Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger

Transkript

1 Vaansanalyse (ANOVA) Repetton, ANOVA Tjek af model antagelse Konfdensntevalle fo mddelvædene Tukey s test fo pavse sammenlgnnge

2 ANOVA - defnton ANOVA (ANalyss Of VAance), også kaldet vaansanalyse e en statstsk metode tl at bestemme, om de e foskel på mddelvædene flee (end to) populatone. Gunden tl at det hedde vaansanalyse, e at man analysee foskellge vaanse fo at bestemme om, de e foskel på mddelvædene. SÅ USK - vaansanalyse faktsk handle om at fnde foskelle mellem mddelvæde og det gø man ved at analysee vaansene! ypotesene e gvet som 3 Ikke alle mddelvæde e ens Smpel stkpøve fa hve af de populatone. Stkpøvestøelsen e gvet som n n +n +n 3 + +n

3 Antagelse fo at buge ANOVA V antage uafhængge stkpøve fa hve af de populatone V antage, at de populatone e nomalfodelte, med mddelvæde som e ens elle foskellge, men med ens vaanse, σ. σ 3 Populaton Populaton Populaton 3

4 Ideen ANOVA Total vaaton vaatonen ndenfo guppene + vaatonen mellem guppene Vaatonen ndenfo guppene Vaatonen af obsevatonene hve guppe omkng guppens gennemsnt (dvs. vaansen en guppe, som v jo ha antaget e ens fo alle guppene!) Vaatonen mellem guppene Vaatonen af guppenes gennemsnt omkng det totale gennemsnt vs vaatonen ndenfo guppene e llle fohold tl vaatonen mellem guppene, så e mddelvædene de foskellge guppe kke ens.

5 Sum of Squaes SST Sum of Squaes fo Teatment SSTR n ( ) n t ( n SSE Sum of Squaes fo Eo SSE ) s n j + ( n ( j ) s ) + L+ ( n e j ) s SST SST Sum of Squaes total n j ( j ) n j Tot j

6 The Sum-of-Squaes pncp Total vaaton Vaaton mellem guppe + Vaaton ndenfo guppe SSTR SSE SST SST SSTR + SSE n ( ) + n j ( j )

7 Mean squaes Lad MSTR SSTR - og MSE SSE n - Man kan vse, at E(MSE) σ n( ) E(MSTR) σ + - Nå e sand, e L og demed e MSE og MSTR to centale estmatoe af σ. vs kke e sand, vl MSTR væe støe end MSE på gund af det eksta postve led E(MSTR).

8 ANOVA MSTR Unde følge en F - fodelng, F( -,n - ). MSE MSTR Unde vl væe tæt på og nå kke e sand, MSE vl den væe støe end. Defo et "høje - halet" test. FDstbutonwth3and5Degeesof Feedom f(f) α F (3,5).79 ANOVA tabel Vaatons klde Sum of Squaes Fhedsgade Mean Squae F Rato Behandlng SSTR ( - ) MSTR Fejl SSE (n - ) MSE Total SST (n -) MST MSTR/MSE

9 SÅ alt alt L Ikke alle 'ene e ens.7.6 Sgnfkansnveau Teststøelse Ktsk væd Beslutnngsegel α MSTR F MSE F ( -,n - ) α Fokast F > F α ( hvs -,n - ) f(f) Fokastelses omåde F α (-,n-)

10 Eksemplet med fly Pototype A Pototype B Pototype C Descptves y 3 Total 95% Confdence Inteval fo Mean N Mean Std. Devaton Std. Eo Lowe Bound Uppe Bound Mnmum Mamum 447, 4,99 33, 433,89 448, , 6,77 33, ,6 436, , 7,995, ,5 486, ,33 47,343 6,9 4,3 43,

11 Eksemplet med fly ANOVA y Between Goups Wthn Goups Total Sum of Squaes df Mean Squae F Sg. 386,7 9563,333,78, 4846, 7 9, 69586,7 9 Så fokastes da.78 > 3.35 de e altså foskel på mddelvædene. Næste gang vodan e de foskellge?

12 Tjek af modelantagelse - nomalfodelng Nomalfodelng Tegn hstogamme ove data ndenfo hve guppe skal lgne en nomalfodelng.

13 Tjek af modelantagelse ens vaans Test fo ens vaans de foskellge populatone. SPSS buge en test støelse, de hedde Levene s test. I skal bae kunne vudee, om de e ens vaans elle ej. vs p-væden e mnde end.5, e vaansene foskellge, og ANOVA kan altså kke buges. I fly-eksemplet e p-væden.67 og demed e vaansene ens. y Test of omogenety of Vaances Levene Statstc df df Sg.,49 7,67

14 Vdee analyse Data ANOVA Fokast kke Stop Fokast Stkøve mddelvædene e centale estmatoe af populatons mddelvædene. MSE e en cental estmato af den fælles populatons vaans. ANOVA Dagam Vdee Analyse Konfdens ntevalle fo Populatons Mddelvæde Tukey s Pavse Sammenlgnngs Test

15 Konfdens ntevalle fo populatons mddelvæde Et (-α)% konfdensnteval fo, mddelvæden populaton hvo t α e α/ faktlen ± t α MSE n t - fodelngen med (n - ) fhedsgade. vs konfdens ntevallene ovelappe, e mddelvædene ens og hvs de kke ovelappe, e de foskellge. Buges dog kke pakss som en test, da det kke e et smultant test og de defo e pobleme med hvlket sgnfkansnveau man teste på.

16 Konfdensntevalle fo fly eksemplet Descptves y 3 Total 95% Confdence Inteval fo Mean N Mean Std. Devaton Std. Eo Lowe Bound Uppe Bound Mnmum Mamum 447, 4,99 33, 433,89 448, , 6,77 33, ,6 436, , 7,995, ,5 486, ,33 47,343 6,9 4,3 43, MSE9, n, og t.5 (7).5 95% konfdens nteval fo de te foskellge mddelvæde Type A 447 ±.5 9 [ 433,89; 448,] Type B 43 ±.5 9 [ 453,6; 436,38] Type C 435 ±.5 9 [ 483,5; 486,5]

17 Tukey s test fo pavse sammenlgnnge En måde at sammenlgne populatons mddelvæde på smultant, på et gvet sgnfkansnveau, e Tukey s test. mddelvæde at sammenlgne. populatons pa af )!!(! De e Fo flytype, kan v sammenlgne A - B, A - C og B C hvs Fo eksempel,

18 Tukey s test fo pavse sammenlgnnge Test støelsen e den absolutte dffeence V ha at T hvo q α j q α (, n ) MSE n (, n ) e den "studentseede ange"fodelng med fhedsgade og n -, på sgnfkansnveau α.(append c Tabel 6) j Ktske væde e, nå den absolutte dffeence blve fo sto, så et høje - halet test. det e vs de kke e lge mange obsevatone hve guppe, vælges n mndste af de foskellge stkpøve støelse. tl den

19 Eksemplet med fly ANOVA y Between Goups Wthn Goups Total Sum of Squaes df Mean Squae F Sg. 386,7 9563,333,78, 4846, 7 9, 69586,7 9 Så fokastes da.78 > 3.35 de e altså foskel på mddelvædene. Men hvodan e de foskellge?

20 Eksempel - flytype ypotesene A B A B A A C C B C B C vs v teste på sgnfkansnveau α q α (, n ) q.5 (3,7) 3.5.5, så e MSE 9 og n T q α (, n ) n fo,,3 MSE

21 Eksempel - flytype B A B A B A B A > 7. T så, 6 fokastes Da T y 447, 43, 435, 3 457,33 3 Total N Mean S C B C B C B C B C A C A C A C A < > så kke, 6 fokastes Da T så, 6 fokastes 7 Da 7. T

22 SPSS

23 SPSS

24 SPSS

25 Resultate fa SPSS Descptves med konfdens ntevalle Descptves Km 3 Total 95% Confdence Inteval fo Mean N Mean Std. Devaton Std. Eo Lowe Bound Uppe Bound Mnmum Mamum 447, 4,99 33, 433,89 448, , 6,77 33, ,6 436, , 7,995, ,5 486, ,33 47,343 6,9 4,3 43, Test fo ens vaans Test of omogenety of Vaances Km Levene Statstc df df Sg.,49 7,67 Anova tabel Km Between Goups Wthn Goups Total ANOVA Sum of Squaes df Mean Squae F Sg. 386,7 9563,333,78, 4846, 7 9, 69586,7 9

26 Resultate fa SPSS Tukey s test Dependent Vaable Km Tukey SD Multple Compasons (I) Pototype 3 (J) Pototype 3 3 *. The mean dffeence s sgnfcant at the.5 level. Mean Dffeence 95% Confdence Inteval (I-J) Std. Eo Sg. Lowe Bound Uppe Bound 77,* 4,9, 7,63 83,37 7,* 4,9, 65,63 378,37-77,* 4,9, -83,37-7,63 95, 4,9,87 -,37,37-7,* 4,9, -378,37-65,63-95, 4,9,87 -,37,37 Tukey s test, hvlke guppe e foskellge Tukey SD a Pototype 3 Sg. Km Subset fo alpha.5 N 435, 43, 447,,87, Means fo goups n homogeneous subsets ae dsplayed. a. Uses amonc Mean Sample Sze,.

27 Opgave Kaptel 9 3, 8, 9, 6 Opgave fa skftlg eksamen 3 Eksamensopgave Opgave og facts fndes på hjemmesden fo Opgave og facts fndes på hjemmesden fo denne kususgang