Matematikbog i 50 erne. Hvad er matematik anno 2015? Matematikbog 60 erne. Matematikbog erne Bent Lindhardt 1

Transkript

1 Matematikbog i 50 erne Hvad er matematik anno 2015? En bonde sælger en sæk kartofler for 40 kr. Fremstillingsomkostningerne er 4/5 af salgsindtægterne. 2 Hvor stor er fortjenesten? 1 Bent Lind hard t Matematikbog 60 erne En bonde sælger en sæk kartofler for 40 kr. Fremstillingsomkostningerne er 32 kr. Beregn venligst fortjenesten. 3 Matematikbog erne En bonde sælger en mængde kartofler K for en mængde penge P. P har størrelsen 40. For mængden P gælder at, et hvert element p er en krone. I stregmængder må du for mængden P sætte 40 streger, nemlig for hvert element P en streg. Fremstillingsomkostningernes mængde F er otte streger mindre end mængden P. Tegn et billede af mængden F som en delmængde af P og angiv løsningsmængden L som svar på spørgsmålet: Hvor stor er fortjenstmængden? 4 Bent Lind hard t Bent Lind hard t 1

2 Matematikbog 90 erne En bonde sælger en sæk kartofler for 40 kroner. Fremstillingsomkostningerne er 32 kr. Fortjenesten er 8 kr. Kompetencer i Understreg ordet kartofler og diskuter med din sidemand. Bent Lind hard t Bent Lind hard t EVA rapport 2012 Undersøgelse af læreres brug af Fælles Mål i dansk og mat 4. og 7. klasse: Lærerne er ikke målstyrede i den måde, de planlægger og tilrettelægger deres undervisning på. Lærernes planlægning og tilrettelæggelse af undervisningen tager derimod afsæt i emner og aktiviteter. Man skelner mellem langsigtede og kortsigtede læringsmål og udelader undervisningsmål EVA-rapport fortsat Indtrykket fra de fem skoler er i stedet, at mange lærere finder deres egen vej i den måde, de arbejder med læringsmål og gør brug af Fælles Mål på, enten ud fra, hvad de hver især finder gavnligt, eller ud fra, hvad de mere eller mindre formelt vurderer, at der er forventet af dem

3 En fascination Ontario Fælles mål 2009 kende til de rationale tal Ontario By the end of Grade 4, students will: read, represent, compare, and order whole numbers to , decimal numbers to tenths, and simple fractions, and represent money amounts to $100; demonstrate an understanding of magnitude by counting forward and backwards by 0.1 and by fractional amounts; Rammer for skrivningen Kompetencer, viden og færdigheder (OECD). 4 kompetenceområder for hvert fag fx tal og algebra, geometri osv Målpar som viden og færdighed fx Eleven kan anvende Eleven har viden om flercifrede naturlige tal til naturlige tals opbygning i at beskrive antal og titalssystemet rækkefølge Normalmål for årgange som blev til faser inden for 3 alderstrin kl., kl. og kl. 9 UCSJ 10 Hvad leverer UVM? Målbeskrivelse forenklede Fælles Mål (lovbefalet) Læseplan (lovbefaler hvis ikke kommunen ændrer den) Vejledning (inspiration) Ideer til læringsmål tegn på målopfyldelse og udfordringer samt opmærksomhedsmål (Inspiration) Eksemplariske forløb og ideer (Lige nu 3 stk et til hvert trin) Det står på EMU

4 Problembehandling Modellering Ræsonnement og tankegang Repræsentation og symbolbehandling Kommunikation Hjælpemidler Målopbygningen Kompetencemål Kompetencemål flerårige mål Kompetencemål flerårige mål Færdigheds- og vidensmål etårige mål Færdigheds- og vidensmål etårige mål Læringsmål for et undervisningsforløb Læringsmål for et undervisningsforløb Side 13 Side 14 Kompetenceområde 3. klassetrin 6. klassetrin 9. klassetrin Matematiske kompetencer Eleven kan handle hensigtsmæssigt i situationer med matematik Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik Eleven kan handle med dømmekraft i komplekse situationer med matematik Planlægningsredskab Kompetenceomr åder Tal og algebra Eleven kan udvikle metoder til beregninger med naturlige tal Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Geometri og måling Eleven kan anvende geometriske begreber og måle Eleven kan anvende geometriske metoder og beregne enkle mål Eleven kan forklare geometriske sammenhænge og beregne mål Tal og algebra Statistik og sandsynlighed Eleven kan udføre enkle statistiske undersøgelser og udtrykke intuitive chancestørrelser Eleven kan udføre egne statistiske undersøgelser og bestemme statistiske sandsynligheder Eleven kan vurdere statistiske undersøgelser og anvende sandsynlighed Geometri og måling Statistik og sandsynlighed Side 15 Side 16 4

5 Hvad er matematik? Produkter Vide hvad en ligesidet trekant er (fakta) Kan løse en enkel ligning (færdighed) Indse at en figur med samme areal kan have forskellig omkreds (forståelse faglig pointe) Processer (kompetencer) Ræsonnere Kommunikere Problembehandle Generalisere Matematisere.. Problembehandlingskomp. Problembehandling vedrører løsning og opstilling af matematiske problemer, dvs. matematiske spørgsmål der ikke kan besvares udelukkende med rutinemetoder Problembehandling = 290 kr. = 195 kr. Åben Lukket Der er tre variable som indgår i graden af åbenhed/lukkethed: Problemet åbent eleverne formulerer selv spørgsmålet ( hvilket er givet ved den mundtlige prøve som udgangspunkt) Metoden åbent ved grublere (alders og personafhængigt) Svaret åbent ved målingen, ved inddragelse af antagelser

6 Goddag. Hvor mange håndtryk skal der til hvis alle i en gruppe skal have sagt goddag til hinanden? Fremstil en regel Gennemfør en fase hvor i: 1 laver enkle eksempler 2 ser på fællestræk 3 systematiserer Mulige svar * 3 : 2 3 * 4 : 2 4 * 5 : 2.. N(n-1)/ Finde vinderstrategier Problembehandling - i børnehøjde

7 Modelleringskomp. Modellering Modellering vedrører dels processer, hvor matematik anvendes til behandling af situationer og problemstillinger uden for matematikken dels analyse og vurdering af matematiske modeller, som beskriver forhold i virkeligheden. Viktor er vinduespudser. Han skal pudse alle vinduerne på skolen, men han ved ikke hvor stort et arbejde det er? Kan du hjælpe ham? Menneskets overflade Hvor meget tandpasta i morges? Timm Ulrich Tysk kunstner som forsøgte at dække sin krop med kvadratcentimetre Bent Lind hard t 7

8 Simpel modelleringscyklus Menneskets overflade Virkelighed Beskrive Matematik Timm Ulrich Tysk kunstner som forsøgte at dække sin krop med kvadratcentimetre Tolke Analysere Matematiske resultater Modelovervejelse (Detektorleg) Ræsonnement og tankegangskompetencen Hvis man fylder en beholder med centicubes og ganger antallet med 1,5, så er man tæt på rumfanget af beholderen Ræsonnement og tankegang vedrører matematisk argumentation og karakteristika ved matematisk tankegang. Lav en undersøgelse af om denne regnemodel er god eller dårlig

9 TANKEGANG karakterisere og stille matematiske spørgsmål At spørge matematisk Sæt fokus på spørgsmålet 33 Bent Lind hard t 34 Er det firkanter? Find grænsen Gå til marginalerne af det definerede og forklarede hvor er grænsen? Vi definerer at.. Det skæve og ualmindelige Det tydelige og almindelige Det skæve og ualmindelige

10 En matematikdialog Forestil jer en terning. Terningen er malet rød. Terningen saves ud i 27 små terninger Argumenter for hvor mange små terninger som har en side, der er rød to sider, der er røde tre sider, der er røde fire sider, der er røde ingen sider, der er røde Repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen Repræsentation og symbolbehandling vedrører anvendelse og forståelse af repræsentationer i matematik, herunder matematisk symbolsprog Repræsentationsformer Symbolbehandling Yvonne og Peter skal dele 36 kr. Peter skal have dobbelt så meget som Yvonne. Kan oversættes til x + 2 x =

11 Symboler for tal Hjælpemiddelkompetencen kende, vælge og anvende hjælpemidler i arbejdet med matematik, herunder it, og have indblik i deres muligheder og begrænsninger Hjælpemiddelkompetencen Tankeforlænger eller erstatning? Computer Lommeregner Konkrete materialer Mobiltelefonen IWB Osv Multimodale virkemidler Enten kan it benyttes som elevens forlængelse af tanken - hvor it er et hjælpemiddel til hurtigere og bedre at løse matematiske problemstillinger. Det centrale er, at eleven til en vis grad kunne have gennemført operationen, men det havde været meget mere kompliceret, mere tidskrævende og måske mere unøjagtigt. Eller it kan træde ind som tankeerstatning for matematiske aktiviteter og processer, som eleven selv kun kender og forstår de mest indledende dele af. Eleverne overlader i en vis forstand arbejdet til maskinen uden at have indsigt i den matematik, der ligger bag

12 Kommunikationskompetencen og så er der fagligt stof/emner udtrykke sig om matematiske spørgsmål og aktiviteter på forskellige måder, indgå i dialog og fortolke andres matematiske kommunikation Stoffet er ikke ændret væsentligt men struktureret anderledes Læringsmål for et undervisningsforløb Tal og algebra (3. kl.) Tal Regnestrategier Algebra Kompetencemål flerårige mål Eleven kan anvende naturlige tal til at 1. angive antal og rækkefølge Eleven har viden om enkle naturlige tal Eleven kan addere og subtrahere enkle naturlige tal Eleven har viden om strategier til addition og subtraktion Eleven kan opdage systemer i figur- og talmønstre Eleven har viden om enkle figurog talmønstre Færdigheds- og vidensmål etårige mål Eleven kan udvikle metoder til beregninger med naturlige tal Eleven kan anvende flercifrede naturlige 2. tal til at angive antal og rækkefølge Eleven har viden om naturlige tals opbygning i titalssystemet Eleven kan udvikle metoder til addition og subtraktion med naturlige tal Eleven har viden om strategier til hovedregning, Eleven kan beskrive overslagsregning, systemer i figur- og regning med talmønstre skriftlige notater og digitale værktøjer Eleven har viden om figur og talmønstre Læringsmål for et undervisningsforløb Eleven kan genkende enkle og 3. brøker i hverdagssituationer Eleven kan udvikle Eleven har viden Eleven har viden metoder til om strategier til om enkle decimaltal multiplikation og multiplikation og og brøker division med naturlige division tal Eleven kan opdage regneregler og enkle sammenhænge mellem størrelser Eleven har viden om sammenhænge mellem de fire regningsarter Side

13 Problembehandling Modellering Ræsonnement og tankegang Repræsentation og symbolbehandling Kommunikation Hjælpemiddel Fælles Mål 2. Klasse Nedbrudte Læringsmål Tal og algebra Geometri og måling Statistik og sandsynlighed Eleven kan udvikle metoder til addition og subtraktion med naturlige tal Eleven kan give og følge uformelle matematiske forklaringer Eleven kan løse enkle matematiske problemer Side 49 Side 50 Forslag til færdighedsord Læringsmål 1 Eleven kan genkende hverdagssituationer hvori der indgår additive og subtraktive regneprocesser (stofområde) Matematiske emner (Stoffet) Tal og størrelser Kompetencer Tankegang Eleven kan Afrunde Tælle Måle Beregne / regne ud Give overslag Fordoble/halvere Omsætte Omskrive Eleven kan Spørge Definere Antage Vælge Forestille Læringsmål 2 Eleven kan genkende og anvende ord som beskriver additive og subtraktive regneprocesser (stofområde) Læringsmål 4 Eleven kan anvende hovedregning og overslag til vurdering af resultaters rigtighed ved subtraktion og addition (stofområde) Læringsmål 8 Eleven kan give en uformel forklaring på valg af additive eller subtraktive strategier (ræsonnementskompetence)

14 Valg af aktivitet Effekt af læring??? As Hattie says, the problem isn t finding out what works, the issue is focusing on what works best (2009, p. 18), because over 90% of all education interventions are positive (Hattie, 2009, p. 15). Side Tegn på læring Tegn på læring og graduering af læring Tegn er adfærd og synlighed handlinger som er iagttagelses mulige. Det kan bestå af det, som eleverne kan kommunikere, færdigheder, de kan demonstrere i praksis, eller produkter de kan skabe. Tegn er således ikke beskrivelser som har forstået at Tegn er indikatorer ikke den endelige evaluering men det glider i min optik sammen med den formative evaluering. Side

15 Tegn på læring - eksempler Overvejelser Eleven fortæller, hvor mange der er tilbage, når et antal fjernes fra en kendt mængde, dog højst 20. Tegn på læring blandes for meget sammen med delmål beskrevet som niveauer oversætter en situation, hvor to mængder sammenlignes, til et regnestykke. anvender ord, der knytter sig til en subtraktion, fx minus, trække fra, tage væk, det der er tilbage, fjerne, mangler mv. Sæt ikke for meget fokus på niveauer men hellere fokus på de misopfattelser og faser eleverne skal gennemløbe for at opnå indsigt Blooms taxonomi Grader af Tegn på læring eller delmål? evnen til at genkende træer er en nødvendig forudsætning, men ikke i sig selv ensbetydende med en forståelse af skoven. Kan tegn på færdigheder afsløre forståelsesniveau?

16 SOLO structure of the observed learned outcomes SOLO 1. trin 2. Trin 3. trin 4. trin 5. trin Eleven kan kun usammenhængen de information Eleven kan identificere omskrive anvende simple procedurer, Eleven kan opliste beskrive kombinere, Eleven kan sammenligne kontrastere forklare årsager analysere relatere anvende, Eleven kan teoretisere generalisere danne hypoteser perspektivere, Med behersker kun enkeltdele samt beherske flere aspekter, men integrerer dem ikke til en helhed samt beherske og integrere flere aspekter til en helhed samt bevæge sig fra det specifikke til det abstrakte 61 Forstår ikke Overfladeforståelse Dybdeforståelse 16