Muligheder: NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling.

Transkript

1 Eksempel: dæktyper og brændstofforbrug (opgave 25 side 319) Program: cars radial belt Muligheder: 1. vi starter med at gennemgå opgave 7 side nyt: varianskomponent-modeller (random effects) og transformation af data. ensidet variansanalyse Y ij = µ i + ǫ 2 ij. Problem: tager ikke hensyn til variation mellem biler/chauffører parret t-test: test for middelværdi nul af differenser D j = Y 2j Y 1j blocking. Y ij = µ i + β j + ǫ 2 ij hvor β j effekt af bil/chauffør. NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! 1 Ulempe ved blocking: indfører 12 parametre β j for effekter som vi vil korrigere for, men som ikke i sig selv er interessante. 3 Tilfældige effekter Obs. og blok-effekter qq-plot for estimater af block-effekter β j : Normal Q Q Plot Vedr. forsøgsplanlægning Antag vi har 4 blokke hver med 4 delplots og ialt 4 behandlinger. Er det en god eller dårlig ide at have behandling 1 på delplots indenfor blok 1, behandling 2 på delplots indenfor blok 2 etc.? gas Sample Quantiles Denne strategi vil minimere variation mellem målinger for samme behandling block Theoretical Quantiles Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling. Model: 2 Y ij = µ i + B j + ǫ ij hvor B j N(0,σ 2 B ) og ǫ ij N(0,σ 2 ) og uafhængige. 4

2 Alternativ beregning vha lme() (lineær mixed effects model): Dekomposition af varians: V ar(y ij ) = V ar(µ i + B j + ǫ ij ) = V ar(b j ) + V ar(ǫ ij ) = σ 2 B + σ 2 σ 2 B og σ2 : varianskomponenter. Beregningsformler for varianskomponenter (table 13.19, afsnit og side i WMMY henh. table 13.17, afsnit samt ): ˆσ 2 = s 2 = SSE (k 1)(b 1) I det konkrete tilfælde er b = 12 og k = 2. 5 ˆσ 2 B = s2 2 s 2 k s 2 2 = SSB b 1 > library(nlme) > mixedfit=lme(gas~beltind,random=~1 factor(block)) > summary(mixedfit) Linear mixed-effects model fit by REML... Random effects: Formula: ~1 factor(block) (Intercept) Residual StdDev: Fixed effects: gas ~ beltind Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) beltind NB: ~1 factor(block) specificerer de tilfældige effekter. Formlen læses tilfældigt intercept (1) indenfor ( ) hver blok. Det tilfældige intercept er altså B j. 7 Beregning i R vha variansanalyse tabel: > aov.fit=aov(gas~beltind+factor(block)) > summary(aov.fit) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) beltind * #SSA factor(block) e-09 *** #SSB Residuals #SSE --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * σ 2 = σ 2 B = ( )/2 = Forsøgsplanlægning Output fra maskine med 4 forskellige operatører (opg 1 side 513) operat output Model Y ij = µ + B j + ǫ ij hvor B j tilfældig operatør effekt og ǫ ij støj. Ȳ estimat af µ. Bemærk: langt den største del af variansen kommer fra blokkene! Antag vi kan lave 100 målinger. Hvordan skal vi vælge antal operatører og antal gentagelser pr. operatør for at få mest præcise estimat? 6 8

3 > library(nlme) > op.fit=lme(output~1,random=~1 operator) > op.fit Linear mixed-effects model fit by REML Data: NULL Log-restricted-likelihood: Fixed: output ~ 1 (Intercept) Random effects: Formula: ~1 operator (Intercept) Residual StdDev: Number of Observations: 16 Number of Groups: 4 Støj varians: = Operatør varians = Lad b angive antal operatører og m = 100/b antal gentagelser pr. operatør. V arȳ = V ar 1 bm b m i=1 j=1 Y ij = 1 b 2 m 2 b b m V ar[ mb j ] + V ar[ ǫ ij ] i=1 = 1 b 2 m 2 (bm2 σ 2 B + bmσ 2 ) = σ2 B b + σ2 bm = σ2 B b + σ2 100 Dvs. skal vælge b så stor som mulig. i=1 j=1 Antag pris pr. operatør er 100 og pris pr. gentagelse er 50 og vi har 1000 (kr.) til rådighed. Pris for b operatører og m gentagelser b100 + bm50. Med b operatører har vi dermed råd til m = (1000/b 100)/50 gentagelser. 11 Vha. variansanalysetabel (se WMMY afsnit henh. afsnit 13.13) ˆσ 2 = SSE k(n 1) ˆσ 2 α = s2 1 s 2 n > fit=aov(output~factor(operator)) > summary(fit) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(operator) *** # SSA s_1^2 Residuals # SSE s^2 --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * > ( )/4 [1] V arȳ som funktion af b (antal operatører): varians b Optimalt antal operatører =7 når 1000 kr. til rådighed

4 Transformation af data Plots Normal Q Q Plot Grundlæggende antagelser for lineær model: respons lineær funktion af forklarende variable varianshomogenitet normalfordelte fejl Patient.Load X.Rays Bed.Days Population Days rstudent(fit)[order(fitted(fit))] Sample Quantiles Hvis disse ikke er opfyldt for et givet data sæt kan det ofte være en ide at transformere (anvende den lineære model på en anden skala) Manhours Index Theoretical Quantiles Kolineariatet Var. het. ej normal Eksempel: hospitalsdata (manhours) plot(hosp)#parvis plot af alle variable fit=lm(manhours~patient.load+x.rays+bed.days+population+days) plot(rstudent(fit)[order(fitted(fit))]) qqnorm(rstudent(fit)) qqline(rstudent(fit)) Model for log Manhours plot(hosp)#parvis plot af alle variable logfit=lm(log(manhours)~patient.load+x.rays+bed.days+population+days) plot(rstudent(logfit)[order(fitted(logfit))]) qqnorm(rstudent(logfit)) qqline(rstudent(logfit)) 14 16

5 Prediktion vha. model for log Manhours Plots rstudent(logfit)[order(fitted(logfit))] Index Sample Quantiles Normal Q Q Plot Theoretical Quantiles Transformation reduceret variansheterogenitet og afvigelse fra normalitet mindre. 17 #efter backward selection > logfit=lm(log(manhours)~patient.load) > #prediktion af log Manhours med Patient.Load=30 > predict30=predict(logfit,newdata=data.frame(patient.load=30),interval= > predict30 [1,] > exp(predict30) [1,] Tilbagetransformering: (Y angiver Manhours når Patient.Load=30): P(L < log Y < U) = 95% P(exp(L) < Y < exp(u)) = 95% Dvs. 95 % prediktionsinterval [exp(6.33),exp(8.26)] = [563.22, ]. NB: prediktionsintervaller kun positive værdier! 19 Prediktionsintervaller baseret på model uden transformation > predict(fit,interval="prediction") NB: Prediktionsintervaller indeholder negative værdier af Manhours! Konfidensintervaller Konfidensinterval for µ 30 (forventet værdi af log Manhours når Patient.Load=30): > confid30 [1,] NB: exp(µ 30 ) er median for Manhours. Konfidensinterval for median: > exp(confid30) [1,]

6 Fra ikke-lineære til lineære sammenhænge Hvis man kender funktionel sammenhæng kan denne viden benyttes til at finde passende transformationer: Opsummering: vi skal bruge den lineære model på den skala, hvor den giver bedst mening. Ved tilbagetransformering opnås da en model for data på den oprindelige skala. y = α exp(βx) log y = log α + βx y = αx β log y = log α + β log x y = α x x + β 1 y = 1 α + β 1 α x (Michaelis-Menten) Eksempel: Michaelis-Menten vha linearisering Tælle-data For Poisson-fordeling er EX = V arx = λ. Her vil X approximativt have konstant varians. Dvs. for tælledata kan kvadratrodstransformation være relevant. x=c(1:10) #simulerer data y=0.1*x/(x+2)+rnorm(10,sd=0.01) plot(x,y) plot(1/x,1/y) recy=1/y recx=1/x fit=lm(recy~recx) abline(fit) 22 24

7 Resultater y x y 1/y var. het. (stiplet linie: rigtige parameter-værdier) #estimerede koefficenter ab=coef(fit) alpha=1/ab[1] beta=ab[2]/ab[1] /x Observationer og tilpasset MM-model x 27 Eksempel: Michaelis-Menten vha ikke-lineær least squares > nonlinfit=nls(y~alpha*x/(x+beta),start=list(alpha=0.1,beta=3.78)) > summary(nonlinfit) Formula: y ~ alpha * x/(x + beta) Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) alpha *** beta * --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 8 degrees of freedom Mere præcise resultater! 26