Curling fysik. Elastisk ikke centralt stød mellem to curling sten. Dette er en artikel fra min hjemmeside:

Transkript

1 Crling fysik Dette er en artikel fra in hjeeside: Ole Witt-Hansen 08

2 Indhold. Elastisk stød.... Centralt elastisk stød..... Masseidtpnkts systeet. : Centre of ass Crling fysik Ikke centralt stød i -systeet Eksepel...9

3 Crling fysik. Elastisk stød Crling er et glirende eksepel på illstration af et ikke centralt elastisk stød elle to identiske legeer ed cirklær for so beæger sig på et nderlag næsten den friktion. Det ikke centrale elastiske stød er iidlertid - både ateatik og fysisk - betydelig ere kopliceret at analysere end det centrale stød. Centralt stød ar indtil 988 en del af pens i fysik på højt niea en da det jo ikke er tilfældet længere indleder i ed at analysere det centrale elastiske stød også for at introdcere nogle grndlæggende begreber og fastlægge en notation.. Centralt elastisk stød Enet er behandlet dførligt i lærebogen: Eleentær Fysik afsnittet: Iplsbearelse ed stød en her il i blot nøjes ed at dregne hastighederne efter stødet når asserne af de to legeer og deres hastigheder før stødet er kendte. Vi ser derfor på et centralt elastisk stød elle to legeer og. Centralt stød betyder at de to legeer beæger sig langs den sae rette linie før og efter stødet og af den grnd skal i dlade ektor sybolerne en i stedet ed at regne hastighederne ed fortegn. Vi betegner konsekent hastigheder før stødet ed og hastigheder efter stødet ed bogstaet. Fysiske størrelser der hører til legee betegnes ed indeks og tilsarende for legee. For eksepel er hastigheden af legee efter stødet. For at holde det ateatiske på et passende niea skal i først antage at legee er i hile før stødet så = 0. Bagefter skal i betragte et stød hor begge legeer er i beægelse før stødet. For et ilkårligt stød gælder der altid iplsbearelse en for et elastisk stød gælder der også bearelse af den kinetiske energi.. I : Iplsbearelse hor = 0 II : Bearelse af kinetisk energi Vi il n forsøge at løse disse to ikke lineære ligninger for at bestee og so er hastighederne efter stødet. Derfor laer i nogle ateatiske oskrininger: I :. II : I : I ligningerne til højre diiderer i II ed I og får: II :

4 Crling fysik I : I : II 0 II 0 : : I 0 I II : Fra I+II kan i bestee og derefter ed at indsætte i. :.3 0 Fra.3 kan i se at hastighederne efter stødet og kan beregnes når i kender hastigheden før stødet og de to asser og. Løsningen = 0 er ateatisk korrekt en er den fysisk interesse da et betyder at legeerne passerer hinanden den at ekselirke. Af dtrykkene fregår at altid er ensrettet ed ens er ensrettet ed his > edløb og odsat rettet his < refleksion. His = ser an at = og at =0. De to legeer bytter hastigheder et fænoen der er elkendt fra billard spil. His i n antager at er endelig stor i forhold til en bold raer et gl så kender i resltatet so også kan ises d fra ligningerne.3 ed at diidere ed i tæller og næner og anende at forholdet : er nl..4 0 Glet blier liggende og bolden springer tilbage ed den sae hastighed. Vi har taget dette ed fordi i skal anende resltatet i den kinetiske olekylteori hor olekyler støder od æggen af en beholder. Det generelle tilfælde hor begge legeer er i beægelse før stødet kan løses efter den sae etode ed anendelse af kn lidt ere ateatisk snilde. Resltatet er: I : Iplsbearelse hor <> 0 II : Bearelse af den kinetiske energi I : II :

5 Crling fysik 3 : I : II Ved at diidere II ed I: : I : II : I : II : I : II Her af følger dtrykket for. Udtrykket for findes på helt tilsarende åde..5 Indsættes =0 ses efter en indre redktion at an genfinder resltatet.3.. Masseidtpnkts systeet. : centre of ass Masseidtpnktet for et syste af to partikler og er defineret ed ligningen: r r r His partiklerne har hastighederne og sat asserne og så er hastigheden af asseidtpnktet -systeet giet ed ligningen:.5 Vi skal konsekent betegne hastighederne relatit til -systeet ed en apostrof. Så i har:.6 Og på helt sae ade: Vi noterer os at iplsen af systeet i -systeet er nl.

6 Crling fysik 4.7 p p 0 So betyder at: og his asserne er ens: So iser at i -systeet har de to asser odsat rettede hastigheder. His asserne er lige store så er hastighederne det også så efter stødet får i præcis de sae ligninger his i blot erstatter ed. Beærk at ligningerne oenfor gælder had enten stødet er centralt eller ej. His legee er i hile før stødet så blier ligningerne ere siple. and 3. Crling fysik Vi skal herefter betragte to identiske cirklære legeer f.eks. to crling sten eller to billard kgler so støder saen i et ikke centralt elastisk stød og hor det ene legee er i hile før stødet. Det generelle tilfælde blier for ateatisk kopliceret og har ikke så ange anendelser. Forålet er at bestee de to legeers afbøjningkler og hastigheder efter stødet i laboratoriesysteet Lab-systeet. I dette syste kan an iidlertid ise at legeernes hastigheder efter stødet altid il ære inkelret på hinanden. Dette føler af energi og iplsbearelse. og og Vi ser at hastighederne danner en trekant so opfylder Pythagoras sætning og derfor:. Noget der gælder for såel crling sten so billardkgler. På figren nedenfor er skitseret et sådant stød i Lab-systeet. Vores ål er at bestee φ hor φ = 90 - φ tilsaen ed og og alt saen dtrykt ed og stødparaeteren ρ so er den inkelrette afstand elle centrene for de to legeer.

7 Crling fysik 5 Ikke centralt elastisk stød i Lab-systeet. Det iser sig at det ikke er ateatisk frekoeligt at finde hastighederne efter stødet i Labsysteet så i il i stedet betragte stødet i -systeet og drage fordel af de syetri egenskaber der er forbndet ed dette syste. Nedenfor er på figren ist det sae stød i -systeet. Vi har forsynet tegningen ed et koordinatsyste so har begyndelsespnkt i kontaktpnktet elle de to legeer og hor x-aksen går genne centrene for de to legeer så y-aksen er tangent til de to cirklære legeer. Idet de to legeer har sae asse er.

8 Crling fysik 6 Idet stødet i -systeet for hert af de to legeer sarer til et stød od en æg er det eneste der sker at x-koordinaten skifter fortegn. At dette er tilfældet kan også ses direkte d fra energi og iplsbearelse i -systeet. Iplsbearelse gier: og og energibearelse: Af typografiske grnd har i deladt apostroffen i denne ligning Og dered:. Disse ligninger gælder faktisk stadig i -systeet sel o de to legeer ikke har sae asse idet det følger af iplsbearelse og energibearelse. 0 0 For et elastisk centralt stød i -systeet opfører legeerne sig o de har rat en r. For et centralt stød i Lab-systeet hor = 0 er hastighederne efter stødet giet ed.3. Vi beregner så hastighederne i -systeet: and 0 Ud fra disse ligninger kan i sltte at: 0 0 and

9 Crling fysik 7 3. Ikke centralt stød i -systeet For et centralt stød i -systeet blier de to legeer reflekteret på sae åde so his de raer en æg og det sae sker i -systeet for et ikke centralt stød. Fra figren oenfor i -systeet kan i se: and and and Og idet: Laboratoriesysteet har x-aksen rettet langs det indkoende legee crling sten. I Lab-systeet har i: 0 Og ligeledes i Lab-systeet. Beærk på grnd af orienteringen af Lab-systeet er spredningklen Vi transforerer så hastighederne til Lab-systeet His i sætter får i: og So i transforerer til Lab-systeet 0 0 Vi noterer os at de to hastigheder er inkelret på hinanden idet: 0 Spredningklen for er giet ed: 4

10 Crling fysik 8 tan y x tan eller x y y Disse dtryk er iidlertid ikke så interessante his det ikke kædes saen ed stødparaeteren: r x r x tan og x tan x Endelig il i godt kende farten af de to crling sten eller billardkgler efter stødet: x x Nedenfor er ist en coptergenereret graf so iser spredningklen so fnktion af r x.

11 Crling fysik 9 3. Eksepel Et opslag på Google oplyser at crling stenene har en okreds på ax 9.4 c? og der ed en 9.4 c radis r 4. 5 c Med en hastighed på.0 /s og en stødparaeter sarende til en radis så x = 0.5 finder i spredningklen for : 0 0 x. 30. Og hered: 60 Og farten af de to sten efter stødet: x 3 / s og x 0 / s 0 His stødparaeteren er 09 r : x 0. 9 så blier resltaterne: 5.. x 0.87 / s og x.8 / s Crling drejer sig o helt ekstre isel baseret præcision. 8 Vi skal forsøge at beregne hor eget spredningklen ændrer sig his x får en tilækst x 00 ed x =05 so sarer til: 45 c og 0 9 c. Vi har: x så d x og x dx x og hered: d x 80 0 dx x 0 66 x x x His stenen glider så il det sare til en ændring inkelret på retningen på og det il sare til en forskydning inkelret på beægelsesretningen på 80 5 c. Vi skal dernæst bestee den inkelrette afigelse fra beægelsesretningen i beægelsen på den 40 lange bane når stenen blier sendt af sted ed en afigelsen på inklen er blot Det har derfor altid ndret ig hordan crling spillerne bærer sig ad. Resltaterne er dledt ed tanke på crling sten en de il også gælde for billard kgler. 4. Billard hor begge kgler er i beægelse før stødet His begge kgler ed ens asse er i beægelse før stødet er analysen i den sae bortset fra at er forskellig fra. Lad os antage at 0 ens

12 Crling fysik Efter stødet i -systeet gælder so før og. and Vi skrier da koordinaterne i laboratorie-systeet. Det er helt det sae so før His i sætter får i: og Transforerer i tilbage til Lab-systeet Hor Det er natrligis ligt at bestee et dtryk for spredningklen for begge billard kgler en so det fregår blier dtrykket helt igenneskelig.