83 - Karakterisation af intervaller

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "83 - Karakterisation af intervaller"

Transkript

1 83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde bestående af ét element. Antag derfor, at A opfylder (??) og at A indeholder mere end ét element. a) (a) Betragt først det tilfælde, hvor A er både opad og nedad begrænset, og sæt α = inf A, β = sup A. (a1), at α < β og at A [α, β] Da A er ikke-tom og indeholder mere end ét element gælder at minimum indeholder to elementer, hvorom der gælder a 1 a 2. I følge Definition 3.1 (Ordnet mængde) har vi om ethvert par af elementer x, y i den ordnede mængde M: Vi vælger a 1 sådan at x, y M : x < y x = y y < x a A : a 2 a På samme måde vælger vi a 2 således at a A : a 1 a Fra infimum- og supremum-egenskaben har vi at: Hvormed a A : a α, a β α a 2 < a 1 β α < β (2) Herefter følger det direkte af Definition 3.25 (3.15): [a, b] = {x R a x b} at A [α, β] (3) 1

2 (a2), at ]α, β[ A Jf. Definition 3.19 er der uendeligt mange tal i ]α, β[ Det betyder sammen med Definition 3.25 (3.18) at der findes et c således at Vi kan ligeledes vælge et ɛ sådan at Fra Sætning 3.11(e) gælder c ]α, β[: α < c < β ɛ > 0 : α < c + ɛ < β ɛ > 0 a A : a + ɛ > β Dette betyder at vi kan komme vilkårligt tæt på β og dermed Ligeledes findes et ɛ y A : β > y > c (4) ɛ > 0 : α < c ɛ < β Ved brug af 3.11(e) kan vi komme vilkårligt tæt på α sådan at og dermed Vi har fra Defintion 3.25 (3.18) at ɛ > 0 a A : a ɛ < α x A : α < x < c (5) ]a, b[= {x R a < x < b} Dette viser sammen med (??) og (??) at et ethvert tal i ]α, β[ også findes i A ]α, β[ A (a3) Slut af (a1) og (a2), at A er et interval. Vi har fra ovenstående beviser at Derfor er A et interval. ]α, β[ A [α, β] (6) 2

3 b) Betragt så det tilfælde hvor A er nedad, men ikke opad begrænset, og sæt α = inf A Vis først at A [α, [ og derefter, at ]α, [ A. Postulat: A [α, [. Ud fra infimum-egenskaben (3.14): Yderligere a A : a α a A : a R N er ikke opad begrænset. Dermed ifl. Archimedes princip (3.17): Fra ovenstående følger Fra 3.25 (3.16) fås A [α, [. ]α, [ A r R n N : n > r. a A n N : n > a ]α, [ = {x R α < x < } Jf er der uendelig mange tal i ]α, [. c ]α, [ : α < c < Dermed Fra 3.11 e) haves ɛ > 0 : α < c ɛ ɛ > 0 x A : x ɛ < α Da x ɛ < α og α < c ɛ må der gælde at x < c Ethvert element mindre end c vilkårligt tæt på α er altså indeholdt i A. For at vise at ethvert element større end c også er indeholdt i A antages for modstrid: y A c ]α, [ : c > y 3

4 Fra definitionen 3.6 er c en øvre grænse for A men ifl. formuleringen er A ikke opad begrænset. Hvilket er en modstrid. Hvormed y A : y > c Derfor gælder det c ]α, [ x, y A : x < c < y ]α, [ A c) Betragt endelig de to tilfælde, hvor A ikke er nedad begrænset For A R og β = sup A. Vis at A ], β] hvor ], β] = {x R < x β} Fra definitionen for Supremum må der gælde at a A : a β Endvidere vil vi vise at a A n ], β] : n < a Vi udvælger os et a A : a < 0. Vi sætter a = a. Jævnfør Sætning 3.17 må følgende gælde n N : n > a Ved at benytte Sætning 3.20 kan vi konkludere at n < a = a Specielt gælder det hvis a 0 (β 0) : 1 ], β] Så er 1 < a Hermed er det bevist at A ], β] 4

5 For A R og β = sup A. Vis at ], β[ A hvor ], β[= {x R < x < β} Jf. Sætning 3.19 er der uendeligt mange tal i ], β[. Vi vælger nu et c i intervallet c ], β[ : < c < β Vi vil nu finde et ɛ hvorom det gælder at Ved hjælp af Sætning 3.11 e) c < c + ɛ < β ɛ > 0 a A : a + ɛ > β må et sådant ɛ medfører a A : a + ɛ > β ( a > c). Antag nu for modstrid at c ], β[ a A : c < a Efter definition 3.13 er c en nedre grænse for A men i følge formuleringen er A ikke nedad begrænset og der opstår da en modstrid. Derfor må a A : a < c. Vi betragter nu det tilfælde hvor A hverken er nedad eller opad begrænset. Vi viser nu at A er et interval: Sætning: Hvis A ikke er opad eller nedad begrænset, gælder: A ]-, [ : Vi starter med at vise følgende: a A n ]-, [ : n > a Udfra Sætning 3.17 og antagelsen om at A R, gælder: a A n N : n > a a A : a < 5

6 Vi har nu vist at der, for ethvert a A findes et tal i ]-, [ der er større, vi viser nu følgende: a A n ]-, [ : n < a Vi ved fra Sætning 3.20 at følgende gælder: r < s r > s Vi tager nu et a A : a < 0, og sætter a = a. Jf. Sætning 3.17 gælder så: n N : n > a n < a = a Specielt gælder at 1 ]-, [, så hvis a 0, da er 1 < a Vi har derved vist at der for ethvert a A findes et tal i ]-, [ der er mindre end a. Sætning: Hvis A ikke er opad eller nedad begrænset, gælder: ]-, [ A : Vi vil vise at hvis - < c < så eksisterer der x, y A : x < c y > c Vi starter med at antage for modstrid, at der for et c ]-, [ gælder: a A a < c a A : a c Men da er c jf. Definition 3.13 en nedre grænse for A, hvilket er i modstrid med at A ikke er nedad begrænset. Ligeledes kan vi nu antage for modstrid at der for et c ]-, [ gælder: a A : a > c a A : a c Men da er c jf. Definition 3.6 en øvre grænse for A, hvilket er i modstrid med at A ikke er opad begrænset. Vi konkluderer udfra foregående at A er et interval. 6

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011 Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Projekt 5.3 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 5.3 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projet 53 De reelle tal og 2 hovedsætning om ontinuitet Mens den 1 hovedsætning om ontinuerte funtioner om forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2 hovedsætning betydeligt vanseligere

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Konstruktionen af de reelle tal gennem decimaltalsrepræsentation og Dedekind-snit

Konstruktionen af de reelle tal gennem decimaltalsrepræsentation og Dedekind-snit Keeping it real Konstruktionen af de reelle tal gennem decimaltalsrepræsentation og Dedekind-snit Speciale 10. januar 2018 Pernille Andersen Rikke Bod Lund Matematisk Institut Skjernvej 4A 9220 Aalborg

Læs mere

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009

Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009 Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor? Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver

Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej

Læs mere

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino 12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker

Læs mere

DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser:

DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser: DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser: Jørgen Bang-Jensen October 9, 2013 Abstract Formålet med denne note er at give en form for kogebogsopskrift på, hvorledes man bygger et uafgørlighedsbevis

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

1 Beviser for fornyelsessætningen

1 Beviser for fornyelsessætningen Hvordan beviser man fornyelsessætningen? 1 1 Beviser for fornyelsessætningen I dette notat skal vi diskutere, hvorman man kan bevise fornyelsessætningen. Vi vil starte med at se på tilfældet, hvor ventetidsfordelingen

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Asymptotisk testteori

Asymptotisk testteori Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 6

ANALYSE 1, 2014, Uge 6 ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007 ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som

Læs mere

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018

Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018 Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Additionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012

Additionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012 Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen

Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke

Læs mere

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 11. august 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

På opdagelse i det matematiske laboratorium En introduktion til eksperimentel matematik

På opdagelse i det matematiske laboratorium En introduktion til eksperimentel matematik københavns universitet På opdagelse i det matematiske laboratorium En introduktion til eksperimentel matematik Rune Johansen Ørsted 14. november, 2018 Dias 1/23 Overblik 1 Eksperimentel matematik? 2 Visualisering

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/15 Hvad skal vi lave i dag? Definition af sandsynlighedsrum. Egenskaber ved Sandsynlighedsmål. (Kap. 3). Fødselsdagsproblemet (supplerende eksempel 3.1). Betingede sandsynligheder og uafhængighed

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

Ekstremumsbestemmelse

Ekstremumsbestemmelse Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Normale tal. Outline. Hvad er tilfældighed? Uafhængighed. Matematiklærerdag Simon Kristensen. Aarhus Universitet, 24/03/2017

Normale tal. Outline. Hvad er tilfældighed? Uafhængighed. Matematiklærerdag Simon Kristensen. Aarhus Universitet, 24/03/2017 Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik Aarhus Universitet Aarhus Universitet, 24/03/2017 Outline 1 2 3 Hvad er tilfældighed? I statistik, sandsynlighedsteori og ikke mindst i programmering er det

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Opgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 352 og 6ed: 11.2, side 345)

Opgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 352 og 6ed: 11.2, side 345) Kursus 4: Besvarelser til øvelses- og hjemmeopgaver i uge 11 Opgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 35 og 6ed: 11., side 345) Opgaven består i at foretage en regressionsanalse. Først afbildes data som i

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Eksamensnoter til Analyse 1

Eksamensnoter til Analyse 1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.

Læs mere

Selvreference i begrænsningsresultaterne

Selvreference i begrænsningsresultaterne Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume

Læs mere

Divide-and-Conquer algoritmer

Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer (af samme type). 2. Løs delproblemerne ved rekursion (dvs. kald algoritmen

Læs mere

Regularitet og Automater. Tobias Brixen Q4-2012

Regularitet og Automater. Tobias Brixen Q4-2012 Regularitet og Automater Tobias Brixen Q4-2012 1 Noterne er skrevet med inspiration fra http://cs.au.dk/ illio/courses/dregaut/dregautnoter.pdf Contents 1 Regulære udtryk 3 1.1 RegEx.................................

Læs mere

Vægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen

Vægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant

M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant M=3 åben facilitet kunde forbindelse lukket facilitet oprettet lokation Steinerkant v Connected facility location-problemet min i f i y i + d j c ij x ij + M c e z e (1) j i e hvorom gælder: x ij 1 j (2)

Læs mere

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

A. Appendix: Løse ender.

A. Appendix: Løse ender. Løse ender A.1 A. Appendix: Løse ender. (A.1). I dette appendix giver vi et bevis for Bertrand s Postulat, nævnt i Kapitel 1. Som nævnt følger Postulatet af en tilstræelig nøjagtig vurdering af primtalsfuntionen

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

UGESEDDEL 7 LØSNINGER. Opgave 7.2.1

UGESEDDEL 7 LØSNINGER. Opgave 7.2.1 UGESEDDEL 7 LØSNINGER Opgave 7.2.1 Definition 1. En følge {x } in R n onvergerer mod puntet x, dersom der, for ethvert ɛ > 0, findes et N N sådan at x x < ɛ for alle N. Her definerer vi 1) x x 2 = x 1)

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere