Svar på sommeropgave (2019)

Transkript

1 Svar på sommeropgave (9) Opgave: I B er O centrum for den omskrevne cirkel og DE er en korde parallel med. En cirkel med centrum O gerer DE, B og den omskrevne cirkel, og en cirkel med centrum O gerer DE, B og den omskrevne cirkel. Vis, at BO = BO. Besvarelse: Vi går frem i en række skridt. II. En cirkel har centrum i O og radius R. Vi ser i B på korden B i cirklen. Desuden er O et indre punkt i cirklen, så O er centrum for en cirkel med radius r, der gerer B og den givne cirkel. Linjen m er parallel med B i afsden R, og O ligger mellem B og m. Hvis projektionen af O på m er Q, er OQ = R r. Linjen OO skærer den givne cirkel i K, som er de to cirklers røringspunkt. Sommer 9 /8 Matematik

2 Vi ser, at OO = OK OK = R r. Punktet O har dermed samme afsd til linjen m og punktet O, så O ligger på en parabel med brændpunkt i O og med m som ledelinje. Lad M være midtpunktet af B og M midtpunktet af buen B mellem B og m. Midtpunktet af MM er M. Punktet M ligger på parablen, da M har samme afsd til O og m. På den anden side er det klart, at ethvert punkt på parabelbuen mellem og B er centrum for en cirkel, der gerer både B og den givne cirkel. II. Vi indlægger et koordinatsystem med begyndelsespunkt i M. Punkterne og B lig- ger på x- aksen og M på y-aksen. Orienteringen er således, at B har negativ x-koordinat og M har negativ y- koordinat. Vi sætter B (-x,), (x,), O (,d). Sommer 9 /8 Matematik

3 Vi har, at så at ltså har M koordinaterne d = OM = OM MM = R MM, MM = ( R d). (, ( )) M d R. Parablens ligning er af formen y = ax + b. Da toppunktet falder i M, er Desuden er b = ( d R). b ( R d) R d = ax + b a = = =. x x x Lad nu være et punkt på cirkelbuen B over x-aksen. I B giver sinusrelationen, at B x x sin = = =, R R R hvoraf sin eller x x = R R = sin. I OM er M = x, OM = d og O = R, så d + x = R d + R sin = R d = R ( sin ) d = R cos. Sommer 9 3/8 Matematik

4 Så er og cos b = ( d R) = ( R cos R) = R R d cos a = = = sin x. x x x III. Vi trækker linjen BO, som er en parabelkorde. Nu er det kendt, at hældningen for en parabelkorde er lig med hældningen for den parabelgent, hvis røringspunkt har en x-koordinat, der er middeltallet af x-koordinaterne til kordens endepunkter. Vi sætter O (x,y). Parablens gent i et punkt er den afledede y ' = ax = x x, og hældningen for genten i punktet, hvis x-koordinat er middeltallet mellem x-koordinaterne til B og O er dermed x x x, idet x-koordinaterne til B og O er x og x. Denne hældning er lig med hældningen for BO, som er BO, så vi får x x BO =. x Da x er negativ, er BO negativ, fordi vi her regner med orienterede vinkler. Sommer 9 4/8 Matematik

5 IV. Nu ligger O på den vinkelhalveringslinje til en af vinklerne mellem DE og B, der er parallel med vinkelhalveringslinjen til i B. Vi betegner skæringspunktet mel- lem vinkelhalveringslinjen gennem O og x-aksen (dvs. B) med F og betegner koordi- naterne til F med (x,). Da hældningen er negativ, er den - og ligningen er y = - (x - x). Skæringspunktet mellem denne linje og parabelbuen har en x-koordinat, der findes ved at løse ligningen - (x - x) = ax + b + + =. ax x b x Vi benytter (se oven for) cos a = x, b = R, x = R sin. Vi får, at x x ( x cos R ) x = Vi skal kun bruge den største af disse løsninger, så x x ( x cos R ) + x =. Sommer 9 5/8 Matematik

6 x cos ( x sin ) = x = x x = x. x x x Herefter fås: Nu er x BO = x x x x x ( x ) = x x + x BF = =. x x B Dette fremgår som vist på figuren af de koordinatbetegnelser, vi har valgt på x-aksen. I formlen oven for er BO regnet negativ. For som på sædvanlig vis at regne vinklen positiv, skifter vi fortegn for BO, dvs. BF BO = B. () Sommer 9 6/8 Matematik

7 V. På figuren skærer korden DE parallel med siderne B og B i F og G. Punktet O på parablen er centrum for en cirkel, der gerer B, DF og den omskrevne cirkel, idet O ligger på parablen og på vinkelhalveringslinjen for DF. På samme måde kan vi gennemføre ovenstående argumenter på højre side af figuren ved at ombytte og samt F og G, hvorved vi får BG BO = B. () Da B og BFG er ensvinklede, er BF B BG =, B og af () og () følger, at BO = BO. Sommer 9 7/8 Matematik

8 Der er modtaget tre besvarelser til sommeropgaven. Ovenstående besvarelse er modtaget fra Jens-Søren ndersen, Esbjerg. Den bygger som vist i vid udstrækning på analytisk geometri. Walther Janous, Innsbruck, har sendt en besvarelse, der anvender computer-programmer i analytisk geometri til at beregne eksakte koordinater til figurens punkter. Dette giver et mareridt af algebra. Jan Erik Pedersen, akirkeby, har sendt et omfattende trigonometrisk bevis, der efter et orgie af algebra frembringer resultatet. Måske er det umuligt at gennemføre et rent euklidisk bevis med ikke for udspekulerede hjælpemidler (fx inversion), men redaktøren modtager gerne i fremtiden et sådant bevis, hvis nogle af læserne skulle have held til at finde et. Sommer 9 8/8 Matematik