Harmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall
|
|
- Ella Bak
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007
2 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres oftest ved hjælp af en fjeder med et lod. Det er da også dette system, vi vil se på her: En simpel spiralfjeder med et lod i enden. Fjederen er ophængt i en anden noget stivere, fjeder, som ikke deltager meget i bevægelsen, men nok til at man ved hjælp af strain-gauges kan måle loddets bevægelse. Spændingen i strain-gaugen måles over en målebro vha. programmet Labview. Bevægelsen af den harmoniske oscillator målet fritsvingende, med hastighedsproportronal dæmpning og dæmpet med konstant friktion. 1
3 Teori Newtons 1. lov I et isoleret system, hvor ingen kræfter udefra påvirker nogen objekter i systemet, gælder det at den resulterende kraft er lig 0: F res = 0 Anden teori Al anden anvendt teori kan findes i øvelsesvejledningen. 2
4 Udførelse af øvelsen Vi udførte tre forsøg med henholdsvis ingen dæmpning, hastighedsproportional dæmpning og konstant dæmpning. Med data fra disse tre forsøg, som opfangedes vha. programmet Labview, udførte vi så en række plots, og bestemte, dels vha. programmet Gnuplot, nogle passende funktioner til de forskellige former for svingninger. Mere præcist foregik forsøget ved at vi ophængte en fjeder, i en såkaldt strain-gauge, som er i stand til at måle selv de mindste bevægelser af fjederen. I fjederens ende påsatte vi et så et lod, med kendt masse. Det første forsøg - forsøget uden dæmpning - foregik så ved at vi trak ned i loddet en hvis længde, og efterfølgende gav slip, så strain-gaugen kunne begynde at opfange nogle svingningerne. Straingaugen overførte så videre resultaterne til programmet Labview, og vi kunne så derfra begynde at analysere dataen. Det andet forsøg foregik på samme måde som det første, bortset fra at vi jo skulle have hastighedsproportional dæmpning. Denne opnåedes ved at at fastklemme en papskive til loddet, også igen lade loddet svinge frit, ved at hive ned i det i en hvis længde. Den hastighedsproportionale dæmpning opnåedes på grund af vindmodstanden, som jo er lig bv for små hastigheder Det sidste forsøg - med konstant friktion - foregik igen på stort set samme måde som ved forsøg 1, bortset fra at vi her lod loddet gnidde op og ned, ad en næsten lodret metalplade. På denne måde havde loddet en næsten uændret friktion, under hele forsøget. Desuden udførte vi også nogle statiske målinger - dvs. vejning af masserne brugt i forsøget, og et lille forsøg hvor vi målte forskellen i fjederens udstrækning, med og uden lod (for at finde fjederkonstanten). 3
5 Resultater Data m lod : m papskive : 46 g 5 g Højde over bord, frit hængende fjeder: Højde over bord, med lod, forsøg 1: Højde over bord, start på forsøg 1: Højde over bord, med lod og pap, forsøg 2: Højde over bord, start på forsøg 2: Højde over bord, med lod og sliske, forsøg 3: Højde over bord, start på forsøg 3: 23.7 cm 12.6 cm 10.0 cm ca cm ca. 8.9 cm 12.8 cm 10.2 cm Dataen vi fik fra forsøgene har en tidsenhed lig med 1 = 50 ms, og mange resultater/værdier er altså opgivet i denne tidsenhed. Dannelse af funktioner Forsøg 1: Udæmpet harmonisk oscillator Da vi har fra teorien, at svingningen er givet ved: x = x 0 cos(ω 0 t + φ) Samt at plottet over dataen fra forsøget, ikke har centrum af bevægelsen i x = 0, må funktionen være af formen: x = a cos(bt + c) + d For at finde disse konstanter anvendte vi Gnuplot s "fit"-funktion, som dog imidlertid skal have nogle "gæt" på de forskellige værdier, for at få nogle fornuftige værdier. Da x 0 (a) er amplituden, og d blot er længden mellem centrum af svingningen og x = 0, og ω 0 (b) er givet ved ω 0 = 2π T 0, kunne vi nemt finde nogen hæderlige værdier til konstanterne, ved at studere plottet over dataen. φ (c) blev sat til en arbitrer konstant forskellig fra 0 (da Gnuplot ikke kan lide 0 er under "fittings"). Vi satte altså værdierne til: b= 2π 12 a=1 = 0.5 c=5 d=2 Da der selvfølgelig stadig var dæmpning i dette forsøg (i form af vindmodstand og friktion), valgte vi kun at fitte henover data for 100 enheders tid ( ms = 5 s). Resultaterne af fittene, og plottet kan ses i bilaget. 4
6 Forsøg 2: Harmonisk oscillator med hastighedsproportinal dæmpning Fra teorien for denne form for svingning, har vi at løsningen er givet ved: x = x 0 e γt 2 cos(ωd t + φ) Samt at plottet igen ikke ligger ved centrum af svingningerne, får vi funktionen for denne bevægelse til: x = ae et cos(bt + c) + d (Læg mærke til at der står "eksponentiel funktionen opløftet i konstanten e gange t" - dette er selvfølgelig ret upraktisk, men var ikke noget vi tænkte på under databehandlingen). Vi fandt konstanternes værdi på samme måde som ved forsøg 1, altså forsøgte vi at gætte nogle værdier for konstanterne. Dette var dog end tand sværere end ved det første forsøg, da amplituden jo ændrer sig (gør at både x 0 (a) er lidt sværere at finde, og at γ 2 (e) skal findes), og at ω ikke længere er givet ved den simple relation fra forsøg 1. Desuden kan vi heller ikke rigtig komme med et ordentligt bud på φ (c). Vi valgte derfor at anvende nogle af konstanterne fra forsøg 1, også håbe på at Gnuplot kunne klare resten. Vi forsøgte os altså med tallene: a=0.5 b= 0.5 c=10 d=2 e=0.001 Og fittede denne gang over 200 enheders tid ( ms = 10 s) - for at opnå et ordentlig billede af den eksponentielt dæmpede svingning. Resultaterne kan igen ses i bilaget. Forsøg 3: Harmonisk oscillator med konstant friktion Da svingningerne ved dette forsøg dæmpedes kraftigt, valgte vi kun at undesøge dataen for de første 90 tidsenheder (90 50 ms = 4.5 s). Teorien for denne form for svingning er ret omfattende, og vi nåede derfor ikke at udføre en egentlig funktion for bevægelsen. Det vi istedet gjorde var først at ignore dæmpningen fuldstændig, og altså få Gnuplot til at lave et fit som i forsøg 1. Vi gjorde derfor som ved forsøg 2, og brugte de fundne værdier fra forsøg 1, til at udføre fittet. Vi anvendte altså tallene: a=1 b= 0.5 c=10 d=2 Da dette ikke er et specielt interresant resultat, valgte vi også at undersøge om dæmpningen virkelig var linær. Dette gjorde vi ved at finde funktions forskrifterne for de linjer, som kan laves mellem hver henholdsvis top og bund, af plottet. For at gøre dette fandt vi koordinaterne til samtlige bundog toppunkter, indtastede dem i et tekstdokument, og lod så Gnuplot fitte dem (vi gættede ikke på nogen værdier i dette tilfælde, da vi gik ud fra at Gnuplot ikke havde problemer med at finde en parametrene en linje). Løsningerne til funktionerne og plottet, kan igen ses i bilaget. Udregninger Fjederkonstanten Vi starter med at finde fjederkonstanten, k, som skal anvendes i en del formler. Da vi kun anvender én fjeder under hele forsøget, skal k blot findes for denne. Vi finder konstanten vha. Newtons 1. lov, samt Hookes lov. Da der ikke er nogen kræfter der påvirker systemet udefra, er der kun 5
7 fjederkraften og tyngdekraften der virker. Newtons lov opstilles for y-retning (den eneste akse hvor der er kraftpåvirkning), og k isoleres: F y,res = mg kx = 0 Vinkelfrekvens mg = kx k = mg x k = kg 9.82 m s m 0.1 m = 3.30 I dette afsnit udregner vi de teoretiske værdier af vinkelfrekvensen og svingningstiden, for de forskellige forsøg. Vinkelfrekvensen og svingningstiden udregnes ud fra formlerne, givet i teorien i øvelsesvejledningnen. Forsøg 1: Udæmpet harmonisk oscillator Vinkelfrekvensen er for denne type svingning givet ved: k ω 0 = m 3.30 ω 0 = = 8.47 s kg Svingningstiden er videre givet ved: T 0 = 2π ω 0 2π T 0 = = s 8.47 s 1 Forsøg 2: Harmonisk oscillator med hastighedsproportinal dæmpning I denne situation er vinkelfrekvensen givet ved et, en del mere advanceret udtryk, nemlig: ( ) 2 γ ω d = ω 0 1 2ω 0 Hvor ω 0 er givet som ovenfor, og γ er en friktionskonstant, og er givet ved γ = b m. b er her igen en friktionskonstant, som jo er indeholdt i formlen for (langsom) bevægelse med friktion: F d = bv Da vi ikke umiddelbart kan finde hastigheden i denne formel, må vi også opgive at finde konstanten, b. Da vi altså ikke kan komme på noget bud på hvad vinkelfrekvensen er for bevægelsen med hastighedsproportional dæmpning, må vi anvende det næstbedste: Værdierne for bevægelse uden dæmpning: ω 0 = 8.47 s 1 T 0 = s 6
8 Forsøg 3: Harmonisk oscillator med konstant friktion Ved konstant friktion er vinkelfrekvensen igen givet: k ω 0 = m Derfor er værdierne altså lig de fundne i de to andre forsøg: ω 0 = 8.47 s 1 T 0 = s 7
9 Diskussion Som det nok fremgår af rapporten, havde vi lidt problemer med bla. Gnuplot under løsningen, hvilket er grunden til vi ikke har en ordentlig løsning, for dæmpningen som funktion af tiden, i det tredje forsøg. Det skal desuden noteres at vi ikke har anvendt de fleste målinger, som står i data-afsnittet. Vi valgte dog at lade dem blive. Vinkelfrekvensen ω 0 for det første forsøg er givet ved konstanten, som Gnuplot fandt ved det tilsvarende fit: b = 0.468, ± , (0.0128%). Dette tal er dog blot en konstant til funktionen, som er bygget op ved grafer, hvor x-aksen er i enheder af 50 ms. For at få den egentlige Vinkelfrekvens ganges altså med 20 (for at få enhederne i sekunder), og vi får: b = ω 0 = 9.36 s 1, ± , (0.0128%). Sammenlignes dette med den teoretiske værdi på ω 0 = 8.47 s 1, (fejlprocent: 10,5%) kan vi se at der er nogle større fejlkilder i forsøget. For det andet forsøg har vi den praktiske vinkelfrekvens på: b = ω d = 8.73 s 1, ± , ( %) (allerede omregnet til rigtig enhed), som vi fik fra fittet i Gnuplot. Sammenlignes dette med den teoretiske ω 0 = 8.47 s 1, ser det umiddelbart ud som om dette forsøg er gået nogenlunde godt. Problemet er blot at ω d og ω 0 er to forskellige tal, og at ω d er en funktion af ω 0, hvoraf ω d altid ( ) 2 er højere end ω 0, da kvadratrodden i funktion ω d = ω 0 1 γ 2ω 0 ikke kan være negativ. Vi har altså igen et lidt spøjst resultat. I det tredje forsøg har vi ikke nogen funktion for bevægelsen, og altså ikke nogen vinkelfrekvens. Vi kan dog aflæse svingningstiden på plottet, og derved komme med et estimat på den praktiske vinkelfrekvens. Ved at se aflæse grafen, ses det at svingningstiden ca. er 14 tidsenheder, dvs. T 0 = = 0.7 s. Dvs. ω 0 = 2π T 0 = 2π 0.7s = 8.96 s 1. Sammenlignet med den teoretiske værdi (ω 0 = 8.47 s 1 ) (fejlprocent: 5,79%) er dette en af vores "bedre" resultater, dog virker det til at der er noget galt her, da vi i forsøget uden dæmpning fik en så høj fejlprocent. Hvis man ser på graferne til funktionerne af de forskellige fosøg, plottet sammen med dataen, ses det at der i, i hvert fald ved forsøg 1, er rimelig god overensstemmelse. Ved forsøg 2 ser det mest af alt ud som om der er noget ujævnhed i dataen, da mange punkter stikker over eller under grafen. Til forsøg 3 ses det at selve grafen har en rimelig passende svingningstid, samt at linjerne, som illustrere linærheden i systemet, er relativ gode. Det ses dog at de kun holder rigtigt i de første ca. 3 sekunder. Grunden til at vi fik disse relativt høje fejlprocenter, kan betyde flere ting. Fx. kan det nævnes at vi ikke tog højde for fjederens vægt i udregningen af fjederkonstanten, hvilket kan have givet en betydelig forskel i den teoretiske værdi for ω 0. Af andre grunde, kan selvfølgelig nævnes friktionen i fjederen, vindmodstand i det første forsøg og en for skrå sliske ved forsøg tre (som kan have "skubbet" til loddet så meget, at målingerne var for upræcise). Desuden kan det have været at de teoretiske modeller af bevægelserne ikke har været præcise nok, så at vi i gnuplot ikke kunne få præcise resultater. Alt i alt skal det dog siges at vi har fået nogle relative hæderlige resultater, i forhold til det er vores første labøvelse på fys 2, og vi har i al fald, lært at benytte både Labview og Gnuplot, samt er blevet bedre til at analysere grafer og plots, og finde fysiske beskrivelser til disse. 8
10 Bilag Data i tekst-dokumenter, samt grafer og plots er ikke indskrevet i rapporten, men findes istedet i fri form ved siden af. Af forskellige bilag findes derved: plot af forsøg 1 - graf1.jpg plot af forsøg 2 - graf2.jpg plot af forsøg 3 - graf3.jpg parametre til funktionerne for de tre forsøg - parametre.txt 9
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereDen frie og dæmpede oscillator
Ida Nissen - 80385 Maria Wulff - 140384 Jacob Bjerregaard - 7098 Morten Badensø - 40584 Fysik Lab.øvelser Uge Den frie og dæmpede oscillator Formål Formålet med denne øvelse er at studere den harmoniske
Læs mereFysik 2 - Oscillator. Amalie Christensen 7. januar 2009
Fysik 2 - Oscillator Amalie Christensen 7. januar 2009 1 Indhold 1 Forsøgsopstilling 3 2 Forsøgsdata 3 3 Teori 4 3.1 Den udæmpede svingning.................... 4 3.2 Dæmpning vha. luftmodstand..................
Læs mereHarmonisk oscillator. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47
Harmonisk oscillator Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47 28. november 2007 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 3 Fremgangsmåde 3 4 Resultatbehandling
Læs mereOscillator. Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen
Oscillator Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen Oscillator øvelse Formål Øvelse med oscillator, hvor frekvensen bestemmes, for den frie og dæmpede svingning. Vi vil tilnærme data fra
Læs mereDavid Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1
1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereRapport uge 48: Skråplan
Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................
Læs mereResonans 'modes' på en streng
Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereFaldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v
Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker
Læs mereKræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.
Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den
Læs mereArbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereDæmpet harmonisk oscillator
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af
Læs mereNb: der kan komme mindre justeringer af denne plan.
Efterårets øvelser, blok 2 Fysik2 Introduktion Fysik 2 øvelser består af 3 øvelser hvori der indgår måling af de fundamentale størrelser: længde, tid og masse. Alle øvelserne handler på en eller anden
Læs merePETERTROELSENTEKNISKGYMNASI UMHADERSLEVHTXPETERTROELSE NTEKNISKGYMNASIUMHADERSLEV HTXPETERTROELSENTEKNISKGYMN ASIUMHADERSLEVHTXPETERTROEL
PETERTROELSENTEKNISKGYMNASI UMHADERSLEVHTXPETERTROELSE NTEKNISKGYMNASIUMHADERSLEV HTXPETERTROELSENTEKNISKGYMN ASIUMHADERSLEVHTXPETERTROEL Dæmpede svingninger SENTEKNISKGYMNASIUMHADERSLE Studieretningsprojekt
Læs mereResidualer i grundforløbet
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Residualer i grundforløbet I dette lille tillæg til grundforløbet, skal vi kigge på begreberne residualer, residualplot samt residualspredning. Vi vil se, hvad
Læs mereLektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereImpuls og kinetisk energi
Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse
Læs mereTallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.
Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive
Læs mereFysik 2, Foreslåede løsninger til prøveeksamenssæt, januar 2007
Fysik 2 Foresåede øsninger ti prøveeksamenssæt januar 2007 Opgave a) Størresen af kraften i cirkebevægesen er Totaenergien er da F = m r 2 v = E = m r = m v2 r r + 2 mv2 = m 2r b) umskibets totaenergi
Læs mereDen harmoniske svingning
Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereKasteparabler i din idræt øvelse 1
Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereFysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger
Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Musik og bølger Formål Hovedformålet med denne øvelse er at studere det fysiske begreb stående bølger, som er vigtigt for at forstå forskellige musikinstrumenters
Læs mereDen Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006
Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereRKS Yanis E. Bouras 21. december 2010
Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning
Læs mereb. Sammenhængen passer med forskriften for en potensfunktion når a = 1 og b= k.
Kapitel 5 Øvelse 56 a = b = 3 b a = 1,7 b = 0,8 c a = 3 b =1 d a = b = 8 Øvelse 57 Sammenhængen passer med forskriften for en potensfunktion når a =1 b k = b Sammenhængen passer med forskriften for en
Læs mereEksamen i fysik 2016
Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereRENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L
SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske
Læs mereOpdrift i vand og luft
Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Opdrift i vand og luft Formål I denne øvelse skal vi studere begrebet opdrift, som har en version i både en væske og i en gas. Vi skal lave et lille forsøg,
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må
Læs mereMathias Rask Højen Jensen, 3MY Erhvervsskolerne Aars Fysik A Eksamensprojekt. η = Q tilført
kalder nyttevirkningen. Carnot brugte den ideelle kredsproces til at beskrive den maksimale nyttevirkning, som en kraftvarmemaskine kunne, hvilket er hvad der kaldes carnotnyttevirkningen. Denne nyttevirkning
Læs mereKulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet
Kulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet SMÅ FORSØG OG OPGAVER Lineal-lyd 1 Lineal-lyd 2 En lineal holdes med den ene hånd fast ud over en bordkant. Med den anden anslås linealen. Det sker ved
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereSvingninger & analogier
Fysik B, 2.år, TGK, forår 2006 Svingninger & analogier Dette forsøg løber som tre sammenhængende forløb, der afvikles som teoretisk modellering og praktiske forsøg i fysiklaboratorium: Lokale 43. Der er
Læs mereArbejdsopgaver i emnet bølger
Arbejdsopgaver i emnet bølger I nedenstående opgaver kan det oplyses, at lydens hastighed er 340 m/s og lysets hastighed er 3,0 10 m/s 8. Opgave 1 a) Beskriv med ord, hvad bølgelængde og frekvens fortæller
Læs mereFY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. Matematisk Pendul. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Matematisk Pendul Hold E: Hold: D12 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3
Læs mereLavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f
Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med forsøget er at undersøge det skrå kast, bl.a. med fokus på starthastighed, elevation og kastevidde. Teori Her følger der teori over det skrå kast Bevægelse
Læs mereJævn cirkelbevægelse udført med udstyr fra Vernier
Fysikøvelse - Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Jævn cirkelbevægelse udført med udstyr fra Vernier Formål Formålet med denne øvelse er at eftervise følgende formel for centripetalkraften på et legeme,
Læs mereFigur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol
0.. AERODYNAMIK 0. Aerodynamik I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen,
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereLøsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet
V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør
Læs mereØvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.
Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler,
Læs mereRumfang af væske i beholder
Matematikprojekt Rumfang af væske i beholder Maila Walmod, 1.3 HTX Roskilde Afleveringsdato: Fredag d. 7. december 2007 1 Fru Hansen skal have en væskebeholder, hvor rumfanget af væsken skal kunne aflæses
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side af 7 Skriftlig prøve, tirsdag den 6. december, 008, kl. 9:00-3:00 Kursus navn: ysik Kursus nr. 00 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning": Besvarelsen
Læs mereFormålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.
Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre
Læs mereMatematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereProjekt 3.4 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Hvad er matematik? Projekt 3. Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomium p ( x) = a x + x + c altid er symmetrisk omkring
Læs mereDen klassiske oscillatormodel
Kvantemekanik 6 Side af 8 n meget central model inden for KM er den såkaldte harmoniske oscillatormodel, som historisk set spillede en afgørende rolle i de banebrydende beskrivelser af bla. sortlegemestråling
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereOpgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:
Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereProjekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereFYSIK RAPPORT. Fysiske Kræfter. Tim, Emil, Lasse & Kim
FYSIK RAPPORT Fysiske Kræfter Tim, Emil, Lasse & Kim Indhold Indledning... 2 Newtons love... 3 1. Lov: Inertiloven... 3 2. Lov: Kraftloven... 3 3. Lov: Loven om aktion/reaktion... 3 Kræfter... 4 Formler:...
Læs mereDet skrå kåst. Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse
Det skrå kåst Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse 19/12-2012 Matematik Opstil stedfunktionen s x (t) og s y (t) for den lodrette og den vandrette bevægelse, som funktion af
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereCoulombs lov. Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet F = 1 4πε 0
Coulombs lov Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet 14-05-2007 1 Indledning 1.1 Formål Formålet er, at eftervise Coulombs lov; F = 1 4πε 0 qq r 2 ˆr, hvor F
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013
Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFysikrapport Joules lov. Gruppe Nr. 232 Udarbejdet af Nicolai og Martin
Fysikrapport Joules lov Gruppe Nr. 232 Udarbejdet af Nicolai og Martin 1 Indholdsfortegnelse Formål 3 Teori 3 Materialer 4 Fremgangsmåde 4-5 Måleresultater 5 Databehandling 5-6 Usikkerheder 6 Fejlkilder
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs merePotensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir
1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereTsunami-bølgers hastighed og højde
Tsunami-bølgers hastighed og højde Indledning Tsunamier er interessante, fordi de er et naturligt fænomen. En tsunami er en havbølge, som kan udbrede sig meget hurtigt, og store tsunamier kan lægge hele
Læs mere1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.
M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod
Læs mereTilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet
Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()
Læs mereGruppemedlemmer gruppe 232: Forsøg udført d. 6/ Joule s lov
Joule s lov 1 Formål I dette eksperiment vil vi eftervise Joules lov. Teori P = Watt / effekt R = Modstand /resistor Ω I = Ampere / spænding (A) Tid = Delta tid / samlet tid m = Massen c =Specifik varmekapacitet
Læs mereHer skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.
a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereHarmoniske Svingninger
Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009
Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereTransienter og RC-kredsløb
Transienter og RC-kredsløb Fysik 6 Elektrodynamiske bølger Joachim Mortensen, Edin Ikanovic, Daniel Lawther 4. december 2008 (genafleveret 4. januar 2009) 1. Formål med eksperimentet og den teoretiske
Læs mereSvingninger og bølger
Fysik/kemi Viborg private Realskole Elevforsøg i 10. klasse Svingninger og bølger Pendulet svinger SIDE 2 1051 Formål At bestemme sammenhængen mellem pendulets længde og dets svingningstid. Materialer
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereLøsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008
Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi
Læs mereDenne pdf-fil er downloadet fra Illustreret Videnskabs website (www.illvid.dk) og må ikke videregives til tredjepart.
Kære bruger Denne pdf-fil er downloadet fra Illustreret Videnskabs website (www.illvid.dk) og må ikke videregives til tredjepart. Af hensyn til copyright indeholder den ingen fotos. Mvh Redaktionen Nye
Læs mereVejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123
Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r
Læs mereQR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra
QR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra Nspire: Vi har et datasæt. Der er overordnet to metoder til at tegne sumkurver i programmet, og vi beskriver
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 4 sider Skriftlig prøve, den 29. maj 2006 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle "Vægtning": Eksamenssættet vurderes samlet. Alle svar
Læs mereUafhængig og afhængig variabel
Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig
Læs mereMålinger på Bølgevippen, WGPC-III
Målinger på Bølgevippen, WGPC-III Indledende undersøgelser v/ Povl-Otto Nissen Vippegeneratoren er her opstillet med vægtstangsforholdet 30: 94, idet midten af magnetsættet på den lange arm er 94 cm fra
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":
Læs mere