En introduktion til Fourier Analyse med speciel reference til MRI. Af Henrik BW Larsson

Transkript

1 En nroduon l Fourr nalys md spcl rfrnc l MRI f Hnr BW Larsson Novmbr 4, vrson 3 Novmbr, vrson4 Indhold I d følgnd omals:. Basal omplx rgnng. Eulrs formlr 3. Fourr rær 4. Fourr ransformaon 5. Esmplr 6. Fgur 7. Foldnng 8. Fgur 9. Dsr Fourr ransformaon og -sdg powr sprum snr udgav. Samplngs nrval, oal samplngsd snr udgav. Nyvs dagram og alasng snr udgav. Kvadraur don og omplx dssgnal snr udgav

2 En forudsænng for a unn forså, og vnul manpulr md MRI svnsr r vs basal ndsab l sgnal bhandlng, hrundr Fourr analys, af d radosgnalr dr modags va cols ~radoannn n MR sannr. Dnn frmsllng sgr på a gv n grundg mamas gnnmgang af d fl, mn snarr a gv n nuv forsåls af d nrssan områd. Basal omplx rgnng D omplx al r a brag som n dmnsonal al sørrls, og an afbllds d omplx alplan. I fgur r all z a b afbll. a og b r rll al, mn a alds raldln og b magnærdln, slv om d srng ag r b dr r magnærdln. Dn omplx alnhd r og spcl gældr a -, ndfør af alnrn Cardano år 545. all ab an nn opfas som pun, mn an også opfas som n vor, nmlg dn dr forbndr orgo md pun, som vs gnngn. Vd onjugrng af omplx al forsås a b* a - b Dn numrs værd af all z, bgns z og r z z z * a b a b a b d -. D ss a d nop r hvad v vll forvn som længd af n vor a,b. Dn numrs værd, alså længdn alds også modulus. V an også al om n vnl of synomym md fasn og dnn r φ g - b/a. Man alr også om argumn for all z, og dnn r dfnr som: { φ r π r hlal} arg z D argumn for z, dr r blggnd nrvall l 36 gradr alds hovdargumn for z. ndr vgg omplx rgnrglr: addon af omplx al: a b a íb a a b b

3 mulplaon af omplx al: a b a íb aa bb ab ab Som d ss af fg. an z også srvs som z ab z cosϕ snϕ hvor ϕ r argumn for z. z an mdlrd også srvs som z z ϕ x ϕ x ϕ, hvor z x a b / og ϕ cosϕ snϕ. Sdsnævn lgnng an l vss vd a ræ udvl d ndgånd sørrlsr, llr an også brags som n dfnon på ϕ. Ræ udvlng vd aylors mod gvr for ϕ, cosφ og snφ : 3 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 6 4 ϕ ϕ cosϕ ϕ snϕ ϕ Mulplaon af omplx al an nu udførs som som z z z z z z ϕ ϕ ϕ ϕ D vl sg a rsula vd mulplaon, når d omplx al sår opsrv på dnn måd, frmommr vd a mulplcr modulus og addr d ndgånd argumnr. Vd onjugrng af z z ϕ fås, z* z - ϕ, ndvdr gældr: ϕ cosϕ snϕ cosϕ snϕ sn π / ϕ cos π / ϕ cos ϕ π / sn ϕ π / ϕ π / ϕ π / d vl sg a mulplaon md r d samm som fassf på 9 gradr. Funonn s cos, hvor π/8 rad/s r vs fg. 3, og funonn s sn, hvor π/8 rad/s r vs fg. 4. I nogl lfæld får man brug for a unn mulplsr o cosnus funonr, n cosnus md n snus funon og o snus funonr. D r så svær a vs a dr gældr: cos α cos β / cos α β cos α β cos α sn β / sn α β sn α β sn α sn β / cos α β cos α β 3

4 V vl snr s nop dss formlr anvnd når v bsæfgr os md dn såald dmodulrng af MR sgnalr. Eulrsformlr Ud fra følgnd formlr ϕ cosϕ snϕ og - ϕ cosϕ - snϕ, fås d brøm Eulrs formlr: cosϕ ϕ ϕ og snϕ ϕ ϕ V an grafs frmsll s dn førs af Eulrs formlr d omplx alplan, s fg. 5 Fgurn r smpl mn vgg, d d ss a hvr rl al srv som cosϕ, hvor r rl al, an srvs som n sum af omplx al. Of vl ϕ vær n funon af dn : ϕ ϕ, hvor an vær posv, d vl sg a vnl lvæsn r posv, alså posv omløbsrnng, llr ngav, dvs a vnl lvæsn r ngav, dvs, ngav omløbsrnng. Bnævnlsn for r radanr/dsnhd, såsom rad/sc, mn an også opgvs gradr/sc. Frvnsn f og r rlar l hnandn som πf π/, hvor r dn d agr for omløb, ald omløbsdn llr proddn. ϕ alds fasn, og r alså vnln l. En harmons rornd vor an ffv srvs vd hjælp af omplx noaon som s ϕ πf ϕ hvor argumn ændr sg lnær md dn. r hr n onsan ampludn, mn an også vær n funon af dn, for smpl n almndlg xponnal funon, som -, hvor og r onsanr, dvs uafhængg af dn. V sal ndl vdr brag som n onsan, md mndr dr spcfcrs n dsafhængghd. En som ovnfor bsrv omplx harmons svngnd vor alds på ngls a phasor, og r fuldsændg ararsr vd sn amplud, frvnsn f og fasn ϕ. Som nævn ovnfor sal f llr rgns md forgn sålds a hvs f > så gældr ϕ > ϕ for >, og for f < gældr ϕ < ϕ for >. D vl sg a v an al om ngav frvnsr og d udsgr blo a dn rornd vor har ngav omløbsrnng. I fg.6 blr funonn 4

5 s φ vs som funon af dn. V så a d r n phasor dr drjr rund md vnlhasghdn posv omløbsrnng og md sarvnln fasn φ. Man an også nydg vs dnn funon som n funon af vnlhasghdn llr frvnsn. V alr da om frvns sprum. D r vs fg. 7, hvor ampludn r afsa som funon af frvnsn og fasn afsa som funon af frvnsn. I sd for a afsæ amplud og fas, an man sd for afsæ ral dln og magnær dln som funon af frvnsn som vs fg. 8. Bgg rpræsnaonr anvnds og r lgværdg, d d ndholdr nøjag samm nformaon. En sådan bvægls alds også n crulær polarsr svngnng. Bmær a spra r n nl ln svarnd l frvnsn frvns-amplud plo og n nl ln svarnd l frvns-fasn plo. Hvs nu r ngav, hvordan ror du så spr vl s ud?. Hvs nu ampludn afagr xponnl, hvordan ror du så spr vl s ud? D vndr v lbag l snr, ford d r nøgl pun. Hvs man projcrr s nd på dn rll as x-asn så får man, proj x s cos ϕ og hvs man projcrr s nd på dn magnær as y-asn, så får man proj y s sn S fg. 9, og fg.. ϕ Nu har v s på n omplx phasor, spørgsmål r så om v an hav n omplx phasor hvor dn magnær dl hl dn r nul, llr mr orr formulr hvor projonn nd på magnær asn r onsan nul. En sådan bvægls alds for n lnær polarsr svngnng og an d omplx oordnasysm srvs som s cos ϕ. I mang suaonr vl d vær n fordl a unn srv d sgnal som n sum vorl af omplx svngnngr. Man an næsn umddlbar s a d an lad sg gør som: s cosϕ ϕ ϕ ϕ ϕ D an grafs frmslls som vs på fg.. I d lsvarnd amplud og fas sprum, s fg, ss a amplud spr blvr symmrs, og fas spr blvr ansymmrs n spjlng orgo. I fg.3 ss d lsvarnd ral og magnær frvns sprum. V har hr n hl gnrl rgl: rl sgnal, lnær polarsr, har frvnssprum som r symmrs omrng når d gældr ampludn llr ral dln, og ansymmrs fas llr magnær sprum. 5

6 Bmær a fasn an fnds vd a sammnhold raldln md magnærdln af spr; ønsr v a fnd fasn for frvnsn gørs d udfra: snϕ mag g g ϕ ral cosϕ Bmær ydrlgr a d o omplx harmons rornd vorr md hvr sn omløbsrnng r hnandns onjungrd: Endlg an man slvfølglg srv d o phasors vd følgnd srvmåd, som ndholdr samm nformaon som fg. F og * πf ϕ πf ϕ πfϕ pos ng ϕ F cosϕ snϕ Hraf ss d også umddlbar a F pos * F ng -. cosϕ snϕ ϕ Har du bmær a v fas r fuld gang md a Fourr ransformr?. Ovnfor har du s hvordan man an bvæg sg fra n dslg rpræsnaon l n frvns rpræsnaon. D r nop d Fourr ransformaonn drjr sg om. 6

7 Fourr rær V har ngn nnon om a ndlad os på dybgånd mamas ovrvjlsr vdrørnd ssns og nydghd af Fourr rær og Fourr ransformaon. Vors håb r drmod a bbrng læsrn n nuv forsåls af a hvr rl llr omplx dssgnal undr nogl passnd forudsænngr an bsrvs som n sum af omplx harmons svngnd vorr, dr har forsllg frvnsr ncl. posv og ngav omløbsrnngr, ampludr og fasr. Og omvnd hvordan Fourr ransformaon nuv an forsås som n mamas procss, hvorvd man an fnd d forsllg frvnsr, d vl sg ampludn og fasn af d ndgånd svngnngr. Josph Fourr gjord bgyndlsn af d 9. århundrd dn værdfuld opdagls a prods rll funonr, s, som r dffrnabl ovral, an srvs som n sum af rgonomrs funonr, ald Fourr ræn for s, sålds π π s ½a a cos b sn ½a a cos b sn hvor r 3..., posv hl al, r proddn og / r grundfrvnsn, også ald.harmons frvns, / r. harmons frvns, 3/ r 3. harmons frvns c. r onnur, og bgnr d lfæld dn. ½a r onsan ld, of ald DC omponnn DC: drc currn, a, a, b, a, b... alds Fourr offcnrn for funonn s. Dss offcnr an vær nul llr rll al. r proddn for funonn, d vl sg: s n s, hvor n lhørr d hl al. V vl omsrv Fourrræn så dn frmrædr på omplx form, hvl r n mr ffv srvform, og dn form dr sædvanlg bnys MR mæssg sammnhæng. Id v sæ π/ har v følg Eulrs formlr cos" " #" og sn" " # #" Dss udry ndsæs Fourrræn for s: a b a b s ½a D r hr vgg a lægg mær l a for hvr har man omplx rornd vorr dr rorr hvr sn vj d omplx plan, ndvdr a længdn r dn samm, d a b a b og a fasn r numrs ns mn md modsa forgn. Ydrlgr vl d gæld a for hvr vl summn af d omplx vorr l hvr dspun, addr l rl al, da summn af 7

8 magnærdln ophævr hnandn, s også fg.. D r jo også a forvn da s r rl dssgnal. Fourrræn for s an omsrvs ydrlgr, d v sær z ½a, z ½a -b og z - ½a b : s z z z z z z z z z z Rsula an formulrs sålds: For dn rll prods og ovral dffrnabl funon s, gældr a dn an opløss n sum af vægd omplx rornd vorr, og summn af all magnær ld vl l hvr dspun vær nul. Når v srvr vægd mnr v sørrlsn af z. Hus z r n omplx sørrls, alså har n længd modulus og fas. I fg.4 r vs smplr på addon vorl af phasors md forsllg frvns, amplud og fas, og an rsulr vd forsllg dssgnalr. Kan du udpg hvl spcra dr rsulrr dsgnal dr r rl og hvor magnær dln af dsgnal r nul? Indnfor MR får v også brug for omplx dssgnalr. D an mås lyd mærlg, mn æn blo på n magnsrngsvor dr drjr rund og som rgsrrs orogonal spolr som dlgr vs. Dn n spol opfangr d rll sgnal og dn andn spol opfangr d magnær sgnal. Så d magnær sgnal r alså rl no, alså ssrr vrlghdn. V forsllr os nu a s r omplx dssgnal : s v w, hvor v og w r prods og dffrnabl funonr. E omplx dssgnal an ansulggørs som vs fg.5. f fgurn ss a s bsrvr n urv rumm, dr udspænds af ral-, magnær og dsas, og v r projonn af dnn urv nd på plann dr udspænds af ral og dsasn, mns w r projonn af s nd på plann dr udspænds af magnær og dsasn. Også sådann lfæld an v srv s v w z, mn dr vl nu gæld a summn af magnærldn l hvr dspun r nul. Dr vl alså gæld a z vl vær forsllg fra z - for mnds n værd af. D r også nsbydnd md a frvns spr nu r symmrs om nul. S gn fg.4. Ofs r v dn suaon a man ønsr a fnd Fourr offcnrn z ud fra mål dssgnal, d vær sg rl llr omplx. Dss offcnr an fnds vd følgnd forml: z s d Indn v bvsr dnn lgnng, så vl v førs prøv a ansulggør udry. Hvs v ønsr a fnd hvor mg dr r af førs harmons svngnng, så sær v og får: 8

9 s an opfas som n omplx vor som ændrr rnng og amplud som funon af dn som vs fg.5. xp- r n omplx rornd vor dr drjr rund md grundfrvnsn z s d og slvfølglg har n onsan amplud på. Gang gn mllm s og xp- an opfas som n vor projon, hvor sgnal s blvr projcsr nd på grundsvngnngn, xp-. Ellr sag på n andn måd, xp- går nd og opfangr hvor mg dr r a nop grundsvngnngn l hvr dspun. V foragr dnn opraon mang små dsnrvallr, d, og opsummrr ~ngrrr d op ovr n prod. På dnn måd smrs hvor mg dr r af grundsvngnngn sgnal s. Sæs, fnds gnnmsn af dssgnal, alså DC n: z # " sd E mr forml orr bvs r som følgr. V anagr a Fourr s sænng r rgg, alså a hvr prods sgnal an srvs som n sum af rgonomrs funonr, llr qvvaln omplx svngnngr, hvor r grundfrvnsn π/: s # $ z % & "# D udry ndsæs udry for n lfældg valg værd z r : 9

10 ford udry for all r, og r lhørr all hlal, d -r r n omplx rornd vor dr rorr -r hl anal gang π på n prod d. Jævnfør a aral undr cosnus funonn r nul hvs man bragr vlårlg anal hl svngnngr. z vl of vær omplx al. V an udrgn z for nhvr værd af -,,,,3,..., alså r z n funon af : z F F,. π/, alså. harmons svngnngs vnlhasghd. Dn. harmons svngnng har vnlhasghdn 4π/, dn 3. harmons svngnng har vnlhasghdn 3 6π/ og dn. harmons svngnng har vnlhasghdn π/. Hvad rpræsnrr z F F så? F vsr hvor mg dr r af vnlfrvnsn, sag md andr ord : ampludn mn også fasn. Da F r omplx al, an v srv hvor r ampludn modulus og ϕ r fasn vnln l dn nul for n gvn vnlhasghd. r, som dlgr nævn, lg md π/, og / f, grundfrvnsn, hvorfor πf. V an drfor også srv r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r z d z z d z d z d z d z d z z z d z z z d z d z z z " #r$ d # % F ϕ f f f F ϕ

11 d f f. fblds F som funon af frvnsn f, alr v om frvnssprum. Bmær a dn mnds afsand mllm vnlhasghdr, for hvl v an udrgn Fourroffcnr r π π π D v sg a dn mnds afsand mål Hrz r /, d vl sg omvnd proporonal md prod dn. E prods dssgnal gvr sålds vd Fourrransformaon ln sprum hvor lnrn r adsld md / Hrz. Er dssgnal rl fås som dlgr omal, symmrs frvns sprum for ampludn og ansymmrs for fas, s fg.4. Fourr ransformaon D forrg apl handld om prods dssgnalr s, md prodn. V så a sgnal unn l hvr dspun,, opfas som n sum af omplx vorr, og dss rord d omplx plan md frvnsr dr var mulplum af /, og vd afbldnng af frvnsspr f v lnsprum, hvor lnrn var adsl md /. V forsllr os nu a proddn går mod undlg. D bydr a sgnal, s, om undlg lang d gnagr sg slv, d vl sg a sgnal for pras formål, r prods mr, v sgr a sgnal r a-prods. Hvs dssgnal un ssrr ndlg dsnrval alr v om ransn sgnal. Mn d bydr også a ln afsandn frvnsspr blvr mndr og mndr jo sørr blvr. I d srm lfæld hvor r undlg sor, blvr frvnsspr n onnur sprum. Fourr ransformaon af d ransn sgnal, s, r: s d F hvor r nu r n onnur varabl, og F n gvn værd r n omplx sørrls og an srvs som F"' "'# $ " ' hvor r ampludn for vnlhasghdn og ϕ r fasn vnln l for vnlfrvnsn. Bmær a ngraonsgrænsrn nu går fra mnus undlg l plus undlg, svarnd l a prodn længdn nu r undlg sor. Man an også gnsab sgnal s ud fra F, vd hjælp af dn nvrs Fourr ransformaon. Dr gældr a s F d π

12 hvor s r a-prods, rl llr omplx dssgnal. V vl bvs sds sænng, slv om d r så svær. s og F alds Fourr ransformaonspar llr or Fourr par. Esmplr V vl nu gå gang md a s på n ræ smplr Esmpl. V vl Fourr ransformr s cos, hvor r n gvn frvns. Hr an v umddlbar udrgn rsula, d dr un r n frvns, f /π π/ πf og ampludn r, og fasn r nul. D vl sg a v umddlbar an Fourr ransformr d sgnal, mn d r allgvl nrssan a s a forml appara gvr d v forvnr. Funonn r prods så v har ovnfor lær a v sal lad ngraons grænsrn løb ovr n prod: En prods funon gvr ln sprum og an un anag dsr værdr af grundfrvnsn:, hvor lhørr posv og ngav hlal.-,-,,,,3.. V an sar md a undrsøg hvor mg dr r af dn. harmons frvns: : Kan du forlar hvorfor d blvr nul? Lad os prøv a s hvor mg dr r af : Hvs v sær - får v : d d d d s F cos 3 d F d d d d F

13 F"# Fas vl F vær nul ovral, undagn for lg nop og -, d vl sg a v nop får d lnr spr, bgg md ampludrn /. / r rl al så fasn r nul. Esmpl. V ønsr a snd radosgnal md vldfnr frvnsndhold F, hvor dr gældr: raldl F K, for b b F mag F hvor K r n onsan. Dnn suaon r rlvan ndnfor MRI dn suaon hvor man ønsr a crr n sv. Man påryr n magns flgradn, hvs syr md l a dfnr sv ylsn, og så sndr man radobølgr som r båndbgræns på ovnsånd måd. V ønsr nu a fnd ud af hvordan radobølgrn sal snds dsdomæn. Hr an v bny dn nvrs Fourr ransformaon. magnærdln r nul bydr a d omplx rornd vorr all l dn, vl hav n vnl på, alså fasn r nul. Hvs d omplx rornd vorr all har vnln l, så må d byd a dssgnal r sørs svarnd l d dspun. V bnyr nu formln for dn nvrs Fourr ransformaon for a fnd dssgnal. Bnær a F r prods: s π F d π K d K K sn b Kb sn b sn b π π π b b b K π b b K π b b En funon af formn snx/x alds n snc funon. s r rl sgnal og undlg lang og r vs fg.6. I d smpl r b π rad/s, d vl sg f b Hz. s går gnnm når sn b, alså for b r π, hvor r r hl al. D vl sg a s for rπ/ b. Nulgnnmgang sr drfor for r π/π s r.5 s. Bmær a sn/! Hvad sr dr hvs b nærmr sg? D vl sg a v gør frvnsbånd smallr og smallr, og l sds vl v nd md n ln svarnd l frvnsn, alså n DC. D vl sg v har ngn rornd omponnr phasors. Hvordan ommr d lsvarnd sgnal s l a s ud?. Svarnd l a b går mod, så går dn rπ/ b, svarnd l nul gnnmgangn mod undlg, d vl sg a s blvr n onsan, d nulgnnmgangn for s lggr undlg lang væ. Esmpl 3. I ovnsånd smpl lå frvnsbånd symmrs omrng frvnsn. Hvs nu frvnsbånd r asymmrs, som vs Fgur 6_, hvor frvnsbånd går fra Hz l 4 Hz, så blvr dsurvrn ld andrlds. Dr gældr alså: 3

14 4 Dn mdrs frvns aldr v / 3 Hz, d onr smpl. V brugr gn formln for dn nvrs Fourr ransformaon: Dr gældr a Δ Hz, s fgur. Sds brø r drfor n snus funon; hvs v ydrlgr gangr og dlr md Δ, får v: snc sn K K s π π Δ Δ Δ Δ Δ Raldln og magnærdln af sgnal blvr: snc sn snc cos K s mag K s ral π π Δ Δ Δ Δ Dss dssgnalr r også vs Fgur 6_. V sr, a v som forrg smpl får n snc funon, mn nu mulplcr md n cosnus funon som svngr md cnrfrvnsn for ral asn, og n lsvarnd snus funon for magnærasn. Snc funonn r svag anyd på fgurn og r dns md dn snc funon v fand forrg smpl. Fgur 6_3 vsr samm fgur, dog r dsasn ru ud for a ydlggør dsforløb. D smpl llusrrr suaonn vd caon af n slc. Hr ønsr man nop a dnn snd n båndbgræns RF puls md dn vs profl. For a opnå dnn profl sal man alså snd n undlg lang snc form puls. I sagns naur r d umulg d RF pulsn må vær ndlg. D vl slvfølglg hav n ff på frvnsndhold og drmd slc profln. Kan du ord bsrv hvad dr sr md slc profln når RF pulsn r ndlg?, F mag for K F raldl F K K K K d K d F s π π π π π π

15 5 Esmpl 4. Dr gældr: og Hvs s r n rl funon ss d umddlbar a F F*-. Hvs dssgnal, s, r symmrs omrng, d vl sg s s-, så gældr: D vl sg a F F- og F F*-. D an un lad sg gør hvs magnærdln fasn r nul. Konluson: Hvs dssgnal r rl og symmrs, så vl frvns spr vær symmrs og magnær dln vl vær nu. d s F d s F F d s d s d s d s d s F

16 Esmpl 5. E smpl på n symmrs, a-prods, rl dsfunons : s xp- hvor og r onsanr, s fg.7. Fourr ransformaon af dnn funon gvr: F" % & # $ # $" d & # $" d & $ # $" d & $" d & $ " d $% $ " $" [ ] $% $ " " " $% " $ " [ ] % " $ " " % $ " " " $% " " % $ " " D ss a F r rl og symmrs omrng, sådan som nævn ovnfor nævn smpl. F alds n Lornz urv; ndr v dn fra MR? Jo s unn vær smpl ndhyldnngsurvn for FID, svarnd l a v r on rsonanc og F r spr, s fg.7. Esmpl 6. E smpl på n symmrs, rl og a-prods dsfunon: s xp- gældnd for. s r nul for <. S fg.8. Fourr ransformaon af dnn funon gvr: F" % % % & s# $" d & # $ # $" d & $ " d $ " $ " $% " " # $ " $ " $ " " " $ " " [ ] % F r vs fg.8. Bmær a magnærdln nu r nul, og da s r n rl funon så gældr F F*-. Bmær også a maxmal værdn af F r halvdln af F forrg smpl, og a modulus spr blvr smallr vd symmrs samplng. D an vær rlvan ndnfor MRI, hvor man of vl lsræb a sampl MR sgnal symmrs, yps sampl spno, hvor man lsræbr a placr o md DC prodn. 6

17 7 Esmpl 7. V gnagr nu forrg smpl, md dn modfaon, a v un samplr vors sgnal l dn. D vl sg a v bragr sgnal s xp-, for, og s, for og. Fourr ransformaonn gvr: D udry sr ubhaglg ud, mn d d gældr om r a saml d ld dr ndholdr og saml d ld dr ndholdr : V har nu saml d rll ld og d magnær ld og an vs hvordan raldln og magnærdln sr ud som funon af, s fg.9. Bmær modsænng l forrg smpl forommr dr nu nogl sra svngnngr. D r hl grrl fænomn, a når man afsærr funonn sgnal runrng så får man nogl sra svngnngr også ald Gbbs rngnngr. Sr man god fr an man på almndlg MR blldr umddlbar s dss Gbbs rngnngr, hvl alså sylds a man an sampl s sgnal undlg læng, mn r nød l a sopp samplngn på dspun. Esmpl 8. V gnagr nu smpl 5, dog md dn modfaon a sgnal ydrlgr r gang md n cosnus funon: F" # $ # $" d % $ " $ " [ ] $ " # $ " " $ $ " " # $ " $ " " sn cos sn cos sn cos : cos : < s s

18 8 og r onsan sørrls, og funonn r vs fg., md π.4 rad/s, d vl sg a dn xponnl afagnd funon r modulr md n svngnng på.4 Hz.. og. D unn rpræsnr FID off rsonanc. Fourr ransformaonn af dnn funon gvr: D sds ld r af samm form som smpl 5, hvor blo r rsa md - hnholdsvs. V får: cos d d d d F

19 9 F r vs fg.. Bmær a funonn r af samm form som smpl 5, mn dr r nu opp og d lggr vd hnholdsvs og -. Da funonn s r rl, så får v som sædvanlg a F F*-. Esmpl 9. V vl nu s på omplx dssgnal : og r onsan sørrlsr, Kan v forsll os sådan sgnal? Ja smpl lggr lg foran os. V an blo æn på n magnsrngs vor dr rorr rund om B md vnlhasghdn. Samdg md dn rorr, blvr sørrlsn mndr og mndr d dr sr dcay md xp-. Fourr ransformaon af dnn funon gvr: F r vs fg.. Ign sr v samm form som smpl 5, mn forsud l højr, og dr r nu un n op.. og. Og da dssgnal r rl, gældr dr a F F*-. Spr r rn nsdg. I Fgur _ r π.6 og. og. Og Fgur _3 r π.4 og. og. Forlar ord hvad dr sr og hvln rlvans d har for MR. ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ d d : : < s s d d F

20 Fg..5 Complx plan b magnary axs n un of a ral axs

21 Fg. Complx plan.5 z magnary axs φ ral axs

22 Fg.3 cosnus funcon: cosπ/8* amplud m: sc

23 Fg.4 snus funcon: snπ/8* amplud m: sc 3

24 Fg.5 4

25 Fg.6 5

26 Fg.7 6

27 Fg.8 7

28 Fg.9 phasor: crcular polarzd and projcons.5 magnary axs n un of ral axs 8

29 Fg. phasor: crcular polarzd and projcons magnary axs ral axs x proj / ral y proj / mag m m 9

30 Fg. 3

31 Fg. 3

32 Fg.3 3

33 Fg.4_ Spcrum mplud a.u. Phas dgr a.u Frquncy Hz Sgnal: ral par a.u. Sgnal: mag par a.u m n sc 33

34 Fg.4_ Spcrum mplud a.u. Phas dgr a.u. Sgnal: ral par a.u. Sgnal: mag par a.u Frquncy Hz m n sc 34

35 Fg.4_3.5 Spcrum mplud a.u. Phas dgr a.u Frquncy Hz Sgnal: ral par a.u. Sgnal: mag par a.u m n sc 35

36 Fg.4_4.5 Spcrum mplud a.u. Phas dgr a.u. Sgnal: ral par a.u. Sgnal: mag par a.u Frquncy Hz m n sc 36

37 Fg.4_5.5 Spcrum mplud a.u. Phas dgr a.u. Sgnal: ral par a.u. Sgnal: mag par a.u Frquncy Hz m n sc 37

38 Fg.4_6 38

39 4_7 39

40 4_8 4

41 Fg.4_9 5 Spcrum mplud a.u. Phas dgr a.u. Sgnal: ral par a.u. Sgnal: mag par a.u Frquncy Hz m n 5 sc

42 Fg.5 Complx m sgnal 4 3 magnary axs ral axs -4-5 m sc 4

43 Fg.6 4 Frquncy spcrum Ral Hz Frquncy spcrum Imag Ral Imag Hz Sgnal sc Sgnal sc

44 Fg.6_ 44

45 Fgur 6_3 45

46 Fgur 7 Sgnal,. Ral m sc Imag Sgnal Ral Imag m sc Hz 6 4 Frquncy spcrum Frquncy spcrum Hz 46

47 Fg.8 Sgnal Ral ; sc Sgnal Imag Ral sc Frquncy spcrum Hz Frquncy spcrum Imag Hz

48 Fg.9 Sgnal ;.; 5 sc Ral sc Imag Sgnal Ral sc Frquncy spcrum Hz Frquncy spcrum Imag Hz 48

49 Fg. Sgnal ;.; f.4 Hz Ral sc Imag Sgnal Ral sc Frquncy spcrum Hz Frquncy spcrum Imag Hz

50 Fg. Ral Sgnal ;.; f.4 Hz sc Ral Imag sc Hz Sgnal Frquncy spcrum Frquncy spcrum Imag Hz

51 Fgur _ 5

52 Fgur _3 5

53 Foldnng Foldnng r n mamas procss som bnys blan and ndnfor udglanng af blldr og ndfor racrnn f.s vd brgnng af prfuson. Foldnng hddr på ngls convoluon og har frhåndn sng sg nd vor sprogbrug. Man mødr også bgrbrn affoldnng og lsvarnd dconvoluon. V vl ag udgangspun n mdlngsprocs af sgnal. I fg. r vs sgnal værdr som funon af x x an vær n rumlg poson llr n ds varabl. V ønsr nu a gla sgnal ud, svarnd l a søjn ønss rdusr. V an da vælg a ag mddlværdn af hvr rpplpar, alså værdn for x 5,6,7, som har funonsværdrn hnholdsvs,4,7. V lordnr dnn værd posonn x6. Så for dnn poson afsær v dn ny funonsværd / V gnagr så d for x6,7,8 som har funonsværdrn hnholdsvs 4,7, og får dn ny funonsværd som /347 4 som afsæs svarnd l x 7, s fg.. Sådan forsæs for all rplpar. Som man an s r man ld dlmma md ydrpunrn, hvor man blvr nød l a forag valg, som an vær a gør nog llr nddrag d omrnglggnd værdr. Dr r ngn rgg løsnng på d problm. V ønsr nu a brng ovnsånd på n mamas forml. I d følgnd får v brug for a gør os lar a vs v bragr funonn fx så bydr fx-, >, a funonn ryr nhdr l højr, og fx bydr a funonn ryr nhdr l vnsr, og f-x r n spjlng af funonn omrng y-asn, og funonn f-x- f-x r dn spjld funon ry nhdr l højr. For n ordn syld sal nævns a funonn fx, bydr a funonn løfs md nhdr og a funon fx, bydr a funonn ryr nhdr nd. Ovnsånd r smpl på franflr md højdn /3 og længdn 3 x-nhdr, dvs a aral nop r. Havd aral af flr vær sørr llr mndr nd havd man øg hnholdsvs mnds nrgn sgnal, og d r ønslg. Hvs man nu forsllr sg a man havd n dobbl så æ samplng langs x-asn, alså værdr for x 5., 5.5, 6., 6.5, 7., 7.5, 8., 8.5 c, så sal ovnsånd flrrng også vær mulg, s fg.3_. Gnnmsn svarnd l x 6. fås : /3 f5. f5.5 f6. f6.5 f7. / Mn hr opdagr man a aral af flr nu r /3* 5*/.833. Hvs man suplrr md n værd l: f7.5 så blvr aral : /3*6*/. D vl sg a v har ag funonsværdrn svarnd l x 5., 5.5, 6., 6.5, 7., 7.5, og d ss a samplngs afsandn Δx d lfæld lg ½ ndgår som n slags normalsrngs faor. Mn lordnngn l x 6. r nu logs mn d vl vær mr rmlg a lordn l mdn af x nrvall alså 6.5. I prass vl man dog allgvl lordn l 6. llr 6.5, da d har sor bydnng og ford d r lr a mplmnr på n compur. Kan v brng d på n forml? V gnr førs flr symmrs omrng x som vs fg.3_. V bgnr flr funonn gx og d lfæld r gx/3, for -.5 x.5 og for x < -.5 og x >.5 r gx. f grund som v sal omm lbag l spjlr v førs gx omrng y-asn og dannr funonn g-x. Dnn funon forsyds nu hn ovr dn funon fx v ønsr a flrrr. Esmplvs an v forsyd g-x hn så svarrnd l x 6.5: g-x-6.5g6.5-x, s fg. 3_5. Hrfr mulplsrs g md f søjlvs og summrs og lordn dn ny værd x 6.5. D sr sålds ud på forml: 53

54 7.5 F6.5 g6.5 x f x Δx x 5. g.5 f 5. Δx g. f 5.5 Δx g.5 f 6. Δx g f 6.5 Δx g.5 f 7. Δx g. f 7.5 Δx / 3* */ / 3* 3*/ / 3* 4 */ / 3*8*/ / 3* 7 */ / 3*5*/ 4.83 Egnlg unn v god hav srv: F 6.5 g6.5 x f x Δx ford funonn g r for x >.5 og x < -.5. Funonn F r nu n ny funon, og r alså d rslua man får vd a mdl llr flrr f md g pun 6.5. Gnrl an v nu srv: F X g X x f x Δx Nu har v brag ovnsånd på n forml, som dog r dsr. FX brgn for X nrvall -5 l r vs fg.3_6. Sds sp bsår a man gør nddlngn fnr og fnr, hvorvd sumgn ændrs l ngral og Δx ændrs l dx, og funonrn f og g blvr nu l onnur funonr: F X g X x f x dx V har sålds sab n ny funon, FX, og v ladr nu X gnnmløb hl d nrval v r nrsr. For hvr værd af X udrgnr man så foldnngsngral. V sgr a g folds md f og rsula r n ny funon: FX, n or srv måd r blo F g f. Udry for foldnng r symmrs sålds a man lgsågod an srv: F X g x f X x dx hvl ndss vd subsuon : s X-x mdførr x X-s, ds -dx og når x r mnus r s posv og når x r posv r s ngav hvorvd ngraonsgrænsrn byr: F X g s f X s ds g s f X s ds 54

55 E opsummrng af foldnngs ngral, nu som funon af d,, r vs fg.4. V vl fold d o funonr f og g. D foldd oupu aldr v O. Næs sp bsår n spjlng af dn n funon, hvln v vælgr r udn bydnng, hr vælgr v g, s fg.4_. V an forsyd dn spjld funon g- vd a ændr på som vs Fg.4_3. Næs sp bsår a v for nhvr værd af, mulplcrr d o funonr f og g. D r vs som dn grønn urv Fg.4_4, for forsllg forsydnngr forsllg værdr af. Sds sp bsår a for nhvr værd af, ngrrr v ovr dn grønn urv: ovrljrngsngral. D r vs Fg.4_5 og Fg.4_6. Bmær a rsula r n funon O som r n funon af. Slv ngraonn udførs md som ngraons varabl. V vl nu ndfør foldnngs bgrb på n ld andn måd som dn ndførs sysm or, og anvnds mang sammnhæng. V agr udgangspun målng af prfuson hvor foldnngn hl cnral lmn. V forsllr os sysm, som, når d får n mpuls, rspondrr på dnn mpuls md rspons, som v aldr mpulsrspons g. E smpl: v forsllr os a v ndgvr mol onrassofmolylr nd n afgræns vævsmass, smplvs g hjrn, l dn. Funonn g angvr da hvordan udvasnngsforløb som funon af dn sr ud, sådan som man vll unn mål dn md n srn mål mod, s gamma amra llr n MR sannr hvs man unn ndgv mol momnan sådan væv. Funonn g r normalsr og bgnr dn fraon dr rsrr sysm væv som funon af dn. g r for <. Hvs v bgnr dn mængd dr ndgvs l dn som Q, hvor ndx blo bgnr npu npu l sysm, så vl dn mængd dr r sysm væv som funon af dn vær Q mulplsr md g. D produ vl v bnævn Q hvor ndx sår for ssu. Man an drfor srv : Q Q g Q bgnr alså hvor mang mol af onrassof, fr n undlg hurg bolus njon l dn bragd vævsmængd, W, dr rsrr væv som funon af dn. V forsllr os nu a dr l dn ndgvs n ny bolus af onrassof, mås på dspun hvor dr sadg rsrr nog onrassof fra dn førs bolus. Mængdn af dn andn bolus bgnr v Q. V forvnr da hvs sysm r lnær og dsnvaran a dnn bolus vl gv anldnng l rspons af samm form som d førs, mn dsforsud l højr svarnd l, d vl sg a andn bolus må gv anldnng l bdrag svarnd l Q g-. Da v sadg har nog fra førs bolus, så r dn samld mængd væv: Q Q g Q g Hvs dr ndgvs n rdj bolus l dn får v dn samld vævsmænd væv l: Q Q g Q g Q g Sæs an man srv d ompa som: 55

56 56 Dn nl bolus gnlg dla funon Q j an også udrys vd hjælp af blodlførlsn l væv og oncnraonn af onrassoff d blod dr løbr l væv og dr må gæld: Hvor Δ r så lpas lll dsnrval hvorundr blodoncnraonn an anags a vær onsan. Prøv a udfør n dmnsons bragnng af ovnsånd udry. Indførs d udry fås: Ydrlgr an vævsmængdn Q srvs som vævsoncnraonn mulplsr md vægn af væv: W C Q Prøv gjn a udfør n dmnons bragnng af d. Indførs d udry fås: Δ 3 j j j j g C W F C F/W bgnr blodlførlsn ml/sc pr gram væv og bgns f. Har v ndgv blo 3 npu mn N an man srv: Δ N j j j g C f C Gør man dsnrvallrn mllm bolus njonrn mndr og mndr an man rsa summaonsgn md ngral gn og Δ rsas md d: d g C f d g C f C I sds lfæld r d ndgånd funonr onnur funonr og v har md d udry fund n sammhæng mllm vævsoncnraonn som funon af dn, arr oncnraonn som funon af dn, prfusonn og vævs mpuls rspons. Vd hjælp af d udry an man også fnd vævsprfusonn, hvs man målr vævsoncnraonn, f.s dynams vd C llr MR llr PE sannng, og samdg målr arroncnraonn som funon af dn n lførnd arr. Funonn g må nn måls spara llr man må gør nogl anaglsr af formn af 3 j j j j g Q g Q g Q g Q Q Δ F C Q j j Δ 3 3 j j j j j j j j g C F g Q Q

57 57 dnn rsdual mpuls rspons funon. Ovnfor forslld v os a man unn ndgv n bolus dr nd væv momnan. D r un mulg md n mcro anyl og r prass mulg bors vd nl dyrforsøg. Som ofs ønsr v a ndgv n racr llr onrassof som n bolus nd n prfr vn. D vl ald bvr racrn llr onrassoff anommr l væv md forsllg hasghd og n fordlng som r udgla og lang fra a brag som n momnan ndgv bolus. Hr ommr ovnsånd formalsm os l hjælp d v blo sal mål arroncnraonn som funon af dn. V an forsll os a dn udglad dsprs arr npu bsår af n ræ d undlg or npu hvr md mængdn C F d. Dnn bragnng vl som vs ovnfor nop før l foldnngs ngral. Indn v forladr foldnng sal d vss a dr r n spcl sammnhæng mllm foldnng og Fourrransformaon. V ønsr a Fourr ransformr dn onnur funon g fold md dn onnur funon f: d d f g d f g xp- an omsrvs l xp--xp- som ndsæs: G F d g F d F g d d f g d d f g d d f g d d f g d d f g d f g hvor F og G bgnr hnholdsvs Fourr ransformaonn af f og g. f d sr man a foldnng dsdomæn svarr l a man mulplsrr frvnsdomæn. D an man bny sg af prass. Hvs man sal fold o funonr an man førs Fourr ransformr bgg funonr, hrfr mulplsr d Fourr ransformrd sørrlsr og hrfr ag dn omvnd Fourr ransformaon hvorfr man har d ønsd rsula. D an også vss a vs man mulplsrr g md f, så svarr d l a G folds md F alså: Gå lbag l fg.9 og prøv a forlar hvordan sds sænng an anvnds d lfæld.

58 Fgur Fg. Bfor flrng fr flrng 58

59 Fg.3_ 5 5 fx bfor flrng gx h flr gx-x g-x F gx fx

60 Fg.3_ 5 5 fx bfor flrng gx h flr gx-x g-x F gx fx

61 Fg.3_3 5 5 fx bfor flrng gx h flr gx-x g4-x F4 gx fx

62 Fg.3_4 5 5 fx bfor flrng gx h flr gx-x g5-x F5 gx fx

63 Fg.3_5 5 5 fx bfor flrng gx h flr gx-x g6.5-x F6.5 gx fx

64 Fg.3_6 5 5 fx bfor flrng gx h flr gx-x g7-x F7 gx fx

65 Fg.4 Fg.4_ 65

66 Fg.4_3 66

67 Fg.4_4 67

68 Fg.4_5 68

69 Fg.4_6 69

70 7