Matematisk model for køsystem

Transkript

1 Matematisk model for køsystem Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde). Kødisciplin (rækkefølge for service). Ekspeditionstidsproces S 1, S 2,... (servicetid per kunde). Dagens emne: ankomstprocesser. JM (I17) VS7-2. minimodul 1 / 18

2 Tælleprocesser Ankomstprocesser er såkaldte tælleprocesser dvs. 1 N(0) = 0 og N(t) 0; 2 N(t) {0, 1,...}; 3 N(s) N(t) for s < t; 4 N er højrekontinuert (med grænseværdier fra venstre). For N en ankomstproces forstår vi ved N(t) N(s) antallet af ankomster i intervallet [s, t). Hvis U 1, U 2, U 3... er ventetiderne (også kaldet inter ankomstintervaller) i en tælleproces N, så er T n = U 1 + U U n tidspunktet for n-te ankomst og N(t) = max{n : T n t} JM (I17) VS7-2. minimodul 2 / 18

3 Tælleprocesser Eksempel ankomster til callcenter JM (I17) VS7-2. minimodul 3 / 18

4 Poissonprocessen Definition 1 (Andersen 2001, p. 8) En tælleproces N er en Poissonproces m. intensitet (rate) λ > 0 hvis 1 Antal ankomster i disjunkte tidsintervaller er uafhængige, 2 1 λh o(h) n = 0; P(N(t + h) N(t) = n) = λh + o(h) n = 1; o(h) n > 1, hvor o(h) betegner en størrelse, så lim h 0 o(h)/h = 0. Betingelse 2 er den præcise måde at skrive følgende på: 1 λ t, n = 0; P(N(t + t) N(t) = n) λ t, n = 1; t lille. 0, n > 1; JM (I17) VS7-2. minimodul 4 / 18

5 Poissonprocessen Definition 2 (Andersen (2001), p. 9-10). N er en Poissonproces med rate λ hvis og kun hvis 1 Antal ankomster i disjunkte tidsintervaller er uafhængige. 2 N(t) N(s) Poisson(λ(t s)), t > s 0. Definition 3 (Andersen (2001), p. 11). N er en Poissonproces med rate λ hvis og kun hvis inter ankomstintervaller U 1 Exp(λ), U 2 Exp(λ), U 3 Exp(λ),... er uafhængige, hvor Exp(λ) betegner eksponentialfordelingen m. parameter λ, dvs. sandsynlighedsfordelingen med tæthedsfunktion f (x) = λe λx, x 0. JM (I17) VS7-2. minimodul 5 / 18

6 Poissonprocessen Hvad betyder definitionerne? Definition 1. Der kommer højest én ankomst i et lille tidsinterval. Sandsynlighed for én ankomst proportional m. intervallængde. Dvs. Poissonprocessen ligner på mange måder en ligefordeling (alle punkter er lige sandsynlige ankomsttidspunkter). Definition 2. Antal ankomster i et fast tidsinterval er Poissonfordelt med parameter proportional med længden af tidsintervallet (ingen krav til længden af intervallet). Definition 3. Vi kan konstruere en Poissonproces med parameter λ ved følgende algoritme: 1 Simulér uafhængige eksponentialfordelte variable U n Exp(λ) (sæt U n = (1/λ)lnR n ), hvor R n er uniformt fordelt mellem 0 og 1). 2 Sæt N(t) = max{n : U 1 + U U n t}. JM (I17) VS7-2. minimodul 6 / 18

7 Poissonprocessen Hvad betyder definitionerne? JM (I17) VS7-2. minimodul 7 / 18

8 Poissonprocessen Fuldstændigt tilfældige ankomster Lad N være en Poissonproces med intensitet λ. Beting med hændelsen N(t) = 1 (én ankomst i [0, t]). Hvordan er ankomsttidspunktet T fordelt på [0, t]? For 0 s t er P(T s N(t) = 1) = P(N(s) = 1, N(t) N(s) = 0) P(N(t) = 1) = P(N(s) = 1)P(N(t) N(s) = 0)/P(N(t) = 1) [ = λse λs] [ e λ(t s)] / [λte λt] = s/t. Dvs. T er ligefordelt på [0, t]. Tilsvarende for det generelle tilfælde N(t) = n: betinget med N(t) = n er de n punkter på intervallet [0, t] uafhængige og ligefordelt på [0, t]. JM (I17) VS7-2. minimodul 8 / 18

9 Poissonprocessen Egenskaber ved Poissonprocessen 1 EN(t) = λt (middelværdi i Poissonfordeling). 2 Var N(t) = λt (varians i Poissonfordeling). 3 N er en Markovproces m. diskret tilstandsrum (definition 3). 4 N er stationær (definition 1). JM (I17) VS7-2. minimodul 9 / 18

10 Poissonprocessen Egenskaber ved Poissonprocessen Bevaringsegenskaber Sum: Hvis N i uafhængige Poissonprocesser med int. λ i, i = 1, 2,så er N 1 + N 2 en Poissonprocess med int. λ 1 + λ 2. Ikke så overraskende, idet N 1 (t) og N 2 (t) er uafhængige Poisson variable, så N 1 (t) + N 2 (t) Poisson((λ 1 + λ 2 )t) Udtynding: Lad N være en Poissonproces med rate λ. Hvis Ñ er tælleprocessen, som fremkommer ved uafhængigt at inkludere den nte ankomst i N med sandsynlighed p, så er Ñ en Poissonproces med rate pλ. JM (I17) VS7-2. minimodul 10 / 18

11 Poissonprocessen En speciel egenskab ved Poisson ankomster Følgende egenskab gælder kun for Poisson ankomster: Fordelingen af Poissonprocessen er den samme som hvis vi betinger med, at en ankomst finder sted til et givent tidspunkt. Dette kan anskuliggøres som følger. Lad P i (t) = P(N(t) = i) være sandsynligheden for i ankomster til t. Betragt den betingede sandsynlighed Π i (t) for at N(t) = i givet at en ankomst finder sted kort efter tid t, dvs. Π i (t) = lim h 0 P(N(t) = i N(t + h) N(t) 1). Da N(t) og N(t + h) N(t) er uafhængige, er P(N(t) = i N(t + h) N(t) 1) = P(N(t) = i). P i (t) = Π i (t). Altså er JM (I17) VS7-2. minimodul 11 / 18

12 Erlangprocesser Ankomstprocesser ofte mere regulære end Poissonprocessen. Brug da Erlangprocesser. En tælleproces N r er en Erlangproces af orden r med intensitet a hvis den fremkommer ved at udvælge hver r te ankomst i en Poissonproces N m. intensitet ra. Erlangprocessen arver flg. egenskaber fra Poissonprocessen: 1 Markovproces med diskret tilstandsrum. 2 Stationær. Husk! Interankomsttider i Poissonprocessen med intensitet λ er uafhængigt Exp(λ)-fordelt (definition 3). Lad T = T 1 være en (vilkårlig) interankomsttid i Erlangprocessen. Hvis U 1,..., U r iid Exp(ra), så gælder T U1 + + U r. JM (I17) VS7-2. minimodul 12 / 18

13 Erlangprocesser Fordelingen af T T er ventetiden på, at der er indtruffet r ankomster i Poissonproces med intensitet ra. Dvs. P(T t) = P(N(t) r) = 1 P(N(t) < r) r 1 (rat) n = 1 n! n=0 e rat Fordelingsfkt. for en gammafordeling m. formparameter r og skalaparameter 1/ra T Gamma(r, 1/(ra)). Gammafordeling med heltallig formparameter kaldes en Erlangfordeling. JM (I17) VS7-2. minimodul 13 / 18

14 Erlangprocesser Egenskaber ved Erlangfordelingen Tæthedsfunktion (differentiér fordelingsfkt.) f T (t) = (ra)r (r 1)! tr 1 e rat, t 0. Middelværdi E(T ) = r i=1 EU i = r/(ra) = 1/a. Varians Var(T ) = r i=1 Var U i = r/(ra) 2 = 1/(ra 2 ). Var(T ) 0 når r. Dvs. jo større formparameter, jo mere regulær ankomstproces. I grænsen: konstante inter ankomstintervaller af længde 1/a. JM (I17) VS7-2. minimodul 14 / 18

15 Erlangprocesser Egenskaber ved Erlangprocessen Lad N r (t) være antallet af ankomster i et interval af længde t, startet et tilfældigt sted, for en Erlangproces af orden r med intensitet ra. Middelværdi E(N r (t)) = at. Varians Var(N r (t)) at/r, t r/a. Lad s være et vilkårligt fast tidspunkt og Y r ventetid på første ankomst efter s. Middelværdi: E(Yr ) = r+1 1 E(Y ) = 1/(2a) < E(Y r ) < E(Y 1 ) = 1/a, r > 1. 2r a JM (I17) VS7-2. minimodul 15 / 18

16 Hvad hvis tingene ikke er stationære? Vi har set på ankomstprocesser N, som er fornyelsesprocesser T n = n U i, i=1 U i uafhængige og identisk fordelte Ankomstrate λ(t) = den(t)/dt generelt en konstant λ for disse. Hvad hvis λ varierer i tid (ikke-stationaritet)? Ankomstproces kan fx modelleres som inhom. Poissonproces: 1 Antal hændelser i disjunkte intervaller uafhængige. 2 1 λ(t)h o(h) n = 0; P(N(t + h) N(t) = n) = λ(t)h + o(h) n = 1; o(h) n > 1, JM (I17) VS7-2. minimodul 16 / 18

17 Hvad hvis tingene ikke er stationære? Simulation af inhomogene Poissonprocesser Antag at til alle tider t er λ(t) a, hvor a er en konstant. 1 Simulér en stationær Poissonproces Ñ med intensitet a. 2 Udtynd blandt ankomster T 1, T 2,... sådan at P(behold ankomst T i ) = λ(t i )/a. JM (I17) VS7-2. minimodul 17 / 18

18 Hvad hvis tingene ikke er stationære? Simulation af inhomogene Poissonprocesser Intensitetsfunktion Poissonproces med intensitet 2 sin(xx/4) f(x) Tid Tid SSH for at beholde ankomst Inhomogen Poissonproces y/ f(x) Tid Tid JM (I17) VS7-2. minimodul 18 / 18