Energiens ligefordelingslov

Transkript

1 Statistisk mkanik 7 Sid af 6 Enrgins ligfordlingslov I t systm undr M- llr klassisk statistik r antallt af partiklr md n givn frihdsgrad i intrvallt [ ; d] + ifølg udtryk (4.6) givt vd hvor d dg r tilstandssummn ovr -tilstandn,, r nrgin af n sådan - tilstand, og dg r dn tilhørnd dgnrationsgrad. Da dgnrationsgradn dg indn for M- og dn klassisk statistik som bskrvt i SM6 s. 5 r proportional md d, fås d C d, C knst., (7.) Dn dl af systmts nrgi, dr r knyttt til dnn frihdsgrad, r E d C d, svarnd til n gnnmsnitsnrgi pr. partikl på E, d C d. (7.) (7.3) Et systms frihdsgradr r d variabl i bskrivlsn af systmts nrgi, som kan vælgs uafhængigt af hinandn. En natomig idal gas i tyngdfltt har sålds tr translatorisk frihdsgradr i form af hastighdskomposantrn v, v, v samt n positions-frihdsgrad i form af hødn y, f. udtryk (6.7). x y Hvis gassn r flratomig, vil dr også vær rotatorisk og vibratorisk frihdsgradr, og hvis gassn r påtrykt t E- llr t -flt, vil vinkln mllm fltt og dt prmannt molkylær dipolmomnt også udgør n frihdsgrad. For n idal gas i tyngdfltt r E y sålds. givt vd udtryk (6.5), og E E E k v v v x y. homas. Lyng, Institut for Fysik og anotknologi, AAU 08/0/009

2 Statistisk mkanik 7 Sid af 6 Hvis r n kontinurt, kvadratisk funktion af, og hvis varirr mllm 0 og abl -: a, a knst., (7.4) llr mllm og +, givr udtryk (7.3) ifølg 0 0 k a d a d : d d k. (7.5) All frihdsgradr, dr opfyldr ovnstånd btinglsr, r sålds kndtgnt vd n gnnmsnitsnrgi pr. partikl på k, og udtryk (7.5) udtrykkr drmd nrgins ligfordlingslov. For hødkoordinatn y for n gas i t tyngdflt r ( y) ikk ovnstånd btinglsr. mgy, og y opfyldr sålds Dt gør hastighdskomposantrn drimod, ftrsom drmd havs som bkndt k v og i translatorisk frihdsgradr. E v i vi mvi, vi, og k for hvr af diss tr Dn molkylær rotation og vibration opfyldr hllr ikk btinglsrn, ftrsom drs tilknyttd nrgir r kvantisrd 3. 3 Ikk dsto mindr kan ligfordlingslovn brugs til at forklar varmkapacittn for n flratomig idal gas vd at oprr md to karaktristisk tmpraturr, for hvilk d rotatorisk og vibratorisk frihdsgradr kommr i spil, f. Srway 7th d. s Mr hrom i SM8. homas. Lyng, Institut for Fysik og anotknologi, AAU 08/0/009

3 Statistisk mkanik 7 Sid 3 af 6 Linær harmonisk oscillator Dn harmonisk oscillator dannr bla. grundlag for bskrivlsn af varmkapacittn af fast stoffr og flratomig gassr, som vil bliv bhandlr i SM8. tragt t assmbly af linær harmonisk oscillatorr, dr kan bskrivs ud fra M 4 llr dn klassisk 5 statistik. Oscillatorrn antags at vkslvirk ntop så mgt, at oscillatorrn kan bhandls nkltvis 6 (oscillatorrns udsving r dkobld ), samtidigt md at dr kan udvksls nrgi oscillatorrn imllm, sådan at systmt kan vksl mllm forskllig mikrotilstand. En klassisk linær harmonisk oscillator md nrgi 7 Kx mv + ss at opfyld btinglsn for ligfordlingslovn for sin to frihdsgradr v og x. (7.6) I dn kvantmkanisk oscillatormodl r nrgin kvantisrt md dgnrationsgrad n + hν (7.7) g, sådan at tilstandssummn ifølg udtryk (4.4) r n 0 hν n + k. (7.8) 4 F.ks. idntisk atomr i t gittr, dr kan sklns på baggrund af drs placring i gittrt. 5 F.ks. flratomig gasmolkylr, dr som st i SM5 md god tilnærmls kan bskrivs ud fra dn klassisk statistik. 6 Dtt vill vær n rimlig antagls for flratomig idal gasmolkylr, dr vibrrr uafhængigt af hinandn, mn kan ovrfør vibrationsnrgi i forbindls md sammnstød. For atomr i t gittr drimod vill n oplagt udvidls af modlln vær at tag hød for dn nulpunktsforskydning i n oscillators udsving, dr følgr af koblingn til nabo-oscillatorrns udsving. Som dt vil frmgå af SM8, vil d oscillatorr som rsultat af n sådan kobling ikk længr vær kndtgnt vd én og samm frkvns ν. 7 For t to-atomigt molkyl r m dn rducrd mass, og v r atomrns fart i forhold til massmidtpunktt. K r styrkn af dn til vibrationn hørnd binding, f. F Kx, og x r forskydningn fra ligvægt. homas. Lyng, Institut for Fysik og anotknologi, AAU 08/0/009

4 Statistisk mkanik 7 Sid 4 af 6 Summn i udtryk (7.8) indholdr n gomtrisk rækk : 3a 5a hν ( ), a > 0, k ( ) + p+ p +, p <. (7.9) Da n na lim p lim 0 n n havs ( p)( + p+ p + ) ( + p+ p + ) ( p p ) + +, (7.0) og drmd : p hν k hν k. (7.) Indførs dn karaktristisk tmpratur 8 kan udtryk (7.) skrivs hν, (7.) k. (7.3) 8 ss sålds at vær dn tmpratur, for hvilkn k hν. homas. Lyng, Institut for Fysik og anotknologi, AAU 08/0/009

5 Statistisk mkanik 7 Sid 5 af 6 ilstandssummn afhængr sålds af forholdt, hvor ifølg udtryk (7.) samt KM udtryk (6.4) r givt vd h k så da K og m r paramtr, havs ( ). π K, (7.4) m Andln af oscillatorr i dt t nrginivau r ifølg udtryk (4.6), (7.7) og (7.3) n k + : g n. (7.5) Andln af oscillatorr aftagr sålds ksponntilt md n, idt dnn aftagn r hurtigr, o lavr tmpraturn r. Dtt svarr som forvntt til, at oscillatorrn vd lav tmpraturr r koncntrrt i d lavst nrgitilstand, f. Fig. -4 i lærbogn. I fravært af kstrn fltr r ifølg opg. -30 dln E Eint k k d : E( int)( ) k +. (7.6) homas. Lyng, Institut for Fysik og anotknologi, AAU 08/0/009

6 Statistisk mkanik 7 Sid 6 af 6 Ifølg opg. E r C de d int V k ( ) : C V k ( ). (7.7) dnfor viss Eint k og CV ovnstånd r dn afldd af førstnævnt. k som funktion af, idt sidstnævnt ifølg mærk, at lim E 0 int k (7.8) h ν, hvilkt gnknds som systmts samld nulpunktsnrgi, svarnd til at all oscillatorr r i grundtilstandn for 0. mærk ndvidr, at dr som vist i opg. M gældr E int k for, (7.9) hvilkt ifølg udtryk (7.5) r t udtryk for ligfordlingslovn for dtt systm, dr ifølg udtryk (7.6) har frihdsgradr. Ligfordlingslovn gældr som tidligr nævnt kun i dn klassisk græns, hvor dr kan ss bort fra nrgins kvantisring, hvilkt ss at vær tilfældt for, idt dtt svarr til k k hν, hvor hν som bkndt udtrykkr kvantisringn. homas. Lyng, Institut for Fysik og anotknologi, AAU 08/0/009