skabelon Visninger Husk Luk ved fuldskærmsvisning Brug zoom skyder Marker,
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereRegneark Excel fortsat
Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer
Læs mereALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER
ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereI Excel kan du hurtigt lave din egen gangetabel eller tælletavle til at printe ud, hvis du laver den rigtige opsætning.
Mattip om Regneark 1 (Multiplikation) Du skal lære om: Tabeller i Excel Kan ikke Kan næsten Kan Hvordan et kasseapparat laves Hvordan en funktion laves Forskellige genveje Målsøgning til at finde et resultat
Læs mereDeskriptiv statistik (grupperede observationer)
Deskriptiv statistik (grupperede observationer) Tallene er hentet fra Arbejdsbog B1 (2.udg.) eller Arbejdsbog B2, øvelse 408: Der åbnes et Lister og Regneark værksted og observationerne indtastes og navngives:
Læs mereHuskesedler. Præsentation af tal i regneark. Microsoft Excel 2010
Huskesedler Præsentation af tal i regneark Microsoft Excel 2010 Februar 2013 Indholdsfortegnelse Betinget formatering... 3 Celletypografi... 5 Diagram... 6 Diagram elementer... 8 Diagram grafik... 9 Diagram
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereLad os prøve GeoGebra.
Brug af Geogebra i matematik Programmet Geogebra er et matematisk tegneprogram. Det findes i øjeblikket i flere versioner. Direkte på nettet uden download. http://www.geogebra.org/cms/ Klik på billedet.!
Læs mereSøren Christiansen 22.12.09
1 2 Dette kompendie omhandler simpel brug af Excel til brug for simpel beregning, såsom mængde og pris beregning sammentælling mellem flere ark. Excel tilhører gruppen af programmer som samlet kaldes Microsoft
Læs mereLavere aktieskat går til de rigeste
Lavere aktieskat går til de rigeste Forslaget om at hæve progressionsgrænsen for aktieindkomstskatten vil udelukkende give en skattelettelse i toppen. Mens den ene procent af befolkningen med de højeste
Læs mereOm at finde bedste rette linie med Excel
Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det
Læs mereKom i gang med regneark:
Kendte og nye værktøjs ikoner på værktøjslinien. Det er de samme værktøjs ikoner der går igen i mange af programmerne, men der er dog også nogle nye. Autosum Formel regner Sortering Diagrammer Flet og
Læs mereStatistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.
Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke
Læs mereJørn Blok og GeGe Forlag ISBN B o x p l o t Side 1
B o x p l o t Side B o x p l o t Side Det er yderst vigtigt, at I læser de næste tre sider med huskeregler grundigt igennem, inden I går i gang med at lave diagrammet Værd at vide om Boxplot Hvis I flytter
Læs mereHvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser
Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004
Læs mereProjekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg
Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,
Læs mereStart Excel Du skal starte med at åbne Excel. I Excel åbner du herefter en tom projektmappe.
Lineær programmering i Excel Version for PC I lærebogens kapitel 29 afsnit 4 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere knappe
Læs mereGrupperet materiale kan f.eks. være befolkningsdata eller indkomstfordelinger.
Thomas Jensen & Morten Overgård Nielsen At bestemme kvartilsæt Indhold - At finde kvartilsæt i ikke-grupperet datamateriale (link til dokumentet her) - At bestemme kvartilsæt ved hjælp af Excel (link til
Læs mereAT-forløb Jordskælv i Chile 1.u
Kapitel 1 AT-forløb Jordskælv i Chile 1.u 1.1 Indgående fag I forløbet indgår fagene naturgeografi v. Mikkel Røjle Bruun (BR), samfundsfag v. Ann Britt Wolsing (AW) og matematik v. Flemming Pedersen (FP).
Læs mereQR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra
QR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra Nspire: Vi har et datasæt. Der er overordnet to metoder til at tegne sumkurver i programmet, og vi beskriver
Læs mereModelkontrol i Faktor Modeller
Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereMATEMATIK C. Videooversigt
MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereLæreplan Mat 3. Uge Forløb: Areal og koordinatsystem
LÆRINGS MÅL LEVEL 1 LEVEL 2 LEVEL 3 Areal: Det er længe siden, vi har berørt området, og eleverne har derfor brug for en grundig genopfriskning af arealets størrelse/betydning. Eleverne har kort tid forinden
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereExcel-1: kom godt i gang!!
Excel-1: kom godt i gang!! Microsoft Excel er et såkaldt regneark, som selvfølgelig bliver brugt mest til noget med tal men man kan også arbejde med tekst i programmet. Excel minder på mange områder om
Læs mereTemaopgave i statistik for
Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...
Læs mereMatematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik
Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.
Læs mereBefolkningsudviklingen og dekomponering af Theilindekset
d. 10.11.2016 Marie Møller Kjeldsen (DORS) Befolkningsudviklingen og dekomponering af Theilindekset I notatet beskrives, hvordan Theil-indekset kan dekomponeres, og indekset anvendes til at dekomponere
Læs mereDe rigeste tjener mere og mere, mens de fattigste halter bagud
De rigeste tjener mere og mere, mens de fattigste halter bagud De seneste 30 år er uligheden vokset støt, og de rigeste har haft en indkomstfremgang, der er væsentlig højere end resten af befolkningen.
Læs mereGUX. Matematik. A-Niveau. Torsdag den 1. juni Kl Prøveform b GUX171 - MAA
GUX Matematik A-Niveau Torsdag den 1. juni 2017 Kl. 09.00-14.00 Prøveform b GUX171 - MAA 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereDe rigeste forbliver blandt de rigeste gennem hele livet
De rigeste forbliver blandt de rigeste gennem hele livet For første gang er det muligt at følge indkomsterne for en generation over et helt arbejdsliv. Det ses, at de personer, der er blandt de rigeste
Læs mereMå lsøgning i Excel (Goål Seek)
Må lsøgning i Excel (Goål Seek) Såfremt der blev afholdt et valg (folketingsvalg eller lignende) ville folk dagen efter valget ofte stille hvad hvis -spørgsmål. Nogle gange er det meget tæt løb og optællingen
Læs mereKonservatives skatteforslag koster halvdelen af efterlønnen
Konservatives skatteforslag koster halvdelen af efterlønnen De Konservative foreslår i forlængelse af regeringens udspil om at afskaffe efterlønnen at sætte topskatten ned, så den højeste marginalskat
Læs mereSådan gør du i GeoGebra.
Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)
Læs mereFagårsplan 13/14 Fag: Matematik Klasse: 7.B Lærer: LBJ Fagområde/ emne
Fagårsplan 13/14 Fag: Matematik Klasse: 7.B Lærer: LBJ Fagområde/ emne Periode Mål Eleverne skal: Tal og enheder arbejde med tal og enheder, som bruges i hverdagen blive bedre til at omregne mellem enheder
Læs mereForløb om undervisnings- differentiering. Elevark
Program for løft af de fagligt svageste elever Intensivt læringsforløb Lærervejledning Forløb om undervisnings- differentiering Elevark Dato September 2018 Udviklet for Undervisningsministeriet Udviklet
Læs merefsa 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær i Simons klasse 6 En figur af kvarte cirkler
fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning Maj 2012 Et svarark er vedlagt som bilag til dette opgavesæt 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær
Læs mere