ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM 2. ÅR MAT. A & IT B MARTS Mini SRP - Projekt. Afkøling. Af Lars-Emil Jakobsen & Jacob Ruager.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM 2. ÅR MAT. A & IT B MARTS 2014. Mini SRP - Projekt. Afkøling. Af Lars-Emil Jakobsen & Jacob Ruager."

Transkript

1 ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM 2. ÅR MAT. A & IT B MARTS 2014 Mini SRP - Projekt Afkøling Af Lars-Emil Jakobsen & Jacob Ruager. Logo af Java, redigeret i Paint af Lars-Emil Snefnug, redigeret i Paint af Lars-Emil Projektet er en del af SO-forløbet på HTX. Rapporten omhandler afkøling med fokus på analyse og verificering af opstillede hypotese Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 0

2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Forord og Introduktion Formål med projektet Modeller Modelleringsproces Forståelse af egen problemstilling Opstilling af 4 vigtige trin: Systemafgrænsning Opstilling af matematisk model Bestemmelse af matematiske resultater Konklusion af modellen Problemformulering Hvad er afkølingsproblematikken? Hvad er et modelbegreb og hvad kan det bruges til? Hvordan kan vi vise brugen af en matematisk model? Hvordan kan vi udnytte data fra forsøgene? Hvad kan vi konkludere ud fra analysen? Problemstilling Afgrænsning af problem Newtons afkølingslov: Opstilling af forsøg Arbejde med termometer Udvælgelse af forsøgsmåleinstrument Kravspecifikationer Design, Implementering og Drift (Fremstillingsproces) Måleresultater Måleusikkerheder og problemer Delkonklusion Opstilling af vores matematiske model(ler) - fremgangsmetode Opstilling af vores egne model(ler) Vurdering af matematiske model(ler) Resultater af vores model(ler) i forhold til datasæt Vurdering af resultater Konklusion Kilder & Litteratur Bilag Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 1

3 1 Forord og Introduktion Fra starten af marts til slutningen af marts år 2014, har vi i klasse 2.4 på Roskilde Tekniske Gymnasium arbejdet med vores mini SRP-projekt. Vi har skulle undersøge, hvad det vil sige at opstille en model. Desuden har vi skulle læse om Newtons afkølingslov, samt forklarer hans differentiel ligning og opstille den selv, ved brug af egne ord. Vi har ud over dette, skulle fremstille et måleapparat, der kan opsamle data i form af temperatur. Disse data skal kunne opsamles, bearbejdes og aflæses på en computer. En vigtig del med projektet har været, at kunne anvende den naturvidenskabelige metode til, at opstille hypoteser, undersøge de vigtige aspekter til hypotesen, og herved arbejde med fokus på, om man kan verificere eller falsificere ens egen hypotese eller udtalelse. Anvendelsen af denne metode bruges til, at kunne fortsætte med arbejdet på en sådan måde, at den forrige viden fra den forrige hypotese kan viderebygges i en ny hypotese. På denne måde bygges der konstant mere viden på det allerede samlet empiri, og derfor kan man i de fleste tilfælde ende med at have opbygget en viden omkring ens fag eller emne, som så kan bruges i mange andre sammenhænge. Man anvender også denne metode, når man ønsker at bevise ny teori fra praktiske opgaver og tests. Fra dette projekt forventes også, at læseren har en hvis baggrundsviden om de matematiske og It problemstillinger som eleverne udarbejder, det vil sige alt fra de matematiske udregninger til forståelsen af brugen af måleapparatet og det medfælgende program. Det er også nødvendigt af vejlederen at have denne viden, således at, der kan blive vejledt på en ordentlig og tilfredsstillende måde. Tak til vores vejleder og lærer Jørn Christian Bendtsen (Mat. A) & Karl G. Bjarnason (IT B) for hjælp, vejledning og feedback med projektet. 2 Formål med projektet Der er adskillige formål med dette projekt, bl.a. At kunne redegøre for afkølingsproblematikken. At kunne redegøre for modelbegrebet i de forskellige faser af modelleringsprocessen. At kunne opstille en matematisk model på baggrund af den opstillede differentielligning. At kunne designe og beskrive faglige eksperimenter i forhold til afkølingsproblematikken. At kunne opstille kravspecifikkationer til måleinstrument. Samt at fremstille måleinstrumentet. At kunne analysere opsamlede data med måleinstrumentet. At kunne opstille og vurdere en/flere matematiske modeller på baggrund af opsamlede data. At kunne forklare sammenhængen i data, og at kunne konkludere ud fra resultater. Disse formål anvendes til at specificerer arbejdsopgaverne, og udformer derved projektets gang. Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 2

4 3 Modeller Modelleringsproces Matematik anvendes i mange sammenhænge, især inden for emner såsom økonomi til kursudvikling, fysik med temperatur, byggeri med mål og meget mere. Der er nærmest uendelige måder at anvende matematik på. Normalt til at løse problemmer som disse, så må man opstille modeller. Modellerne kan lave forskellige strukturer, som beskriver en eller anden sammenhæng i den virkelige verden. Strukturer som disse kan fx være grafer, ligninger, uligheder. Ved hjælp af disse beregninger eller visualiseringer, så er det med en forventning om, at ens praktiske problem (problemstilling) kan løses. Arbejdsprocessen med modeller kan foregå to veje: Opstilling af nye modeller, eller brug af allerede eksisterende modeller. Nogle gange kan man også vælge at flette de to måder sammen, hvis der skal viderebygges. I dette projekt arbejder vi med Newton s afkølingslov, og derfor går vi efter at bruge den nævnte model. Havde vi skulle arbejde med fx lokale problemstillinger (Kø på Roskilde Motorvej) så ville opstilling af en ny model være bedst. Modelleringsprocessen ligger så i, at man i bund og grund laver en matematisk model for et problem man har. Modellen repræsenterer nogle afspekter af situationen, og kan forhåbentlig forklare det givede problem. For at kunne udføre dette, må vi sætte nogle krav, som minimum skal indholde følgende: 3.1 Forståelse af egen problemstilling Skabe antagelser og forenklinger af problemstillingen og det der hører dertil Bestemme / Definere passende variabler som passer til problemstillingen Undersøge sammenhænge mellem variablerne Løse opstillede ligninger og uligheder Forklare modellen og resultaterne dertil Vurdering og evt. Forbedring af modellen 3.2 Opstilling af 4 vigtige trin: Systemafgrænsning o Før man kan gå i gang er med nødt til at specificere, præcisere og afgrænse sit problem. Det nytter ikke at man fx kigger på problemstillinger som omhandler emner der ikke er i relation med det man vil undersøge og opstille model for. Man ser derfor på teorien og overvejelser omkring problemet, og sørger for at udvælge det der netop passer Opstilling af matematisk model o Når man har afgrænset det man vil undersøge, så skal der opstilles ligninger og uligheder dertil. Typisk ville det være udtryk som er variable, for at sikre at de kan bruges universielt, og ikke kun i enkelttilfælde. Her kan man også inddrage andre modeller, og evt. kombinere de modeller sine egne Bestemmelse af matematiske resultater o Med modellen skal der så findes løsninger. Modellen analyseres og benyttes til at se om beregningerne bliver korrekte. I nogle tilfælde kan analytiske beregninger ikke være en mulighed, og derfor må man benytte sig af numeriske beregninger. Eksempelvis ville det være at finde frem til stamfunktionen for at finde arealet under kurven. Hvis man ikke har Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 3

5 kendskab til hvordan man finder en stamfunktion, så kan man se nærmere på tidligere anvendt matematik som man kunne have kendskab til. Her kunne man opstille algoritmer, som danner rektangler og trekanter under kurven på en funktion, så den får en tilnærmelsesvist areal Konklusion af modellen o Man kan ikke få en løsning og sige den er korrekt uden at have vurderet sin model. Derfor er man kritisk nødt til at se i trin 1, om ens løsning og model passer til problemstillingen. Dernæst ser man også på, om løsningerne faktisk passer nogenlunde med realiteten, og man kan sagtens stå i en situation hvor dette ikke er tilfældet. Hvis man konkluderer dette, så er man nødt til at gå tilbage i til de tidligere trin, og metodisk gå igennem dem for at se for fejl, eller om modellen slet ikke passer. Derfor må man lave en ny gennemgang af modellen, og lave nye vurderinger og konklusioner. Skulle modellen dog være korrekt, kan dette nedskrives i konklusionen. Resultaterne nedskrives og kommenteres herefter, og det ville typisk være i en rapport. Rapporten skal være fyldestgørende, og dække så meget af ens problemstilling som muligt. Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 4

6 4 Problemformulering Der skal eftervises at en kop kaffe afkøles hurtigere, hvis den står på is end på en varm overflade. 4.1 Hvad er afkølingsproblematikken? Hastigheden af afkøling afhænger af temperaturforskellen af legemet og omgivelserne. 4.2 Hvad er et modelbegreb og hvad kan det bruges til? Der bruges modeller til at beskrive hændelser, og forudsige hændelser der kan forekommer, med den samme proportionalitet. 4.3 Hvordan kan vi vise brugen af en matematisk model? Hvilke forsøg kan beskrive og/el. vise brugen af modeller? 4.4 Hvordan kan vi udnytte data fra forsøgene? Hvordan kan de bearbejdes? 4.5 Hvad kan vi konkludere ud fra analysen? Hvordan hænger analysens resultater sammen med hypotesen om afkøling. 5 Problemstilling Ifølge Newtons afkølingslov, vil afkøling af et legeme foregå eksponentielt. Det vi altså sige at, jo større temperatur forskelle legemet har, jo hurtigere vil afkølingen foregå. Tager man et konkret eksempel, så skulle det passe at, når du har en kop med en meget varm væske, så vil den i starten blive kølet hurtigere af end i slutningen. Dette skulle være på grund af temperaturforskellen, mellem det varme legeme og legemets omgivelser. Ser man på problemet i forhold til tid, så vil man kunne forvente at, en kop med 100 O C varm vand vil afkøles til 80 O C på fortrinsvis kort tid i forhold til fra 80 O C til 60 O C. Det skulle så passe at, hvis man har en kop varm kaffe, så vil den blive afkølet hurtigere. Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 5

7 6 Afgrænsning af problem Det skulle så passe at, hvis man har en kop varm kaffe, så vil den blive afkølet hurtigere, hvis man har den stående på en blok af is, end hvis man havde den stående på en varm kogeplade. Man skulle ifølge Newtons afkølingsformel kunne fremstille en eksponentielformel, som skulle give et billede af afkølingen i forhold til tiden. Afkøling og opvarmning er i fysikkens verden, to sider af samme sag, begge omhandler temperaturændringer. Forskellen er fortegnet til temperaturændringen T. Der er generelt 3 forskellige påvirknings muligheder (mekanismer), der kan give temperatur forskelle. - Varmeledning mellem to ting/materialer/legemer. Altså hvor varmen bliver overført fra den ene ting, til den anden ting. - Konvektion: her flyttes det varme materiale, for eksempel, når varmt luft stiger op ad, eller når varmen på rumskibes varmeskjold fordeler varmen. - Varmestråling: her er det elektromagnetisk stråling, der afgiver varmen til omgivelserne. Alle legemer udsender stråling, andre mere end andre. I en hver ikke teoretisk situation, altså virkelig situation, vil der ved afkøling, ske en kombination af disse 3 mekanismer. Hvilken mekanisme der har størst betydning, afhænger af systemet og betingelserne for legemet. Det kan derfor være besværligt og beregne, hvor hurtigt temperaturændringerne sker. Ved moderater temperaturforskelle er det dog muligt at udregne temperaturændringerne, ved at benytte Newtons lov om afkøling, dog er det kun en tilnærmelse. Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 6

8 7 Newtons afkølingslov: Ændring i et legemes temperatur er proportional med temperaturforskellen mellem legemet og omgivelserne. I forbindelse med projektet vil vi kigge nærmere på den effekt, der strømmer ud af et varmt legeme. Her er t den valgte tidsinterval, i projektet har vi valgt et tidsinterval på opsamlingen af data til 1 minut, over 2 timers tidsperiode. Vi startede med et interval på 10 sek. Men dette gav mange data, hvor at temperaturændringen var for lille til at blive målt. Vi fandt det derfor mere passende, at bruge et interval på 1 min. Bemærk at for at sikre korrekt notation er Q brugt for varmemængden i stedet for Q. Newtons afkølingslov kan vi derfor skrive som: I denne formel angiver T temperaturforskellen mellem det indre af legemet og omgivelserne ved start af måling, k er en konstant som afhænger af systemet; dvs. varmekapaciteten af legemet og dets evne til at lede varme til omgivelserne. Ved at bruge følgende symboler: Kan vi definere T til tiden t = 0, som: T 1 = temperaturen uden for legemet, dvs. legemets omgivelser. T 2 = start-temperaturen af legemet. Temperaturændringen er bestemt af varmemængden Q ifølge: Her er C legemets varmekapacitets, der er bestemt ved: C = m 1 c 1 +m 2 c 2 + Her er m 1, m 2, massen af de forskellige komponenter i legemet, og c 1, c 2, er den specifikke varmekapacitet for de forskellige materialer, de forskellige komponenter består af. Vi kan derfor bruge: som udtryk for effekten: Ved at sætte udtrykket lig Newtons afkølingslov:, fås: Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 7

9 Her bruges substitution samt almindelige gange regneregler og brøk regneregler, til at isolerer Hvis vi betragter tidsintervallet t, hvor vi tilnærmer os starttiden 0, dvs.: ( t 0), vil differentialkvotienten T (t): nærme sig ( ) Dette kommer af at differentialkvotienter er kvotienter mellem to differenser. Brøken kommer af formlen for længden mellem to punkter i et koordinatsystem, eller differensen mellem punkterne. Ved at tage den afledede af funktionen (f (x)), kan vi beskrive tangenthældningen, dette kan vi bruge til at skabe en differentielligning, hvor vi ønsker at finde en funktion for de målte oplysninger om temperaturfaldet. Indsættes T (t) for i fås: Ved at bruge substitution kan vi ændre til k 1 og vi får derved: ( ) Ved at løse denne differentialligning, kan vi få en funktion, som udtrykker en temperaturforskel efter en givet tid. Der benyttes separation af variabler i dette tilfælde, og det gør vi ved først at udtrykke ovenstående differentialligning som: dt og dt er en anden måde at udtrykke en differentialligning. Nu skal vi kunne komme frem til et udtryk, hvor T er isoleret på den ene side, og t på den anden side. På den måde har vi noget der kan udtrykke temperaturforskellen ved hjælp af en given tid. Først tages den reciprokke værdi at temperaturforskellen på begge sider, derved elimineres delta T på højresiden, så k 1 står alene: Vi separerer dt fra dt ved at gange på begge sider: Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 8

10 Herefter kan vi integrere på begge sider af lighedstegnet. Vi kan komme af med vores inverse af temperaturforskellen og fjerne dt og dt, siden de ikke repræsenterer andet en at vi har et udtryk der er differentieret. Derfor når man integrerer, går man tilbage igen og får stamfunktionen: Som nævnt elimineres dt og dt, mens at den reciprokke værdi af temperaturforskellen og konstanten k 1 integreres. Fra tidligere har vi lært, at reciprokke variabler som integrand bliver en naturlig logaritme til variablen, mens k 1 har en anden ukendt variabel, som når den differentieres blive 1. Siden vi differentiere på venstre side med hensyn til t, må denne variabel formentlig være t. Derfor må vi få følgende udtryk: ( ) Den naturlige logaritme kan elimineres ved at benytte Eulers tal. Eulers tal fungerer ligesom den inverse til den naturlige logaritme, så derfor fås: ( ) Når vi har fået ophævet den naturlige logaritme, fås......men i dette udtryk på højre side to konstanter. Men vi kan ifølge bestemte regneregler trække k 2 konstanten ud ved at sætte den til en potens hvor eulers tal er roden: Eulers tal til k konst defineres nu som en ny konstant k 2 og rykkes foran på højre side. Nu har vi pludselig en temperaturforskel på venstre side, hvor den er afhængig af temperaturen på højre side! Derved fås følgende, som nævnt i den udleverede tekst (Se kildeliste): ( ) K 2 kan vi finde ved tiden (t) = 0, den må af resultatet være T(0), da = 1, derfor k 2 * 1 = T(0). Generelt vil afkøling gå langsommere, når temperatur forskellen bliver mindre, hvilket i systemet svarer til at fortegnet til k 1 må være negativ (k 1 < 0). Det er i bund og grund fordi, at systemet er om afkøling, derfor må k 1 være negativ fordi at temperaturændringen T falder og fortegnet må derfor være minus. På ethvert tidspunkt vil temperaturen af legemet være givet ved omgivelsernes temperatur plus temperaturforskellen: Vi kan nu endeligt skrive et udtryk for legemets temperatur T som funktion af tiden: ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 9

11 8 Opstilling af forsøg Arbejde med termometer 8.1 Udvælgelse af forsøgsmåleinstrument Vi har i dette projekt valgt at se nærmere på matematiske modeller og dertil differentielligninger. Vi har i forbindelse med projektet valgt skulle opsamle data i form, disse data vil vi bruge til at kunne opstille en differentielligningen. Løsningen til ligningen skal give en ide om afkøling af et legeme. Vi vil bruge ligningen til at validere en hypotese som vi opstiller i forbindelse med det forsøg, vi udtænker og opstiller. Vi ser det derfor som en selvfølge at vi fremstiller et termometer. 8.2 Kravspecifikationer Der skal fremstilles et termometer som kan registrere temperaturen i et givent legeme. Produktet skal kunne følgende: - Vores produkt skal kunne måle temperaturen af et givent legeme, med en præcision på ± 1 O C. - Den skal kunne sende informationerne til en computer. - Der skal fremstilles et program, der kan opsamle og konvertere data til valgte enheder. - Det er vigtigt at måleenheden kan nå legemet, uden at andre komponenter end måleenheden når ned hen/ned i legemet. - Det er vigtigt at produktet fremstilles på en sådan måde, at den kan kalibreres og tilsluttes computeren uden besvær. - Det er derfor en god ide at fremstille produktet så simpelt som muligt. - Det er også en god ide at bruge passende farver, hvad angår ledningerne. Så man på den måde kan se, hvor de givne komponenter er tilsluttet. 8.3 Design, Implementering og Drift (Fremstillingsproces) Fra vores kravspecifikationer, er vi kommet frem til, at vi ønsker at lave temperatursensoren ud fra følgende materialer: 2k modstand LM335 sensor 1 Potentiometer (Variabel modstand) 0-10K Kabler En computer med USB og IDE Arduino Uno (Eller anden Arduino som understøtter kildekoden i bilaget) Breadboard Varmelim Varmelegeme (Loddekolbe eller lighter) Vores valg af materialer ligger i, at den først og fremmest skal kunne kalibreres for at opnå en præcision på ca. 1 grad. Derfor benytter vi potentiometeret til at tilfredsstille dette krav. Med arduinoen kunne vi let og simpelt skrive et program til sensoren, og få data på computeren. Produktet er okay simpelt, og kræver kun en indre fremstilling. Breadboardet er til at holde kablerne og komponenterne på plads, og varmelimen 1 Se kildeliste for data omkring LM335 Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 10

12 bruges til at isolere sensoren så den ikke kortslutter i vandet. Teoretisk ville systemet komme til at se således ud: Figur 1: Overblik over hvordan det hele skal sættes sammen, dog uden potentiometeret. Her er opsætningen uden potentiometeret. Det er relativt let at sætte potentiometeret ind, da det sådan set bare skal sidde mellem stel og strøm i denne opsætning. Opsætningen ovenover er først og fremmest for at se, om det hele virker som det skal, inden potentiometeret sættes ind. Figur 2: Her har vi lavet vores opsætning på et breadboard, og det hele er blevet sat til. Dette endte også med at blive vores endelige prototype, siden vi ikke prioriterede tiden til at organisere kablerne. Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 11

13 Opsætningen er her med potentiometeret. Det hele er lidt rodet, en er derimod funktionelt. Det kan ses at potentiometeret er sat til en spænding som kan ændres, og derved ændres temperaturen også. Dette kan man se under programmet / kildekoden der er lavet til Arduionen 2. Figur 3+4: På venstre side ses opsætningen hvor vi har sat det hele til. Computeren i baggrunden noterer dataene og konverterer dem til grader celcius. Som en ekstra, fik vi den også til at skrive det i fahrentheit. Til højre ses en kalibrering af sensoren, vha. en en temperaturmåler. Til højre ses kalibreringsprocessen. Vi har sat et præcist termometer ned i vandet, og bruger dets temperatur til at kalibrere sensoren. Problemet med dette var, at det er vand på stuetemperatur, og derfor kan temperaturen svinge lidt. Vi forsøgte også med isvand så temperaturen var tilnærmelsesvis nul grader, men dette resulterede i omtrent samme temperatur, og gjorde ikke den store forskel. Til venstre ses den opstilling der benyttes til at måle temperaturen på en kop vand. Der er sat en anden temperaturmåler i kruset for at se om temperaturen stemte overens med vores egen sensor. I baggrunden kan programmet også ses, som noterer temperaturen i celcius, fahrentheit og i bits. Til yderligere kommentarer til programmet, så er det skrevet i Arduinos processing IDE. Programmet giver let mulighed for upload og installation af drivers. Når koden er skrevet, compiles koden og overføres. Vores kode er skrevet således, at den tager udgangspunkt i deres eksempelkode. Eksempelkoden tager digital data fra 0 til 1023 og viser det i et serial output. Det vi så har gjort, at vha. en algoritme fået den til at give os en temperatur ud fra de antal bits sensoren giver. Dertil er det skrevet op, så der står Grader celcius før at observationen kommer. Hver gang den laver en ny observation, så laver den automatisk afsnit, og giver et nyt observationsnummer til hver gang. På den måde kan vi hurtigt se, at ved 3. observation med 1 minuts intervaller, er der gået 3 minutter og temperaturen er således efter 3 minutter. Disse observationer kopieres ind i en tekstfil, og indtastes manuelt i Graph eller andet lignende program. 8.4 Måleresultater Vi fik to datasæt, dog har vi udeladt det første, da resultaterne ikke blev helt som forventet. Vores næste datasæt havde 60 observationer, og én observation er 1 minut. Første datasæt havde en observationsinterval på ca. 10 sekunder, hvilket var relativt hurtigt da vi fik mange observationer. Derfor blev per minut mere overksuelig, og resultaterne blev også lidt 2 Arduino kildekolden er i bilagene Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 12

14 pænere. Nogle resultater er blevet udvalgt til undersøgelse i de kommende afsnit, og alle resultaterne er vedlagt som et bilag. 8.5 Måleusikkerheder og problemer Arbejdet med vores termometer var ikke helt kørende under forsøgene. Vi bemærkede nogle problemer undervejs som vil blive nævnt i dette afsnit. Disse fejlkilder, måleusikkerheder og problemer kan have større indflydelse på modellerne, og vil derfor også tages med i den endelige vurdering. Det første problem var først og fremmest kalibreringen. Undervejs virkede det som om, at den skulle kalibreres igen ved hvert forsøg. På denne måde kunne resultaterne godt blive misvisende eller helt forkerte. Den næste usikkerhed var også rumtemperaturen. Vi bemærkede også at vinduet havde i nogle tilfælde været åbnet. I starten af forsøgene vil dette ikke have den store påvirkning, men når vi nåede lavere temperaturer kunne der forekommer større temperatursvingninger som ikke vil stemme overens med modellerne. Dette bemærkede andre grupper også. De sidste problemer lå i selve komponenten LM335. Komponenten er generelt ikke designet til at måle temperaturer på væsker, men andre elektriske komponenter. Dette betød for os, at hvis der kom vand ind i det lukkede system eller at den varme som temperaturmåleren selv lavede kunne påvirke temperaturen. Gennem forsøget hvor vi observerede per 1 minut begyndte LM335 eren at have en forskel på hele 5-6 grader fra en mere professionel temperaturmåler. Dette er yderst vigtigt at bemærke og have med i den endelige vurdering, og også hvorfor dette skete. 8.6 Delkonklusion Fra vores krav, opstilling / design, resultater og usikkerheder er vi kommet frem til, at først og fremmest at kun nogle af vores krav blevet implementeret i denne opstilling. Der har ikke været den fornødne tid til at kunne evt. gøre det hele mere overskueligt med kablerne. Som det sås på billederne, så var de ikke organiseret eller placeret efter farve. Man kan vel sige, at vores løsning er dog relativt simpel, siden kun få komponenter benyttes. De resterende krav er dog i denne løsning, siden vi kunne få data og få dem konverteret vha. vores program og computer. Det kan diskuteres om de store temperaturforskelle senere i observationerne gør, at vi ikke har løst vores første krav, men det kan i så fald også være de andre temperaturmålere ikke har været kalibreret. Umiddelbart kan denne løsning altså forbedres, men i dette projekt har den fungeret udmærket til det forsøg vi nu måtte lave. Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 13

15 9 Opstilling af vores matematiske model(ler) - fremgangsmetode Da vi nu har opstillet en funktion for Newtons afkølingslov, så skal vi se på hvordan vi finder frem til k 1 og k 2. Med de to variabler sammen med de data vi håber at finde frem til, kan vi plotte data ind i en graf, og teste modellen på forskellige måder. Ser vi igen på funktionens udtryk... ( ) ( )... må det gælde, at hvis vi har nogle data hvor vi kender tiden og temperaturforskellen, bliver udtrykket en ligning med to variabler. Man kan løse en sådan ligning ved at opstille et lighedstegn mellem to ligninger og substituere. Den anden metode er at sætte tiden til nul, for derved fås... ( ) ( )... fordi en eksponentialfunktion hvor eksponenten er nul giver 1. På den måde kan vi finde ud af, at k 2 så må være en starttemperatur. Dette er lidt nemmere og hurtigere, og derfor er denne metode altså valgt i rapporten. k 1 er den eneste variabel der nu er tilbage, og kan findes ved at tage observationen efter startobservationen. Et eksempel kunne være hvor vi har en temperatur på 70 grader ved den næste observation efter startobservationen, og k 2 er 73 grader: t bliver reduceret siden at produktet mellem k 1 og t er det samme som k 1. Vi kan herefter dividere 73 på begge sider, og derved få isoleret vores eksponentielle faktor: Den eksponentielle variabel kan findes ved at benytte os af logaritmer. Regnereglen for den naturlige logaritme som vi tager i brug, er: ( ) ( ) Tager vi den naturlige logaritme på begge sider (Den benytter vi os af siden roden er eulers tal) må det gælde, at vi får følgende udtryk: ( ) ( ) ( ) Isoleres k 1 fås følgende: ( ) ( ) Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 14

16 10 Opstilling af vores egne model(ler) Som bekrevet i afsnittet: opstilling af model(ler), så ønsker vi at opstille en model, ud fra opsamlet data vi har en formel for en funktion, som vi vil benytte til at finde en funktion for vores data: Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 15

17 Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 16

18 Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 17

19 11 Vurdering af matematiske model(ler) Ser vi på vores 2 første modeller, så er de udført og udregnet, som beskrevet i afsnittet: Opstilling af modeller. Ved at bevare de eksakte værdier, sikre vi os at, vi ikke får usikkerheder i den forbindelse. Da der ikke er mulighed for at udregne ligningerne via programmel, så kan vi ikke bevisføre vores udregninger på den måde. Ser vi på dem i forhold til vores data, så lader det til at, de er udført korrekt. Som det ses af billedet, så følger de 2 modeller vores data-punkter, med hver deres afvigelser. Dette skyldes at, de valgte punkter til udregningen af modellerne, ikke er de samme punkter. Men når det er sagt, så lader det til at, der er en eksponentieltendens mellem punkterne. Billede 1; her ses en afbildning af funktionerne: Start/slut & Start/ob.2, de er stillet op imod de data, vi har opsamlet med vores måleudstyr. Vores sidste 2 modeller er udregnet efter samme princip, som de første 2, men siden at vi ikke kunne bestemme K 2 til tiden 0, har vi været nødsaget til at udregne dem på en anden måde. Her har vi måtte benytte metoden: To ligninger med to ubekendte. Disse to ligninger kunne vi heller ikke udregne på programmel, men ser vi på de to funktioner, i forhold til data-punkterne, så virker de til at følge punkterne tilpas nok, til at vi konkludere at, de er korrekt udregnet. Igen viser funktionerne at der er en tendens til at punkterne følger en eksponentielkurve. Billede 2; her ses en afbildning af funktionerne: ob.30/ob.39 & ob.47/ob.54, de er stillet op imod de data, vi har opsamlet med vores måleudstyr. Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 18

20 12 Resultater af vores model(ler) i forhold til datasæt Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 19 Tabel 1: Her ses en tabel hvor 16 x-værdier er udvalgt. Vi havde ikke plads til alle værdierne. Y-værdierne fra vores resultater er beregnet ud fra vores fundne konstanter. Nedenunder har vi opstilt y-værdierne fra de andre modeller. Der er bl.a. belvet brugt to værdier som udgangspunkt, start-slut og regressionslinje. Med disse nye modeller ønsker vi at se, hvilken model der passer bedst til vores oberservationer procentuelt og per grad.

21 13 Vurdering af resultater Fra vores tabel ønsker vi at se på hvordan resultaterne passer til vores måleresultater. Der er udvalgt 16 x- værdier som vi mener vil kunne give den bedste model og de bedste sammenligninger. Vi har ikke taget de resterende 44 x-værdier med, da det ville hurtigt blive meget mere uoverskueligt og tidskrævende. Derudover var der nogle resultaterne som var langt fra brugbare, og de blev kasseret. De dårlige resultater kunne skyldes at måleren røg ud af vandet undervejs, eller en anden udefrakommende forstyrring. Vi starter med regressionslinjen. Fra de procentuelle data kan vi se, at procenterne er alle under 5%, hvilket vi kan være ret tolerante over for. Der er ingen tvivl om at en sådan model er mest præcis, men beregningen til modellen er derimod ukendt. Regressionslinjen gav en R 2 værdi på 0,93 ud af de 1, hvilket er relativt godt. Vores næste model hvor vi tog udgangspunkt i start- og slutpunkterne er også udmærket. Ser vi igen på procenterne, så er de ikke meget højere end 6%, hvilket også kan tolereres. Når man tænker på det er en model som vi selv har beregnet, så er det nok den bedste model i forhold til at der tages to x- værdier i observationerne. De sidste tre modeller er hvor vi simpelthen har taget to værdier ved siden af hinanden og opstilt en model for dem. Som det kan ses, så er procenterne utrolig lave lige omkring x- værdierne hvor observationerne er taget fra, men jo længere vi kommer væk, jo højere bliver procenterne. Derfor er disse former for modeller ikke helt acceptable, og giver ikke nogen god model for temperaturen. Start- og slutpunkterne må altså, som nævnt, være den bedste model. Det skyldes formentlig at ved at tage start og slut, så må den lave en eksponentiel funktion som skal give en pænere kurve fra start til slut. Regressionslinjen er ikke helt en god model at bruge, siden vi ikke kan beregne modellens funktionsudtryk. 14 Konklusion Vi opstilte en form for hypotese i vores problemstilling. Problemstillingen gik på, at afkøling af objekter ville foregå eksponentielt. Vha. den givne teori omkring modeller og beregning af en eksponentiel funktion, har vi kunnet opstille 4 forskellige modeller, eksklusiv regressionslinjen. Den eksponentielle funktion blev fundet ved Newton s afkølingslov, hvor der blev opstilt en funktion med temperatur som den afhængige varabel, og tid som den uafhængige variabel. Løsningen blev fundet med basale regneregler, og viden omkring integration og differentiering. Vores forsøgsopstilling viste sig at være udmærket til en hvis grad. Vi fik løst de vigtigeste krav, som havde betydning for, om vi kunne få resultater eller ej. I alt blev der lavet to datasæt, men det første datasæt var så dårligt, at det blev taget fra i denne rapport. Alle data blev foretaget med computer og Arduino, samt den temperatursensor som skulle benyttes. I måleusikkerhederne nævnte vi, at der var nogle mærkværdige temperaturændringer på hele 6 grader når temperaturen faldt. Der var samtidig også underlige udsving på datasættet, men disse er også set bort fra og er taget ud af rapporten (Dog kan de ses i de vedlagte bilag). Modellerne vi har opstilt krævede viden omkring løsning af ligninger, og derfor var de hurtigt lavet. Der blev lavet 4 modeller, som tog udgangspunkt i start- og slutpunkter og to datasæt som lå tæt på hinanden. Modellerne blev testet på 16 observationer ud af de 60, for ikke mindst at mindske tidsforbruget, men også for at gøre det mere overskueligt og få gode vurderinger. Dertil kommer regressionslinjen også. Modellerne viste, at start- og slutpunkterne gav den mindste procentuelle forskel, når regressionslinjen ikke er taget med. Der var procentforskelle på maks 6 procent, hvilket er mere tolerabelt for et sådant forsøg, hvor det Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 20

22 ikke har været under mere professionelle omstændigheder. Modellerne der tog udgangspunkt i to punkter tæt på hinanden gav meget høje procenter i forhold til vores måleresultater, og derfor er de ikke specielt gode eller relevante. Vi vil dog ud fra vores start- og slut model og regressionslinjen på 0,93 konkludere, at vores modeller afspejler Newtons Afkølingslov i en sådan grad, at det er acceptabelt. Derved må det også betyde, at vi har formået at kunne opstille en model, som viser, at temperaturen falder eksponentielt. Forsøget kan helt klart forbedres hvis mere professionelle muligheder er til stede, og det ville helt klart kunne reducere de procentuelle forskelle vi har her. Der kunne også især bruges en anden temperatursensor, siden denne sensor typisk kun bruges i elektronik, og ikke væsker. Der er altså mange måder dette forsøg kan forbedres, og forsøgene kan nemt understøttes af den samme teori og fremgangsmåde som den der er skrevet i denne rapport. 15 Kilder & Litteratur Ophavsret - Titel - Link - Dato for anvendelse Redcircle2Oracle, Java Logo: 20/ MidtFjordAgro, Snefnug: jpg 20/ STMicroelectronics, LM335 Datasheet: 59.pdf 10/ Kostis,Arduino Thermometer: 05/ Arduino, Hjemmeside og info: 12/ Youtube, Law of Cooling: 15/ Øvrige Kommentarer Forsidebillede Java Forsidebillede, skal forestille afkøling Datablad der er brugt til at forstå LM335 komponenten God guide til hvordan vi skulle opsætte vores Arduino så den kunne fungere på computeren og konvertere bits til grader. Site til Arduino med information omkring brug af IDE og programmering Videokilde som hjalp med forståelse om, hvordan man finder funktionen T til tiden t. Forfatter, Titel, År, Udgiver Dejgaard og C Michelsen: Trafikmodeller, Matematiske Aspekter, År 2001 Matematikerforeningen Øvrige kommentarer Modelleringsprocessen er det afsnit som er anvendt i denne rapport til at skrive om modelleringsprocessen. Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 21

23 K. Herman & M. Niss: Beskæftigelsesmodellen - År 1982, Arnold Busck Carstensen & Frandsen: Mat 3A, År 2002 SysTime Modelbegrebet er det afsnit som er anvendt i denne rapport, indgår kort i modelleringsprocessen, og også som guide til bevis af Temperaturforskellen til tiden t. Indeholder information om differentialligninger. Også vores grundbog. M. Stoklund: Afkøling (Upubliceret) Information om, hvordan man kommer frem til funktionen 16 Bilag Datasættet fra forsøget Kildefil fra program til data (Arduinokode) Mini-SRP Projekt Afkølingsloven af Lars-Emil Jakobsen og Jacob Ruager Page 22

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Dataopsamling og modellering

Dataopsamling og modellering Dataopsamling og modellering Studieområdet i studieretningsforløbet (matematik og IT) Mini-SRP Fag/vejleder: HTX 2.4 Informationsteknologi/ Karl G Bjarnason Matematik / Jørn Christian Bendtsen Mads Poulsen,

Læs mere

Dokumentation af programmering i Python 2.75

Dokumentation af programmering i Python 2.75 Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt

Læs mere

Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog

Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Humanistisk metode Vejledning på Kalundborg Gymnasium & HF Samfundsfaglig metode Indenfor det samfundsvidenskabelige område arbejdes der med mange

Læs mere

Automatisering Af Hverdagen

Automatisering Af Hverdagen Automatisering Af Hverdagen Programmering - Eksamensopgave 10-05-2011 Roskilde Tekniske Gymnasium (Kl. 3,3m) Mads Christiansen & Tobias Hjelholt Svendsen 2 Automatisering Af Hverdagen Indhold Introduktion:...

Læs mere

Lærervejledning Modellering (3): Funktioner (1):

Lærervejledning Modellering (3): Funktioner (1): Lærervejledning Formål Gennem undersøgelsesbaseret undervisning anvendes lineære sammenhænge, som middel til at eleverne arbejder med repræsentationsskift og aktiverer algebraiske teknikker. Hvilke overgangsproblemer

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Eksponentielle modeller

Eksponentielle modeller 2013 Eksponentielle modeller Jacob Elmkjær og Dan Sørensen Matematik/IT Roskilde Tekniske Gymnasium 09-12-2013 Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl Bjarnason Indhold Indledning... 2 Opgave analyse...

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

ysikrapport: Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Morten Hedetoft, Kasper Merrild og Theis Hansen Afleveringsdato: 28/2/08

ysikrapport: Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Morten Hedetoft, Kasper Merrild og Theis Hansen Afleveringsdato: 28/2/08 ysikrapport: Gay-Lussacs lov Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Morten Hedetoft, Kasper Merrild og Theis Hansen Afleveringsdato: 28/2/08 J eg har længe gået med den idé, at der godt kunne være

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math

Læs mere

Transienter og RC-kredsløb

Transienter og RC-kredsløb Transienter og RC-kredsløb Fysik 6 Elektrodynamiske bølger Joachim Mortensen, Edin Ikanovic, Daniel Lawther 4. december 2008 (genafleveret 4. januar 2009) 1. Formål med eksperimentet og den teoretiske

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

Informations Teknologi Indholdsfortegnelse

Informations Teknologi Indholdsfortegnelse Informations Teknologi Indholdsfortegnelse Arbejdsmetode:... 2 System udviklingen:... 2 Forløbs beskrivelse:... 2 Test:... 3 Arbejdsmetode: Vi startede med at finde ud af, hvad vi ville lave. Vi besluttede

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Ugur Kitir HTX - Roskilde 01/05 2009

Ugur Kitir HTX - Roskilde 01/05 2009 Vi har fået opgaven i forbindelse med vores produkt til vores interne prøve. Jeg skal i opgaven konkretisere hvad min målgruppe er og ud fra det skal beskrive et design der passer til målgruppen. Jeg starter

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Matematik A / IT B Roskilde Tekniske Gymnasium. SO Projekt Mat / IT Tema: Gærcellevækst med Eksponentielle Modeller & IT Produkter

Matematik A / IT B Roskilde Tekniske Gymnasium. SO Projekt Mat / IT Tema: Gærcellevækst med Eksponentielle Modeller & IT Produkter Matematik A / IT B Roskilde Tekniske Gymnasium SO Projekt Mat / IT Tema: Gærcellevækst med Eksponentielle Modeller & IT Produkter November / December 2013 Af Jacob Ruager og Lars-Emil Jakobsen Klasse 2.4

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Eksponentielle modeller

Eksponentielle modeller Eksponentielle modeller Fag: Matematik A og Informationsteknologi B Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Side 1 af 20 Indholdsfortegnelse Introduktion 1.Indledning... 3 2. Formål... 3

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens. Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Projektbeskrivelse... 2 Dette bruger vi i projektet... 2 Komponenter... 2 Software... 2 Kalibrering...

Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Projektbeskrivelse... 2 Dette bruger vi i projektet... 2 Komponenter... 2 Software... 2 Kalibrering... Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Projektbeskrivelse... 2 Dette bruger vi i projektet... 2 Komponenter... 2 Software... 2 Kalibrering... 3 Kildekoden... 4 Variabler... 4 Setup... 4 Loop... 4 Indledning

Læs mere

AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5

AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5 AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5 1. 2. 3. 4. AT-1. Metodemæssig baggrund. Oktober 09. (NB: Til inspiration da disse papirer har været anvendt i gamle AT-forløb med

Læs mere

Afsluttende - Projekt

Afsluttende - Projekt 2014 Afsluttende - Projekt Rapporten er udarbejdet af Ali, Andreas og Daniel Vejleder Karl G Bjarnason Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Case... 3 Design... 4 Python kalender:... 4 Poster:... 4 Planlægning...

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Newtons afkølingslov

Newtons afkølingslov Newtons afkølingslov miniprojekt i emnet differentialligninger Teoretisk del Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T ( t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden

Læs mere

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan

Læs mere

Elektronikken bag medicinsk måleudstyr

Elektronikken bag medicinsk måleudstyr Elektronikken bag medicinsk måleudstyr Måling af svage elektriske signaler Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 1 Introduktion... 1 Grundlæggende kredsløbteknik... 2 Ohms lov... 2 Strøm- og spændingsdeling...

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Det perfekte blødkogte æg

Det perfekte blødkogte æg Det perfekte blødkogte æg Opgaveformulering: Ifølge undersøgelser på University of Exeter 1 kan det vises, at den optimale kogetid for et blødkogt æg kan skrives som Giv en kort redegørelse for den engelske

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Koblede differentialligninger.

Koblede differentialligninger. 2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af

Læs mere

Projekt - Valgfrit Tema

Projekt - Valgfrit Tema Projekt - Valgfrit Tema Søren Witek & Christoffer Thor Paulsen 2012 Projektet Valgfrit Tema var et projekt hvor vi nærmest fik frie tøjler til at arbejde med hvad vi ville. Så vi satte os for at arbejde

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Faglig læsning i matematik

Faglig læsning i matematik Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har

Læs mere

Tværfagligt Projekt. Matematik og IT

Tværfagligt Projekt. Matematik og IT Tværfagligt Projekt Matematik og IT Navn: Ugur Kitir Skole: Roskilde - HTX Klasse: 2.4 Vejledere: Karl og Jørn Afleveringsdato: 01/12 2008 Indholdsfortegnelse Opgaveanalyse... 3 Indledning:... 3 Analyse

Læs mere

Studieretningsopgave Temperatur af en væske

Studieretningsopgave Temperatur af en væske Studieretningsopgave af en væske Studieretning: Matematik A, Fysik B, Kemi B Fagkombination: Fysik og Matematik Opgaveformulering: Redegør kort for forsøget om opvarmning og afkøling af en væske. Præsenter

Læs mere

SO: Mini-SRP Matematik/IT

SO: Mini-SRP Matematik/IT SO: Mini-SRP Matematik/IT Dataopsamling og modellering Dato: 31/03/2014 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G. Bjarnason Lavet af: Jacob D. Sørensen, og Rune Kofoed-Nissen Klasse: 2.4 Indholdsfortegnelse

Læs mere

At lave dit eget spørgeskema

At lave dit eget spørgeskema At lave dit eget spørgeskema 1 Lectio... 2 2. Spørgeskemaer i Google Docs... 2 3. Anvendelighed af din undersøgelse - målbare variable... 4 Repræsentativitet... 4 Fejlkilder: Målefejl - Systematiske fejl-

Læs mere

Mads Peter, Niels Erik, Kenni og Søren Bo 06-09-2013

Mads Peter, Niels Erik, Kenni og Søren Bo 06-09-2013 EUC SYD HTX 1.B Projekt kroppen Fysik Mads Peter, Niels Erik, Kenni og Søren Bo 06-09-2013 Indhold Indledning/formål... 2 Forventninger... 2 Forsøget... 2 Svedekassen... 2 Fremgangsforløb... 2 Materialer...

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

Matematik på Humlebæk lille Skole

Matematik på Humlebæk lille Skole Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder

Læs mere

Undervisningsmateriale - Rapport

Undervisningsmateriale - Rapport Kom/IT Undervisningsmateriale - Rapport Klasse 1.7 Mathias Saxe H. Jensen 10-05-2011 Side 1 af 10 Indhold Forside... 1 Indledning... 3 Problemstilling... 3 Målgruppe... 3 Problemformulering... 4 Kommunikationsplan...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2011-2012 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Bente Madsen 1e mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Projekt Når maskinen reagerer - Dataopsamling og aktuatorer

Projekt Når maskinen reagerer - Dataopsamling og aktuatorer Projekt Når maskinen reagerer - Dataopsamling og aktuatorer Af Nikki Mitchell og Jacob Thuesen Nikki Mitchell og Jacob Thuesen Side 1 af 20 08-02-2010 Indledning... 3 Formål... 3 Teori... 4 Arduino opgave

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

SO-projekt Marts 2014

SO-projekt Marts 2014 SO-projekt Marts 2014 Matematik A - IT B Kaffeafkøling Lavet af: Mads Hougaard, Philip Elbek og Frederik Bagger Under vejledning af: Jørn Christian Bendtsen og Karl Bjarnason Indholdsfortegnelse Forord...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2015 Institution Skive Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Niveau A Emil Hartvig emh@skivets.dk 1bhtx13 Oversigt over gennemførte

Læs mere

Design og funktionel prototype

Design og funktionel prototype Design og funktionel prototype 2.1) Minus scenarie Der bliver sendt nye billeder til rammen og Hans ønsker at se billederne, men billederne rotere for langsomt så Hans går op og bruger touch funktionen

Læs mere

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen:

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer

Læs mere

Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data

Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data En vigtig metode til at få overblik over data er at tranformere dem, således at der fremkommer en lineær sammenhæng. Ordet transformation

Læs mere

Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011

Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011 Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik

Læs mere

Appendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala

Appendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala Appendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala De nationale test gav i 2010 for første gang danske lærere mulighed for at foretage en egentlig måling på en skala af deres elevers præstationer på grundlag

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hansenberg Gymnasium htx Matematik A Thomas Voergaard.

Læs mere

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Indholdsfortegnelse. DUEK vejledning og vejleder Vejledning af unge på efterskole

Indholdsfortegnelse. DUEK vejledning og vejleder Vejledning af unge på efterskole Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Problemstilling... 2 Problemformulering... 2 Socialkognitiv karriereteori - SCCT... 3 Nøglebegreb 1 - Tro på egen formåen... 3 Nøglebegreb 2 - Forventninger til udbyttet...

Læs mere

Adgangsgivende eksamen (udeladt kategori: Matematisk student med matematik på niveau A)

Adgangsgivende eksamen (udeladt kategori: Matematisk student med matematik på niveau A) Økonometri 1 Forår 2003 Ugeseddel 13 Program for øvelserne: Gruppearbejde Opsamling af gruppearbejdet og introduktion af SAS SAS-øvelser i computerkælderen Øvelsesopgave 6: Hvem består første årsprøve

Læs mere

Termin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf. Matematik B, hfe bekendtgørelsen.

Termin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf. Matematik B, hfe bekendtgørelsen. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf Fag og niveau

Læs mere

Mælkeby, matematik, 2.-3. klasse

Mælkeby, matematik, 2.-3. klasse Mælkeby, matematik, 2.-3. klasse RAMMESÆTNING Mælkeby er et projekt som er baseret på, at elever, i matematik i indskolingen, skal kunne forstå, bearbejde og herved flytte et fysisk projekt ind i et digitalt,

Læs mere

Børn, unge og sundhed Automatisering

Børn, unge og sundhed Automatisering Gr. 8 Børn, unge og sundhed Automatisering Kage, hvornår? Thomas Qvistorff Kanstrup og Thorbjørn Louring Koch 1.6 Kom/IT RTG 30/4 2010 Indhold Indledning... 3 Planlægning... 3 Kommunikationsplanlægning...

Læs mere

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2013 Institution Teknisk Gymnasium - Skive Tekniske Skole Uddannelse HTX Fag og niveau Matematik B Lærer(e) PBL Hold 2. c. KDS

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Kommentarer til matematik B-projektet 2015

Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver

Læs mere

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Fremtiden visioner og forudsigelser

Fremtiden visioner og forudsigelser Fremtiden visioner og forudsigelser - Synopsis til eksamen i Almen Studieforberedelse - Naturvidenskabelig fakultet: Matematik A Samfundsfaglig fakultet: Samfundsfag A Emne/Område: Trafikpolitik Opgave

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Bilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012.

Bilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012. Bilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012. Bilagets formålet: Bilaget dokumenterer, at der fra de i lokalplanen

Læs mere

Indledning. Målgruppe. Læringsmål. Pakkens indhold. Indledning

Indledning. Målgruppe. Læringsmål. Pakkens indhold. Indledning Indledning LEGO Education teamet er stolte af at præsentere LEGO MINDSTORMS Education EV3 fysikaktivitetspakken til folkeskolens ældste klasser samt gymnasiet. Disse innovative undervisnings- og læringsmaterialer

Læs mere