Strategier. Der gør matematikken nemmere

Transkript

1 Strategier Der gør matematikken nemmere 1 Nemmere? nem adjektiv Betydninger 1. som ikke volder større vanskeligheder eller besvær; som opnås eller udføres uden vanskeligheder 2. let at omgås eller have med at gøre - om person eller dyr 2 Pindogbjerre.dk 1

2 Nemmere? Nej! Målet med strategier er ikke, at matematikken kan udføres uden vanskeligheder, eller bliver let at omgås. Målet med strategier er at matematikken bliver mulig at kaste sig ud i med alle dens genvordigheder og vanskeligheder! 3 Hvad er strategier for noget? Tilståelse: Jeg (og vist også mange andre) er ikke helt skarp og konsekvent på dette område. Men jeg bliver skarpere: Strategier er værktøjer, som man kan vælge mellem og bruge til de problemer, hvor man ikke har en automatiseret færdighed, der kan løse problemet. 4 Pindogbjerre.dk 2

3 En grubler Trolden ved broen: Mette møder en trold, der står og vogter en bro. Trolden siger til Mette: Hvis du vil gå frem og tilbage over broen, så vil jeg fordoble de penge, du har i lommen. Bagefter skal du bare betale mig 8 kr. Det synes Mette lyder som nemt tjente penge. Hun går frem og tilbage over broen en gang, og ganske rigtig fordobles de penge hun har i lommen, før hun betaler trolden 8 kr. Mette synes lige hun vil prøve igen. Og endnu engang fordobles de penge hun har i lommen. Og endnu en gang betaler hun trolden 8 kr. Mette tager en tredje tur og endnu engang fordobles de penge, hun har i lommen. Og endnu en gang betaler hun trolden 8 kr. Men nu har Mette ikke flere penge tilbage. Hvor mange penge havde Mette i lommen til at starte med? 5 Min svigerfar Efter ca. 5 minutters læsning af hæftet Gode grublere : Ja, det tænkte jeg nok, der er ikke én jeg kan løse! Grublere er gode til at sætte fokus på behov for strategier, for stort set INGEN har automatiserede færdigheder der bare lige giver en løsning. 6 Pindogbjerre.dk 3

4 En ligning x 3 6 x x 6 = 0 7 Mig Jeg har ikke automatiseret færdigheden i at løse tredjegradsligninger i hånden. Må jeg så bare opgive? Nej, jeg har strategier for at løse ligninger for eksempel kan jeg begynde at gætte på en løsning. Og så har jeg også CAS på computeren 8 Pindogbjerre.dk 4

5 Undervisning i strategier Eleverne skal undervises i strategier. De svageste finder ikke selv på dem. 9 Regnestrategier 10 Pindogbjerre.dk 5

6 Fra talfornemmelse til talforståelse 11 Fra talfornemmelse til talforståelse Pernille B. Sunde og Lisser Rye Ejersbo 12 Pindogbjerre.dk 6

7 Antalsfornemmelse Antalsfornemmelse Evnen til at skelne mellem to mængder med relativt mange elementer. 13 Subitizing Subitizing Evnen til at skelne små antal (typisk op til 4) uden at tælle. 14 Pindogbjerre.dk 7

8 Paradigmeskifte Vi skal turde undervise i antalsbestemmelse på baggrund af subitizing. Vi skal turde undervise i antalsbestemmelse, der ikke udelukkende bygger på tælling. The Fiveness of five not the process of counting! Ann Gervasoni 15 Backup og retrieval 16 Pindogbjerre.dk 8

9 Regnestrategier Backupstrategier Konkrete handlingsstrategier. Tællestrategier Retrievalstrategier Strategier, hvor eleven bruger viden fra hukommelsen. Hukommelsesstrategier. Tænkestrategier. 17 Forskning Ca. 100% af eleverne i matematikvanskeligheder bruger backupstrategier (tællestrategier) gennem hele skoletiden. Snorre Ostad 18 Pindogbjerre.dk 9

10 Forskning Backupstrategier bliver alt for ressourcekrævende når matematikken bliver sværere. 19 Backup Tæller alt og forfra igen. Tæller videre. Viser begge på fingrene og siger resultatet. 20 Pindogbjerre.dk 10

11 Viser på hænderne 21 Retrieval Retrievalstrategier er at bruge de talsammenhænge, man har automatiseret, til at komme frem til nye. Retrieval er således baseret på to ting: 1. Nogle automatiserede talsammenhænge 2. Strategier for at kombinere disse. 22 Pindogbjerre.dk 11

12 Tælling og regning Så længe man udelukkende tæller, så kalder jeg det ikke regning. At kunne regne er at kunne bruge retrievalstrategier! 23 De første regnestrategier 24 Pindogbjerre.dk 12

13 Hvordan undervise i strategier? Tydelighed Repræsentationer Gentagelser 25 Tydelighed Godt: At kunne talsammenhænge udenad have dem automatiseret. At tænke sig frem til et resultat ved at kombinere andre talsammenhænge. At turde gætte. 26 Pindogbjerre.dk 13

14 Tydelighed Skidt: Altid at satse på det sikre og tælle At give op 27 De første additionsstrategier +1 er det samme som at tælle én videre Automatiser plus-par: 1 + 1, 2 + 2, osv. Plus-par +1 (og -1): 2 + 3, 3 + 4, osv. Automatiser 10 er venner: 1 + 9, 2 + 8, osv. 10 er venner +1 (og -1): 2 + 9, 3 + 8, osv. Regne videre fra 5 28 Pindogbjerre.dk 14

15 29 De andre regningsarter - er en anden historie, - men bruger additionsstrategierne! 30 Pindogbjerre.dk 15

16 Hvordan? På mange måder! Først og fremmest snak om strategier. Fokus både på genkendelse og brug. 31 Regning med større tal Vi har et positionssystem med ti cifre. Al regning er baseret på, at man kan regne med de første ti tal. Regning med de små tal er fundament for al regning! 32 Pindogbjerre.dk 16

17 Paradigmeskifte Det hele starter med, at vi skal undervise i regning med små tal. Ikke bare tælling! 33 Problemløsningsstrategier 34 Pindogbjerre.dk 17

18 Værdifulde vaner 35 Værdifulde vaner 1. Vær systematisk 2. Undersøg forskellige synsvinkler vær kreativ 36 Pindogbjerre.dk 18

19 Vær systematisk At være systematisk betyder, at man gennemgår muligheder på en struktureret måde. Man opnår: Alle muligheder og kun en gang Overblik opdage mønstre. Systematik understøttes af skemaer og/eller tælletræer. 37 Undersøg forskellige synsvinkler vær kreativ Vanskelige problemer kan ofte løses op ved at afprøve forskellige ideer. Kreativiteten understøttes af forskellighed: Forskellige formuleringer Forskellige former for notation Fysisk repræsentation Dramatisering. Kun fantasien sætter grænsen! 38 Pindogbjerre.dk 19

20 LOVPORT En generel problemløsningsstrategi 39 LOVPORT 1. Læs 2. Omformuler 3. Visualiser 4. Planlæg 5. Overslag 6. Regn 7. Tjek 40 Pindogbjerre.dk 20

21 Læs L for Læs Først overblik, så ned i tekst og tegninger. Understreg nøgleordene i teksten. Spørg om ord man ikke forstår. 41 Læs Eksempel Firmaet Pind og Bjerre sælger perlekæder med 20 perler på hver. Hvor mange perlekæder kan firmaet få når de har 800 perler? Progression fra både røde og grønne til kun grønne. 42 Pindogbjerre.dk 21

22 Omformuler O for Omformuler Omformuler teksten med egne ord. Sig de understregede ord. 43 Omformuler Eksempel: 20 perler på hver. Hvor mange kan man få med 800 perler? 44 Pindogbjerre.dk 22

23 Visualiser V for Visualiser Få dannet et (mentalt) billede, der griber hele problemet. Lav en tegning. De tre første punkter (LOV) skal tilsammen give forståelsen af problemet. 45 Visualiser Eksempel: 46 Pindogbjerre.dk 23

24 Planlæg P for Planlæg Sæt ord på, hvordan man vil arbejde på problemet. Vælg en opgavespecifik strategi. Ofte består planlægningen i at vælge regneart. 47 Planlæg Eksempel: Hvad skal man gange med Det er divider 800:20 48 Pindogbjerre.dk 24

25 Overslag O for Overslag Giv et gæt på løsningen. Pointen er at danne sig en forventning til løsningen. 49 Overslag Eksempel: Det er ikke 100 perlekæder. Det ville give 2000 perler. Det er under det halve, dvs. mindre end 50 perlekæder. 50 Pindogbjerre.dk 25

26 Regn R for Regn Udfør planen fra punkt P. Ofte gennem regning. Dette skridt kan godt kræve nogle ture rundt i de forudgående skridt. 51 Regn Eksempel: 800:20=40 40 perlekæder 52 Pindogbjerre.dk 26

27 Tjek T for Tjek Formuler resultatet i en sætning. Ser resultatet fornuftigt ud? Sammenlign gæt og løsning. 53 Tjek Eksempel: Firmaet Pind og Bjerre kan få 40 perlekæder af deres 800 perler, når der skal 20 perler på hver snor. 40 perlekæder passer meget godt. Det er mindre end 50 som vi gættede på. 54 Pindogbjerre.dk 27

28 LOVPORT for nybegyndere L Sæt tekstopgaven ind her, så eleven kan strege de vigtigste ord og tal under. V Eleven skal tegne problemet her. P Eleven skal skrive regnestykker her. R Eleven skal skrive resultatet her. 55 Planlæg Strategier til planlægning 56 Pindogbjerre.dk 28

29 Sikre strategier 1. Reducer problemet 2. Optrævling 3. Luk åbne problemer 4. Opstil og løs ligninger 5. Gæt og prøv efter 6. Vær konkret 7. Brug logik 8. Udtøm alle muligheder 9. Et skridt ad gangen 57 Reducer problemet Løs et nemmere problem, det giver ideer til det oprindelige problem. Nemmere tal Færre skridt Færre variable 58 Pindogbjerre.dk 29

30 Optrævling Man starter bagfra og trævler problemet op ved at tage et skridt baglæns ad gangen og bruge delresultatet til næste skridt. Mange problemer, der er baseret på rekursion, altså det at gentage en procedure på sig selv, kan løses med optrævling. 59 Luk åbne problemer Tilføj manglende oplysninger, hvis problemet er åbent eller generelt. Når man selv kan finde på de manglende oplysninger, bør de vælges så udregningerne bliver nemme. 60 Pindogbjerre.dk 30

31 Opstil og løs ligninger Problemers oplysninger og sammenhænge kan ofte samles i en eller flere ligninger. Man skal finde ud af, hvilke ubekendte man har, og hvordan de hænger sammen. Når ligningerne er stillet op, kan de løses med elektroniske hjælpemidler eller traditionelle ligningsløsningsmetoder. 61 Opstil ligning Det ses som den fine måde, men den er ofte ret besværlig Trolden ved broen: x = 0 62 Pindogbjerre.dk 31

32 Gæt og prøv efter Man kan gætte på en løsning, og prøve om den giver korrekte løsning. Man kan kvalificere sine gæt hen ad vejen. Gæt og prøv efter er altid en god start, da man lærer problemet bedre at kende. Dette kræver god systematik! 63 Vær konkret Nogle problemer forstås bedre, hvis man gør dem mindre abstrakte mere konkrete. Man kan for eksempel dramatiserer problemet som et lille skuespil. Andre gange kan brug af konkrete materialer eller tegning hjælpe problemløsningen. 64 Pindogbjerre.dk 32

33 Brug logik I mange problemer skal man bruge den helt basale logiske regel, at et udsagn enten er sandt eller falsk ikke begge dele. Det lyder banalt, men det er ikke altid lige let at gennemskue, om man kan udelukke det ene og dermed konkludere det andet. Og bare fordi både mor Nille og en sten ikke kan flyve, så er mor Nille ikke nødvendigvis en sten. 65 Udtøm alle muligheder Hvis problemet har et overskueligt antal løsningsmuligheder kan man finde alle de mulige løsninger og undersøge dem én for én. Dette kræver god systematik. Og udholdenhed og vedholdenhed! 66 Pindogbjerre.dk 33

34 Et skridt ad gangen I mange klassiske matematiske problemer er det muligt at starte forfra med startbetingelserne og så ved hjælp af matematik og logik deducere sig stille og roligt gennem problemet skridt for skridt: Hvis det her gælder, så medfører det, at det her gælder og så videre. 67 En grubler Trolden ved broen: Mette møder en trold, der står og vogter en bro. Trolden siger til Mette: Hvis du vil gå frem og tilbage over broen, så vil jeg fordoble de penge, du har i lommen. Bagefter skal du bare betale mig 8 kr. Det synes Mette lyder som nemt tjente penge. Hun går frem og tilbage over broen en gang, og ganske rigtig fordobles de penge hun har i lommen, før hun betaler trolden 8 kr. Mette synes lige hun vil prøve igen. Og endnu engang fordobles de penge hun har i lommen. Og endnu en gang betaler hun trolden 8 kr. Mette tager en tredje tur og endnu engang fordobles de penge, hun har i lommen. Og endnu en gang betaler hun trolden 8 kr. Men nu har Mette ikke flere penge tilbage. Hvor mange penge havde Mette i lommen til at starte med? 68 Pindogbjerre.dk 34

35 Optrævling 0 kroner til sidst. Spol tilbage til trolden, der ikke tager men omvendt giver 8 kr. Spol længere tilbage og baglæns over broen, der nu ikke fordobler, men omvendte halverer de 8 kr. til 4 kr. Spol tilbage til trolden for 2. gang, trolden giver 8 kr. Nu har Mette 4+8=12. Spol tilbage og baglæns over broen for 2. gang, broen halverer de 12 kr. til 6 kr. Spol tilbage til trolden for 3. gang, trolden giver 8 kroner. Nu har Mette 6+8=14. Spol tilbage og baglæns over broen for 3. og sidste gang, broen halverer de 14 kr. til 7 kr. Mette startede altså med 7 kr. 69 En ligning x 3 6 x x 6 = 0 70 Pindogbjerre.dk 35

36 Gæt og prøv efter = 0 x=1 er en løsning! Jeg prøver lige med x=2: = 0 Jo, sørme jo, x=2 er en løsning mere. Jeg prøver lige med x=3: = 0 Jo, sørme jo, x=3 er 3. og sidste løsning. Så heldig kan man ikke altid være 71 Strategier Strategier er vigtigere end færdigheder. For uanset hvor mange færdigheder vi har, så møder vi problemer, hvor vi ikke lige har færdigheden, men hvor vi med gode strategier alligevel kan løse problemet. 72 Pindogbjerre.dk 36