CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : Kursus navn: Sandsynlighedsregning

Transkript

1 CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord nr) Der er i alt 0 spørgsmål fordelt på 0 opgaver, benævnt opgave 1,2,..., 0 i teksten. De enkelte spørgsmål er ligeledes nummereret og angivet som spørgsmål 1,2,...,0 i teksten. Bevarelserne af de 0 spørgsmål føres ind i nedenstående skema. Spørgsmål Svar Spørgsmål Svar Svarmulighederne for hvert spørgsmål er nummereret fra 1 til 6. Indføres et forkert nummer i skemaet, kan dette rettes ved at sværte det forkerte nummer over og anføre det rigtige nedenunder. Er der tvivl om meningen med en rettelse, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kun forsiden skal afleveres. Afleveres blankt eller forlades eksamen i utide, skal forsiden alligevel afleveres. Kladde, mellemregninger og bemærkninger tillægges ingen betydning, kun tallene indført ovenfor registreres. Der gives 5 point for et korrekt svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Husk at forsyne opgaveteksten med navn, underskrift og bordnummer. Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Sættets sidste side er nr 18; blad lige om og se, at den er der. I teksten benyttes betegnelsen log( ) for naturlige logaritmer, dvs. logaritmer med grundtal e. 1

2 Opgave 1 Om de to stokastiske variable X og Y oplyses det, at E(X) = 4, E(Y ) = 7, SD(X) = 10, SD(Y ) = 5 og Cov(X, Y ) = 0, 5. Endvidere indføres U = X 2Y + 1. Spørgsmål 1 E(U) bestemmes til , Opgave 2 To drenge spiller et spil, hvor det gælder om at få det højeste tal. I hver runde slår Hans med en almindelig sekssidet terning, imedens John kaster med en mønt. Plat svarer til et point og krone til 0 point. John skal dog gange sit kast med to, og så finde kvadratet af dette tal for at udregne sit antal point i hver runde. Spørgsmål 2 Hvad er den forventede værdi af de to drenges kast i hver runde? 1 Hans: ; John: 1 2 Hans: ; John: 2 Hans:,5 ; John: 2 4 Hans:,5 ; John: 4 5 Hans:4 ; John: 4 2

3 Opgave I et GPS system benyttes en tidsangivelse baseret på fremkomsten af forskellige satellitsignaler. Disse signalers fremkomsttid har en mindre gensidig variation. Man interesserer sig for fordelingen af tidsangivelsen, der beregnes på basis af gennemsnittet af de forskellige signalers fremkomsttider. Spørgsmål Den mest oplagte model blandt nedennævte kontinuerte fordelinger til beskrivelse af tidsangivelsen er 1 Normalfordelingen 2 Gammafordelingen Eksponentialfordelingen 4 Rayleighfordelingen 5 Betafordelingen Opgave 4 Tiden mellem afgivelser af partikler fra en radioaktiv kilde antages ekponentielt fordelt med middelværdi 0, 2s. Antallet af afgivede partikler tælles fra tiden t 0. Spørgsmål 4 Bestem eventuelt approksimativt sandsynligheden for, at partikel nummer bliver afgivet inden, der er gået minutter fra t Φ(1) 2 ( ,2 60 ) i i= i! e t0, e e hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel.

4 Opgave 5 Karen skal lave kødsovs til sin madklub og vil regne på sandsynligheden for, at hun når det til tiden. Risikoen for, at løg ikke er færdige til tiden er 0,. Når løgene er færdige kan kødet blandes i, hvis blusset er blevet varmt nok. Sandsynligheden for, at blusset er varmt, når løgene er færdige, er 0,8. Kun hvis blusset er varmt nok, når løgene er færdige, bliver sovsen færdig, så der er tid til at smage den til. Sandsynligheden for, at Karen ikke er fortabt i TV et og opdager, når sovsen er færdig så hun kan smage den til og blive færdig til tiden, er 0,4. Spørgsmål 5 Hvad er sandsynligheden for, at alt går op i en højere enhed, og, Karen kan servere kødsovsen til tiden? 1 0, ,500 0, ,6 5 0,800 Opgave 6 Vi vil betragte tre hændelser A, B og C. Spørgsmål 6 Sandsynligheden P(A B C) findes til 1 P(A) + P(B) + P(C) 2 P(A) + P(B) + P(C) + P(A B) + P(A C) + P(B C) P(A B C) P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) 4 P(A) + P(B) + P(C) P(A B C) 5 P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) 4

5 Opgave 7 En spiller slår seks gange med en almindelig sekssidet terning. Spørgsmål 7 Middelværdi og varians af det totale antal af seksere i de seks slag er henholdsvis 1 1 ; ; ; ; ; 1 6 Opgave 8 Om de stokastiske variable X og Y oplyses E(X) = 2, E(Y ) =, E ( X 2) = 5, E ( Y 2) = 10 og E(XY ) = Man danner Z = X 2Y. Spørgsmål 8 Man finder variansen V ar(z) til 1 V ar(z) = 0 2 V ar(z) = 7 V ar(z) = 1 4 V ar(z) = 19 5 V ar(z) = 25 5

6 Opgave 9 Lad X være en eksponential fordelt stokastisk variabel med rate λ. Man danner da Y = log (X). Spørgsmål 9 Tætheden f Y (y) findes til 1 f Y (y) = λe λey 2 f Y (y) = 2λe 2λey f Y (y) = e y e ey 4 f Y (y) = e y e λey 5 f Y (y) = λe y λey Opgave 10 En vindmøllefarmbestyrer ønsker at beregne sandsynligheden for, at hans vindmøller stopper givet, at vindhastigheden er over en maximal værdi. Fra tidligere observationer ved han, at sandsynligheden for, at vinden var over den maximale værdi, givet, at vindmøllerne stoppede, er 0,9, og, at sandsynligheden for, at vinden overskred grænsen, givet, at de ikke stoppede, er 0,2. Ydermere har han beregnet, at sandsynligheden for, at vindmøllerne stopper, er 0,1. Spørgsmål 10 Hvad er sandsynligheden for, at vindmøllerne stopper givet, at vinden overskrider maximum værdien?

7 Opgave 11 Vi betragter en Rayleigh fordelt stokastisk variabel R. Spørgsmål 11 Hazard rate for R er 1 Strengt voksende 2 Strengt aftagende Først voksende, siden aftagende 4 Først aftagende, siden voksende 5 Konstant Opgave 12 Sandsynligheden for, at der kommer en kraftig nedbørshændelse på en given lokalitet en given dag i juli er 1 9. På et nærliggende rensningsanlæg anslår man, at sandsynligheden for overløb af anlægget givet en kraftig nedbørshændelse er 1 4, medens sandsynligheden for overløb uden en kraftig nedbørshændelse er forsvindende. Spørgsmål 12 Sandsynligheden for, at der opleves overløb på rensningsanlægget en given dag i juli, findes til

8 Opgave 1 En systemadministrator har behov for at tilgå en database, men denne er overbelastet. Alle der prøver at komme ind på siden har lige stor sandsynlighed for at blive ladt igennem, og der er en sandsynlighed på 1 20 for at komme ind ved det enkelte forsøg. Spørgsmål 1 Hvad er sandsynligheden for, at systemadministratoren kommer igennem netop i tredje forsøg? 1 e 0,95 0,95! 2 e 0,05 0,05! Opgave 14 En opdrætter af racekatte har en hvid hunkat, der skal have killinger. Han ved, at hver killing bliver hvid med sandsynlighed 0,4, og, at kuldet bliver på 5 killinger. Han står og snakker med en sælger, der er interesseret i at købe så mange af de hvide killinger som muligt. Spørgsmål 14 Hvad er det mest sandsynlige antal hvide killinger i kuldet?

9 Opgave 15 Man har givet X og Y, der er to uafhængige geometrisk fordelte variable, således at P(X = x) = P(Y = x) = p(1 p) x 1 for x = 1, 2,.... Spørgsmål 15 Man beregner P(X = x X + Y = n) til 1 P(X = x X + Y = n) = ( n x ) 2 n 2 P(X = x X + Y = n) = 1 n P(X = x X + Y = n) = p(1 p)x 1 p(1 p) n x ( ) n + 1 p n 2 (1 p) n 1 4 P(X = x X + Y = n) = 1 n 1 5 P(X = x X + Y = n) = i=1 p(1 p) x 1 np(1 p)i 1 9

10 Opgave 16 Størrelsen af bankers indlånsunderskud umiddelbart inden en recession og varigheden af den efterfølgende recession kan beskrives ved en bivariat normalfordeling. Middelværdien og variansen af indlånsunderskuddet kan antages at være henholdsvis 120 og 10 2, medens middelværdi og varians af varigheden kan antages at være henholdsvis 2 og 1 9. Korrelationskoefficienten kan antages at være 0,6. Spørgsmål 16 Umiddelbart inden en recession er indlånsunderskuddet 150. Sandsyligheden for, at recession har en varighed på over 2, findes til 1 1 Φ(6) 2 (2Φ(6) 1) 1 Φ ( ) Φ ( 1 ) Φ ( ) 27 8 hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel. 10

11 Opgave 17 En bioteknologistuderende skal udføre nogle forsøg, som hun skal bruge mindst en bakteriekoloni til at udføre. Hun sætter tre kolonier på samme størrelse igang med at vokse. Kolonierne udvider deres radius med 6mm i timen i gennemsnit med en varians på 4mm 2. Denne udvidelse kan antages normalfordelt. Om en time skal den studerende bruge mindst en koloni til sit eksperiment. For at kunne bruge en koloni skal den have vokset 10mm, siden hun satte dem igang. Spørgsmål 17 Hvad er sandsynligheden for, at den hurtigst voksende har opnået mindst denne størrelse? 1 1 Φ(2) 2 1 Φ(1) 1 Φ(2) 4 Φ(2) hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel. 11

12 Opgave 18 I en kasse på 50 nyhøstede æbler er der talt 5 rådne æbler. Man antager, at denne kasse er repræsentativ for æbleplantagen, den kommer fra. Spørgsmål 18 Angiv, eventuelt approksimativt, sandsynligheden for, at der er mere end 00 rådne æbler i en høst på 600 æbler? 1 1 Φ ( ) 00, ( i=0 i 1 ( i=0 i 4 Φ ( 299, ( i=0 i ) ) 0, 1 i 0, i ) 0, 1 i 0, i ) 0, 1 i 0, 9 01 i hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel. 12

13 Opgave 19 En elektroingeniør bygger en robot. Hun har en kasse med 10 skruer. Der er tre af den mindste størrelse, fem af den mellemste, og to af de største. Hun skal nu bruge to af de mindste skruer, men kan ikke flytte fokus fra robotten. Spørgsmål 19 Hvad er sandsynligheden for, at hun, når hun trækker to tilfældige skruer, får de to, hun skal bruge? 1 2 ( ) A 1 A ( 10 5 ( 2 ) 2 ) 2 Opgave 20 Vi betragter 10 uniformt fordelte variable på intervallet [0, 1]. Spørgsmål 20 Tætheden, f (7) (x), for den 4. største af de 10 findes til 1 10(1 x) ! 6!! x6 (1 x) 10! 6!4! x6 (1 x) 4 4 ( ) 10 (1 x) ( 10 4 ) x 7 (1 x) 1

14 Opgave 21 En bygningsingeniør skal udarbejde en motorvejssammenfletning. Det vides fra observationer af denne strækning, at sandsynligheden for, at der går mere end t sekunder imellem to biler på tilkørslen, er e 2t. For at fastsætte antallet af spor i tilkørslen skal han vide noget om sandsynligheder for antallet af biler, der kan ankomme inden for kort tid. Spørgsmål 21 Hvad er sandsynligheden for, at mere end tre biler ankommer inden for et sekund? e e e e e 2 Opgave 22 CampusService vil regne på sandsynligheden for, at en pære i et svært tilgængeligt hjørne i hallen går i stykker under årsfesten. Antag, at sandsynligheden for, at netop en pære går indenfor et bestemt område er uniformt fordelt. Loftet antages at have dimensioner 50m gange 0m. Spørgsmål 22 Sandsynligheden for, at pæren går i et hjørne på m gange m findes til

15 Opgave 2 En ingeniør i medicin og teknologi skal bruge nogle lysdioder til at reparere nogle tilstandslamper på en fmri scanner i et andet rum. Hun står med en kasse med tre gule dioder og skal også bruge 2 røde. I det rum, hun står i, er der en stor kasse med røde dioder. Desværre er 70% af disse i stykker uden, at hun ved det. Hun trækker to og ligger dem ned i kassen til de andre dioder (der er så mange røde dioder, at man bør se dem som at være blevet trukket med tilbagelægning). Spørgsmål 2 Når hun kommer ind i rummet med scanneren skal hun først bruge de to røde dioder. Hvis hun tager to tilfældige dioder fra kassen, uden at se på deres farver, hvad er så det forventede antal af røde, funktionsdygtige dioder hun får fat i? 1 0, , (2 0, 7 + 0, ) 0, 4 4 0, , 0, 7 + 0, Opgave 24 Årligt dør tre kvinder i gennemsnit i Danmark af kræft i læberne. Spørgsmål 24 Hvad er sandsynligheden for, at fem kvinder et år dør af kræft i læberne? Φ( 5 ) Φ(5) 4 e 5 5! 5 e 5 5! hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel. 15

16 Opgave 25 Vi betragter Y, der er maksimum af 4 uafhængige uniform(0, 1) variable og X, der er minimum af de samme 4 uniform(0, 1) variable. Spørgsmål 25 Den simultane fordelingsfunktion F(x, y) findes til 1 F(x, y) = y 4 (1 (1 x) 4 ) 2 F(x, y) = y (y x) F(x, y) = 16y (1 x) 4 F(x, y) = y 4 (y x) 4 5 F(x, y) = 1 (y x) 4 Opgave 26 Et punkt vælges i planen, således at koordinaterne kan beskrives som uafhængige normalfordelte variable hvor E(X) = 1 og E(Y ) =. Variansen af både X og Y koordinaten er 4. Spørgsmål 26 Sansyndligheden for, at det valgte punkt ligger uden for cirklen (X 1) 2 + (Y ) 2 = 4, findes til (x 1) 2 x 2 + y 2 e 1 4 (x 1) 2 2 (x2 +y 2) dydx 2 (1 Φ(1)) 2 e 2 4 e 1 5 e 1 2 hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel. 16

17 Opgave 27 De stokastiske variable X og Y har simultan tæthedsfunktion f(x, y) = e x y for 0 ) < x 2 y 2x. Den marginale tæthed er for både X og Y givet ved f(x) = (e x 2 e x. Man danner nu den stokastiske variabel Z = X + Y. Spørgsmål 27 Tætheden f Z (z) findes ved 1 f Z (z) = z 0 e x (z x) dx 2 f Z (z) = 2z z f Z (z) = 2z z 4 f Z (z) = z 2 z 5 f Z (z) = 4z z Opgave 28 e z dx ) ) 9 (e x 2 e (e x (z x) 2 e (z x) dx e x (x z) dx ) ) 9 (e x 2 e (e x (z x) 2 e (z x) dx Den gennemsnitlige varighed af økonomiske kriser anslåes til at være ca. 2 år. Spørgsmål 28 Sandsynligheden for, at varigheden af en økonomisk krise overstiger 4 år kan maksimalt være Φ Φ ( ) 4 q 2 2 ( ) hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel. 17

18 Opgave 29 Lise har i tidligere eksaminer set, at hendes chance for at bestå er 0,7 når Rikke består og 0,4 hvis Rikke ikke består. De skal nu begge til eksamen, og Rikke skyder hendes sandsynlighed for at bestå til at være 0,9. Hvad er sandsynligheden for, at Lise består? Spørgsmål ,6 2 0,70 0,59 4 0,96 5 0,67 Opgave 0 En netværksadministrator vil udregne den forventede tid mellem nedbrud af netværket. Det vides erfaringsmæssigt, at givet en rate Λ er tiden mellem nedbrud eksponentialfordelt med denne rate. Raten Λ er variabel og følger en uniform fordeling mellem 1 og 5. Spørgsmål 0 Hvad er den forventede tid mellem nedbrud af netværket? e log (5) (log (5) 1) 5 1 x Slut på opgavesættet. 18