Eksamen i Signalbehandling og matematik

Transkript

1 Opgave. (%).a. Figur og afbilleder et diskret tid signal [n ] og dets DTFT. [n] bruges som input til et LTI filter med en frekvens amplitude respons som vist på figur. Hvilket af de 4 output signaler (y [n], y [n], y [n] eller y 4 [n]) som ses på figur 4 kan være et output fra filteret i figur, hvor [n] fra figur var input? Begrund dit svar, ubegrundede svar tæller ikke. Figur, fordi filteret ikke dæmper den hurtigsvingende del af signalet og dæmper den langsomsvingende del med ca. 8 db (svarer til at gange med ca..4 da (-8/).98).b. Figur viser forskellige pol/nulpunkts plots, hvilket af disse kan til høre filteret He fra figur? Begrund dit svar, ubegrundede svar tæller ikke. Input signal. [n] n (samples) Fig.. Input signal 8 Frequency Magnitude from input signal Filter Magnitude Response (db) X(e jω ) log H(e j ω ) (db) Normalized Frequency ( π rad/sample) Fig. Spektrum af input signalet Normalized Frequency ( π rad/sample) Fig. Filter frekvens respons amplitude (OBS bemærk Y aksen er i db)

2 Eksamen i Signalbehandling og matematik 8 Output signals y [n] - y [n] - y [n] - y 4 [n] - n (samples) Fig. 4 Fire mulige output signaler Fig.. Hvilket pol-nulpunkt plot tilhøre filterett på fig.? Da poler forsager peaks (og nul punkter forsager dale) i fourierspektret, har filteret udelukkende e poler i z-planet. Da peaken på fig. ligger ved.π er vinklen i forhold i z-planet.ππ i forhold til den positive reelle akse derfor er plot løsningen.

3 Opgave. (%) Hvis inputtet [n] til et kausalt LTI system er en step funktion [n]u[n] og outputtet er 4.a. Find H(z) og plot poler, nulpunkter og ROC for LTI systemet Yz z z z z z z Hz Yz Xz z z z z z z z Pole/Zero Plot z z z z z z z z Imaginary Part Real Part.b..c. Find impulsresponsen h[n] Ved tabel opslag fås: Er systemet stabilt? hint: Altså hvis du ganger med z -n i Z domænet svare det til det til en for skydning i tidsdomænet på n Begge nedenstående svar bliver bedømt som rigtige: Ja enhedscirkelen ligger i ROC Ja impuls responsen er absolut summerbar Opgave. (%) Et moving average filter er defineret ved.....

4 .a Er filteret kausalt? Nej, filteret afhænger af fremtidige værdier så som [n+]..b Find z-transformationen på rationel form (brøk form) H(z). hint: Geometriske række... ELLER...c. Find output-input (y[n] ) relationen til det inverse system H i (z) Ovenstående kan også skrives som:

5 ELLER Ovenstående kan også skrives som:

6 Opgave 4. (%) En 4-bits analog til digital (AD) konverter skal konvertere nedenstående signal. Signalet er inden AD konvertering blevet forstærket gange og har efterfølgende fået et offset på V. Konverterens arbejdsområde er fra til volt. Fig. 6. Analogt signal efter forstærkning og offset. 4.a. Hvad er det maksimale ADC output (N ADC, det heltal konverteren producerer) for signalsekvensen i figur 6? Det ses af figuren, at signalet kommer op i næsthøjeste ADC output område. Svaret må altså være 4, da en 4-bits ADC ma kan give ^4-. 4.b. Hvilket ADC output vil man få, hvis signalet inden forstærkningen var på volt? ELLER N ADC N ADC.. Uanset om der anvendes afrunding eller nedrunding vil svaret være, hvilket også bekræftes af figuren. Den isoelektriske grundline i EKG signalet ligger i område (der skal tælles områder nedefra og opad startende i ) 4.c. Hvor mange bit skal der til, hvis man ønsker at have en opløsning på det oprindelige signal på mindst. mv? Kravet til opløsning på det forstærkede signal må være mv, da det oprindelige signal er blevet forstærket gange (.mv mv). å å Da N skal være et heltal, fås N 9.

7 Opgave. (%) Comple functions: Given the following function: z+ 9 f (z) z 9z.a..b. Determine the zeros and singularities of f(z) and classify the singularities. To find the zeros: z + 9 z 9/ The function has a zero at z / To find the poles: z 9z z(z 9) The function has poles at z, z, and z. The are single poles. (+ 9)d Evaluate the real integral The real function has simple poles on the Real Ais, therefore we must use: pr.v. 9 ()d πi Res f (z) + πi f Res f (z) where the first sum corresponds to all the poles on the upper-half plane (none in this case) and the second sum corresponds to all the poles on the real ais (,, and - in this case). To find the residues of f(z): z Res f (z) z z(z 9) 9 Res f (z) Res f (z) Therefore: z + 9 (z ) z(z )(z + ) z + 9 (z + ) z(z )(z + ) + 9 d πi( + ) c. Evaluate clockwise f (z) dz, C : z 4 C First we have to find which poles are inside C.

8 Im - Re From the figure, we conclude that z and z are in the circle; therefore and considering we have to integrate clockwise: C f (z)dz πi Opgave 6. (%) [ Res f (z) + Res f (z) ] πi( + ) 4πi Linear Algebra: Given the following Quadratic form: Q a. What curve does Q represent? Reduce the quadratic form to principal aes and plot the curve you have found. First we find the symmetric coefficient matri (A): 4 A and now we find the eigenvalues of A by solving det( A λi) : 4 4 λ (4 λ)( 4 λ) 44 λ λ 6 44 λ λ 4 λ ± ( 8) ± λ, λ and λ Therefore, the quadratic form reduced to principal ais is: Q y y To find out what curve it is when Q: y y y y y ± y, which are the equations of straight lines crossing (,) and with slopes and.

9 6.b. What is the relation between the two coordinate systems (, ) and (y, y )? Epress T [ ] in terms of the new coordinate vector y T [y y ] The relation between the two coordinate systems is given by the matri whose columns are normalized eigenvectors of A. Thus, we have to find first the eigenvectors of A: I) A ( λ For λ which has as a solution. The norm of this eigenvector is + For λ which has as a solution. The norm of this eigenvector is ( ) +. The relation is given then by the matri: Finally, we can epress in terms of the new coordinate system as: y y 6.c. Diagonalize the symmetric coefficient matri. What is the spectrum of the diagonalized matri? Since we know the eigenvalues of the symmetric coefficient matri, we can diagonalize it as: D, the spectrum of this matri is } {,. y - y