Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Transkript

1 Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder eller et valg med n muligheder. Det samlede antal valgmuligheder er m+n. Eksempel : En mand har 3 par korte og 7 par lange bukser. Skal han vælge et tilfældigt par bukser, så skal han enten vælge et par korte eller et par lange og har 3+7=0 mulige valg. Multiplikationsprincippet både og : Antag vi både skal lave et valg med m muligheder og et valg med n muligheder. Det samlede antal valgmuligheder er m. n. Eksempel : En mand har 7 par bukser og 0 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 0. 7=70 mulige valg. n fakultet, n!: Vi sætter 0!=!=!=. =.. n!= n Permutationer: En r-permutation af en mængde med n elementer er en delmængde med r elementer, 0 r n, hvor de r elementer er stillet op i rækkefølge. Eksempel 3: A={q,w,e,r,t,y}. Her er n=5 og {q,w,e} og {w,q,e} er to forskellige 3- permutationer af mængden A. P(n,r) er antallet af r-permutationer. En r-permutation kan fremkomme ved at - vælge. element i r-permutationen. Der er n mulige valg. - vælge. element i r-permutationen. Der er n- mulige valg. - vælge 3. element i r-permutationen. Der er n- mulige valg. - - vælge r. element i r-permutationen. Der er n-r+ mulige valg. Mutiplikationsprincippet giver så n(n )(n )... (n r+ )(n r)... n! P(n,r) = n(n )(n )...(n r+ ) = = (n r)... (n r)! Side af 8

2 Noter til Biomat, ! 0 Eksempel 4: P (5,3) = = = 60. I eksempel 3 kan altså laves 60 forskellige 3-! permutationer. Kombinationer: En r-kombitation af en mængde med n elementer er en delmængde med r elementer, 0 r n, hvor rækkefølgen er ligegyldig. Eksempel 5: A={q,w,e,r,t,y}. Her er {q,w,e} og {w,q,e} to måder at skrive samme 3- kombination af mængden A på. n K(n,r) er antallet af r-kombinationer. Dette antal skrives også. For at bestemme en r formel for K(n,r) forestiller vi os igen, at vi vil bestemme P(n,r). r-permutationer kan fremkomme ved to delvalg: - valg af r-kombination. Der er K(n,r) mulige valg. - valg af rækkefølge af elementerne i r-kombinationen. Der er P(r,r) mulige valg. Multiplikationsprincippet giver P(n,r) = K(n,r) P(r,r) K(n,r) = K(n,r) = P(n,r) P(r,r) n! ( ) (n r)! r! ( ) 0! n! K(n,r) = r!(n r)! 5 5! 0 Eksempel 6: A={q,w,e,r,t,y}. Her er K (5,3) = = = = 0 forskellige 3-3 3!! 6 kombinationer, dvs. der kan laves 0 forskellige delmængder af A med 3 elementer. Side af 8

3 Noter til Biomat, 005. Endeligt sandsynligheds felt. Definition: Ved et endeligt sandsynlighedsfelt (U,P) forstås en endelig mængde U={u,u,.,u n } og en funktion P, som opfylder: a) 0 P(u) for alle u U. n b) P (ui ) =. i= U kaldes udfaldsrummet, elementerne i U kaldes udfald. P kaldes sandsynlighedsfunktionen, og P(u) kaldes sandsynligheden for u. Definition: Et endeligt sandsynlighedsfelt kaldes symmetrisk, når alle udfald er lige sandsynlige. Eksempel 7: Et kast med en ærlig terning, U={,,3,4,5,6}. Sandsynlighedsfeltet er symmetrisk. Da summen af sandsynligheder skal give, har hvert udfald sandsynligheden. Dette kan generaliseres til: 6 Sætning: I et symmetrisk sandsynlighedsfelt (U;P), hvor U=(u,u,.,u n ), er P (u) = for alle u U. n Hændelser. Vi indfører nu nogle begreber, som i første omgang bruges på endelige sandsynlighedsfelter, men som har samme betydning i alle typer sandsynlighedsfelter. Definition: En delmængde, A, af et udfaldsrum, U, kaldes en hændelse. P(A) = P(u) kaldes sandsynligheden for hændelsen A. Ø kaldes den umulige hændelse og P(Ø)=0. U kaldes den sikre hændelse. Bemærk, at P(U)=. Eksempel 8: Lad A være hændelsen, at en ærlig terning ved et kast giver et lige antal øjne. A={,4,6} og P (A) = + + = 3 =. Dette kan generaliseres til: u A Sætning: I et symmetrisk sandsynlighedsfelt (U;P), hvor U=(u,u,.,u n ) og en hændelse A r består af r udfald, 0 r n er P (A) =. n Undertiden kaldes r antal gunstige udfald og n antal mulige udfald. Side 3 af 8

4 Noter til Biomat, 005. Da hændelser er mængder, kan vi umiddelbart overtage en række begreber fra mængdelæren: a) AU B Forenet hændelse, dvs. mængden af udfald som ligger i mindst en af hændelserne A og B. b) AI B Fælles hændelse, dvs. mængden af udfald som ligger i både hændelsen A og i hændelsen B. Hvis AI B =Ø, kaldes A og B disjunkte. c) A Komplementær hændelse, dvs. mængden af udfald som ikke ligger i hændelsen A. Sætning: Lad A og B være hændelser, da er P(A U B) = P(A) + P(B) P(AI B) ( ) = P(A) P A Ovenstående bevises ved overveje hvilke udfald, der skal summeres over. Eksempel 9: Lad udfaldsrummet bestå af samtlige børn født i % af disse børn er drenge. Hvis A er hændelsen, at et tilfældigt af disse børn er en dreng, så er P(A)=0,5. P A = 0,5= 0, A må da fortolkes som hændelsen, at et tilfældigt barn er en pige, og ( ) 49 Eksempel 0: En tipskupon med 3 rækker kan udfyldes på 3 3 måder. Lad H være hændelsen, at resultatet bliver 3 rigtige. Ved sypigetips er da P (H) = 3 3 og sandsynlighden for ikke at få 3 rigtige er P( H) = 0, =. Side 4 af 8

5 Noter til Biomat, 005. Betinget sandsynlighed. Eksempel : Vi ser på en gruppe mennesker med kønsfordelingen 40 kvinder og 60 mænd. Antag at 8 af kvinderne og 8 af mændene er tilhængere af partiet Venstre. Vi opstiller en række hændelser: K: En tilfældig person er kvinde. M: En tilfældig person er mand. V: En tilfældig person er tilhænger af venstre. Det giver (sætning om symmetrisk sandsynlighedsfelt) at: P (K) = = 0,4 P(V) = = 0,8 P(V I K) = = 0, Sandsynligheden for at en tilfældigt valgt person er Venstre-tilhænger, forudsat personen er kvinde, er 8 8 ( ) 00 P(VI K) = = P(K ( ) ) 00 dvs sandsynligheden for, at en person både er Venstre-tilhænger og kvinde, i forhold til sandsynligheden for, at en person er kvinde. Dette begrunder: Definition: Lad A og B være hændelser, hvor P(B)>0. Den betingede sandsynlighed for A givet B er P(A I B) P(A B) =. P(B) Hvis P (A B) = P(A) betyder det ikke noget for A om B er indtruffet eller ej. Derfor Definition: Lad A og B være hændelser. A og B kaldes uafhængige når P (AI B) = P(A)P(B) Eksempel : I eksempel er P (VI K) = 0, 08 og P (V)P(K) = 0,8 0,4 = 0, 07. Hændelserne V og K er altså ikke uafhængige i matematisk forstand, hvilket passer med vores dagligsprogs beskrivelse af situationen i eksemplet Sætning: Lad A, A,.,A n være parvis disjunkte hændelser i sandsynlighedsfeltet (U,P) og antag, at sandsynlighederne for disse hændelser er positive. Hvis B er en hændelse, er n P(B) = n i= P(B A i )P(A i ) Bevis: P(B) = P(BI A i ) kombineres med P(BI A ) P(B A )P(A ). i= Bemærk resultatet kan bruges til at bytte hændelse i betinget sandsynlighed. Hvis alle P(A P(B A )P(A ) i IB) i i P(B A i ) er kendte, så kan vi nu beregne P(A i B) = =. P(B) P(B) i = i i Side 5 af 8

6 Noter til Biomat, 005. Stokastisk variabel. Definition: En stokastisk variabel, X, er en funktion, hvis definitionsmængde er udfaldsrummet i et sandsynlighedsfelt (U,P). P (X= j) = P{ u U X(u) = j} er sandsynligheden for, at X antager værdien j. Vi bruger også notationer som osv. P(X j) = P u { U X(u) j} { Ui< X(u) j} P (i< X< j) = P u < Eksempel 3: Lad F være mængden af fisk i et akvarium. Lad M(f) være massen i gram af F= fisk,fisk,.... en fisk, f. Så er M en stokastisk variabel defineret på mængden { } Eksempel 4: Kast med ærlig terning, U={,,3,4,5,6}. Her er identitetsafbildningen I(x)=x en stokastisk variabel. Sandsynligheden for mindst at få en 3-er ved et kast er 4 P (I 3) = = Et forsøg, hvor der er tilknyttet en stokastisk variabel til udfaldene, kaldes et stokastisk eksperiment. Resultatet af et stokastisk eksperiment kan antage værdier i værdimængden for denne, men man må forvente, at meget sandsynlige værdier optræder ofte. Dette er baggrunden for definitionen af middelværdi (også kaldet forventet værdi), hvor værdierne vægtes med sandsynligheden for dem : Definition: Lad X være en stokastisk variabel tilknyttet et sandsynlighedsfelt (U,P). Middelværdien af X er E (X) = j P(X= j). j X(U) Eksempel 5: I et akvarium svømmer 5 fisk, som ikke er lige nemme at fange. P er sandsynligheden for, at en fisk fanges. M er massen i gram af en fisk. Fisk, f fisk fisk fisk3 fisk4 fisk5 P(f) 0, 0,3 0,3 0,5 0,05 M(f) i g Bemærk, at P(M=5g)=0,+0,5=0,35. E (M) = 5g 0,35+ 6g 0,3 + 3g 0,3 + 4g 0,05= 4,65g. 6 3 Side 6 af 8

7 Noter til Biomat, 005. Definition: Lad X være en stokastisk variabel tilknyttet et sandsynlighedsfelt (U,P). E(X)=µ. Variansen af X er Var(X) = (j µ) P(X= j) j X(U) Bemærk, at værdier, j, som ligger langt fra middelværdien vil bidrage til at gøre variansen større især hvis de er meget sandsynlige. Eksempel 6: For tallene i eksempel 5 fås Var (M) = (5g 4,65g) 0,35+ (6g 4,65g) 0,3 + (3g 4,65g) 0,3 + (4g 4,65g) 0,05=,475g det er lidt svært at sammenligne variansen med målingerne, for enheden kvadrat-gram er et abstrakt begreb. Det er begrundelse for at indføre: Definition: Lad X være en stokastisk variabel tilknyttet et sandsynlighedsfelt (U,P). Spredningen af X er σ( X) = Var(X) Eksempel 7: For tallene i eksempel 5 fås σ(m) =,475g =,96g Side 7 af 8

8 Noter til Biomat, 005. Binomialfordelingen. Betragt et forsøg med to udfald: Succes, s, og fiasko, f, der skal ikke lægges noget værdiladet i dette. Sandsynligheden for succes kalder vi p, dermed er sandsynligheden for fiasko -p. Dette forsøg gentages et antal, n, gange. Hvis sandsynligheden for succes ved hver gentagelse er p og er uafhængig af de forrige forsøg, så kaldes forsøgsserien et Binomialforsøg. n kaldes forsøgets længde, og p kaldes basissandsynligheden. Forsøget, der gentages, kaldes basisforsøget. Vi taler om binomialfordelingen, b(n,p). Lad os kalde udfaldsrummet for et binomial forsøg for U. forsøgslængde U Antal udfald i U {s,f} {(s,s),(s,f),(f,s),(f,f)} 4 3 {(s,s,s),(s,s,f),(s,f,s),.,(f,f,f)} 8... n n Eksempel 8: Basisforsøget kan være et kast med en terning. Resultatet 6 øjne kalder vi succes. På en ærlig terning er basissandsynligheden p=. Da gentagelser ikke 6 afhænger af tidligere kast, vil f.eks. n=0 kast være et binomialforsøg med 0 udfald. Eksempel 9: Skal der i en gruppe på 50 mennesker med ligelig kønsfordeling nedsættes et tilfældigt udvalg på 5 personer, så kunne det gøres ved 5 personvalg, hvor der i hvert valg (basisforsøg) vælges en mand eller en kvinde. Men da der ved hvert valg er en person mindre at vælge mellem, bliver sandsynligheden for en mand (eller en kvinde) ikke det samme i de 5 valg ( i første valg er sandsynligheden for en mand ½, i andet valg er det 4/49 eller 5/49). Her er altså ikke tale om et binomialforsøg. Vi definerer nu en stokastisk variabel, X, som antallet af succeser i et binomialforsøg med længde n. X kan da antage værdierne 0,,,3,.,n, og vi vil nu opstille en formel for P(X=j). I et udfald, u, med j succeser, er der n-j fiaskoer. Da der er uafhængighed mellem de enkelte gentagelser, så får vi P(u) som produktet af sandsynlighederne for resultaterne i hvert gentaget basisforsøg. Da succes har sandsynligheden p, og fiasko har sandsynligheden -p, er j n j P(u) = p ( p) Nu er u ikke det eneste udfald med j succeser, men alle de andre har samme sandsynlighed. Antallet af udfald af denne type findes ved at se på n pladser, hvor j succeser skal anbringes. Dette antal, ved vi fra kombinatorik, er K(n,j), derfor er j P(X= j) = K(n, j)p ( p) n j Side 8 af 8

9 Noter til Biomat, 005. Eksempel 0: - nr. 8 fortsat. Lad X være antallet af seksere. Sandsynligheden for at få 3 seksere er da ( ) ( ) = P(X= 3) = K(0,3) 0, Når X er en stokastisk variabel, kaldes f(t)=p(x=t) for sandsynlighedsfunktionen for X, og F(t)=P(X t) kaldes for fordelingssfunktionen for X. Eksempel : Sandsynlighedsfunktioner illustreres med pinde- eller stolpediagrammer. Her er vist sandsynlighedsfunktionen for b(4;0,3) j f(j) 0,40 0,46 0,646 0,0756 0,008 F(j) 0,40 0,657 0,963 0,999,0000 0,5 Fordelingsfunktionens graf: , Vi vil undlade de tekniske beviser, men der gælder: Sætning: Hvis X er stokastisk variabel, der er binomialt med fordelingen b(n,p), så er E(x) = np og Var(X) = np( p). Hvis E(X) er et helt tal, så er dette den mest sandsynlige værdi for X. Hvis E(X) ikke er et helt tal, så er et af de hele nabotal til E(x) det mest sandsynlige. Side 9 af 8

10 Noter til Biomat, 005. Eksempel : For b(0;0,) er E(X)=0.,=,. Derfor er X= eller X=3 det mest sandsynlige resultat. P(X=)=0,984 og P(X=3)=0,44 Så her X= mest sandsynlig, men man kan ikke regne med, at værdien nærmest E(X) altid er mest sandsynlig. I eksempel 9 så vi et eksempel på ikke binomialfordelt gentagelse. Hvis der i stedet for 50 personer havde været 00000, så ville sandsynligheden for valg af en mand ved første valg igen være ½. Ved andet valg 49999/99999 eller 50000/99999, ved 5. Valg ville sandsynlighederne ligge mellem 49995/99995=0,49997 og 50000/99995=0, Disse sandsynligheder er ikke ½, men det er tæt på! Derfor tillader man sig ofte at bruge binomialfordelingen ved små stikprøver i store grupper. Her ville det ikke blive ret forkert at regne med, at antallet af valgte mænd (eller kvinder) er b(5,/) fordelt. Side 0 af 8

11 Noter til Biomat, 005. Normalfordelingen. Vi får brug for at integrere over uendeligt store intervaller, og indfører uegentlige integraler: Definition: Hvis f er kontinuert på de reelle tal sættes når begge eksisterer. 0 0 f(x)dx= lim f(x)dx= a a 0 f(x)dx f(x)dx+ og 0 0 f(x)dx f(x)dx= lim a a o f(x)dx Det kan virke lidt underligt! Når f(x) er positiv, kan vi endda tolke dette uegentlige integral som arealet af (den uendeligt lange) punktmængde under grafen. Integraler, hvor kun én af grænserne er ± defineres på lignende måde..5.5 e t Sætning: t e dt = π t 5 Beviset ligger udenfor dette kursus rammer. Side af 8

12 Noter til Biomat, 005. Ville vi være matematisk korrekte, burde vinu indføre nogle generelle begreber om kontinuerte sandsynlighedsfelter, tilhørende stokastiske variable og begreberne middelværdi, varians og spredning i denne sammenhæng, men vi hopper i stedet direkte ud i: Definition: En stokastisk variabel, X, sige at være standardnomalfordelt med spredning og middelværdi 0, hvis t P(X s) = s e π Funktionen ϕ (t) = e kaldes tæthedsfunktionen for standardnormalfordlingen, og π s Φ(s) = P(X s) = e π kaldes fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen. Standardnormalfordelingen kaldes også n(0,). Bemærk:.) Sætningen side giver P (X ) =. Det er altså sikkert, at X har en reel værdi..) P(a X b) =Φ(b) Φ(a) = P(X b) P(X a) er arealet under tæthedsfunktionen mellem a og b på. aksen. I kombination med.) ses, at sandsynligheder højest får værdien. 3.) Tæthedsfunktionen er symmetrisk om. aksen, så P(X a) = P(X a). 4.) P(X=a)=0, så P (X a) = P(X< a). t dt t dt Ved at lave substitutionen e π Dette giver anledning til: = z µ t og dermed dt= dz fås σ σ z µ t σ dt= e σ π dz= hvor µ, σ R+ Side af 8

13 Noter til Biomat, 005. Definition: En stokastisk variabel, X, sige at være nomalfordelt med spredning σ og middelværdi µ, hvis t µ σ P(X s) = s e σ π t µ σ Funktionen f(t) = e kaldes tæthedsfunktionen for normalfordlingen, og σ π F(s) = P(X s) = e σ π kaldes fordelingsfunktionen for normalfordelingen. Denne normalfordeling kaldes også n( µ, σ ). s dt t µ σ dt e.5 π t 3.5 ( t 3) e π e 0.5 π t t 8 Ovenfor ses grafer for tæthedsfunktionerne n(3;,5), n(3;) og n(3;0,5). Bemærk:.) Tæthedsfunktionerne er symmetriske om en lodret linie gennem t = µ..) Lille spredning giver smalt område adskilt væsentligt fra. aksen og stort maksimum. 3.) Stor spredning giver bredt område adskilt væsentligt fra. aksen og lille maksimum. 4.) F.eks. P(-<X<0) er arealet under tæthedsfuntionen mellem og 0. Denne sandsynlighed ses at være størst for n(3;,5). Det er i overensstemmelse med vores intuition, at fordelingen med størst spredning giver størst sandsynlighed for værdier et stykke fra middelværdien. Side 3 af 8

14 Noter til Biomat, 005. Eksempel 3: Hunner af den redeparasitiske bi Nomada panzeri Lepeletier, 84 har en længde, der er normalfordelt med middelværdi 9,0mm og spredning 0,6mm. Længden følger altså normalfordelingen n(9,0;0,6). Vi vil beregne sandsynligheden for, at en tilfældig N. panzeri har en længde mellem 0,mm under og 0,mm over middelværdien. De fleste lommeregnere giver let P (8,8 < X< 9,) = 0,967. Hvis man kun har adgang til standardnormalfordelingen n(0,), klares problemet med en lille omskrivning: P(8,8 8,8 9,0 < X< 9,) = P < 0,6 X 9,0 9, 9,0 < = P( 0,3333< Z< 0,667) =Φ(0,667) Φ( 0,3333) 0,6 0,6 fordi Z = X µ er standardnormalfordelt. σ Sandsynligheden for, at en n( µ, σ ) fordelt stokastisk variabel X ligger mellemµ σ og µ +σ er (vi bruger igen omskrivningen ovenfor): ( µ σ) µ ( µ+σ) µ P ( µ σ< X<µ+σ) = P < Z< = P( < Z< ) = 0,687 σ σ dvs. samme sandsynlighed uanset værdierne af middelværdi og spredning. Side 4 af 8

15 Noter til Biomat, Opgaver Side 5 af 8

16 Noter til Biomat, Side 6 af 8

17 Noter til Biomat, Side 7 af 8

18 Noter til Biomat, Side 8 af 8