Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
|
|
- Mads Clemmensen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med en sammenskrivning af argumenter, der findes rundt omkring i bøgerne [MA1 2]. Grundidéen er at vise de todimensionale sætninger ud fra kendskabet til lignende problemstillinger for funktioner af én variabel. 1. En nødvendig betingelse. Når f(x, y) er defineret for (x, y) i en delmængde D af R 2, sige vi, at f har maksimum i (x 0, y 0 ) (eller at (x 0, y 0 ) er et maksimumspunkt for f), når (1) f(x 0, y 0 ) f(x, y) for ethvert (x, y) D. Minimum defineres tilsvarende, med uligheden vendt om: (2) f(x 0, y 0 ) f(x, y) for ethvert (x, y) D. Det er oplagt, at f(x, y) har maksimum i (x 0, y 0 ) hvis og kun hvis funktionen f(x, y) har minimum i (x 0, y 0 ); derfor, hver gang vi viser en sætning om maksimum, er der en tilsvarende sætning om minimum. I det følgende vil vi primært se på maksimum. Vi viser først en nødvendig betingelse for maksimum. Man kalder (x 0, y 0 ) et indre punkt i D, når der findes en radius r > 0, så at punkterne indeni cirklen B((x 0, y 0 ), r) med centrum (x 0, y 0 ) og radius r alle er med i D: (3) B((x 0, y 0 ), r) = { (x, y) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < r 2 } D. Sætning 1. Antag, at f har første-ordens partielle afledede på D, og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i D. Hvis f har maksimum eller minimum i (x 0, y 0 ), så er (4) f 1 (x 0, y 0 ) = f 2 (x 0, y 0 ) = 0. Bevis. Vi ved, for en funktion g(t) af én variabel, defineret og differentiabel på et interval I, at hvis g har ekstremum i et indre punkt t 0 af I, så er g (t 0 ) = 0. (Se evt. [MA1, Sætning 9.1.1].) At t 0 er indre i I vil sige, at der findes et åbent interval omkring t 0, som er indeholdt i I. Den partielle afledede af f med hensyn til x i punktet (x 0, y 0 ) er jo differentialkvotienten af g(x) = f(x, y 0 ) i x 0. Om g gælder dels, at g er defineret for x ]x 0 r, x 0 + r[ med r som i teksten ovenfor, dels at g(x 0 ) = f(x 0, y 0 ) f(x, y 0 ) = g(x) 1
2 2 for alle x ]x 0 r, x 0 + r[, så g (x 0 ) = 0 ifølge sætningen for funktioner af én variabel. Men så er f 1 (x 0, y 0 ) = g (x 0 ) = 0. Der er et tilsvarende bevis for den partielle afledede med hensyn til y. Minimumspunkter behandles på lignende måde. Punkter, hvor (4) gælder, kaldes stationære punkter (for f). Et maksimums- eller minimums-punkt kaldes med en fælles betegnelse et ekstremumspunkt eller bare et ekstremum. Så kan sætningen udtrykkes med andre ord således: Hvis f har ekstremum i det indre punkt (x 0, y 0 ), så er det et stationært punkt for f. Vi bemærker, at betingelsen (4) på ingen måde er tilstrækkelig til at sikre at der er maksimum i (x 0, y 0 ). Dels kan vi ikke se af denne betingelse, om der skulle være maksimum eller minimum; dels kan der ske noget helt tredje, hverken maksimum eller minimum, på forskellige måder. Det har stor interesse at afgrænse nogle egenskaber, hvoraf man sikkert kan slutte at der er maksimum. Vi finder nogle sådanne i det følgende. 2. En tilstrækkelig betingelse for maksimum. Man har her en sætning for funktioner af én variabel, som vi vil benytte som hjælpesætning. Vi definerer først konkave og konvekse funktioner, som i [MA1, 5.9.(3)]: Definition 1. Lad f(x) være to gange differentiabel på et interval I. 1 f(x) kaldes konkav på I, når f (x) 0 i alle punkter af I. 2 f(x) kaldes konveks på I, når f (x) 0 i alle punkter af I. Man kan definere konkavitet og konveksitet for funktioner, som ikke er givet at være to gange differentiable, på en mere geometrisk måde, se [MA1, 9.8.(2)]. I Afsnit 4 nedenfor redegøres for hvorfor de to beskrivelser, og endnu en tredje for én gang differentiable funktioner, stemmer overens (det bevises ikke i [MA1 2], men bruges i [MA2, Sætning 4.5.1]). For funktioner af én variabel har vi en tilstrækkelig betingelse for maksimum, som vil blive brugt som hjælpesætning her (det er [MA1, Sætning 9.2.1]): Hjælpesætning 1. Hvis g(t) er en to gange differentiabel funktion på et interval I, som er konkav på I, og t 0 er et indre punkt af I hvor g (t 0 ) = 0, så har g maksimum i t 0. Bevis. Da g (t) 0 for alle t, er g (t) aftagende på I. Værdien g (t 0 ) er jo 0, derfor må g (t) 0 for t t 0 og g (t) 0 for t t 0. Heraf kan vi slutte, at g(t) er voksende for t t 0 og aftagende for t t 0. Men så er g(t) størst i t 0. Nu vil vi se på funktioner af to variable. En mængde D i R 2 siges at være konveks, når der for hvert par af punkter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) i D gælder, at liniestykket imellem dem er indeholdt i D. Da punkterne på liniestykket mellem (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) kan fremstilles som (x, y) = (x 1, y 1 ) + t((x 2, y 2 ) (x 1, y 1 )) = (1 t)(x 1, y 1 ) + t(x 2, y 2 ) for t [0, 1], kræves altså, at (5) { (x, y) (x, y) = (1 t)(x 1, y 1 ) + t(x 2, y 2 ), t [0, 1] } D, når (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) D. For at kunne definere de partielle afledede antager vi, at D har indre punkter; vi siger så, at f er C 2 på D, når de partielle afledede af til og med anden orden (altså f, f 1, f 2, f 11, f 12, f 21 og f 22 ), er kontinuerte på D.
3 (Mere pedantisk udtrykt: Vi antager, at der for hver af disse funktioner, beregnet i de indre punkter af D, findes kontinuerte funktioner på D, som stemmer overens med dem på hele D; de gives samme betegnelse.) Specielt er f 12 = f 21. For C 2 -funktioner definerer man konkavitet eller konveksitet således: Definition 2. Lad D være konveks i R 2 og have indre punkter, og lad f(x, y) være C 2 på D. 1 f(x, y) kaldes konkav på D, når følgende uligheder gælder for alle punkter i D: (6) f 11 0, f 22 0, f 11f 22 (f 12) f(x, y) kaldes konveks på D, når følgende uligheder gælder for alle punkter i D: (7) f 11 0, f 22 0, f 11f 22 (f 12) 2 0. Bemærk, at determinanten for Hesse-matricen indgår. Vi skal senere (i [MA2, Kap. 4]) møde en generalisation til flere variable, som formuleres direkte ved egenskaber for Hesse-matricen. Bemærk også, at der gælder (8) f er konkav på D f er konveks på D. For funktioner, som ikke er givet at være to gange differentiable, defineres konkavitet (og konveksitet) som en geometrisk egenskab ved grafen, se [MA2, Kap. 4]. Det er vist der, at definitionen i C 2 -tilfældet stemmer med ovenstående. I [MA2, Kap. 4] defineres også hvad det vil sige at være strengt konkav (henholdsvis strengt konveks) på D. Vi vil her blot nævne for C 2 -funktioner, at (6) (hhv. (7)) med skarpe ulighedstegn medfører streng konkavitet (hhv. streng konveksitet), men at det omvendte ikke gælder. Vi vil nu vise følgende sætning: Sætning 2. Lad f(x, y) være en C 2 -funktion på en konveks mængde D R 2 med indre punkter, og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i D. 1 Det er tilstrækkeligt for, at f har maksimum i (x 0, y 0 ), at (a) (x 0, y 0 ) er et stationært punkt, (b) f er konkav på D. 2 Det er tilstrækkeligt for, at f har minimum i (x 0, y 0 ), at (a) (x 0, y 0 ) er et stationært punkt, (b) f er konveks på D. Til beviset vil vi bruge en lille udregning vedrørende kvadratiske former i to variable. Når A, B og C er givne reelle tal, siges (9) Q(h, k) = Ah 2 + 2Bhk + Ck 2, h, k R, at være en kvadratisk form. (Der kunne også stå B i stedet for 2B, men det viser sig at være praktisk at have en faktor 2 dér.) Argumenterne i den følgende hjælpesætning er hentet fra [MA1, side 479] og [MA2, side 106]. 3
4 4 Hjælpesætning 2. 1 Hvis A, B og C opfylder (10) A 0, C 0, AC B 2 0, så er Q(h, k) 0 for alle (h, k) R 2. Hvis de opfylder (11) A < 0, AC B 2 > 0, så er også C < 0, og der gælder, at Q(h, k) < 0 for alle (h, k) R 2 med (h, k) (0, 0). 2 Hvis A, B og C opfylder (12) A 0, C 0, AC B 2 0, så er Q(h, k) 0 for alle (h, k) R 2. Hvis de opfylder (13) A > 0, AC B 2 > 0, så er også C > 0, og der gælder, at Q(h, k) > 0 for alle (h, k) R 2 med (h, k) (0, 0). Bevis. 1. Antag først, at (10) er opfyldt. Vi deler diskussionen i to tilfælde, eftersom A er 0 eller ej. Hvis A = 0, giver den tredje betingelse i (10), at B 2 0, men da B 2 altid er 0, kan dette kun finde sted hvis B = 0. Så er den kvadratiske form lig med Ck 2, som er 0, da C 0 og k 2 0. Det viser påstanden om Q(h, k) i dette tilfælde. Hvis A 0, kan vi omskrive Q(h, k) således: Q(h, k) = Ah 2 + 2Bhk + Ck 2 (14) = A (h 2 2BA CA + hk + k2) ( = A h 2 + 2B B2 hk + k 2 B2 k 2 + C A A 2 A 2 A k2) ( (h = A + B A k) 2 + AC B 2 A k ). 2 2 Det, der skete undervejs var, at vi skaffede et kvadrat på en toleddet størrelse ( h+ B A k) 2 ved at lægge til og trække fra; tricket kaldes at komplettere kvadratet. Nu kan det ses direkte på (14), at det giver et tal 0, ligegyldigt hvad h og k er, for faktoren A er negativ, og det inden i parentesen er sum af et kvadrat og et kvadrat ganget med et tal 0, altså 0. Dette viser den del af 1, der vedrører uskarpe uligheder. For den sidste del af 1 med skarpe uligheder bemærker vi først, at da B 2 0, medfører (11), at AC AC B 2 > 0, så da A er negativ, må C også være det. Nu betragter vi udregningen (14) (A er jo 0). Når (h, k) (0, 0), er størrelsen i den store parentes > 0, for enten er k 0, og så er sidste led positivt, eller, hvis k = 0 er h 0, og så er første led i parentesen positivt. Produktet med A er da < 0.
5 Hermed er beviset for 1 gennemført. For 2 kan man bemærke, at i dette tilfælde opfylder Q(h, k) betingelserne under 1, så vi kan bruge resultatet derfra. Bevis for Sætning 2. Antag at betingelserne i Sætning 2, 1, er opfyldt; vi skal vise, at udsagnet (1) gælder. Vælg et vilkårligt punkt (x, y) i D, som holdes fast i det følgende; så skal vi vise, at (15) f(x 0, y 0 ) f(x, y). Vi betragter linien i R 2 gennem (x 0, y 0 ) og (x, y); det er punkterne fremstillet ved (16) (x 0, y 0 ) + t(x x 0, y y 0 ), t R. Betegn (x x 0, y y 0 ) = (h, k). Da D er konveks, er alle de punkter, hvor t [0, 1], med i D (for t = 0 fås (x 0, y 0 ) og for t = 1 fås (x, y)). Da (x 0, y 0 ) er et indre punkt af D, findes der en lille cirkel omkring (x 0, y 0 ), der er med i D, derfor kan de værdier af t, der giver punkter i D, udstrækkes til at indeholde et lille interval omkring 0. Altså, for et passende r > 0 vil intervallet I = [ r, 1] ved (16) afbildes over i et liniestykke i D. Nu betragter vi funktionen (17) G(t) = f(x 0 + ht, y 0 + kt), t I; den fremstiller værdierne af f på liniestykket. Her er G en funktion af én variabel t; den er C 2 (fordi f og de lineære funktioner er det), og G(0) = f(x 0, y 0 ), G(1) = f(x, y). For at vise (15) skal vi nu bare vise, at (18) G(0) G(1). Det gør vi ved at bringe Hjælpesætning 1 i spil. Ved kædereglen fås: (19) G (t) = f 1 (x 0 + ht, y 0 + kt)h + f 2 (x 0 + ht, y 0 + kt)k. Specielt er G (0) = 0, da f 1 og f 2 er 0 i (x 0, y 0 ). Brug kædereglen igen til at finde G (t): (20) G (t) = f 11(x 0 + ht, y 0 + kt)h 2 + 2f 12(x 0 + ht, y 0 + kt)hk + f 22(x 0 + ht, y 0 + kt)k 2. Betegnes de anden afledede af f i punktet (x 0 +ht, y 0 +kt) ved f 11 = A, f 12 = B, f 22 = C, får vi G (t) skrevet som (21) G (t) = Ah 2 + 2Bhk + Ck 2, ligesom i (9). Konkaviteten af f giver, at A, B og C opfylder (10), så det fås af Hjælpesætning 2.1, at G (t) 0. Altså har vi om G, at G er konkav på I og stationær i t = 0, så det følger af Hjælpesætning 1, at G(t) har maksimum i 0, og dermed gælder (18). Dette viser 1 af Sætning 2. Da minimumspunkter for f er maksimumspunkter for f, og (8) gælder, fås 2 ved at anvende 1 på f. 5
6 6 3. Lokalt ekstremum. I [MA1, 13.2] defineres begreberne lokalt maksimum, lokalt minimum og saddelpunkt, og der formuleres en sætning med tilstrækkelige betingelser: Sætning 3. Antag, at f(x, y) er C 2 på en mængde D R 2, og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt, som er stationært for f. (i) Hvis (22) f 11 (x 0, y 0 ) < 0, f 11 (x 0, y 0 )f 22 (x 0, y 0 ) (f 12 (x 0, y 0 )) 2 > 0, så har f lokalt maksimum i (x 0, y 0 ). (ii) Hvis (23) f 11 (x 0, y 0 ) > 0, f 11 (x 0, y 0 )f 22 (x 0, y 0 ) (f 12 (x 0, y 0 )) 2 > 0, så har f lokalt minimum i (x 0, y 0 ). (iii) Hvis (24) f 11(x 0, y 0 )f 22(x 0, y 0 ) (f 12(x 0, y 0 )) 2 < 0, så har f saddelpunkt i (x 0, y 0 ). Sætningen vises for funktioner af n variable i [MA2, Kap. 8.3] Vi vil her give et bevis for (i) og (ii). Bevis for Sætning 3 (i). Ulighederne (22) gælder i punktet (x 0, y 0 ), og da f 11, f 22 og f 12 er kontinuerte funktioner på D, findes der en lille cirkel B = B((x 0, y 0 ), r) omkring (x 0, y 0 ), så (22) gælder for alle (x, y) B. (Her bruger vi den stringente definition af kontinuitet! I detaljer: Betegn f 11 f 22 (f 12 ) ved g. Vi ved, at g(x 0, y 0 ) har en positiv værdi a. Lad ε = a/2. Så findes der et δ (valgt så lille, at B((x 0, y 0 ), δ) D), så at for (x, y) B((x 0, y 0 ), δ) er g(x, y) g(x 0, y 0 ) < a/2, altså a/2 < g(x, y) a < a/2, og dermed a/2 < g(x, y) < 3a/2. Det ses, at g er positiv på B((x 0, y 0 ), δ). Da f 11 (x 0, y 0 ) = b < 0, kan vi på lignende måde finde et δ, så f 11(x, y) < b/2 < 0 på B((x 0, y 0 ), δ ). Som r tager vi det mindste af tallene δ og δ.) Nu ser vi, at f opfylder definitionen af konkav funktion for (x, y) B. Det er en konveks mængde med indre punkter, så Sætning 2 giver, at f betragtet på B har maksimum i (x 0, y 0 ). Dermed har funktionen lokalt maksimum i (x 0, y 0 ) når den betragtes på D. (ii) fås nu ved at vende nogle fortegn. Vedr. (iii): I det simple specialtilfælde, hvor f 11 (x 0, y 0 ) > 0 og f 22 (x 0, y 0 ) < 0 kan man ret let vise, at der er punkter (x, y 0 ) vilkårligt tæt på (x 0, y 0 ) hvor f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) > 0, og punkter (x 0, y) vilkårligt tæt på (x 0, y 0 ) hvor f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) < 0. Dette er i en vis forstand typisk for hvad der sker i almindelighed. 4. Karakterisering af konkave funktioner af en variabel. Af hensyn til en anvendelse i [MA2, Kap. 4] viser vi her, at Definition 1.1 af konkav funktion stemmer overens med den geometriske definition nævnt i [MA1, side 319]: Liniestykket mellem to vilkårlige punkter på grafen ligger under eller på grafen. Vi medtager en trejde definition for én gang differentiable funktioner, der har betydning i [MA2, Kap. 4]. For simpelheds skyld betragtet en funktion f defineret på et åbent interval I.
7 Definition 3. Vi siger at f er konkav på I, når der for to vilkårlige punkter på grafen, (x 0, f(x 0 )) og (x, f(x)), gælder, at liniestykket mellem punkterne (også kaldet korden mellem punkterne) ligger under eller på grafen. Med andre ord, udtrykt ved en ulighed: (25) f(λx + (1 λ)x 0 ) λf(x) + (1 λ)f(x 0 ) for λ [0, 1]. Dette er den endimensionale version af uligheden [MA2, 4.5.(2)]. funktioner kan man i stedet betragte følgende definition: 7 For differentiable Definition 4. Når f er differentiabel på I siger vi, at f er konkav på I, når der for ethvert punkt (x 0, f(x 0 )) af grafen gælder, at grafen ligger under eller på tangenten gennem punkktet. Med andre ord, (26) f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), for x I. Her er (26) den endimensionale version af uligheden [MA2, 4.6.(1)] (med f(x 0 ) flyttet over på højre side). Ligningen for tangenten gennem (x 0, f(x 0 )) er som bekendt (27) y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Endelig har vi Definition 1.1 af konkavitet, når f er to gange differentiabel: (28) f (x) 0 for ethvert x I, og vi bemærker, at dette er ækvivalent med: (29) f (x) er aftagende på I. At (28) (29) for to gange differentiable funktioner, er vist i [MA1] (jvf. 5.3.(2), 5.9.(2) og Merknad side 306). For at gøre det nemt for læseren gentages beviset her: Når (28) gælder, har vi for vilkårlige tal x, x I med x < x, at der ifølge middelværdisætningen findes et tal x (x, x ), så at (f (x ) f (x))/(x x) = f (x ) 0; heraf fås ved at gange med x x, at f (x ) f (x) 0, hvilket viser (29). Når (29) gælder, er, for vilkårligt x I, differenskvotienterne (f (x + h) f (x))/h 0 for alle tilladte h; så er grænseværdien f (x) også 0, altså (28) gælder. Vi vil vise: Sætning 4. For differentiable funktioner er Definition 3 og 4 ækvivalente. For to gange differentiable funktioner er Definition 3, 4 og 1.1 ækvivalente. Bevis. Antag først, at f er differentiabel, så vil vi vise, at når f opfylder Definition 3, så opfylder f Definition 4; kort udtrykt: Def. 3 = Def. 4. Som vi skal se, giver beviset også, at Def. 3 = Def. 1.1 når f er to gange differentiabel (derved at betingelsen (29) er opfyldt). Betragt tre tal x 1 < x 2 < x 3 i intervallet I samt de tilsvarende punkter P = (x 1, f(x 1 )), Q = (x 2, f(x 2 )) og R = (x 3, f(x 3 )) på grafen.
8 8 y Q R P Q x 1 x 2 x 3 x Når Definition 3 er opfyldt, ligger Q over eller på korden P R. Derfor er hældningskoefficienten for korden P Q større end eller lig med hældningskoefficienten for korden P R. Dette viser, at når x 2 vokser, så aftager hældningskoefficienten for korden P Q. Da f (x 1 ) er grænseværdi af hældningskoefficienterne på korderne P Q for x 2 x 1, må f (x 1 ) være alle disse korders hældninger det gælder specielt korden P R, altså: (30) f (x 1 ) f(x 3) f(x 1 ) x 3 x 1. Lader vi x 1 spille rollen som x 0, og x 3 spille rollen som x, får vi heraf ved at gange med x 3 x 1 og bytte om på de to sider: (31) f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) for x > x 0. På den anden side kan vi se, at korden QR har lavere hældningskoefficient end P R, så hældningskoefficienten af QR aftager, når x 2 vokser op mod x 3. Det følger, at hældningskoefficienterne for alle korder QR er deres grænseværdi f (x 3 ) for x 2 x 3. Specielt får vi uligheden (ved at tage x 2 = x 1 ): (32) f(x 3 ) f(x 1 ) x 3 x 1 f (x 3 ). Nu lader vi her x 3 spille rollen som x 0, og x 1 spille rollen som x; så fås ved multiplikation med x 3 + x 1 (der vender ulighedstegnet!) (33) f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) for x < x 0. Tilsammen viser (31) og (33), at betingelsen i Definition 4 er opfyldt. Endvidere ser vi, at (30) og (32) tilsammen medfører, at (34) f (x 1 ) f (x 3 ) når x 1 < x 3, hvormed også betingelse (29) er opfyldt. Når f er to gange differentiabel viser dette at (28), dvs. Definition 1.1, er opfyldt. Herefter vil vi vise, at Def. 4 = Def. 3. Betragt tre punkter P, Q og R som ovenfor, så skal vi vise udfra egenskaberne i Definition 4, at Q ligger over korden P R. Vi ved, at
9 grafen ligger under tangenten gennem Q. Denne tangent deler planen i to halvplaner, en øvre og en nedre, og vi ved altså, at punkterne P og R ligger i den nedre halvplan. Da halvplanen er konveks, ligger hele korden P R i halvplanen. Specielt vil det punkt Q på korden, der har x-værdi x 2, have y-værdi f(x 2 ). Da punktet Q kan være et vilkårligt punkt på grafen mellem P og R, viser dette at hele korden ligger under eller på grafen. Vi har hermed vist, at Definition 3 og 4 er ækvivalente for differentiable funktioner. Beviset er formuleret geometrisk; man kunne også genneføre det ved at regne på uligheder som i beviset for [MA2, Sætning 4.6.1]. Der mangler nu blot at vises, at Def. 1.1 = Def. 4 for to gange differentiable funktioner. Da (28) (29) for to gange differentiable funktioner, skal vi bare vise, at (29) medfører egenskaben i Def. 4. For tre værdier x 1 < x 2 < x 3 er det nu givet, at der altid gælder: (35) f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 ). Ifølge middelværdisætningen anvendt på x 1 og x 3 findes et tal x 2 mellem dem, så at 9 (36) f(x 3 ) f(x 1 ) x 3 x 1 = f (x 2 ). Dermed gælder ifølge (35), at (37) f (x 1 ) f(x 3) f(x 1 ) x 3 x 1 f (x 3 ). Her er x 1 og x 3 vilkårlige tal i I med x 1 < x 3. Den venstre ulighed medfører (31), som vist tidligere (med x 1 = x 0, x 3 = x), og den højre ulighed medfører som tidligere vist (33) (med x 1 = x, x 3 = x 0 ). (31) og (33) tilsammen viser betingelsen i Definition 4. Der er naturligvis en tilsvarende sætning vedrørende konvekse funktioner, som fås ved at anvende ovenstående på f.
Funktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereEkstremumsbestemmelse
Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes
Læs mereStørste- og mindsteværdi Uge 11
Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereEkstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereOptimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver
Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereØvelse 1 a) Voksende b) Voksende c) Konstant d) Aftagende. Øvelse 2 a) f aftagende i f voksende i b) f aftagende i
1 af 30 Kapitel 6 Udskriv siden Øvelse 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende Øvelse 2 Øvelse 3 Hældningen er i alle tilfælde 0, så. Forklar e) Forklar Interval + + 2 af 30 Øvelse 4 i i f er aftagende
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereUGESEDDEL 10 LØSNINGER. = f
UGESEDDEL 10 LØSNINGER Theorem 1. Algoritme for løsning af max f(x, y) når g(x, y) c. Dan Lagrange-funktionen: L (x, y) = f(x, y) λ(g(x, y) c). Beregn de partielle afledte af L og kræv at de begge er nul:
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs mereBetydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2
PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereEksempler på problemløsning med differentialregning
Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereAppendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.
- 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKlassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Læs mereEkstrema: Teori og praksis Ubegrænset, ikke-lineær optimering
Ekstrema: Teori og praksis Ubegrænset, ikke-lineær optimering Gruppe G3-106 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag 20. december 2012 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereTaylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable
Taylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable Morten Grud Rasmussen 1. marts 2016 1 Taylors Sætning for funktioner af én variabel Sætning 1.1 (Taylors Sætning med restled).
Læs mereImplicit givne og inverse funktioner
Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereGrafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1
Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition
Læs mereGRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM. Gert Kjærgård Pedersen November 2002
GRUNDBEGREBER 1 GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM Gert Kjærgård Pedersen November 2002 Emnerne i disse noter behandles forskellige steder i Sydsæters bøger,
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mereA U E R B A C H. (2) f. a x b
M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereOptimering i Moderne Portefølje Teori
Aalborg universitet P3-3. semestersprojekt Optimering i Moderne Portefølje Teori 15. december 2011 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optimering - Lineær programmering - Moderne Portefølje Teori PROJEKT
Læs mereOpvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3
eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mere10. Differentialregning
10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mere[SS] Optimal control theory with economic applications, af Atle Seierstad og Knut Sydsæter; North Holland 1987.
OPTIMERING 6. september 2007 Oversigt nr. 1 Emnet for kurset i optimering vil her i efteråret 2007 blive variationsregning og optimal kontrolteori. Hensigten er at I skal stifte bekendtskab med disse metoder
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereM A T E M A T I K B 2
M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereKonvekse mængder. Erik Christensen. 6. januar 2003
Konvekse mængder Erik Christensen 6. januar 2003 Indholdsfortegnelse Afsnit 0 ELEMENTÆRE DEFINITIONER OG DET FUNDAMENTALE RESULTAT, 4 Afsnit 1 REPETITION, AFSTANDSMÅLET I Rn OG LINEÆRE AFBILDNINGER, 9
Læs mere