DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

Transkript

1 DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord nr) Der er i alt 0 spørgsmål fordelt på 0 opgaver, benævnt opgave,,..., 0 i teksten. De enkelte spørgsmål er ligeledes nummereret og angivet som spørgsmål,,...,0 i teksten. Bevarelserne af de 0 spørgsmål føres ind i nedenstående skema. Spørgsmål Svar Spørgsmål Svar Svarmulighederne for hvert spørgsmål er nummereret fra til 6. Indføres et forkert nummer i skemaet, kan dette rettes ved at sværte det forkerte nummer over og anføre det rigtige nedenunder. Er der tvivl om meningen med en rettelse, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kun forsiden skal afleveres. Afleveres blankt eller forlades eksamen i utide, skal forsiden alligevel afleveres. Kladde, mellemregninger og bemærkninger tillægges ingen betydning, kun tallene indført ovenfor registreres. Der gives 5 point for et korrekt svar og for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Husk at forsyne opgaveteksten med navn, underskrift og bordnummer. Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Sættets sidste side er nr 7; blad lige om og se, at den er der. I teksten benyttes betegnelsen log( ) for naturlige logaritmer, dvs. logaritmer med grundtal e, medens Φ betegner fordelingsfunktionen for en standardiseret normalfordelt variabel.

2 Opgave Der kastes 6 gange med en almindelig sekssidet terning. Spørgsmål Sandsynligheden for, at der i netop ud af de 6 kast vises øjne, findes til ( 6 ( 5 ) ( ( ) 4 ) ) ( ( 5 ) 4 6) 6 4 ( 5 6) 5 5 ( 6) ( 5 6 ) 4 Opgave Man har den diskrete stokastiske variabel X beskrevet ved tabellen Spørgsmål Man finder E(X) til x P (X = x) Fortsæt på side

3 Opgave En egernart har individder med to særlige karakteristika. Nogle individder er særligt røde medens andre individder har krøllede ører. Et indvid kan være særligt rødt og samtidigt have krøllede ører. Andelen af særligt røde individder udgør 40%, 5% af individderne er både særligt røde og har krøllede ører, medens 55% af individderne har mindst et af de to karakteristika. Spørgsmål Andelen af individder med krøllede ører findes til 40% 5% 5% 4 55% 5 Andelen kan ikke bestemmes på grund af manglende oplysninger i opgaven Opgave 4 Man har den kontinuerte stokastiske variabel X med tæthed f X (x) = 6x( x) for 0 < x <. Man danner den stokastiske variabel Y = X. Spørgsmål 4 Tætheden f Y (y) for Y findes til f Y (y) = ( y) f Y (y) = y f Y (y) = 6 y ( y ) 4 f Y (y) = y 5 f Y (y) = y Fortsæt på side 4

4 Opgave 5 Det skønnes at 0% af bilisterne i vinterperioden kører med sommerdæk. Derudover skønnes det, at 40% af de bilister, der i vinterperioden kører med sommerdæk, har for lidt slidbane på dækket. Spørgsmål 5 Hvad er sandsynligheden for, at en bilist i vinterperioden kører med sommerdæk med for lidt slidbane 0, 0, 0, 4 0,4 5 0,7 Opgave 6 Man har to punkter i planen givet ved ders koordinatsæt (X, Y ) og (X, Y ). De stokastiske variable X = X X og Y = Y Y er uafhængige stokastiske variable, der begge kan beskrives ved en normal(0,) (standard normal) fordeling. Afstanden mellem de to punkter betegnes med R. Spørgsmål 6 Man finder om P (R r) P (R r) = r π e x e (r x) dx P (R r) = Φ(r) P (R r) = e r ( ) 4 P (R r) = Φ r 5 Sandsynligheden kan ikke bestemmes, da der ikke er givet tilstrækkeligt med oplysninger Fortsæt på side 5 4

5 Opgave 7 Den stokastiske variabel X følger en beta(,) fordeling, dvs. den har tætheden f X (x) = x for 0 < x <. Om den stokastiske variabel Y oplyses, at for X = x følger Y en Poisson(x) fordeling. Spørgsmål 7 Man finder P (Y = 0) til ( ) e e ( e ) 4 e 5 ( e ) Opgave 8 Den nødvendige bremselængde for en personbil på en våd vej ved 0 km/t kan med rimelighed beskrives ved en normal(80, 5 ) fordeling. Man betragter 0 personbilers bremselængde, hvor de enkelte personbilers bremselængder kan antages at være uafhængige. Spørgsmål 8 Sandsynligheden for, at alle de 0 personbiler kan bremse på 90 meter, findes til ( 0, 977) , ,85 5 0,977 Fortsæt på side 6 5

6 Opgave 9 En virksomhed har en afdeling med 0 ansatte, hvoraf er kvinder, og 8 er mænd. Man udtager tilfældigt af afdelingens ansatte til en arbejdsgruppe. Spørgsmål 9 Sandsynligheden for, at der er højst mand i arbejdsgruppen, findes til Opgave 0 Man har personbiler af tre mærker A, B og C. Sandsynligheden for, at personbilernes bremser blokerer på en våd vej, er 0, 0 og for henholdsvis mærke A, B og C. Forekomsten af de tre mærker i bilparken udgør, 5 og 0 for henholdsvis mærke A, B og C. Man får oplyst, at en personbil er havareret på en våd vej på grund af blokerede bremser. Det kan antages, at der ikke er forskel på bilmærkerne i øvrigt. Spørgsmål 0 Sandsynligheden for, at den havarerede bil er af mærke C, findes til Fortsæt på side 7 6

7 Opgave Et parti kokosnødder består af.000 nødder. Grundet transportforholdene er der en risiko for, at nogle af nødderne må kasseres. Der er en sandsynlighed på 5 for, at den enkelte nød må kasseres uafhængigt af de andre nødder. Spørgsmål Sandsynligheden for, at mindst 750 nødder er brugbare, findes - eventuelt approksimativt - til 000 ( i ( 4 ) 000 i i=750 5) ( 4 i ( i=0 5) 5 Φ ( ) ( ) 4 Φ 5 Φ ( ) ) 000 i Opgave En kontinuert stokastisk variabel X har tætheden f X (x) = 8 x for 0 < x < og 0 ellers. Spørgsmål Man finder P ( < X ) til Fortsæt på side 8 7

8 Opgave Til en produktion af et bestemt fødevareprodukt indgår to råvarekomponenter. Priserne på de to komponenter kan på en passende normeret skala med rimelighed beskrives ved en standardiseret bivariat normalfordeling, således at korrelationskoefficienten ρ på de to variable er ρ. Spørgsmål Sandsynligheden for, at den samlede pris på de to komponenter overstiger på den normerede skala, findes til ( ) Φ +ρ Φ( ) ( ) Φ +ρ 4 Φ ( ) ( ) 5 Φ ρ Opgave 4 Det skønnes, at middeltiden mellem større meteornedslag på jordkloden er 5mio år. Som en tilnærmelse regner man med, at den samme men ukendte fordeling kan benyttes til at beskrive tiden mellem de forskellige meteornedslag. Spørgsmål 4 Den maksimale sandsynlighed for, at tiden fra et større meteornedslag til det næste større meteornedslag er mere end 60 mio år, findes til Φ() 4 Φ(4) e Fortsæt på side 9 8

9 Opgave 5 Om de tre stokastiske variable X, X og X oplyses at E(X ) =, E(X ) =, E(X ) =, V ar(x ) = 9, V ar(x ) = 4, V ar(x ) =, Corr(X, X ) =, Corr(X, X ) =, og Corr(X, X ) =. Man danner nu den stokastiske variabel Y som summen af de tre variable X, X og X. Spørgsmål 5 Man finder V ar(y ) til Opgave 6 Personer ankommer tilfældigt enkeltvis og uafhængigt af hinanden til en cafe, således at der i gennemsnit ankommer en person hver fjerde minut. Spørgsmål 6 Sandsynligheden for, at der er ankommet mindst fire personer indenfor fire minutter, findes til ( ) r r=4 e r=4 r! 4 r=4 5 t=4 ( ) r r! e ( t + ) ( ) t+4 Fortsæt på side 0 9

10 Opgave 7 Man har, at X følger en gamma(4, ) fordeling, medens Y følger en Poisson() fordeling. Spørgsmål 7 Man finder E( + X + Y ) til E( + X + Y ) = E( + X + Y ) = 0 E( + X + Y ) = 8 4 E( + X + Y ) = E(+X +Y ) kan ikke bestemmes idet X er en kontinuert stokastisk variabel, medens Y er en diskret stokastisk variabel. Opgave 8 Et punkt vælges tilfældigt i cirkeludsnittet i første og anden kvadrant afgrænset af linierne y = tan ( ) ( 7π 8 x, y = tan π ) 8 x, og cirklen x + y = 4. Spørgsmål 8 Sandsynligheden for at en linie gennem punktet og koordinatsystemets nulpunkt danner en vinkel på højst π 8 med koordinatsystemets førsteakse, findes til. Arctan( π 4 ) π Arctan( ) π Fortsæt på side 0

11 Opgave 9 På et skind kan der forekomme svampesporer. Man kan antage, at svampesporerne optræder uafhængigt af hinanden, og, at deres udbredelse er forsvindende. I gennemsnit forefindes der 00 svampesporer per kvm skind. Man betragter et stykke skind på 0 cm. Spørgsmål 9 Sandsynligheden for, at der ikke findes svampesporer på skindstykket, findes til e 0 ( 9 0 ) 0 ( ) ( ) e Opgave 0 To stokastiske variable X og Y følger en bivariat normalfordeling med E(X) =, E(Y ) =, V ar(x) = 4, V ar(y ) = 9 og korrelationskoefficient ρ = 5. Spørgsmål 0 Man finder P (X Y = 8) til Φ ( ) Φ ( ) Φ ( ) 4 Φ ( ) 5 Φ ( ) 4 Fortsæt på side

12 Opgave En stokastisk variabel T følger en gamma(,λ) fordeling. Spørgsmål Man finder hazard rate h(t) for T til h(t) = λ λt +λt h(t) = λ(λt) h(t) = λ 4 h(t) = λ(λt)e λt 5 h(t) = λ r= (λt) r r! e λt Opgave To ikke negative stokastiske variable (X, Y ) har den simultane fordelingsfunktion f(x, y) = e (x+y), for x y x og f(x, y) = 0 ellers. Spørgsmål Man finder E(XY ) til E(XY ) = E(XY ) = E(XY ) = 0 4 E(XY ) = 0 x x xye (x+y) dydx y y xye (x+y) dxdy 5 E(XY ) = 0 0 xye (x+y) dydx Fortsæt på side

13 Opgave Man lader X betegne en stokastisk variabel, der for Y = y følger en eksponential ( y ) fordeling. Den stokastiske variabel Y er en kontinuert stokastisk variabel, der er uniformt fordelt på enhedsintervallet ]0; [. Spørgsmål Man finder E(X) til 4 5 Opgave 4 De kontinuerte stokastiske variable X og Y har simultan tæthedsfunktion f(x, y) = 6(y x) i området 0 < x < y <. Udenfor dette område er den simultane tæthed 0. Man danner den stokastiske variabel Z = X + Y. Spørgsmål 4 Man finder tætheden f Z (z) for Z til f Z (z) = z 0 (z x)dx { z for 0 < z < f Z (z) = z for z < f Z (z) = z 0 (z x)dx { 4 f Z (z) = z for 0 < z < 6 6z + z for z < 5 f Z (z) = z z (z x)dx Fortsæt på side 4

14 Opgave 5 Et astronomisk laboratorium undersøger supernova eksplosioner. Man er interesseret i analyser fra type I eksplosioner men er nødt til at undersøge eksplosioner af både type I og II før man kan fastslå, om eksplosionen er af type I. Man kan regne med, at sandsynligheden for, at en supernova eksplosion er af type I er 6. Laboratoriet har brug for observationer fra tre type I eksplosioner til et specifikt projekt. Spørgsmål 5 Hvad er sandsynligheden for, at antallet af type II supernova eksplosioner, der analyseres før, man har type I observationer, er mindst 5 ( 6) 5 t t=5 t! e 5 6 t=5 ( t + ) ( ( 5 ) t 6) 6 ( 8 n=8 ) ( ( 5 ) n 6) 6 4 ( ( 5 ) n n=8 6) 6 5 t=7 ( t ) ( ( 5 ) t 6) 6 Fortsæt på side 5 4

15 Opgave 6 Man har de to diskrete stokastiske variable X og Y med simultan og marginale sandsynlighedsfunktioner givet ved følgende tabel P (X = x, Y = y) y = y = y = y = 4 P (X = x) x = x = x = P (Y = y) Spørgsmål 6 Sandsynligheden P (X, Y ) findes til Fortsæt på side 6 5

16 Opgave 7 Man har parret (X, Y ) ( af diskrete ) stokastiske variable, hvor P (X = x, Y = y) = y 4 p x x ( p) y x for 0 x y. Spørgsmål 7 Man finder P (Y = X = ) til p p 4 4 p 5 p Opgave 8 Et punkt (X, Y ) vælges tilfældigt i området afgrænset af koordinatsystemts akser og linien x + y =. Spørgsmål 8 Tæthedsfunktionen f X (x) i værdimængden for førstekoordinaten X til punktet findes til f X (x) = x f X (x) = x f X (x) = x 0 4 f X (x) = x dy 5 f X (x) = x 0 dy Fortsæt på side 7 6

17 Opgave 9 Koordinaterne til et punkt i planen vælges efter en standardiseret bivariat normalfordeling med korrelationskoefficient. Koordinaterne til punktet betegnes med parret (X, Y ). Spørgsmål 9 Sandsynligheden for, at punktet ligger over linien y = x og under linien y = x, findes til 6 ) Arctan( π Arctan( ) π 4 Arctan( 5 π ) Opgave 0 Man har de tre kontinuerte stokastiske variable X i, i =,,, hvor P (X i x) = x for 0 < x <. Spørgsmål 0 Den næststørste, og dermed samtidigt næstmindste, af de tre variable har tætheden x 6x( x) 6 x( x) 4 0x( x) 5 ( x) Slut på opgavesættet. 7