Opgave Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave er en løsning til ligningen, da:

Transkript

1 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten) beregnes med formlen: De kendte tal indsættes: d = 3 4 ( 4) = = 5 Ligningens løsninger findes med formlen: De kendte tal indsættes: 3 ± 5 3 ± 5 x = = x = 4 x = L={-4 ; } d = b 4ac b ± d x = a Opgave 3 3 [ x + x ] = (4 + 8) ( + ) = (x + 3x ) dx = (x + 3x ) dx = 0

2 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 4 Bestemmelse af parametre ved aflæsning på figurerne. På figur ses, at begyndelsesværdien b = 4, da grafen skærer y-aksen i (0,4). Hældningskoefficienten a = -0,5 findes let, idet en forøgelse af x-værdien med formindsker y-værdien med (eller med 0 svarende til en formindskelse på 5). På figur aflæses begyndelsesværdien for den eksponentielle funktion som y- værdien i skæringspunktet mellem graf og y-akse. Dette tal er parameteren c. c =. Opgave 5 Differentiation af f(x) 4 Idet f ( x) = x + 5x + 9, fås f '( x) = 4x Opgave 6 Arealberegning Arealet A af det grå område fås som differencen mellem arealerne af de to kvadrater: Hvis x = : A = 0 A = 96

3 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. 3 antal ark 8 Generelt gælder for arealet af det grå område f(x), hvor x er sidelængden i det lille kvadrat: f ( x) = 0 x Opgave 7 Modellens parametre bestemmes ved regression (fitpot) med programmet GeoGebra, da det er oplyst, at sammenhængen kan beskrives med en potensfunktion. Samhørende værdier af hundevægt og fodermængde er indtastet i regnearket og regressionsresultatet kan aflæses i algebravinduet. Parametre er: a = 0,747 og b = 5,60 For potensfunktioner gælder, at en ændring af en vilkårlig x-værdi med en faktor k a medfører at den tilsvarende y-værdi ændres med en y-faktor = k. Når en hundevægt øges med 30 % svarer det til k =,30. y-faktoren bliver tilsvarende,7 svarende til et,7 % større foderforbrug.

4 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. 4 antal ark 8 Opgave 8 Modellen her viser omtalte træ. Tegningen er konstrueret i GeoGebra: Først er vinkel B tegnet med den givne størrelse, punkterne A og C fundet som skæringspunkter mellem vinkelbenene og cirkler med sidelængderne som radier. T findes ved at skære linjen gennem AC med en cirkel med radius 3 og D ved at nedfælde den vinkelrette fra T på linjen gennem BC. Alle mål kan nu findes på tegningen. Længden af AC er 6,67 meter C = 0, 7 Afstand fra T til jorden er 9,44 meter

5 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. 5 antal ark 8 Opgave 9 Ligning for tangent Forskriften for f indtastes og grafen for f(x) tegnes automatisk. P findes som (4,f(4)). Tangenten tegnes i P. Ligningen findes (i algebravinduet) som y =,5x 3,6 Finde punkter med tangenthældning,5 f' beregnes med GeoGebra og grafen skæres med y=,5. I skæringspunkterne tegnes linjer vinkelret på x-aksen og disse to linjer skærer f i punkterne C og D, hvor tangenthældningen er,5. De søgte punkter har koordinaterne: C( ; 0,5) og D( ;,69)

6 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. 6 antal ark 8 Opgave 0 Antallet af lobbyister i USA kan i perioden beskrives ved funktionen f ( x) = 490x hvor x er antal år efter 998 og f(x) er antallet af lobbyister. Tallet 0400 er antallet af lobbyister i 998 ( begyndelsesværdien ) og tallet 490 er den årlige tilvækst i antallet af lobbyister. Lobbyisternes samlede budget kan beskrives med en eksponentiel funktion; derfor kan parametrene beregnes med formlerne: a = x x y b = a x y y De oplyste værdier for x og y i punkterne (0,450) og (9,750) indsættes: a = b =, =,07370 =,0737 = 450 a =,0737 og b = 450

7 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. 7 antal ark 8 I GeoGebra er funktionerne f(x) og g(x) indtastede med den oplyste forskrift, henholdsvis den beregnede forskrift. h(x) er indtastet som g( x) h ( x) =. Endelig er f ( x) linje c defineret som y=0,75. A er skæringspunktet mellem c og grafen for h. Heraf ses, idet A = (7,40 ; 0,75) ifølge GeoGebras algebravindue, at det gennemsnitlige budget overstiger 0,75 mio. dollars i 006. Opgave Da befolkningstallene følger eksponentielle udviklinger, ses det nemt at forskrifter er som vist i GeoGebra, når x defineres som antal år efter 009. Sveriges forventede befolkningstal i 08 9 år efter 009 er så f(9). (b 8 i algebravinduet) Heraf fås: Sveriges befolkning i 08 er 9,60 mio. indbyggere Indtegnes både grafen for den svenske og den ungarske udvikling, ses at de skærer hinanden i punktet A(,47 ; 9,67). Det betyde, at befolkningerne ifølge modellerne er lige store (på 9,67 mio. indbyggere),47 år efter 009 og at Sveriges befolkningstal er størst (første gang) i 0.

8 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. 8 antal ark 8 Opgave Beregning af det røde areal Jeg forudsætter at grænserne er: x=-, x=, x-aksen og grafen for f. Så beregnes arealet som det bestemte integral fra til, hvilket er gjort med GeoGebrakommandoen Integrale[f,-,]. Arealet = 9,33 Løsning af ligningen Først findes stamfunktionen F(x) med GeoGebra med kommandoen Integrale[f]; dernæst benyttes F(x)til at definere kareal-funktionen, som beregner et areal svarende til det røde, men med grænserne x og +x (hvor 0<x<4). Dette areal skal være 40; løsningen findes grafisk som x-værdien i skæringspunktet C mellem linjen y=40 og grafen for kareal. Altså har ligningen løsningen k = 3,53