Vi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.

Transkript

1 Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført en (meget lille) mængde af antibiotikum et. Man ved erfaringsmæssigt, at med den benyttede metode udebliver væksten i gennemsnitligt 20% af sådanne prøverør af naturlige og tilfældige årsager, dvs, hvis der ikke er påtvunget hæmning for væksten. Vi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X. Hvis man faktisk finder X > 8, vil man tolke det, som om antibiotikum et faktisk virker hæmmende. Antag en rimelig sandsynlighedsfordeling for antallet af prøverør uden vækst, X, og besvar følgende: Spørgsmål I.1 (1): Hvis det potentielle antibiotikum faktisk ikke influerer påmikroorganismernes vækst, hvor stor er da sandsynligheden q, for fejlagtigt at slutte, at antibiotikum et har virkning? 1 q = q = q = q = q = Fortsæt på side 2

2 Spørgsmål I.2 (2): Som antydet udføres der faktisk et statistisk test for en hypotese om ingen virkning. I relation til dette test, hvad kalder man (som regel) den ovennævnte sandsynlighed q? 1 Testets signifikansniveau 2 Testets frihedsgrader 3 Testets kritiske område 4 Testets konfidensgrad 5 Testets alternative sandsynlighed 2 Fortsæt på side 3

3 Opgave II Man er ved at udvikle et naturmiddel til forebyggelse af lus hos skolebørn. Midlet, som er et planteudtræk, tænkes benyttet i en shampoo, og teorien er, at midlet kan hæmme luseæggenes klækning, så lusene hos en angreben person efterhånden vil uddø. Der er fra hver af et antal personer udtaget et antal æg, som er opbevaret under betingelser, som er tilstræbt at svare til lusenes normale livsbetingelser med hensyn til temperatur og fugtighed mv. Følgende data viser antallet udtagne og klækkede æg for 6 behandlede personer i et første forsøg: Behandlede personer Ole Sven Ulla Niels Egon Lisa Sum og antal æg udtaget Antal klækkede æg Antal ikke klækkede æg Spørgsmål II.1 (3): Vi betragter nu det samlede antal klækkede æg, X. Et rimeligt valg af sandsynlighedsfordelingen og tilhørende parameter estimat(er) for X, baseret på de faktisk fundne 64, er: er: 1 En normalfordeling med µ = 160 og σ 2 =64 2 En Poissonfordeling med λ =64/160 3 En Poissonfordeling med λ =18 4 En binomialfordeling med n = 160 og p = En binomialfordeling med n = 64og p = 64/96 En forudsætning for, at det er rimeligt at opsummere resultaterne i det samlede antal X af klækkede æg er, at sandsynligheden for, at et æg klækkes, er den samme for alle de involverede personer. 3 Fortsæt på side 4

4 Spørgsmål II.2 (4): Denne forudsætning kan med de viste data undersøges ved et statistisk test. Hvilken af følgende muligheder vil være egnet: 1 Et χ 2 test med 5 frihedsgrader 2 Et t-test med 5 frihedsgrader 3 En tosidet variansanalyse 4 En ensidet variansanalyse 5 Et F-test med (1,5) frihedsgrader 4 Fortsæt på side 5

5 Opgave III Et laboratorium har udført nogle målinger med det formål at undersøge om 3 metoderforskrifter resulterer i de samme eller forskellige måleværdier. For at kunne gennemføre undersøgelsen inden for et kort tidsrum, så man kunne undgå rekalibrering af fx vægte mv, benyttedes 5 operatører, der arbejdede samtidig. Data er opstillet i en tabel som følger, idet de 5 operatører, netop benyttede hver af de tre metoder én gang: Operatør Metode 1 Metode 2 Metode 3 Anna y 11 y 12 y 13 Ludmilla y 21 y 22 y 23 Christian y 31 y 32 y 33 Kurt y 41 y 42 y 43 Birthe y 51 y 52 y 53 Der er foretaget følgende beregninger på data: Variations- Kvadratafkilde vigelsessum Mellem operatører Mellem metoder Restvariation Total variation Vi ønsker nu at undersøge, om det er rimeligt at antage, at metoderne giver ens resultater, eller om man må anse dem for forskellige. Der tænkes benyttet signifikansniveauet 5%. Spørgsmål III.1 (5): Med henblik på nærværende opgave benævner vi nu den sædvanlige teststørrelse Z. På basis af ovenstående skema findes denne teststørrelse og det kritiske område som: 1 Z = / og kritisk område Z> (dvs ikke signifikans) 2 Z = / og kritisk område Z< (dvs signifikans) 3 Z = og kritisk område Z>2.733 (dvs signifikans) 4 Z =6.79 og kritisk område Z>4.46 (dvs signifikans) 5 Z = /14 og kritisk område Z> (dvs signifikans) 5

6 I det viste forsøg indgår åbenbart to variationskilder nemlig operatører og metoder samt en vis måleusikkerhed. Spørgsmål III.2 (6): Det sædvanlig estimat for denne måleusikkerheds varians er: 1 σ 2 = σ 2 = σ 2 = σ 2 = σ 2 = Spørgsmål III.3 (7): Hvad kalder man almindeligvis en variationskilde som operatører i et forsøg som beskrevet: 1 En faktor variabel 2 En randomiseret variabel 3 En binomial variabel 4 En blok variabel 5 En normal variabel 6 Fortsæt på side 7

7 Opgave IV Der er foretaget nogle målinger efter en bestemt temmelig indviklet målemetode. Målingerne er udført af to laboranter, og de fik følgende resultater og beregnede gennemsnit og spredninger: Operatør målinger Gennemsnit Spredning Laborant X x = s x = Laborant Y y = s y = Man forestiller sig først, at de to laboranter måler med samme usikkerhed. fælles usikkerhed har en varians, som vi nu benævner σ 2. Denne Spørgsmål IV.1 (8): Angiv det sædvanlige skøn for σ 2 : 1 σ 2 = σ 2 = σ 2 = σ 2 = σ 2 = Man har en forhåndsformodning om, at hvis der faktisk skulle være forskel på deto operatører, er det sikkert laborant X, som har den største varians, fordi vedkommende har mindre erfaring med den pågældende metode. Inden man beregner det fælles variansestimat σ 2, burde man derfor teste hypotesen σx 2 = σ2 y mod σ2 x >σ2 y. Spørgsmål IV.2 (9): Hvis man benytter signifikansniveauet α = 5% for dette test, fås den sædvanlige teststørrelse (her kaldet Z) og tilhørende kritiske område som: 1 Z =4.23 og kritisk område Z> Z =3.03 og kritisk område Z< Z =3.03 og kritisk område Z> Z =9.16 og kritisk område Z> Z =9.16 og kritisk område Z> Fortsæt på side 8

8 Opgave V Vi vil udføre målinger af ascorbinsyreindholdet på 25 vitamintabletter. 1): Det gennemsnitlige indhold af aktivt stof i de 25 tabletter er X. 2): Man skønner variansen af aktivt stof for de 25 tabletter på sædvanlig måde ved σ 2 = S 2 x. 3): I samme forsøg kaldes indholdet af aktivt stof i præcis 1 tablet for X 1. 4): Blandt de 25 tabletter findes det antal, Y, som indeholder mindre en 20 mg ascorbinsyre (som er det tilstræbte indhold). Spørgsmål V.1 (10): For hvilken eller hvilke af disse 4 stokastiske variable ville du mene, at normalfordelingen umiddelbart egner sig som beskrivende fordeling: 1 X (og ingen af de andre) 2 X og Sx 2 (men ikke de andre) 3 X og X 1 (men ikke de andre) 4 X, X 1 og Y (men ikke Sx) 2 5 X 1 og Y (men ikke de andre) Efter gennemførelse af ovenstående undersøgelse finder man X =21.5 mg, og S 2 x = mg 2 (S x =1.17) Spørgsmål V.2 (11): Angivpå basis heraf et skøn, p, over andelen af tabletter, som indeholder mindre end 20 mg. 1 p p p p p Fortsæt på side 9

9 Opgave VI Vi tænker os en målemetode til bestemmelse af koncentrationen af acetylsalicylsyre i spildevand, som muligvis er ved at udvikle sig til et miljøproblem. For nogle konkrete opkoncentrerede prøver er koncentrationen i størrelsesordenen ppm (parts pr million). Alle de fø lgende størrelser er i enheden ppm. Målemetoden er behæftet med en usikkerhed, og prøveforberedelsen mv tilføjer yderligere et tilfældigt bidrag, E, til den samlede usikkerhed. Målemetoden består i aflæsning af værdien X på et kromatografisk instrument, og det endelige måleresultat bliver Måleværdi = Y =2.4 X+E hvor 2.4 er instrumentets kalibreringskonstant for måling af acetylsalicylsyre. Man ved erfaringsmæssigt, at visningen X er behæftet med en usikkerhed svarende til variansen σ 2 X =5.52. Variansen for bidraget E i det pågældende koncentrationsområde antages at være konstant og lig med σ 2 E =10 2. Spørgsmål VI.1 (12): Hvor stor er usikkerhedsvariansen, σy 2,afmåleværdien Y under disse forudsætninger: 1 σy 2 = σy 2 = σy 2 = σy 2 = σy 2 = Fortsæt på side 10

10 Opgave VII Vi forestiller os et naturlægemiddel (en slags the), som tænkes benyttet som en mild erstatning for lykkepiller. Med midlet vil man forsøgsvis behandle 60 frivillige personer og spørge dem, om de synes midlet har positiv virkning på deres velbefindende. Samtidig vil man (blandt andet) spørge, om personerne synes, at midlet er rimeligt prissat eller for dyrt. Typiske data fra en sådan undersøgelse kunne være: Velbefindende Pris Uændret Øget Ialt Rimelig For høj I Alt Man ønsker at undersøge, om der er sammenhæng mellem personernes opfattelse af virkning og pris ved et test med signifikansnivaeu α =0.05. Spørgsmål VII.1 (13): Hvilket test og tilhørende afvisningskriterium for en hypotese om ingen sammenhæng kunne man foreslå: 1 Et F test med (1,1) frihedsgrader og afvisning, hvis F>161 2 Et F test med (2,2) frihedsgrader og afvisning, hvis F> Et χ 2 test med 4 frihedsgrader og afvisning, hvis χ 2 > Et χ 2 test med 1 frihedsgrader og afvisning, hvis χ 2 > Et χ 2 test med 2 frihedsgrader af, om tabellens 4 sandsynligheder (p 11,p 12,p 21,p 22 )=(0.25, 0.25, 0.25, 0.25) og afvisning, hvis χ 2 > Fortsæt på side 11

11 Opgave VIII I en undersøgelse af virkningen af frysning af nogle biologiske prøver (i form af en vandig suspension) har man foretaget en måling af indholdet af suspenderet stof i 4 prøver. Hver prøve er delt i to dele, hvoraf den ene del ikke er frosset og den anden delerfrosseti2uger: Prøve nr Ikke frosset Frosset Forskel del del Gennemsnit Spredning Man ønsker nu et 95% konfidensinterval for middeltabet, kaldet δ, af suspenderet stof ved frysning. Spørgsmål VIII.1 (14): Hvilket af følgende forslag til beregning af dette interval mener du, er det rigtige: 1 I(δ) 0.95 = ± 2 I(δ) 0.95 = ± I(δ) 0.95 = ± I(δ) 0.95 = ± I(δ) 0.95 = ±