Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant

Transkript

1 Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Tim Jensen og Thomas Jensen 2. oktober 2009 Indhold Formål 2 2 Teoriafsnit 2 3 Forsøgsresultater 4 4 Databehandling 4 5 Fejlkilder 7 6 Konklusion 7

2 Formål Formålet med denne rapport er at bestemme Plancks konstant h ved at. Bestemme eksiterede elektroners kinetiske energi E e og derved benytte ligning () til at bestemme Plancks konstant, ved at undersøge udviklingen af den kinetiske energi som funktion af frekvensen ν af den anvendte lyskilde 2. Bestemme Rydberg konstanten R ved at benytte gitterspektrometri og derefter bestemme Plancks konstant ved at benytte ligning 3 2 Teoriafsnit Første del af vores øvelse går ud på at måle den kinetiske energi af elektroner frigjort fra en LDR-modstand (fotocelle), der er en lysfølsom modstand. Fotocellen besidder i sig selv en ringe ledningsevne, men når denne rammes af fotoner, kan elektroner i fotocellen eksitere, forudsat at fotonen besidder en tilstrækkelig energimængde. Den frie elektron vil nu bevæge sig med en kinetisk energi E e tilsvarende E e = E Φ = hν Φ () Hvor E = hν er fotonens energi og Φ er den energi hvormed elektronen er bundet. Heraf fremgår det at elektronernes kinetiske energi afhænger af lysets energi og dermed også fotonens frekvens ν / bølgelængde λ, men ikke af lysets intensitet. De frie elektroner vil nu frigøres fra en katode i fotocellen og modtages af en anode, hvorpå der er pålagt en variabel modspænding. Ved at variere modspændingen og nde nøjagtig den spænding som modsvarer elektronernes kinetiske energi, vil vi kunne stoppe transporten af elektroner fra katoden til anoden. Lige netop denne spænding vil tilsvarere elektronernes kinetiske energi, målt i elektronvolt (ev). Dette eksperiment foretages gennem to øvelser:. Den selvstabiliserende modstand I denne øvelse lader vi lys ved forskellige frekvenser falde på en fotocelle, som er forbundet til en selvstabiliserende resistor mellem katode og anode. Elektronerne vil ophobes på anoden indtil de skaber et tilstrækkeligt potentiale til, at elektronvandring fra katoden til anoden forhindres. 2. Den manuelt variable modstand I denne øvelse vil modstanden mellem katoden og anoden kunne varieres manuelt. Ved at tilslutte et amperemeter til kredsløbet vil vi kunne måle strømstyrken før fotocellen belyses (hvilken burde være omkring I = 0A). Når fotocellen belyses vil en strøm løbe gennem kredsløbet. Ved at øge modstanden vil strømmen kunne bremses og lige netop som strømmen bremses, vil den tilhørende spænding tilsvare elektronernes kinetiske energi. Til disse to øvelser anvendes 5 forskellige LED dioder til at variere frekvensen af det udsendte lys (boksen udsender 5 forskellige farver lys). Frekvensen af hver af disse dioder kan måles ved at anvende en computer og en CCD-array. Plottes den kinetiske energi nu som funktion af frenkvensen burde vi kunne observere en lineær udvikling ifølge ligning (). Heraf vil det være muligt at bestemme Plancks konstant h, som vil være hældningen på grafen, samt den energi Φ hvormed elektronen er bundet til materialet. 2

3 Den anden del af vores øvelse går ud på at bestemme bølgelængderne af den synlige del af hydrogenspektret, hvilket vi kan gøre ved at sende lys fra en hydrogenkilde gennem et optisk gitter og derefter, ved at observere linjerne fra diraktionen, kan vi anvende Rydbergs formel til at bestemme bølgelængden ( λ = R m 2 ) n 2 (2) Hvor R =, 0 7 /m (= 3, 6eV) er Rydberg konstanten. Her er m og n positive naturlige tal med n > m. I vores tilfælde vil vi anvende den specielle udgave af Rydbergs formel kaldet Balmer serien, hvilken fremkommer ved at lade m = 2. Rydbergs formel beskriver energien af en foton der bliver udsendt når elektronerne i et hydrogen molekyle eksiterer fra en energitilstand n til en anden energitilstand m. Figur : En elektron eksiterer fra 3 2 Ved at lade m = 2 betragter vi altså overgange fra et energiniveau n > m, til et energiniveau m = 2. Gennem et gitterspektrometer burde det være muligt at observere spektrallinjer fra fotoner der har energier i det synlige område (ca nm). Bølgelængderne af disse sprektrallinjer har tabelværdierne. R/odt lys 656, 3nm n = 3 Tyrkis lys 486, nm n = 4 Blåt lys 434, nm n = 5 Violet lys 40, 2nm n = 6 Bemærk at energien af en emission kan ndes ved at multiplicere med hc i Rydbergs formel. Ved at måle vinklen θ mellem lysets indfaldsvinkel og spektrallinjen (kan gøres ved hjælp af et goniometer) er det muligt at bestemme bølgelængderne eksperimentielt. Derved kan der konstrueres en graf hvor λ plottes som funktion af den tilhørende værdi ( ) m 2 n, hvorved hældningen af 2 graften vil tilsvare Rydberg konstanten R. Herfra vil det da være muligt at bestemme Planck's konstant ved at benytte relationen R = m ec 2 α 2 2hc h = m ec 2 α 2 2Rc (3) Hvor m e c 2 er elektronens hvilemasse, α nstruktur-konstanten og c lysets hastighed. 3

4 Sammenhængen mellem lysets indfaldsvinkel på gitteret og spektrallinjen er givet ved mλ = d sin θ (4) Hvor m repræsenterer et helt tal (m tilsvarer antallet af bølgelængder og dette må være et helt tal for at skabe konstruktiv inteferens, udledningen er fremført i vejledningen) og tilsvarer linjerne af nule, første, anden osv. orden. Gitterkonstanten d er afstanden mellem to nabostreger i gitteret. Gitterkonstanten kan bestemmes ved at benytte gitterspektrometri på en natriumkilde. Det oplyses i vejledningen at den første ordens gule linje i natriumspektret har en bølgelængde λ = 589nm. Ved at bestemme vinkelafvigelsen θ fra indfaldvinklen for denne første gule linje, ved at benytte et goniometer, kan vi bestemme gitterkonstanten d ud fra ligning (4). 3 Forsøgsresultater Fra den første del af øvelsen k vi følgende resultater Figur 2: Modstand på fotocelle Herover er desuden anført bølgelængden af lyset fra vores 5 LED dioder. Fra den anden del af øvelsen k vi resultaterne Figur 3: Gitterspektrometri 4 Databehandling På gur 4 ses udviklingen af elektron-energien, som funktion af lysets bølgelængde, fra øvelsen med den selvstabiliserende modstand. Den målte spændingsforskel (se gur 2) vil repræsentere elektronens kinetiske energi i forholdet V ev =, J. 4

5 Figur 4: Den selvstabiliserende modstand. Blå er høj intensitet. Rød er lav intensitet. For blå fås f(x) = 6, x 2, For rød fås f(x) = 6, x 2, Plancks konstant h vil da være hældningen på ovenstående graf. Da vi har to lineære t med hver sin hældning, vil vores bedste bud på Plancks konstant være et gennemsnit af disse h = 6, J s ± 3, J s Hvor ±3, J s er den systematiske måleusikkerhed. På samme måde som i gur 4 er elektron-energien herunder plottet som funktion af det anvendte lys' bølgelængde, i tilfældet med den manuelt variable modstand. Figur 5: Den manuelt variable modstand. Blå er høj intensitet. Rød er lav intensitet. For blå fås f(x) = 5, x 2, For rød fås f(x) = 4, x 2,

6 Og på samme måde kan en værdi af Plancks konstant med en systematisk måleusikkerhed bestemmes h 2 = 5, 0 34 J s ±, J s Fra gur 3 kan vi starte med at anvende observationerne fra gitterspektrometri med en natriumkilde, til at bestemme vores gitterkonstant d. Som tabelværdi anvender vi at den gule linje i spektret har bølgelængden λ = 589nm. Da kan vi anvende ligning 3 og sætte m = (første ordens gule linje) til at bestemme d d = λ sin θ = 589nm = 632, 56257nm sin (2) ± 7, nm Hvor usikkerheden kommer fra en måleusikkerhed på ±0, 25. Imidlertid målte vi også på 2. og 3. orden af det gule lys og kunne således bestemme gitterkonstanten meget præcist med lineær regression af følgende plot: Værdien af gitterkonstanten fås således til at være nm ±3. nm hvilket stort set er i fuldstændig overensstemmelse med oplysningen på gitteret om, at der er 600 linier pr. mm. Da vi nu kender gitterkonstanten kan vi omregne alle vores målte vinkler, i tilfældet ved hydrogenkilden, til bølgelængder (igen sættes m = ), ved at benytte ligning 3. Figur 6: Bølgelængder for spektrallinjerne i hydrogenspektret Plotter vi nu den reciprokke værdi af bølgelængderne som funktion af størrelsen ( ) m 2 n vil vi 2 ifølge ligning 2, kunne konstruere en graf hvor hældning repræsenterer Rydberg konstanten R. 6

7 Algorithm Grask repræsentiv for Rydberg konstanten Hvoraf vi får Rydbergkonstanten R = 0, m ± 8, m Hvorfra vi kan bestemme Plancks konstant ud fra ligning 3. h 3 = 0, ev, J ev 2 9, m m s 37, = 7, J s ± 6, J s 5 Fejlkilder Vi foretog kun hver måleserie en enkelt gang, hvilket har gjort os ude af stand til at anslå den tilfældige måleusikkerhed. 6 Konklusion Af databehandlingen fremgår det at vi har bestemt følgende værdier af Plancks konstant h = 6, J s h 2 = 5, 0 34 J s ± 3, J s ±, J s h 3 = 7, J s ± 6, J s Hvilken har tabelværdien h = 6, J s. 7

8 Den vægtede middelværdi af vores resultater bliver således hi /σ 2 i /σ 2 j = 6, (3, ) 2 + 5, , (, ) 2 (6, ) 2 = J s + + (3, ) 2 (, ) 2 (6, ) 2 8