Reeksamen i Lineær Algebra

Transkript

1 Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider med ialt 2 opgaver. Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. De anførte procenter angiver med hvilken vægt de enkelte opgaver tæller ved den samlede bedømmelse. Eksamenssættet har to uafhængige dele. Del I indeholder almindelige opgaver. I forbindelse med del I er det vigtigt at du forklarer tankegangen bag opgavebesvarelsen, og at du medtager mellemregninger i passende omfang. Del II indeholder multiple choice opgaver. Del II skal afkrydses i nærværende opgavesæt. Husk at skrive jeres fulde navn, studienummer samt hold nummer på hver side af besvarelsen. Nummerer siderne, og skriv antallet af afleverede ark på. side af besvarelsen. God arbejdslyst! NAVN: STUDIENUMMMER: HOLD NUMMER: Hold 2 (v. Jacob Broe) Hold 3 (v. Olav Geil) Hold 4 (v. Morten Nielsen) Hold (v. Bo Rosbjerg) Hold 6 (v. Nikolaj Hess-Nielsen) Side af 8

2 Del I ( almindelige opgaver ) Opgave (6%). A = 2, B = [ 2 2 ] [, C = 3 ].. Udregn AB + AC. Opgave 2 (%). A = Find A. 2. Bestem determinanten af A. 3. Bestem determinanten af A. Opgave 3 (%). A = Find en basis for søjlerummet hørende til A. 2. Find en basis for nulrummet hørende til A. Side 2 af 8

3 Opgave 4 (8%). A = [ 2 4 ].. Find egenværdierne for A. 2. Find en basis for hvert af de tilhørende egenrum. Opgave (%). W være løsningsmængden til u = x x 2 + x 3 = x + 2x 2 + x 3 =.. Bestem den ortogonale projektionsmatrix P W. 2. Find w W og z W, så u = w + z. 3. Find afstanden fra u til W. Side 3 af 8

4 Opgave 6 (8%).. Vis, at, W = Span 3 2. Argumenter for, at v = 3. Vis at B =,, er en basis for W. 3 3, ligger i W. 3. er en basis for R3 og find [v] B. Opgave 7 (%). Det oplyses, at A = 4 2 kan skrives som A = PDP, hvor P = og D = 2. Find den partikulære løsning til differentialligningssystemet som opfylder bibetingelsen y =y +4y 3 y 2 =y + 2y 2 y 3 y 3 = y 3 y () = y 2 () = y 3 () =.. Side 4 af 8

5 Opgave 8 (8%). I denne opgave arbejdes der med lineære transformationer fra R 2 ind i R 2.. Opskriv matricen for en spejling i anden-aksen. 2. Opskriv matricen for en rotation om origo mod uret med Opskriv matricen, som svarer til, at vi først spejler som i delspørgsmål og dernæst roterer som i delspørgsmål 2. Side af 8

6 Opgave 9 (4%). Del II ( multiple choice opgaver) Der er givet to vektorer u, v R 3, som er lineært afhængige, og u = v. Sæt H = span{u, v}. Afkryds det sande udsagn nedenfor. H kan beskrives som et paralellogram i R 3. H kan beskrives som en plan i R 3. H kan beskrives som en linie i R 3. Opgave (%). Betragt matricen A =. Afkryds samtlige sande udsagn nedenfor (bemærk: hver forkert afkrydsning ophæver én rigtig afkrydsning). A er ikke-inverterbar (singulær). Den lineære transformation induceret af A er injektiv (engelsk: one-toone). A er på række-echelonform (trappeform). nullity A =. rank A = 3. nullity A + rank A = 3. Tallet 2 er egenværdi for A. A er på reduceret række-echelonform (reduceret trappeform). Der findes et b R 4, således at ligningssystemet Ax = b ikke er konsistent. det A =. det A = 4. Side 6 af 8

7 Opgave (6%). Der er givet en lineær afbildning T : R 8 R m. Besvar følgende to spørgsmål. Bestem den mindste værdi af m, for hvilken der med sikkerhed gælder, at T ikke er surjektiv (engelsk: onto): Bestem den mindste værdi af m, for hvilken der gælder, at T kan være være injektiv (engelsk: one-to-one): Side 7 af 8

8 Opgave 2 (%). Besvar følgende sand/falsk opgaver: a. En 4 4-matrix med de fire egenværdier,,, er diagonaliserbar. Sand Falsk b. Der findes en lineær transformation T : R 2 R 2 således at [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 2 3 T( ) =, T( ) =, T( ) = Sand Falsk ]. c. W være et underrum af R med dimensionen 4. Så gælder altid, at 4 lineært uafhængige vektorer i W udgør en basis for W. Sand Falsk d. A og B være 3 3-matricer. Hvis AB = O så gælder A = O eller B = O. Sand Falsk e. Enhver symmetrisk 2 2-matrix kan diagonaliseres. Sand Falsk Side 8 af 8