Potensrækker. Morten Grud Rasmussen november Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
|
|
- Peter Aagaard
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er polynomier i den komplekse variable z, altså hvor a og a 0, a 1, a 2, a 3, er givne komplekse tal, og z P C er en kompleks variabel En potensrække kan opfattes som et polynomium af uendelig orden; den N te afsnitssum Nÿ a n pz aq n af 1) er jo et polynomium af orden N Den mest fundamentale potensrække er den geometriske række z n 2) Den geometriske række er som bekendt 2 konvergent for z ă 1 og divergent for z ě 1 se også Opgave 8) Mængden tz P C z ă 1u af z er, hvor 2) er konvergent, er altså en cirkelskive uden rand med radius 1 i den komplekse plan Det skal vise sig, at mængder af denne type spiller en helt central rolle i teorien om potensrækker, og vi giver dem derfor et navn: Definition 2 Åben/lukket cirkelskive) Lad a P C og 0 ď R ď 8 Da kaldes mængden B R paq z P C ˇˇ a z ă R for den åbne cirkelskive med centrum i a og radius R Tilsvarende kaldes mængden ĎB R paq z P C ˇˇ a z ď R for den lukkede cirkelskive med centrum i a og radius R 1 Disse noter er en bearbejdning af et uddrag af 3 version af noterne Supplement til Matematik 1GB fra 2002 af Jan Philip Solovej, skrevet til brug på kurset Matematik 1 Grundkursus B ved Københavns Universitet som et supplement til bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe Thue Poulsen De relevante dele af disse noter er i sig selv en bearbejdning af et uddrag fra Indledning til Matematisk Analyse II af Henrik Stetkær, Klaus Thomsen og Christina Tønnesen-Friedman, der ved Aarhus Universitet brugtes som supplement til Funktioner af en og flere variable Tak til Jan Philip Solovej for tilladelse til at bruge materialet Ansvaret for materialet i disse noter ligger dog udelukkende hos undertegnede 2 Sætning 431 i Funktioner af en og flere variable 1
2 Det kan diskuteres hvor meget cirkelskive, der er over Ď B 8 paq B 8 paq C, B 0 paq H og ĎB 0 paq tau, men I vil senere se, at betegnelserne åben og lukket er velvalgte, også for disse tre mængder I første omgang nøjes vi med at konstatere, at hvis vi erstatter C med R alle steder i ovenstående definition, så får vi netop alle de åbne hhv lukkede intervaller samt den tomme mængde H og singleton-mængderne tau, som i Funktioner af en og flere variable ikke betragtes som intervaller, jf bemærkningen efter Definition 325 De åbne cirkelskiver kan altså betragtes som en kompleks udgave af de åbne intervaller Med denne sprogbrug kan vi nu sige, at den geometriske række er konvergent på den åbne cirkelskive med centrum i 0 og radius 1 og divergent i ethvert punkt udenfor denne åbne cirkelskive Ved at bruge dette kan vi også bestemme konvergensforholdene for rækken pz aq n, 3) som fremkommer fra den geometriske række ved at erstatte z med z a Det er nemlig klart, at 3) konvergerer i punktet z z 0 hvis og kun hvis 2) konvergerer i punktet z z 0 a Altså er 3) konvergent for alle z i den åbne cirkelskive med centrum i a og radius 1 og divergent for alle z udenfor denne åbne cirkelskive Vi skal nu vise, at konvergensforholdene for en generel potensrække 1) i det store hele er som for rækken 3) Blot bliver radius i den cirkelskive, hvor rækken konvergerer, ikke nødvendigvis 1, men kan være hvad som helst mellem 0 og 8 begge inklusive) Bemærk at forskellen mellem rækkerne 1) og 3) består i, at der i 1) optræder koefficienterne a 0, a 1, a 2 osv I 3) er alle disse koefficienter lig 1 Hvis for eksempel a n n! eller a n n n, således at absolutværdien af a n erne vokser usympatisk hurtigt, vil det generelle led i rækken 1) altså a n pz aq n ) ikke gå mod nul, når n går mod uendelig, med mindre z a I sådanne tilfælde konvergerer rækken 1) kun for en enkelt værdi af z nemlig z a Eksempel 3 Lad os se på følgende eksempel: pinq n pz 2q n Denne potensrække konvergerer åbenlyst for z 2, men hvad med andre z-værdier? Bemærk at pinq n pz 2q n i n n n pz 2q n i n n n pz 2q n i n n n z 2 n n n z 2 n pn z 2 q n for alle n P N Hvis z 2 er z 2 ą 0, og når n ą 1{ z 2, er n z a ą 1 Så pinq n pz 2q n pn z 2 q n ą 1 for alle n ą 1{ z 2 Derfor er ř 8 pinqn pz 2q n divergent for z 2, thi rækkens led ikke går mod 0 3 Eksempel 4 Betragt potensrækken 3 Sætning 432 i Funktioner af en og flere variable 2 n z n 4) 2
3 der fremkommer fra 1) ved at sætte a 0, a 0 1, a 1 1, a 2 2 1, a 4 3 1, og så videre Denne 8 potensrække konvergerer, når z ă 2, og divergerer når z ě 2 For at overbevise læseren om dette, er det nok at omskrive 4) en lille smule: z n 2 n z n 2 for alle n P N, så z n 2 n z n 2 Men det er jo den geometriske række svarende til variabel-værdien z{2 Så vi ser, at rækken ř 8 pz{2qn og dermed også rækken 4) konvergerer, når z ă 1 og divergerer, når z ě 1 Ved at gange igennem 2 2 med 2 ser vi altså, at 4) er konvergent for z ă 2 og divergent for z ě 2 som påstået Som disse eksempler antyder, afhænger konvergensforholdene for en potensrække 1) af, hvor hurtigt absolut-værdierne a n af a n vokser, når n går mod uendelig Vi skal nu se, at mængden af z, for hvilke en given potensrække konvergerer ikke kan være helt tilfældig Sætning 5 Konvergensradius) Givet en potensrække ř 8 a npz aq n findes der 0 ď R ď 8 så rækken konvergerer absolut for z a ă R og rækken divergerer for z a ą R Med andre ord findes der altså en radius R, så ledes at ř 8 a npz aq n konvergerer for alle z P B R paq, den åbne cirkelskive med centrum a og radius R, mens den divergerer for alle z R B Ď R paq, den lukkede cirkelskive med centrum a og radius R Man kalder R for konvergensradius for potensrækken Bemærk, at sætningen intet siger om, hvad der sker, når z R Bevis for Sætning 5 Vi betragter mængden af t ě 0, for hvilke talfølgen t a n t n u 8 er begrænset Altså mængden A t ě 0 ˇˇ Talfølgen t a n t n u 8 er begrænset eller udtrykt ved kvantorer A tt ě 0 DM ą 0@n P N: a n t n ď Mu Denne mængde er ikke tom, da den indeholder t 0 Hvis mængden A ikke er opadtil begrænset, altså hvis talfølgen t a n t n u 8 er begrænset for vilkårligt store t, sætter vi R 8 I modsat fald sætter vi R sup A Lad nu z være valgt, så z a ă R Så findes der et t P A så R ą t ą z a Da t P A, findes 0 ď M ă 8, så a n t n ď M for alle n Hvis vi skriver a n z a n a n t n` z a n, t ser vi, at z a n a n z a n ď M t Konvergens af potensrækken ř 8 a npz aq n følger nu af sammenligningskriteriet, for da z a ă 1, t er den geometriske række ř 8 Mp z a n q n konvergent t Hvis z a ą R er t a n z a n u 8 en ubegrænset følge Vi kan derfor ikke have lim a n z a n 0 Da leddene i potensrækken ř 8 a npz aq n altså ikke går mod 0, kan den ikke være konvergent 4 4 Se Sætning 432 i Funktioner af en og flere variable 3
4 Vi bemærkede som sagt, at Sætning 5 intet siger om konvergensen af potensrækken for z P C med z a R Det er ofte en kompliceret affære at afgøre, hvorvidt en given potensrække konvergerer i et punkt påkonvergenscirklen Det kan sagtens forekomme, at rækken konvergerer i ét punkt på denne cirkel, men ikke i et andet Når man skal finde konvergensradius af en potensrække, kan man benytte et af konvergenskriterierne for uendelige rækker Det mest almindelige er at benytte enten kvotientkriteriet eller rodkriteriet Vi formulerer deres konsekvenser for potensrækker som en separat sætning Sætning 6 Kvotient- og rodkriterium for konvergensradius) Lad talfølgen ta n u 8 opfylde, at der findes et N P N, så a n 0 for n ě N Hvis grænseværdien R lim a n a n`1 eksisterer eventuelt med R 8), da er R konvergensradius for enhver potensrække på formen ř 8 a npz aq n Ligeledes, hvis grænseværdien R lim a n 1 n eksisterer eventuelt med R 8), da er R konvergensradius for enhver potensrække på formen ř 8 a npz aq n Bevis Når z a giver antagelserne, at a n`1 pz aq n`1 lim a n pz aq n z a R Det følger fra kvotientkriteriet for rækker, at a n pz aq n konvergerer, når z a R ă 1, dvs når z a ă R, og divergerer når z a R ą 1, dvs når z a ą R Altså må R være konvergensradius for rækken jvf Sætning 5 Rodkriteriet er helt analogt a n pz aq n, Eksempel 7 Vi søger konvergensradius for potensrækken p2n ` 7qpz 3q n 5) 4
5 Benytter vi kvotientkriteriet for potensrækker Sætning 6), skal vi betragte 2n ` 7 2pn ` 1q ` 7 2n ` 7 2n ` 9 som konvergerer mod 1 for n Ñ 8 Men så er konvergensradius for 5) 1, ifølge Sætning 6 Eksempel 8 Vi søger konvergensradius for potensrækken n 3 pz 3q n 6) Atter sætter vi først vores lid til Sætning 6, og søger at finde grænseværdien for kvotienterne n 3 pn ` 1q 3 Efter omskrivningen ser man umiddelbart, at Så 1 er altså konvergensradius for 6) n 3 pn ` 1q 1 3 p1 ` 1 n q3 lim n 3 pn ` 1q 3 1 Opgaver Opgave 1 Find konvergensradius for følgende potensrækker: a) b) c) d) e) 4 n pz 2q n e n z n n 2 pz iq n 3 n pz ` 2q n npn ` 1q z n n ` 1 f) g) h) i) 3 n pz 4q n n! pp 1q n ` 3q n pz 2iq n logp n ` 1 n qzn 1 3 p2n 1q z 2n pn ` 1q! Opgave 2 Lad a P C være et vilkårligt komplekst tal og r et vilkårligt element i r0, 8s Vis ved eksempel, at der findes en potensrække, der er konvergent på z P C ˇˇ a z ă r og divergent på z P C ˇˇ a z ą r 5
6 Opgave 3 Betragt følgende forbedrede udgave af rodkriteriet, som benytter lim sup i stedet for lim se Opgave 112 og 126 i Funktioner af en og flere variable for definition og egenskaber af lim sup) Sætning 9 Rodkriteret II) Lad ř 8 a n være en kompleks række og lad α lim sup n a a n Så gælder følgende 1 Hvis α ă 1, så konvergerer rækken ř 8 a n absolut 2 Hvis α ą 1, så divergerer rækken ř 8 a n 3 Hvis α 1 og na a n ą 1 for uendeligt mange n, så divergerer rækken ř 8 a n 4 Hvis α 1 og na a n ď 1 fra et vist trin n ě N, så kan rækken ř 8 a n enten divergere, konvergere absolut eller blot konvergere betinget a) Bevis 1 i Sætning 9 b) Bevis 2 i Sætning 9 c) Bevis 3 i Sætning 9 d) Find en absolut konvergent række ř 8 a n med α 1 og na a n ď 1 fra et vist trin e) Find en række ř 8 a n med α 1 og na a n ď 1 fra et vist trin, som divergerer f) Find en divergent række ř 8 a n med α 1 og na a n ď 1 fra et vist trin, som konvergerer betinget, men som ikke konvergerer absolut Opgave 4 Find et funktionsudtryk for summen af følgende potensrækker a) b) pn ` 2qx n x n n ` 1 c) npn 1qx 3n Opgave 5 I denne opgave skal følgende nyttige lemma vises Lemma 10 Lad tb n u 8 være en reel følge, som opfylder, at b n ą 0 fra et vist trin Så er lim inf b n`1 b n ď lim inf b1{n n ď lim sup b 1{n b n`1 n ď lim sup 7) b n Se Opgave 112 og 126 i Funktioner af en og flere variable for definition og egenskaber af lim inf og lim sup a) Gør rede for, hvorfor det er nødvendigt at antage, at b n 0 fra et vist trin b) Lad a, b P R Vis, at P R: r ă a ñ r ă b, så er a ď b c) Brug b) til at vise Lemma 10 Vink: Husk, at pb N r n q 1 n`n rp b N r N q 1 n`n Ñ r for n Ñ 8 6
7 Opgave 6 Betragt følgende forbedrede udgave af kvotientkriteriet, som benytter lim inf og lim sup i stedet for lim se Opgave 112 og 126 i Funktioner af en og flere variable for definition og egenskaber af lim inf og lim sup) Sætning 11 Kvotientkriteret II) Lad ř 8 a n være en række, som opfylder, at a n 0 fra et vist trin n ě N Så gælder følgende 1 Hvis R lim sup a n`1 a n ă 1, så konvergerer rækken ř 8 a n absolut 2 Hvis r lim inf a n`1 a n ą 1, så divergerer rækken ř 8 a n a 3 Hvis r lim inf n`1 a n 1 men a n`1 a n ě 1 for alle n fra et vist trin n ě N 1, så divergerer rækken ř 8 a n a) Bevis 1 og 2 i Sætning 11 vha Lemma 10 og Sætning 9 b) Bevis 3 i Sætning 11 Opgave 7 I denne opgave relateres Sætning 9 og Sætning 11 til konvergensradius for en potensrække ř 8 a npz aq n a) Bevis følgende sætning vha Sætning 9 Sætning 12 Konvergensradius II) Lad ř 8 a npz aq n være en reel eller kompleks potensrække og sæt α lim sup a n a n Hvis α 8, så er rækkens konvergensradius R 0, ellers er rækkens konvergensradius R givet ved 1 α, hvor 0 ă R ď 8 R b) Find en øvre grænse for konvergensradius for en potensrække ř 8 a npz aq n ved hjælp af a lim inf n`1 a n Vink: Benyt 7) fra Lemma 10 c) Find en nedre grænse for konvergensradius for en potensrække ř 8 a npz aq n ved hjælp af lim sup a n`1 a n d) Er man normalt mest interesseret i en øvre eller en nedre grænse for konvergensradius mao hvilken af de to ovenstående resultater er oftest mest brugbar? e) Konstruér et eksempel på en potensrække, hvor den nedre grænse for konvergensradius fra c) er forskellig fra den rigtige konvergensradius Opgave 8 I denne opgave skal du også undersøge randen af konvergensområdet a) Gør rede for, at mængden af z, hvor den geometriske række konvergerer, er z P C ˇˇ z ă 1 z n 7
8 b) Gør rede for, at mængden af z, hvor potensrækken konvergerer, er z P C ˇˇ z ď 1 Opgave 9 I denne opgave sammenlignes de forskellige konvergenskriterier for rækker a) Konstruér en række, som ifølge Sætning 11 konvergerer, men som ikke opfylder betingelserne i Kvotient- eller Rodkriteriet i Funktioner af en og flere variable b) Konstruér en række, som ifølge Sætning 11 divergerer, men som ikke opfylder betingelserne i Kvotient- eller Rodkriteriet i Funktioner af en og flere variable c) Konstruér en række, som ifølge Sætning 9 konvergerer, men som ikke opfylder betingelserne i Sætning 11 d) Konstruér en række, som ifølge Sætning 9 divergerer, men som ikke opfylder betingelserne i Sætning 11 e) Eksisterer der en række, som konvergerer ifølge Sætning 11, men som ikke opfylder betinglserne i Sætning 9? Vink: Betragt 7) i Lemma 10 Opgave 10 Lad potensrækkerne ř 8 a npz aq n og ř 8 b npz aq n have konvergensradius R a og R b, hhv a) Gør rede for at konvergensradius for potensrækken ř 8 pa n`b n qpz aq n mindst er mintr a,r b u b) Gør rede for at konvergensradius for potensrækken ř 8 pa n b n qpz aq n mindst er mintr a,r b u Lad tz n u 8 være en kompleks talfølge med modulus 1 c) Vis, at konvergensradius for potensrækken ř 8 z na n pz aq n er R a, og at potensrækken ř 8 pa n ` z n b n qpz aq n har en konvergensradius, der er mindst mintr a,r b u Opgave 11 Bevis følgende identiteter: a) b) c) d) p 1q n z n 1 1 ` z, z P w P C ˇˇ w ă 1 1 p1 xq pn ` 1qx n, x P s 1, 1r z ÿ 8 2 z 2 1 z ÿ 8 3 z 2n, z P w P C ˇˇ w ă 1 z 3n`2, z P w P C ˇˇ w ă 1 z n n 2 8
MM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereImplicit givne og inverse funktioner
Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.
Læs mereHer skal du lære om 1. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler
Oversigt [S] 8.2 Her skal du lære om. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler Calculus - 2003 Uge 4. - Uendelig række Definition Givet en talfølge
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereKomplekse tal og rækker
Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereDesignMat Uge 11. Vektorrum
DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereOm at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereFunktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)
Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereFundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereVarmeligningen og cosinuspolynomier.
Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen
Læs mereMatematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.
Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereAnalyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereDesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereTransienter og RC-kredsløb
Transienter og RC-kredsløb Fysik 6 Elektrodynamiske bølger Joachim Mortensen, Edin Ikanovic, Daniel Lawther 4. december 2008 (genafleveret 4. januar 2009) 1. Formål med eksperimentet og den teoretiske
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereDM72 Diskret matematik med anvendelser
DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereMeddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5.
Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30.
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereIndholdsfortegnelse. DUEK vejledning og vejleder Vejledning af unge på efterskole
Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Problemstilling... 2 Problemformulering... 2 Socialkognitiv karriereteori - SCCT... 3 Nøglebegreb 1 - Tro på egen formåen... 3 Nøglebegreb 2 - Forventninger til udbyttet...
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mereStørste- og mindsteværdi Uge 11
Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med
Læs mereGödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 9 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske variable,
Læs mereDefinition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5
Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mere