Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Transkript

1 Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q = n siger vi, at d går op i n, eller at d er divisor i n, og vi skriver d n Lad os betragte tallet 14 Tallet 7 er divisor i 14, og vi kan skrive 7 14, da 7 2 = 14 Er der andre divisorer i tallet 14? Hvilke? Slide 1/1 Slide 2/1 Divisorer og delelighed (Delelighedsregler) Lad a, b, og c være hele tal Da gælder følgende to udsagn: 1) Hvis a b og b c, da vil også a c 2) Hvis a b og a c, da vil også a b + c og a b c Lad os betragte tallene 4, 12 og 24 Vi ser først at Da siger 1), at det må gælde at 4 24 Bevis for 1) i sætning 4 12 og Divisionsalgoritmen (Divisionsalgoritmen) Lad a og b være hele tal med b > 0, da findes entydige hele tal q og r så a = qb + r og 0 r < b Bemærkning r kaldes resten ved division med kvotienten q (Divisionsalgoritmen for hele tal) Lad a og b være hele tal med b 0, da findes entydige hele tal q og r så a = qb + r og 0 r < b Slide 3/1 Slide 4/1

2 Divisionsalgoritmen Lad n N være et kvadrattal Vis at n har rest 0 eller 1 ved division med 4 Bevis: Da n er et kvadrattal findes et a N så n = a 2 Ved at vælge b = 4 giver divisionsalgoritmen os at Det betyder at a = 4q + r hvor r = 0, 1, 2, eller 3 n = a 2 = (4a + r) 2 = 16a 2 + 8qr + r 2 Der er nu fire tilfælde: et for hver mulig rest, når a deles med 4: 1) r = 0: n = 16a 2 + 8q = 16a = 4(4a 2 ) + 0 2) r = 1: n = 16a 2 + 8q = 16a 2 + 8q + 1 = 4(4a 2 + 2q) + 1 Største fælles divisor Definition Den største fælles divisor mellem to hele tal a og b er den største divisor d, hvorom der gælder at d a og d b Den største fælles divisor for a og b skrives som gcd(a, b) Eksempler Bestem den største fælles divisor i følgende tilfælde a) gcd(12, 18) = 6 b) gcd(15, 25) = 5 c) gcd(38, 14) = 2 d) gcd(18564, 2604) =? 3) r = 2: n = 16a 2 + 8q = 16a q + 4 = 4(4a 2 + 4q + 1) + 0 4) r = 3: n = 16a 2 + 8q = 16a 2 24q + 9 = 4(4a 2 + 6q + 2) + 1 I hvert tilfælde er resten af n ved division med 4 altså 0 eller 1 Slide 5/1 Slide 6/1 Lemma (Egenskab for største fælles divisor) Lad a og b være hele tal så a = qb + r for q, r Z Da er hvor r er resten ved division af a med b Bevis for lemma gcd(a, b) = gcd(b, r) Lad a og b være hele tal med b 0 er at benytte divisionsalgoritmen succesesivt, således a = q 1 b + r 1, 0 r 1 < b b = q 2 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1 r n 2 = q n r n 1 + r n, 0 r n < r n 1 r n 1 = q n+1 r n + 0, r n+1 = 0 Ifølge lemmaet gælder at: gcd(a, b) = gcd(b, r 1 ) gcd(b, r 1 ) = gcd(r 1, r 2 ) gcd(r 1, r 2 ) = gcd(r 2, r 3 ) Altså gælder det at: gcd(a, b) = gcd(b, r 1 ) = gcd(r 1, r 2 ) = = gcd(r n, 0) = r n Slide 7/1 Slide 8/1

3 Lad a og b være hele tal med b 0 er at benytte divisionsalgoritmen succesesivt, således a = q 1 b + r 1, 0 r 1 < b b = q 2 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1 r n 2 = q n r n 1 + r n, 0 r n < r n 1 r n 1 = q n+1 r n + 0, r n+1 = 0 : Sæt a = og b = 2604 Vi anvender på a og b = , < = , < = , 0 84 < = 3 84 Vis at brøken er uforkortelig for alle n N n n 4 + n + 1 Bevis: Det skal altså vises at gcd(n 4 + n + 1, n 3 + 1) = 1 gcd(n 4 + n + 1, n 3 + 1) = gcd(n 3 + 1, n 4 + n + 1 n(n 3 + 1)) = gcd(n 3 + 1, n 4 + n + 1 n 4 n) = gcd(n 3 + 1, 1) = 1 Den største fælles divisor i og 2604 er altså 84 Slide 9/1 Slide 10/1 (Bezout s identitet) Lad a og b være heltal med b 0 Da findes hele tal u og v så gcd(a, b) = au + bv Vi har set at gcd(18564, 2604) = 84 Besstem u, v Z så 84 = 18564u v Bmærkning u og v er ikke entydige Idet vi husker at = , < = , < = , 0 84 < = 3 84 Kan vi trævle algoritmen op baglæns Vi får 84 = = = = 8 ( ) 2604 = Det vil sige, at vi har u = 8 og v = 57 Slide 11/1 Slide 12/1

4 Lad a og b være heltal med største fælles divisor d og b 0 Da kan et heltal c skrives på formen c = ax + by, x, y Z hvis og kun hvis d c Specielt er d det mindste positive tal, der kan skrives på denne form Lad a og b være heltal Da gælder for ethvert heltal m > 0 at gcd(ma, mb) = m gcd(a, b) Definition (indbyrdes primiske tal) to heltal a og b kaldes indbyrdes primiske hvis gcd(a, b) = 1 To heltal a og b er indbyrdes primiske, hvis og kun hvis der findes x, y Z så ax + by = 1 Lad a og b være heltal Da gælder at gcd ( a d, b ) = 1 d Slide 13/1 Slide 14/1 Lineære Diofantiske ligninger Problem Lad a, b og c være hele tal Bestem samtlige heltals løsninger x, y til ligningen c = ax + by Lineære Diofantiske ligninger Løsning af Diofantiske ligninger Følgende 4 steps kan bruges til at løse ligningen c = ax + by 1) Beregn d = gcd(a, b) ved hjælp af Lad a, b og c være hele tal, hvor i enten a eller b er forskellig fra 0, og lad d = gcd(a, b) Ligningen c = ax + by har en heltals løsning x, y, hvis og kun hvis d c I så fald er der uendeligt mange løsninger, og disse er givet ved parrene x = x 0 + bn d, Hvor x 0, y 0 er en partikulær løsning y = y 0 an d (n Z) 2) Tjek om d c Hvis ikke, da har ligningen ingen heltalsløsninger Hvis ja, skriv da c = de 3) Hvis d c brug da baglæns til at bestemme heltal u, v så au + bv = d Da er x 0 = ue og y 0 = ve en partikulærløsning til ax + by = c 4) Brug sætningen til at bestemme den generelle løsning Slide 15/1 Slide 16/1

5 Primtal Definition 2 (Trivielle og ægte divisorer) De trivielle divisorer i et helt tal n er 1, 1, n og n Alle andre divisorer i n kaldes ægte divisorer Aritmetikkens fundamentalsætning Lemma (primtalslemmaet) Lad p være et primtal og lad a, b være hele tal Da gælder følgende to udsagn: 1) Enten går p op i a eller også er p og a indbyrdes primiske 2) Hvis p ab da gælder p a eller p b Definition 3 (Primtal) Et positivt helt tal p, som er større end 1, kaldes et primtal, hvis det kun har trivielle divisorer Bevis for lemma De første ti primtal er altså tallene: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Lemma (det generaliserede primtalslemma) Hvis p er et primtal og p (a 1 a 2 a k ), da gælder at p a i for et i {1, 2,, k} Definition 4 (Sammensatte tal) Et positivt helt tal n, som er større end 1, kaldes et sammensat tal, hvis det har mindst en ægte divisor Bevis for lemma Slide 17/1 Slide 18/1 Aritmetikkens fundamentalsætning (Aritmetikkens fundamentalsætning) Ethvert heltal n > 1 har en primtalsfaktorisering n = p e 1 1 pe 2 2 pe k 2 hvor p 1, p 2,, p k er forskellige primtal og e 1, e 2,, e k er positive heltal Primtalsfaktoriseringen er entydig op til rækkefølgen af primtalsfaktorerne Motivation og Pythagoras sætning Hvem var Pierre de Fermat ( )? (Fermats sidste sætning) Der findes ingen positive heltalsløsninger a, b og c til ligningen for noget n 3 a n + b n = c n Der findes uendeligt mange primtal Fermats sidste sætning er oplagt en generalisering af Pythagoras sætning Derfor vender vi os nu mod denne sætning for at forstå heltalsløsningerne til ligningen kaldet pythagoraiske talsæt a 2 + b 2 = c 2 Slide 19/1 Slide 20/1

6 Pythagoraiske talsæt Definition (primitive pythagoraiske talsæt) Et pythagoraisk talsæt (a, b, c) kaldes primitivt, hvis a, b og c ikke har nogen fælles divisorer, dvs hvis gcd(a, b, c) = 1 Lemma Et pythagoraiske talsæt (a, b, c) er primitivt hvis og kun hvis to af tallene a, b og c er indbyrdes primiske Bemærkning Hvis man har et pythagoraisk talsæt (a, b, c) kan man altid finde flere ved at gange igennem med et positivt heltal m, dvs (ma, mb, mc) er altså også et pythagoraisk talsæt Ifølge aritmetikkens må ethvert pythagoraisk talsæt være et multiplum af et primitiv talsæt Man kan altså identificere ethvert pythagoraisk talsæt (a, b, c) med det tilsvarende primitive talsæt ved at dividere igennem med gcd(a, b, c) Pythagoraiske talsæt Bemærkning Ovenstående overvejelse er brugbar, fordi den simplificerer problemet med at finde alle heltalsløsninger til a 2 + b 2 = c 2 I stedet for at finde alle løsningerne kan vi nemlig nøjes med kun at finde de primitive løsninger - så kan vi konstruere alle andre løsninger ud fra dem Hvis u og v er positive indbyrdes primiske heltal med modsat paritet og u > v så er tallene a = u 2 v 2, b = 2uv, c = u 2 + v 2 Et primitivt pythagoraisk talsæt Omvendt er alle primitive pythagoraiske talsæt på denne form for et par u, v som beskrevet Bevis Slide 21/1 Slide 22/1 Fermats method of descent Metode: Fermats method of descent Fermats method of descent, er en metode til at opnå modstrid Hvis metoden skal benyttes, skal man altså føre et modstridsbevis Metoden går ud på at man konstruerer en uendelig og aftagende følge af naturlige tal n 1 > n 2 > n 3 > n i N Dette er en modstrid da enhver strengt aftagende følge af naturlige tal altid vil terminere efter endeligt mange skridt Specialtilfældet n=4 Der findes ingen positive heltalsløsninger x, y og z til ligningen x 4 + y 4 = z 2 Der findes ingen positive heltalsløsninger a, b og c til ligningen a 4 + b 4 = c 4 Bevis for korollar Der findes ingen pythagoraiske talsæt (a, b, c), hvor a = b Bevis Bevis for sætning Slide 23/1 Slide 24/1

7 Det endelige bevis Nu mangler vi faktisk bare at vise sætningen, hvor n er et ulige primtal Men det viser sig, at være uhyggeligt svært Kort om Andrew Wiles bevis fra (Opfordring: se dokumentaren Fermats Last Theorem fra BBC) Perspektivering: komplekse beviser og valideringsproblemet i matematik Slide 25/1