Underrum - generaliserede linjer og planer

Transkript

1 1

2 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning. 0-1-matrix A med a ij = 1 hvis studerende i vil følge kursus j. A er m n (m studerende, n kurser). C = A T A har c ij = antal studerende, som vil have både kursus i og j. MatLab - m-filer.

3 3

4 Underrum - generaliserede linjer og planer 4 Definition En delmængde U R n er et underrum, hvis 0 U Hvis u og v er i U, så er u + v i U. (U er lukket under vektoraddition) Hvis u er i U og c er et reelt tal, så er cu i U. (U er lukket under skalarmultiplikation) Konsekvens: Hvis u 1,..., u k er i U, så er Span(u 1,..., u k ) i U. Et underrum er lukket under linearkombination

5 Eksempler 5 {0} er et underrum af R n R n er er underrum af R n Underrum i R 3 : {0}, Linjer gennem origo. Planer gennem origo. R 3 Hvis S R er en endelig delmængde og S (S er ikke tom), så er Span(S) et underrum af R n

6 6

7 Nulrum Null(A) 7 Definition Nulrummet Null A for en m n matrix A er løsningsmængden til Ax = 0 Null A er et underrum af R n (Sætning 4.2) Definition Nulrummet Null T for en lineær afbildning T : R n R m er løsningsmængden til T x = 0 Hvis A er standardmatricen for T, så er Null T = Null A.

8 Søjlerum Col(A) 8 Definition Søjlerummet Col A for en m n matrix A er mængden af linearkombinationer af søjlevektorer i A. Col A= {Ax x R n } For en lineær afbildning T : R n R m med standardmatirx A, er Billedrummet for T (Range T ) lig med ColA. (Sætning 2.8) Rækkerum Rækkerummet Row A for en m n matrix A er spændet af A s rækkevektorer. Row A er et underrum af R n

9 Frembringere 9 Definition En mængde S = {w 1,..., w k } frembringer underrummet V, hvis V = Span(S) Frembringere for ColA Pivotsøjlerne i A frembringer ColA. Argument: Søjlekorrespondenceprincippet. Frembringere for Null A Hvis R er den reducerede Echelonform for A, så er Null A = Null R. Frembringere for Null R findes ved løsning af Rx = 0. Antal frembringere = Antal frie variable.

10 10

11 Basis for et underrum 11 Definition En endelig delmængde S af et underrum V er en basis for V, hvis S frembringer V, i.e. V = Span(S) S er lineært uafhængig Eksempel For en m n matrix A er pivotsøjlerne en basis for søjlerummet ColA

12 12 Vigtigt eksempel: Basis for Null(A) Betragt en m n-matrix A. En basis for Null(A) findes ved at opskrive løsningen til den homogene ligning Ax = 0 på vektorform: c 1 b 1 + c 2 b 2 + c k b k, hvor systemet først er reduceret ned til reduceret trappeform. B = {b 1, b 2,..., b k } udgør så en basis for Null(A). Bemærk: basen indeholder præcis nullity(a) vektorer. [Husk: nullity(a) er antal ikke-pivot søjler i A. Antal frie variable.] Sætning: Basis for Col(A) Lad A være en m n-matrix. Pivot søjlerne i A udgør en basis for Col(A).

13 Udtynding 13 Sætning 4.3 Hvis S udspænder V, kan S udtyndes (reduceres) til en basis for V Metode/begrundelse: Opstil matricen C = [w 1... w k ] (søjlevektorer er elementerne i S) V = ColC pivotsøjlerne i C er en basis for V

14 14

15 Udvidelse 15 Sætning 4.4 En lineært uafhængig delmængde af et underrum V R n S V kan udvides til en basis for V ved tilføjelse af vektorer. Konsekvens: Ethvert underrum undtagen V = {0} har en basis.

16 16

17 17

18 Frembringende mængder for R n 18 For en endelig delmængde S R n gælder Hvis S frembringer R n, så er der mindst n vektorer i S Hvis S er lineært uafhængig, så er der højst n vektorer i S Hvis S er en basis for R n, så er der præcis n vektorer i S Argument: Opstil n k matricen A med vektorerne fra C som søjler. Se på ligningssystemet Ax = b

19 19

20 Dimension og rang 20 Definition : Dimension af underrum Dimensionen af et underrum H {0} af R n er antallet af vektorer i en vilkårlig basis for H. Dimensionen af H benævnes dim(h). Desuden er dim({0}) = 0. Giver det mening? Ja, for vi har Sætning 4.5 Lad V være et underrum af R n og V {0}. To vilkårlige baser for V indeholder da samme antal elementer.

21 21

22 22

23 23

24 Frembringende mængder for R n 24 For en endelig delmængde S R n gælder Hvis S frembringer R n, så er der mindst n vektorer i S Hvis S er lineært uafhængig, så er der højst n vektorer i S Hvis S er en basis for R n, så er der præcis n vektorer i S Argument: Opstil n k matricen A med vektorerne fra C som søjler. Se på ligningssystemet Ax = b

25 25 Sætning 4.6 En lineært uafhængig delmængde af et underrum med dimension k har højst k elementer. M.a.o.: En delmængde med mere end k elementer er lineært afhængig.

26 26

27 27

28 Intuition: Sætn. 4.6: Der er højst plads til k lineært uafhængige vektorer i V, så en mængde med k lineært uafhængige vektorer vil udspænde. Desuden skal der mindst bruges k vektorer til at udspænde V. Hvis der er præcis k, må de være lineært uafhængige. Er S en basis for V? 28 Definitionen siger Er S indeholdt i V Er V = span(s)? Er S lineært uafhængig? S er en basis, hvis alle svar er ja. Sætning 4.7 Hvis dim(v ) = k og S V har k vektorer. Så er S en basis, hvis mindst en af de to betingelser gælder S er lineært uafhængig Span(S) = V

29 29

30 30

31 Række, søjle og nulrum 31 Definition: Rang af en matrix Rangen af en m n-matrix A er defineret som rank(a) := dim(col(a)) = #pivot søjler i A. Sætning om matricers rang Lad A være en m n-matrix. Da gælder, rank(a) + dim(null(a)) = n. Rækkerum Row(A) = Span(Rækkerne i A) = Span(Ikke-nul-Rækkerne i den reducerede trappeform R) dim(row)(a) = #pivot søjler i A. = dim(col A)

32 Række, søjle og nulrum 32 Definition: Rang af en matrix Rangen af en m n-matrix A er defineret som rank(a) := dim(col(a)) = #pivot søjler i A. Sætning om matricers rang Lad A være en m n-matrix. Da gælder, rank(a) + dim(null(a)) = n. Rækkerum Row(A) = Span(Rækkerne i A) = Span(Ikke-nul-Rækkerne i den reducerede trappeform R) dim(row)(a) = #pivot søjler i A. = dim(col A)

33 33

34 34

35 35

36 36

37 37

38 38