Områdeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Områdeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30"

Transkript

1 Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x P θ ν θ θ Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30

2 Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ) er et (1 α)-konfidensområde hvis P θ (θ C(X)) }{{} dækningsgrad 1 α for alle θ Θ For et givet α ønsker vi C(x) så lille som muligt. Derfor foretrækkes lighedstegn.. p.2/30

3 Generel konstruktion Find en kombinant R : Θ X Y. Find for hvert θ et konkordansområde A(θ) Y så ) P θ (R(θ, X) A(θ) = 1 α Lad C(x) = {θ Θ R(θ, x) A(θ)} Virker fordi: θ C(x) R(θ, x) A(θ). p.3/30

4 Konstruktion med pivot En kombinant R : Θ X Y er en pivot hvis fordelingen af R(θ, X) under P θ er den samme for alle θ. Helt præcist, hvis afhænger af B Y med ikke af θ. ) P θ (R(θ, X) B I så fald kan konkordansområdet for R(θ, X) vælges så det ikke varierer med θ. Vi søger en mængde A så ) P θ (R(θ, X) A = 1 α for alle θ. Sæt C(x) = {θ Θ R(θ, x) A}. p.4/30

5 Asymptotisk konstruktion Lad Θ R. Hvis ˆθ n er en estimator så ˆθ n as N (θ, 1 ) n σ2 (θ) under P θ så vil n ˆθn θ σ2 (θ) D N(0, 1) Hvis q er 1 α 2 fraktilen i N(0, 1) vil C n = { θ q < n ˆθ } n θ σ2 (θ) < q opfylde at P θ (θ C n ) 1 α for n. p.5/30

6 Asymptotisk konstruktion Lad Θ R. Hvis ˆθ n er en estimator så ˆθ n as N (θ, 1 ) n σ2 (θ) under P θ så vil n ˆθn θ σ2 (θ) D N(0, 1) Hvis q er 1 α 2 fraktilen i N(0, 1) vil Cn = θ q < n ˆθ n θ σ 2 (ˆθ n ) < q måske opfylde at P θ (θ C n) 1 α for n. p.6/30

7 Asymptotisk konstruktion Lad Θ R. Hvis ˆθ n er en estimator så ˆθ n as N (θ, 1 ) n σ2 (θ) under P θ så vil n (ˆθ n θ) 2 σ 2 (θ) D χ 2, df = 1 Hvis z er 1 α fraktilen i χ 2, df = 1, vil C n = { θ n (ˆθ n θ) 2 σ 2 (θ) < z } opfylde at P θ (θ C n ) 1 α for n. p.7/30

8 Wald områder Lad Θ R k. Hvis ˆθ er en estimator så ˆθ N(θ, Σ(θ)), så er et approksimativt konfidensområde: Wald område: C(X) = { } θ (ˆθ θ) T Σ(θ) 1 (ˆθ θ) < z hvor z er (1 α) fraktilen i χ 2, df = k. Falsk Wald område: C(X) = { } θ (ˆθ θ) T Σ(ˆθ) 1 (ˆθ θ) < z hvor z er (1 α) fraktilen i χ 2, df = k.. p.8/30

9 Wilks sætning Lad Y 1, Y 2,... være iid. observationer fra en k-dimensional statistisk model. Under regularitetsbetingelser vil 2 log Q(θ, Y 1,...,Y n ) D χ 2, df = k under P θ. Konklusion: Et approximativt konfidensområde er C(X) = {θ 2 log Q(θ, Y 1,...,Y n ) < z} hvor z er (1 α) fraktilen i χ 2, df = k.. p.9/30

10 Gamma model Lad X 1,...,X n være uafhængige, Γ-fordelte med formparamter λ og skalaparameter β. l X1,...,X n (λ, β) = nλlog β + n log Γ(λ) (λ 1) Dl X1,...,X n (λ, β) = ( D 2 l X1,...,X n (λ, β) = n log β + nψ(λ) i n (λ, β) = nψ (λ) n β nψ (λ) n β n log X i + 1 β i=1 n log X i ; i=1 n β nλ β 1 β 2 nλ β + 2 n 2 β 3 i=1 X i n β nλ β 2 n i=1 X i ) n X i i=1. p.10/30

11 Eksempel X 1,...,X n iid variable. Γ-fordelte, form λ og skala β. 2 log Q β λ. p.11/30

12 Eksempel X 1,...,X n iid variable. Γ-fordelte, form λ og skala β. 2 log Q Wald β λ. p.12/30

13 Eksempel X 1,...,X n iid variable. Γ-fordelte, form λ og skala β. 2 log Q Wald Falsk Wald β λ. p.13/30

14 Eksempel X 1,...,X n iid variable. Γ-fordelte, form λ og skala β. Faktiske dækningsgrader: n 2 log Q Wald Falsk Wald p.14/30

15 Konfidensområde for parameterfunktioner X (Ω, F) (X, E) x P θ ν θ Θ θ τ t D(x) R Konfidensbetingelse: P θ (τ(θ) D(X)) 1 α for alle θ. p.15/30

16 Konfidensområder og test At finde konfidensområde for τ : Θ R er det samme som på én gang at teste alle hypoteser af formen H y : τ(θ) = y Hvis et test af H y fører til kritisk mængde K(y) og acceptmængde A(y) sættes D(x) = {y R x A(y)} Omvendt, hvis D(x) er et konfidensområde, gennemføres et test af H y ved acceptmængden A(y) = {x X y D(x)}. p.16/30

17 Praktisk konstruktion I praksis konstrueres konfidensområder for τ : Θ R ofte ved en afbildning Z : X R R med en konkordansfortolkning. Find z y så P θ (Z(X, y) < z y ) 1 α hvis τ(θ) = y Der er kun håb om at konstruktionen virker hvis er pivot langs niveaukurver for τ R(x, θ) = Z(x, τ(θ)). p.17/30

18 Eksempel: IID normalfordelinger Lad X 1,...,X n være uafhængige N(ξ, σ 2 )-fordelte Problem Find et konfidensområde for ξ.. p.18/30

19 Fordelingsresultater Hvis X 1,...,X n er uafhængige N(ξ, σ 2 )-fordelte er X N(ξ, σ2 n ) SSD χ 2, df = n 1 og skala = σ 2 X og SSD er uafhængige Spaltningssætningen! Hvis U N(0, 1) og V χ 2 med df = k og skala = 1/k er uafhængige, så er U V t, df = k. p.19/30

20 Eksempel: IID normalfordelinger Lad X 1,...,X n være uafhængige N(ξ, σ 2 )-fordelte Problem Find et konfidensområde for ξ. D 1 (X 1,...,X n ) = ( X z SSD n(n 1), X + z SSD n(n 1) ), hvor z er 97.5% fraktilen for t-fordelingen med n 1 frihedsgrader. p.20/30

21 Profilkvotientteststørrelsen Lad τ : Θ Ψ være en parameterfunktion. Profillikelihoodfunktionen: L x (ψ) = sup L x (θ) θ:τ(θ)=ψ Maksimering af L x langs niveaukurver for τ. Kvotientteststørrelsen baseret på profillikelihoodfunktionen: Q(ψ, x) = L x (ψ) sup L ψ x (ψ ) = L x (ψ) L x (ˆθ) Find z ψ så P θ ( 2 log Q(ψ, X) < z ψ ) = 1 α når τ(θ) = ψ Kræver partiel pivothed for at give mening.. p.21/30

22 Wilks sætning Lad Y 1, Y 2,... være iid. observationer fra en k-dimensional statistisk model. Lad τ : Θ Ψ være en surjektiv parameterfunktion, og lad Ψ være m-dimensional. Under regularitetsbetingelser vil under P θ når τ(θ) = ψ. 2 log Q(ψ, Y 1,...,Y n ) D χ 2, df = m. p.22/30

23 Den lineære normale model Antagelse X er regulært normalfordelt på V med - centrum ξ L - præcision, σ 2 Parametrisering (ξ, σ 2 ) L (0, ). p.23/30

24 Konfidensområde Problem: Find konfidensområdet for parameterfunktionen (ξ, σ 2 ) ξ (Variansparameteren σ 2 er en støjparameter) Strategi: Find profillikelihoodfunktionen for ξ, L X (ξ). Find kvotientteststørrelsen Q X (ξ) ud fra L X (ξ). Find en afskæring af formen C(X) = {ξ Q X (ξ) > z} Bed til at Q X er pivot.... p.24/30

25 Profillikelihood Husk at L X (ξ, σ 2 ) = ( ) N/2 1 e X ξ 2 /2σ 2 σ 2 For fast ξ maksimeres dette udtryk af ˆσ 2 (ξ) = X ξ 2 N så profillikelihoodfunktionen er L X (ξ) = ( ) N/2 N X ξ 2 e N/2. p.25/30

26 Profillikelihoodkvotient Kvotientteststørrelse på denne baggrund: Q X (ξ) = L X (ξ) L X (ˆξ) = ( X p(x) 2 X ξ 2 ) N/2. p.26/30

27 Afskæringsområde Kvotientteststørrelsen er i (aftagende) bijektiv korrespondence med p(x) ξ 2 /k X p(x) 2 /(N k) Vi kan derfor vælge et afskæringsområde af formen C(X) = { ξ p(x) ξ 2 } /k X p(x) 2 /(N k) < z. p.27/30

28 Afskæringsområde Hvis (ξ, σ 2 ) er de sande parametre, så er p(x) ξ 2 /k X p(x) 2 /(N k) F -fordelt, df = (k, N k) altså pivot! Vi kan derfor vælge et afskæringsområde af formen C(X) = { ξ p(x) ξ 2 } /k X p(x) 2 /(N k) < z hvor z er 95% fraktilen i F(k, N k)-fordelingen. Bemærk: C(X) er en kugle i L med centrum i p(x).. p.28/30

29 Matrixformulering V = R N. Sædvanligt indre produkt: x, y = x T y. Underrum givet ved designmatrix L = {Aβ β R k } hvor de k søjler i A er lineært uafhængige N-vektorer. Konfidensområde for β: C(X) = {β R k (β ˆβ) T A T A(β ˆβ) < kz σ } 2 hvor z er 95% fraktilen for en F(k, N k)-fordelingen.. p.29/30

30 Marginale konfidensintervaller Hvis vi betrager en lineær reel parameterfunktion, β α T β kan vi i princippet finde profillikelihoodfunktion etc. Resultatet bliver et konfidensområde af formen α T ˆβ ± α T (A T A) 1 α z σ 2 hvor z er 95% fraktilen for en F -fordeling med (1, N k) frihedsgrader.. p.30/30

Den lineære normale model

Den lineære normale model Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af

Læs mere

Den lineære normale model

Den lineære normale model Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af

Læs mere

Områdeestimation. Kapitel 7

Områdeestimation. Kapitel 7 Kapitel 7 Områdeestimation Lad (ν θ ) θ Θ være en parametriseret statistisk model på (X, E). I kapitel 4 definerede vi såkaldte punktestimatorer af parameteren θ. Disse estimatorer fungerer sådan at vi

Læs mere

Estimation. Lad (ν θ ) θ Θ være en statistisk model på (X, E). En estimator af θ er en afbildning t : X Θ. En konkret værdi t(x) kaldes et estimat.

Estimation. Lad (ν θ ) θ Θ være en statistisk model på (X, E). En estimator af θ er en afbildning t : X Θ. En konkret værdi t(x) kaldes et estimat. Estimation Lad (ν θ ) θ Θ være en statistisk model på (X, E). En estimator af θ er en afbildning t : X Θ. En konkret værdi t(x) kaldes et estimat. En estimator er en gætteregel.. p.1/22 Estimation X acements

Læs mere

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/26 PSfrag replacements Statistisk

Læs mere

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/23 Statistisk hypotese PSfrag replacements

Læs mere

Fejlstrata. Vi forestiller os at V har. 1) Et underrum L. 2) Et indre produkt, 3) En ortogonal dekomposition V = W W m

Fejlstrata. Vi forestiller os at V har. 1) Et underrum L. 2) Et indre produkt, 3) En ortogonal dekomposition V = W W m Fejlstrata Vi forestiller os at V har 1) Et underrum L 2) Et indre produkt, 3) En ortogonal dekomposition V = W 1 +... + W m Underrummene W i kaldes fejlstrata. Typisk eksempel på en fejlstratumdekomposition:

Læs mere

Trykfejlsliste - alle fejl Introduktion til Matematisk Statistik 2. udgave

Trykfejlsliste - alle fejl Introduktion til Matematisk Statistik 2. udgave 3. februar 2012 Stat 1TS / EH Trykfejlsliste - alle fejl Introduktion til Matematisk Statistik 2. udgave Denne liste indeholder alle de regulære fejl, slåfejl og stavefejl der er fundet i 2. udgave af

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2005 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive

Læs mere

Klassisk Taylors formel

Klassisk Taylors formel p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0

Læs mere

Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.

Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ. Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.

Læs mere

Trykfejlsliste - alle fejl Introduktion til matematisk statistik

Trykfejlsliste - alle fejl Introduktion til matematisk statistik 29. juni 2004 Stat 1TS / EH Trykfejlsliste - alle fejl Introduktion til matematisk statistik Denne liste indeholder alle de regulære fejl, slåfejl og stavefejl der er fundet i noterne indtil nu. 4 5 Forkert:

Læs mere

Kombinant. En kombinant er en afbildning. hvor (Y, K) er endnu et målbart rum. Typisk taler vi om reelle kombinanter, hvor Y = R.

Kombinant. En kombinant er en afbildning. hvor (Y, K) er endnu et målbart rum. Typisk taler vi om reelle kombinanter, hvor Y = R. Kombinant Lad (ν θ ) θ Θ være en statistisk model på (X, E). En kombinant er en afbildning hvor (Y, K) er endnu et målbart rum. R : X Θ Y Typisk taler vi om reelle kombinanter, hvor Y = R. Som regel forsøger

Læs mere

Trykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori

Trykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori 9. januar 2005 Stat 2A / EH Trykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori Denne liste indeholder alle de regulære fejl, slåfejl og stavefejl der er fundet i 2A-noterne indtil nu. 9 1 Forkert: x C x ro alle

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2002 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive

Læs mere

Statistik 1TS 2003 Obligatorisk opgave 1

Statistik 1TS 2003 Obligatorisk opgave 1 Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet 4. marts 2003 Stat 1TS / EH Statistik 1TS 2003 Obligatorisk opgave 1 Formelle forhold: Opgaven stilles tirsdag

Læs mere

Asymptotisk testteori

Asymptotisk testteori Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde

Læs mere

Test af statistiske hypoteser

Test af statistiske hypoteser Kapitel 8 Test af statistiske hypoteser De inferensmæssige procedurer, vi hidtil har beskæftiget os med, har haft til formål at lokalisere den sande parameter så godt som muligt, og at beskrive hvor mange

Læs mere

Statistisk model. Definition: En statistisk model består af et repræsentationsrum (X, E) og en familie P af sandsynlighedsmål

Statistisk model. Definition: En statistisk model består af et repræsentationsrum (X, E) og en familie P af sandsynlighedsmål Statistisk model Definition: En statistisk model består af et repræsentationsrum (X, E) og en familie P af sandsynlighedsmål på (X, E). Modellen er parametriseret hvis der findes en parametermængde Θ og

Læs mere

Modelselektion Permeabilitet Permeabilitet Permeabilitet

Modelselektion Permeabilitet Permeabilitet Permeabilitet Modelselektion Permeabilitet Vi vil ud fra et eksempel diskutere de uhyggelige effekter af test-baseret modelselektion. Hvor lang tid er vand om at trænge igennem nyfremstillede byggeplader. Dag Dag Dag

Læs mere

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater

Læs mere

Estimation. Kapitel 4

Estimation. Kapitel 4 Kapitel 4 Estimation Lad (ν θ ) θ Θ være en parametriseret statistisk model på (X, E). I dette kapitel skal vi diskutere, hvorledes man ud fra en given observation x X kan give et skøn over værdien af

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2003 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive

Læs mere

Lineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable

Lineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt

Læs mere

Nanostatistik: Konfidensinterval

Nanostatistik: Konfidensinterval Nanostatistik: Konfidensinterval JLJ Nanostatistik: Konfidensinterval p. 1/37 Fraktilpåmindelse u p : Φ(u p ) = p, Φ( z ) = 1 Φ( z ) t p [f] : F t[f] (t p [f]) = p, F t[f] ( t ) = 1 F t[f] ( t ) F-fordeling:

Læs mere

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression: Definitioner For en binær (0/) variabel Y antager vi P(Y)p P(Y0)-p Eksempel: Bil til arbejde vs alder

Læs mere

Motivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser

Motivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren

Læs mere

Statistik 1TS 2005 Obligatorisk opgave 1

Statistik 1TS 2005 Obligatorisk opgave 1 9. marts 2005 Stat 1TS / EH Statistik 1TS 2005 Obligatorisk opgave 1 Formelle forhold: Opgaven stilles onsdag d. 9. marts 2005. Rapporten skal afleveres til mig personligt. Afleveringsfristen er tirsdag

Læs mere

Program. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18

Program. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges

Læs mere

så siges modellen at være! domineret af µ. Hvis modellen er parametriseret P =

så siges modellen at være! domineret af µ. Hvis modellen er parametriseret P = Kapitel 3 Likelihoodfunktionen Lad P være en statistisk model på (X, E). Hvis der findes et σ-endeligt mål µ på (X, E), således at ν µ for alle ν P, så siges modellen at være! domineret af µ. Hvis modellen

Læs mere

I dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)

I dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest

Læs mere

EKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer sider

EKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer sider EKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer 2008 5 sider Formaliteter Eksamen er en 24-timers eksamen, der udleveres mandag den 23/6-2008 klokken 0.00 og afleveres tirsdag den 24/6-2008 inden klokken 0.00.

Læs mere

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.

t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange

Læs mere

Fortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.

Fortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20. Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition

Læs mere

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1 Tag-hjem prøve 1. juli 2010 24 timer Alle hjælpemidler er tilladt. Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder,

Læs mere

Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.

Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)

Læs mere

I dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd

I dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt

Læs mere

Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål

Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive

Læs mere

Hvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.

Hvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag. Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er

Læs mere

Dagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at

Dagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Den generelle lineære model

Den generelle lineære model Kapitel 10 Den generelle lineære model Den generelle lineære normale model, eller blot den lineære normale model, er en matematisk abstraktion af en række af de mest anvendte statistiske modeller: etsidet

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Differentialregning i R k

Differentialregning i R k Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. IH kapitel 12. Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. IH kapitel 12. Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 12 Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge 1 Fordelingen af én (1): Regressionsanalyse udfaldsvariabel responsvariabel afhængig variabel Y variabel 2

Læs mere

Antag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18

Antag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18 Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober Økonometri 1: F8 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober Økonometri 1: F8 1 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober 2006 Økonometri 1: F8 1 Dagens program Opsamling om asymptotiske egenskaber: Asymptotisk normalitet Asymptotisk efficiens Test af flere lineære

Læs mere

Estimation og konfidensintervaller

Estimation og konfidensintervaller Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset 02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser

Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag

Læs mere

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag    susanne Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Sandsynlighed og Statistik

Sandsynlighed og Statistik 36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,

Læs mere

Del II. Den lineære normale model

Del II. Den lineære normale model Del II Den lineære normale model 301 302 Kapitel 9 Normalfordelinger på vektorrum Vi vil i dette kapitel give en fremstilling af teorien for normalfordelinger (også kaldet Gaussiske fordelinger) på endeligdimensionale

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Opgave fra sidst (Gauss-Markov teoremet) Kvantitative metoder Inferens i den lineære regressionsmodel 7. marts 007 Opgave: Vis at hvis M = I X X X X ( ' ) ' er M idempoten dvs der gælder gælder M = M '

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006 Økonometri 1: F6 1 Oversigt: De næste forelæsninger Statistisk inferens: hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan

Læs mere

Sandsynlighedsteori

Sandsynlighedsteori Fordelingskatalog til Sandsynlighedsteori 1.1 + 1.2 Svend Erik Graversen August 2005 1 Dette katalog indeholder de vigtigste egenskaber ved de 6 mest almindelige diskrete fordelinger samt de 11 mest almindelige

Læs mere

Reeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori

Reeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.

Læs mere

Økonometri: Lektion 7 Emne: Prædiktionsintervaller, RESET teset, proxy variable og manglende data.

Økonometri: Lektion 7 Emne: Prædiktionsintervaller, RESET teset, proxy variable og manglende data. Økonometri: Lektion 7 Emne: Prædiktionsintervaller, RESET teset, proxy variable og manglende data. 1 / 32 Motivation Eksempel: Savings = β 0 + β 1 Income + u Vi ved allerede, hvordan vi estimerer regresseionlinjen:

Læs mere

Integration m.h.t. mål med tæthed

Integration m.h.t. mål med tæthed Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvantitative metoder 2 Inferens i den lineære regressionsmodel 7. marts 2007 regressionsmodel 1 Opgave fra sidst (Gauss-Markov teoremet) Opgave: Vis at hvis M = I X X X X 1 ( ' ) ' er M idempoten dvs der

Læs mere

Løsning eksamen d. 15. december 2008

Løsning eksamen d. 15. december 2008 Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th

Læs mere

Integration m.h.t. mål med tæthed

Integration m.h.t. mål med tæthed Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.

Læs mere

Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen

Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,

Læs mere

Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet

Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 32 Konsekvenser af Heteroskedasticitet Antag her (og i resten) at MLR.1 til MLR.4 er opfyldt. Antag MLR.5 ikke er opfyldt, dvs. vi har heteroskedastiske

Læs mere

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet

Læs mere

Module 4: Ensidig variansanalyse

Module 4: Ensidig variansanalyse Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Statistiske Modeller 1: Kontingenstabeller i SAS

Statistiske Modeller 1: Kontingenstabeller i SAS Statistiske Modeller 1: Kontingenstabeller i SAS Jens Ledet Jensen October 31, 2005 1 Indledning Som vist i Notat 1 afsnit 13 er 2 log Q for et test i en multinomialmodel ækvivalent med et test i en poissonmodel.

Læs mere

Flerdimensionale transformationer

Flerdimensionale transformationer Kapitel 18 Flerdimensionale transformationer Når man i praksis skal opstille en sandsynlighedsmodel for et eksperiment, vil man altid tage udgangspunkt i uafhængighed. Ofte kan man tænke på det udførte

Læs mere

n r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1

n r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1 (a) Denne opgave bygger på resultaterne fra 2 forsøg med epo-behandling af for tidligt fødte børn, idet gruppe 1 og 3 stammer fra første forsøg, mens gruppe 2 og 4 stammer fra det andet. Det må antages,

Læs mere

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Regressionsanalyser. Hvad er det statistiske problem? Primære og sekundære problemer. Metodeproblemer.

Regressionsanalyser. Hvad er det statistiske problem? Primære og sekundære problemer. Metodeproblemer. Regressionsanalyser Hvad er det statistiske problem? Primære og sekundære problemer. Metodeproblemer. Hvilke faglige problemer kan man løse vha. regressionsanalyser? 1 Regressionsanalyser Det primære problem

Læs mere

Poul Thyregod, introslide.tex Specialkursus vid.stat. foraar Lad θ = θ(β) R k for β B R m med m k

Poul Thyregod, introslide.tex Specialkursus vid.stat. foraar Lad θ = θ(β) R k for β B R m med m k Dagens program: Likelihoodfunktion, begreber : Mandag den 4. februar Den generelle lineære model score-funktion: første afledede af log-likelihood har middelværdien nul observeret information: anden afledede

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Module 12: Mere om variansanalyse

Module 12: Mere om variansanalyse Module 12: Mere om variansanalyse 12.1 Parreded observationer.................. 1 12.2 Faktor med 2 niveauer (0-1 variabel)......... 3 12.3 Tosidig variansanalyse med tilfældig virkning..... 9 12.3.1 Uafhængighedsbetragtninger..........

Læs mere

Program. Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve I SAS. Øvelse: effekt af diæter

Program. Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve I SAS. Øvelse: effekt af diæter Program Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Øvelse: effekt af diæter. Repetition fra sidst... Parrede og ikke-parrede

Læs mere

Hvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm

Hvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm Kon densintervaller og vurdering af estimaters usikkerhed Claus Thorn Ekstrøm KU Biostatistik ekstrom@sund.ku.dk Marts 18, 2019 Slides @ biostatistics.dk/talks/ 1 Population og stikprøve 2 Stikprøvevariation

Læs mere

Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok

Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)

Læs mere

standard normalfordelingen på R 2.

standard normalfordelingen på R 2. Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009

Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th

Læs mere

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = ) PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6 Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke

Læs mere

men nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller

men nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =

Læs mere

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den

Læs mere

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Jens Ledet Jensen H2.21, email: jlj@imf.au.dk Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression p. 1/34 Program for i dag 1. Indledning: sammenhæng mellem

Læs mere

Det asymptotiske scenarie

Det asymptotiske scenarie Kapitel 5 Det asymptotiske scenarie Den simpleste asymptotiske situation opstår hvis man har uafhængige, identisk fordelte variable Y 1,..., Y n med værdier i et målbart rum (Y, K). Man forestiller sig

Læs mere

Lokal estimationsteori

Lokal estimationsteori Kapitel 5 Lokal estimationsteori 5.1 Konsistens Vores første delmål er at sikre at regularitetsbetingelserne medfører at den reskalerede konkordanskombinant med meget stor sandsynlighed har en positivt

Læs mere

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004 1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt

Læs mere