Matematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.

Transkript

1 illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet

2 I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet med tilhørende flerfaglige forløb arbejder eleverne med almene og videnskabsrelaterede problemstillinger, som overskrider det enkelte fag. Eleverne undersøger og behandler problemstillingerne ved hjælp af viden, kundskaber og faglige metoder fra de indgående fag med inddragelse af basal videnskabsteori. Matematikkens metode karakteriseres ofte som den axiomatiske deduktive metode eller ved at der benyttes ræsonnement og bevisførelse. Formålet med dette oplæg er at nuancere og udvide denne beskrivelse af den matematiske metode.

3 Hvad er Matematik? Ét bud er: Matematik handler om at formulere nødvendige sammenhænge om abstrakte ting; formuleret så generelt som muligt. Sammenhængene formuleres i sætninger og disse skal bevises ud fra givne forudsætninger. Desuden er man i stand til at give præcise beskrivelser af de begreber, der benyttes, de såkaldte definitioner.

4 Hvad er Matematik? Ét bud er: Matematik handler om at formulere nødvendige sammenhænge om abstrakte ting; formuleret så generelt som muligt. Sammenhængene formuleres i sætninger og disse skal bevises ud fra givne forudsætninger. Desuden er man i stand til at give præcise beskrivelser af de begreber, der benyttes, de såkaldte definitioner. En standard måde at beskrive matematik på er, at begreber defineres, sætninger formuleres og bevises. Men hvordan kommer man frem til disse sætninger? Det er det, oplægget handler om.

5 Hovedpunkter illustreret ved ligningernes historie Jeg vil pege på følgende faktorer som har betydning i forbindelse med matematikkens udvikling: 1 Udviking går fra løsning af enkeltstående problemer til formulering af en generel teori. 2 Systematik. Bevidsthed om at der er forskellige typer af problemer, der ligner hinanden, og en systematisk måde at løse dem. 3 Generalisering. Indsigten at forskellige problemer kan behandles som et problem. 4 Abstraktion. Fra at et problem handler om noget bestemt, fx geometriske figurer, til at formuleringen kan benyttes på mange forskellige ting. 5 Notation. En velvalgt notation er forudsætningen for at kunne se, at der er et matematisk problem af en bestemt type.

6 Andengradsligning i dag I dag skriver vi typisk en andengradsligning på følgende måde a x 2 + b x + c = 0, hvor a, b, c er reelle tal og a 0 Løsningerne er givet ved: x = b ± b 2 4ac 2a Hvis b 2 4ac er negativ er der kun komplekse løsninger... men det er anden historie!

7 En andengradsligning hos Euklid: Elementerne II.11, ca 300 f. Kr I Euklids Elementer bog II, løses følgende problem: At dele et givet linjestykke i to dele således, at kvadratet på det ene stykke er lig rektanglet dannet af det andet stykke og hele linjen. Diagrammet som løser problemet er her: F G A H B E C K D

8 Elementerne II.11 F G A H B E C K D Hvis vi oversætter problemet til en ligning med moderne notation, sætter AB = b og AH = x bliver det til en andengradsligning: x 2 = (b x) b eller x 2 + bx b 2 = 0.

9 Ligninger i Islamisk matematik, fra cirka 800 e. Kr I Islamisk matematik finder man en systematisk måde at løse andengradsligninger på formuleret som geometriske problemer vedrørende linjestykker, kvadrater og rektangler. Da problemerne er knyttet til geometriske figurer giver det ikke mening at operere med negative tal - og der formuleres forskellige typer problemer: Kvadrat lig et tal, x 2 = c. Kvadrat og rødder lig et tal, x 2 + b x = c. Kvadrat og tal lig rødder, x 2 + c = b x. Kvadrat lig rødder og tal, x 2 = b x + c. Kvadrat lig rødder, x 2 = b x. Jeg viser hvordan Al Khwarizmi (ca ) argumenterede for løsningen for to af disse typer.

10 Løsning af Kvadrat lig et tal Problemet er kvadrat er lig 64. Det illustreres ved følgende figur: x x 64 Her indses at siden x må være 8.

11 Løsning af Kvadrat og rødder lig et tal Problemet er kvadrat og 10 af dets rødder er lig 39. Det illustreres ved følgende figur: x 10 x 39 Bemærk at arealet af den samlede figur er 39.

12 Kvadrat og 10 af dets rødder er lig 39 I næste trin halveres antallet af rødder : x 5 x 5

13 Kvadrat og 10 af dets rødder er lig 39 I næste trin fyldes kvadratet ud. Arealet af figuren bliver 64: x 5 x 5 25

14 Kvadrat og 10 af dets rødder er lig 39 I sidste trin indses, at siden i kvadratet er 8 og at siden er 3. x 5 x =

15 Ligningsløsning i Europa fra ca 1400 og frem Vi springer igen i historien og frem til Europa (primært Italien og Frankrig) fra 1400-tallet og frem. Her fremhæves følgende forhold: Notation bliver gradvis indført. Man opskriver løsningen ved en formel i stedet for ved en procedure. Descartes ( ) introducerer desuden konventionen at a a skrives som a 2 og at vi benytter x for ukendte størrelser (og a, b, c,... for kendte størrelser).

16 Ligningsløsning i Europa fra ca 1400 og frem Notation: De såkaldte abacists begynder at benytte notation for operationerne plus og minus, fx. p, m. Der indføres notation for den ubekendte, cosa, kvadrat, censo, og i tredje, cubo. Disse bliver til ce og cu. Så kan man fx skrive ce cu kort for x 2 x 3.

17 Ligningsløsning i Europa fra ca 1400 og frem Løsningen skrives som en formel: Franskmanden Viète ( ) siges at være ophavsmand til ideen om at skrive løsninger som formler. Benyttes følgende notation: Ubekendte betegnes ved vokaler; konstanter ved konsonanter. Her er A den ubekendte. B og Z er konstanter. in betegner multiplikation; quad betyder kvadratet på. l står for roduddragning og en linje over et udtryk indikerer en parentes. (Nogle gange benyttes et stiliseret r for roduddragning.) kan en andengradsligning og dens løsning formuleres som: A quad + B2inA er lig Z plan, A er lig l.z. plan + B quad B

18 Ligningsløsning i Europa fra ca 1400 og frem Notationen x 2 introduceres: I Descartes La Geometrie (1637) introduceres den analytiske geometri. Et vigtigt redskab er at betegne linjestykker med bogstaver, så man kan regne med dem. Her introduceres desuden konventionen at a a betegnes med a 2 (og a a a = a 3,...). Descartes indfører også at ubekendte betegnes med de sidste bogstaver i alfabetet. Herved kan han opskrive løsningen for ligningen ax 2 + bx = c som x = b ± b 2 4ac 2a

19 Ligningsløsning i Europa fra ca 1400 og frem Herved har man en ny måde at karakterisere ovenstående problemer på det er ikke problemer, der omhandler linjestykker og kvadrater det er ligninger, der indeholder et led med x 2. Deraf navnet "andengradsligninger".

20 Ligningsløsning i Europa fra ca 1400 og frem Herved har man en ny måde at karakterisere ovenstående problemer på det er ikke problemer, der omhandler linjestykker og kvadrater det er ligninger, der indeholder et led med x 2. Deraf navnet "andengradsligninger". Når de negative tal inddrages i formuleringen og løsning, kan vi generalisere formuleringen af andengradsligningen, så der kun er én andengradsligning og derfor kun brug for én løsningsformel for denne. En sidste ting, som kræves, er at problemerne løsrives fra at handle om geometriske figurer til at kunne beskrive hvad som helst (det som jeg betegner abstraktion ).

21 Hovedpunkter illusteret ved ligningernes historie Jeg har peget på følgende faktorer som har betydning i forbindelse med matematikkens udvikling: 1 Udviking går fra løsning af enkeltstående problemer til formulering af en generel teori. 2 Systematik. Bevidsthed om at der er forskellige typer af ligninger og forsøg på at bestemme forskellige undertyper, som kan løses hver for sig. 3 Generalisering. I starten er der forskellige løsninger til hver slags ligning. Til sidst findes en metode (formel) til at løse alle (andengrads-)ligninger. 4 Abstraktion. Fra at et problem handler om noget bestemt, fx geometriske figurer, så ender det med at kunne benyttes på mange forskellige ting. 5 Notation. En velvalgt notation er forudsætningen for at kunne se, at der er et matematisk problem.

22 Litteratur Andersen, K. Redaktør (1986). Kilder og kommentarer til Ligningernes Historie. Vejle: Forlaget Trip. Carter, J. (2019). illustreret med eksempler fra ligningernes historie. LMFK-bladet 1, Cajori, F. (1952). A History of Mathematical Notations. La Salle, Ill.: Open Court Publishing Company. Euklid. (1994). Elementer I-IV. Oversat af Thyra Eibe. Vejle: Forlaget Trip. Gericke, H. (1994). Talbegrebets Historie. Oversat af Kirsti Andersen og Kate Larsen. Matematiklærerforeningen og Institut for de Eksakte Videnskabers Historie, Aarhus Universitet. Oprindelig version udgivet ved Bibliographisches Institut, Mannheim Katz, V.J. (2009). A History of Mathematics. An Introduction. 3rd Edition. Pearson Education, Inc.