Laurent rækker, residue-sætningen og udregning af konturintegraler

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Laurent rækker, residue-sætningen og udregning af konturintegraler"

Vibeke Paulsen
4 år siden
Visninger:

1 Lurt rækkr, rsu-sætg og urgg koturtgrlr Ol Wtt-Hs 8

2 hol. uchy s tgrlsætgr....tylor s orml or lytsk uktor.... Lurt rækkr.... Kotur tgrlr...5. Kotur tgrlr, hvor pol lggr på kotur...8

3 Lurt rækkr, rsu sætg, kotur tgrlr. uchy s tgrlsætgr V lr m t m om ogl gskr or lytsk uktor komplks vrl holomor uktor. Dss gskr r skrvt olwtths.kmtmtkalytsk_uktor.p. Først tgrlsætg: kompkt mæg, hvor r lytsk r tgrlt lgs vlkårlg lukkt kurv lg m ul.. A tgrlsætg: Fuktosvær k stmms som tgrlt lgs lukkt kurv, som omsluttr :. Lvr t vrlskt utrykkt. lvr orml:. V t rtr. tr, år m:. ' Og v t rtr gg.!.5.tylor s orml or lytsk uktor Ehvr lytsk ukto k rækkuvkls, ølg Tylors orml, u r t pukt t områ, hvor r rgulær Dt r rkt t s, t:.! Så Tylor rækk også k skrvs:

4 Lurt rækkr, rsu sætg, kotur tgrlr.! Rækk vl kovrgr crklskv, hvor R, hvor r holomor. Krtrr or kovrgs rækkr, k rkt ovrtgs r Tylor rækkr or rll uktor. S.ks. olwtths.kmtmtktylorsforml.p. Lurt rækkr L os tg t r rgulær rg lgg mllm to koctrsk crklr og m ctrum. V vl vs, t hvs lggr mllm to koctrsk crklr, k på tyg må utrykks v Lurt rækk:. Hvor For t ugå gtv ks lr v rækk op to l:.. Hvor u. og V lvr t st rg, så to crklr og lvr tl kotur som vst på gur. D r t r pukt kotur, hvor r holomor, gælr r ølg uchy s tgrlsætg:. V lr u kotur op som vst på gur: = + c c og urgr tgrlt lgs r kurvstykkr..5 c c

5 Lurt rækkr, rsu sætg, kotur tgrlr D to rg r c og - c vl gå u mo h, og v r hrtr:.6 V omskrvr u ævr to tgrlr..7 Som v yrlgr omskrvr Nu r gg røkr: og, og v k yrlgr omskrv tgrlr: For ulg q kvottrækk m kvott q < gælr orml: q q V vr ror orml læst r højr mo vstr på to ktorr: og Og v lyttr ræst l, som kk hægr uor tgrltgt. Ellr v t lytt lt rut på ktorr:

6 Lurt rækkr, rsu sætg, kotur tgrlr Hvs v t t utryk rstttr m år v: Hrtr k to summr smmtts t utryk:.8 hvor Bmærk sær, t: Hvs r rgulær t områ som græss lukk kurv, så r - = ølg uchy s tgrlsætg, most tlæl kls - or rsut or. V mr om: At hvs v hr crklskv } { r F, r som r hr } { r m postvt omlø, og urgr v tgrlt lgs r or hltllgt, så år m:. or or Avr v mlg prmtrrmstllg: t r t, år v :. t or or t r t r r t t Hvs v urgr kotur tgrlt lgs lukkt kurv, som hr som r pukt, r v:

7 Lurt rækkr, rsu sætg, kotur tgrlr 5.5 D sætg vsr sg t hv ovrortlg stor tyg v urgg kotur tgrlr. Hvs Lurt rækk kk holr gtv kspotr områt or yr crkl., r rgulær hl Hvs r r t lgt tl m gtv kspotr, r r é mulghr. Hvs r rgulær lggylg, hvor lll rus v vælgr på rst crkl, sgr v t m hr solrt pol m t or, og vl vær rgulær omg. For ksmpl hr s polr or or,,,... Hvs hr ulg mg gtv kspotr, sgr v t hr sstl pol sgulrtt. For ksmpl hr sstl sgulrtt. Hvs hr solrt pol, gælr r som skrvt ovor, t.6 Rsut r: Hvs hr lr solr polr or lukk kurv, gælr rsusætg..7 rsur D sætg k vs sg ovrortlg yttg tl urgg stmt tgrlr rl ukto.. Kotur tgrlr V skl llustrr mto v ogl ksmplr: Eksmpl. Dtt tgrl k mlrt også løss v trtoll mtor v t v susttuto t t t t. t t t t t t

8 Lurt rækkr, rsu sætg, kotur tgrlr 6 t tgr r lg ukto hr v: V sr ræst på lukk kurv vst ovor og på koturtgrlt Brgt r hlvcrkl vl gå mo, år rus R går mo ulg. Vælgr v mlg prmtrrmstllg: R,, og urgr v tgrlt ovr hlvcrkl år v:. R R R R R or R V urgr kotur tgrlt v hjælp rsu sætg: rsur hr pol =, som r st pol som lggr or kotur og rsut r. ølg rsu sætg r tgrlt r ror lg m.. Eksmpl: V vl orsøg t urg tgrlt:. Dr s, mosætg tl t ørst ksmpl, g sævlg mtor tl t urg tt tgrl. V vl stt v rsusætg på kotur som vst på gur tl vstr. tgrlt lgs yr crkl, k tlærms m R R R or R Summ to tgrlr lgs rll ks r:. Fukto: hr polr = og =- or kotur m to rsur: og

9 Lurt rækkr, rsu sætg, kotur tgrlr 7 r or komplks kk t tygt tl, m står or é to løsgr tl om lgg: 5, så 5 5 s cos s cos Tlsvr ås or lgg: s cos s cos V skl v løsg. kvrt or t ørst rsu og løsg. kvrt or t t rsu summ to rsur lvr så: rsus =, og v r ror: Eksmpl V vl orsøg t urg tgrlt: cos, hvor > > tgr r lg ukto, så cos V tgrrr lgs m hscrkl, som vst på gur ovor, t v vr prmtrrmstllg:. cos V år :

10 Lurt rækkr, rsu sætg, kotur tgrlr 8 cos tgr hr polr, som r ulpuktr or ævr:, Rør r rll, t >. D størst ro lggr or kotur, ms mst lggr u or. Hvs og r rør polyomt c, så gælr r: c Rsut r ror: rsur cos. Kotur tgrlr, hvor pol lggr på kotur tgrlt r kk rt mtmtsk, or t ugå t tgrr ovr pol or =, k v trgt tgrlr: l l l l og l l Summ to tgrlr r mlrt l - l uhægg, og ror r: lm l l D vær kls or uchy s prcpl vær tgrlt, og skrvs m t orstllt P. Dtt r r såt st tt orurlg v t summ umrsk mgt stor tl u mo h. Dtt vl ror også vær tlælt græs l, går Mr grlt, så rr m uchy s prcplvær på ølg må, hvor r rt og tgrl trvllt,.

11 Lurt rækkr, rsu sætg, kotur tgrlr 9 P lm tgrtosvj or uchy s prcpl vær, k vær l t kotur tgrl, or hvlkt r r orut m lll hlvcrkl m rus. S gur or. Hvs v tgr t tgrlt hlv storcrkl går mo ul år R går mo ulg, vl koturtgrlt vær lg m rsur. V k mlrt rkt urg tgrlt lll hlvcrkl, som hr ctrum og rus. Hvs v lr gå mo ul, r omg gvt v, hvor - r rsut v pol =. V vr prmtrrmstllg: r, r r r hlvcrkl hvlcrkl V r ror: P rsu rsus kotur Som gvr rsulttt: P rsur kotur rsu Eksmpl V skl orsøg t urg tgrlt: s

12 Lurt rækkr, rsu sætg, kotur tgrlr tgr hr pol or =, m ørr kk tl ulg værr, t v v t s or. V skl s på kotur tgrlt m kotur svr tl gur ovor, m hvor pol r plcrt. Når y vl ktor V vr sætg: y skr t tgrlt lgs stor hlvcrkl går mo or R. rsur kotur rsu. hr g polr or kotur, så v år ku t rg r pol =. Tgr v rll og mgærl på gg sr år v: cos s Dt ørst tgrl r trvlt lg m, cos r lg ukto, og s r lg ukto ølgr t t: s Eksmpl Nog gg r m hvst tl ogl smpl trck or t urg t tgrl. Dt gælr or ksmpl. V vælgr kotur J, som vst på gur stå postv rll ks, t crkl sgmt r tl og l t, t R. Hvs v lr R, v tgrlt lgs crkl gå mo. tgrlt lgs rll ks r t søgt tgrl og v urgr ror tgrlt lgs m l t : l t t t t

13 Lurt rækkr, rsu sætg, kotur tgrlr V r ror J J ks crkl l J På s hr klt solrt pol or kotur J, som r løsg tl lgg: 5 Ku pol lggr or kotur J, så rsut lvr: 5 t s Kotur tgrlt r ror: J og smtg hr v ølg ovstå : J V hr ltså: J Og v r lgt:

Relaterede dokumenter

Fourierrækker og Fourierintegraler

Fourierrækker og Fourierintegraler Udlg rækkr Fourrrækkr og Fourrtgrlr Idhold Idhold.... lølgr.... Rækkr...3. Udlg rækkr...3. Suorl or drsrækk...3. Su-orl or kvottrækk...4 3. Fourrrækkr...6 3.3 Fourrrækks koctr...8 4. Fourrtgrlr...4 Ol