GUX. Matematik. A-Niveau. Torsdag den 1. juni Kl Prøveform a GUX171 - MAA

Transkript

1 GUX Matematik A-Niveau Torsdag den 1. juni 017 Kl Prøveform a GUX171 - MAA 1

2 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 1 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse. Alle hjælpemidler er tilladt. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang klart fremgår, herunder om der i opgavebesvarelsen er: en kort præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte spørgsmål går ud på en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen dokumentation af beregninger og anvendt fremgangsmåde ved hjælp af mellemregninger, forklarende tekst og brug af it-værktøjer brug af figurer og illustrationer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af almindelig matematisk notation.

3 GUX matematik A juni 017 side 1 af 7 Opgave 1 Udviklingen i det gennemsnitlige antal km pr. liter, en ny dieselbil kan køre, er vist i tabellen. Årstal km pr. liter 1,4 1,8 3,0 3,6 4,0 5,0 Det gennemsnitlige antal km pr. liter kan beskrives ved en lineær model f( x) = a x+ b hvor f( x ) angiver km pr. liter x år efter 010. a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b. b) I hvilket år kan en ny dieselbil ifølge modellen gennemsnitligt køre 30 km pr. liter? Kilde: Danmarks Statistik Opgave En fisker køber et nyt trawl til sin kutter. Trawlet koster kr. i anskaffelse, og værdien af trawlet afskrives med 5% om året. Værdien af trawlet kan derfor beskrives ved funktionen V( x ) = ,75 x hvor V( x ) er værdien af trawlet x år efter anskaffelsen. a) Bestem værdien af trawlet efter år. b) Bestem hvor lang tid, der går, før værdien af trawlet er under kr. c) Bestem halveringstiden for værdien af trawlet. Opgave 3 To vektorer er givet ved t + 1 a = 3 og 5 b =. t 1 a) Bestem vinklen mellem de to vektorer a og b for t =. b) Bestem de værdier af t, der gør, at vektorerne a og b er parallelle.

4 GUX matematik A juni 017 side af 7 Opgave 4 En supermarkedskæde ønsker at åbne en butik i et område i Nuuk. Derfor undersøger supermarkedskæden, hvor stort et beløb beboere i området bruger på dagligvarer om måneden. Tabellen viser resultatet af undersøgelsen. Beløb i kr. ] 1500;500 ] ] 500;3500 ] ] 3500;4500 ] ] 4500;5500 ] ] 5500;6500 ] Antal beboere a) Tegn sumkurven, og bestem kvartilsættet. b) Bestem det gennemsnitlige månedlige beløb en beboer bruger på dagligvarer. Opgave 5 a) Ligningen ( x ) ln 19 = 0 er løst nedenfor. Forklaring til udregningen skal gives. Bilag 1 kan benyttes. ( x ) ln 19 = 0 Ligningen er skrevet op og løses for 19 x > 0, da den naturlige logaritmefunktion kun er defineret for positive værdier 19 x 1 = x = 18 x = 9 x= 3 x= 3

5 GUX matematik A juni 017 side 3 af 7 Opgave 6 Billedet viser en kran, der sætter betonelementer fast på et fundament. Figuren viser tre kræfter, der belaster krogen. Summen af de tre vektorkræfter er lig med nulvektoren. v w w Det oplyses, at v = 34, F = N k og F1 = F a) Bestem F1. Opgave 7 I et koordinatsystem i rummet med begyndelsespunkt O ( 0,0,0 ) er der givet følgende punkter A ( 3,0,0 ), B ( 0,6,0 ) og C ( 0,0,4 ) Planen α indeholder punkterne A, B og C. a) Bestem en ligning for α, og bestem arealet af trekant ABC. b) Bestem en ligning for den kugle, der har centrum i O, og som har α som tangentplan.

6 GUX matematik A juni 017 side 4 af 7 Opgave 8 I en cirkel kan sammenhængen mellem radius r, korden K og pilhøjden h beskrives ved formlen h K r = + 8h r h K Der skal konstrueres en bestemt cirkelformet tunnel med en vejbredde på K = 8 meter og en pilhøjde h = 1,5 meter. Det antages, at længden af korden K er lig vejbredden. a) Bestem radius r for denne tunnel. Der ønskes i stedet en tunnel med en radius på 9 meter og en vejbredde på 10 meter. b) Bestem pilhøjden h for denne tunnel.

7 GUX matematik A juni 017 side 5 af 7 Opgave 9 En pakke med 500 g hakket kød tages ud af en fryser med temperaturen 5 C og placeres i et rum med temperaturen 0 C. I en model for optøningen af kødet er Tt () en løsning til differentialligningen dy 0,1 y dt = hvor Tt () er kødets temperatur (målt i C ), til tiden t (målt i timer) efter kødet er taget ud af fryseren. Det oplyses, at T (0) = 5. a) Benyt modellen til at bestemme væksthastigheden i kødets temperatur, når kødets temperatur er 5C. b) Bestem en forskrift for T. Kødet er optøet, når temperaturen er 0C. c) Tegn grafen for T, og bestem hvor lang tid, der ifølge modellen er gået, fra kødet blev taget ud af fryseren, til det er optøet. Opgave 10 Funktionen f er bestemt ved forskriften ( ) f( x) = x sin x Området M er i første kvadrant afgrænset af x-aksen og grafen for f. Se figuren. a) Bestem arealet af M. b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 om x-aksen.

8 GUX matematik A juni 017 side 6 af 7 Opgave 11 Billedet viser broen Sydney Harbour Bridge i Australien. På figuren ses en model af buerne indlagt i et koordinatsystem med enheden meter. I modellen ligger x-aksen på havoverfladen. y f g x Kilde: commons.wikimedia.org En del af den øvre bue kan med god tilnærmelse beskrives ved et andengradspolynomium f, mens hele den nedre bue med god tilnærmelse kan beskrives ved et andengradspolynomium g. Forskrifterne for f og g er bestemt ved f x x x x ( ) = 0, , , gx= x + x x ( ) 0, ,93837, I afstanden x meter fra den venstre pylon angiver f( x ) og gx ( ) den lodrette afstand (målt i meter) fra henholdsvis den øvre bue og den nedre bue til havoverfladen. a) Bestem den øvre bues største afstand til havoverfladen. Broens ene vejkant skærer den nedre bue i højden 61 meter over havoverfladen. b) Bestem de x-værdier, hvor vejkanten skærer den nedre bue. Funktionen h er bestemt ved hx ( ) = f( x) gx ( ), 100 x 403 c) Bestem h (150), og forklar betydningen af tallet.

9 GUX matematik A juni 017 side 7 af 7 Opgave 1 Indkomstfordelingen i et land kan beskrives ved en såkaldt Lorenzkurve. Funktionen L med forskriften 100 procent af indkomsten Lx = x x + x x 3 ( ) 0, , 009 0,16, er bestemt ud fra indkomstfordelingen i USA i 01, hvor x er procent af befolkningen, og Lxer ( ) procent af indkomsten. Grafen for L kaldes Lorenzkurven. For eksempel har de 40% af befolkningen med lavest indkomst 9% af den samlede indkomst, fordi L (40) = L procent af befolkningen I en amerikansk avis kunne man om indkomstfordelingen læse overskriften I USA tjener de rigeste 0% af befolkningen næsten 50% af den samlede indkomst a) Bestem L (80), og undersøg om overskriften er sand. GINI-koefficienten er et udtryk for uligheden i et land, og kan beregnes ved GINI = A 50 hvor A er arealet af punktmængden M mellem linjen med ligningen y = x og Lorenzkurven. b) Bestem GINI-koefficienten for USA i procent af indkomsten y = x M L 5 procent af befolkningen

10

11

12 Naqinneqarfia: Ilinniartitaanermut Aqutsisoqarfik Tryk: Uddannelsesstyrelsen 1 Ilinniartitaanermut, Kultureqarnermut, Ilisimatusarnermut Ilageeqarnermullu Naalakkersuisoqarfik Departementet for Uddannelse, Kultur, Forskning og Kirke