9 Eksponential- og logaritmefunktioner

Transkript

1 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer 1, Gyldendal Carstensen og Frandsen, Mat1, Systime Historie Logaritmerne blev indført som et rent regneteknisk hjælpemiddel. Svære regnestykker som multiplikation, divison og roduddragning af store tal bliver med logaritme tabeller til regnestykker, hvor man stort set kun bruger addition og subtraktion af nogle talværdier fra logaritmetabeller. Med fremkomsten af lommeregneren i begyndelsen af 1970 erne og computere i 1980 erne har gjort,denne anvendelse af logaritmetabeller overflødig. Hvorfor skal vi så lære om logaritmer? En af de mange grunde er at den omvendte funktion - se evt. side i bog 2 - til en eksponential funktion er en logaritmisk funktion. Der er også mange praktiske opgaver som kun løses af logaritmer. Nogle eksempler på hvor logaritmen bliver brugt er følgende. 1

2 Eksempel 1 - Lydstyrke Som mål for lydstyrke -intensitet- benyttes enheden db (decibel = 1 bel). Lydstyrken defineres som, forholdet mellem den aktuelle lydintensitet I og 10 intensiteten I 0 af den svageste lyd det menneskelige øre kan opfange, og har værdien I 0 = W/m 2. Lydstyrken L er derfor Formlen kan omformes til L = 10 log( I I 0 ) = 10 log(10 12 I) L = 10 log(10 12 I) = 10 (log logi) = logI En lydintensitet på 10 3 W/m 2 giver altså en lydstyrke på L = log10 3 = ( 3) = 90dB Det menneskelige øre er opbygget efter denne skala. Det betyder, at selv en kraftig forøgelse af lydintensiteten ikke opfattes særlig stærkt. Hvis en lydintensitet på I giver styrken L 1 og en lydintensitet på 2 I giver styrken L 2 er: L 1 = log(i) L 2 = log(2 I) Forskellen i lydstyrke bliver; L 2 L 1 = 10 log(2 I) 10 log(i) 2

3 10(log2 I logi) = 10 log( 2I ) = 10 log2 3dB I Man kan derfor sige, at en fordobling i lydintensiteten -lydtrykket i W/m 2 bevirker, at lydstyrken kun stiger med 3 db. Eksempel 2 - Jordskælv Jordskælvets styrke måles ved Richter-skalaen, som er en logaritmisk skala. Formlen er R = log A T + B hvor A er amplituden for jordoverfladens svingninger i µm mikrometer = 10 6 m. ved målestationen. T er periodetiden for jordskælvbølgen i sekunder og B er en konstant, der tager hensyn til jordskælvbølgens svækkelse med afstanden fra centrum for jordskælvet. For en bestemt målestation i en vis afstand fra jordskælvet er B = 6, 8.Jordoverfladens bevægelse er 10µm og periodetiden T = 1 sekund. Jordskælvets Richtertal beregnes som: R = log( 10 1 ) + 6,8 = 7,8 For at finde hvor meget energi der svarer til en bestemt rystelse bruges følgende model: ln(e) = 5,53 R 2,76 3

4 hvor E er måltallet i Joule for den energi der er udløst ved jordskælvet og R er Richtertallet. Kan du beregne hvor stor den udløste energimængde der svarer til en Richterskala på R = 7,8 er? 9.1 Eksponentialfunktioner Potensfunktion: f (x) = y = x a hvor xer den uafhængige variabel og a er et reelt tal. Regneforskriften for eksponentialfunktioner minder meget om potensfunktioner Eksponentialfunktion: f (x) = a x Definition Ved en eksponentialfunktion med grundtal a, forstås en funktion med regneforskriften. f (x) = a x, Dm f R videre. hvor a > 0. Gennemregn nu eksemplerne og vha. GeoGebra, inden du går 4

5 9.1.4 Eksponentialfunktioners egenskaber Eksponentialfunktionen f (x) = a x har følgende egenskaber: 1. Dm f = R 2. Grafen går gennem (0, 1). Dvs. f (0) = 1 3. Grafen går gennem (1, a). Dvs. f (1) = a 4. Hvis 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Hvis a > 1 er funktionen voksende. 5. V m f = R + =]0; [ Potensregneregler I afsnit 1.11 bog 1 har vi haft dissre regneregler, men her får vi igen da de er meget vigtige i forbindelse med eksponentialfunktioner. 1. a x a y = a x+y 2. ax a y = ax y 2. a x = 1 a x 4. a x b x = (a b) x 5. ax b x = (a b )x 6. a 0 = 1 7. a 1 = a 8. (a x ) y = a x y I definition hvor eksponentialfunktionen er defineret for a > 0. Grunden hertil er at funktionen bliver diskontinuert hvis grundtallet er negativt. Hvis a = 0 får vi jo funktionen f (x) = 0 x = 0 Grafen for denne funktion er x-aksen og funktionen er derfor ikke en eksponentialfunktion. Se igen evt for eksponentialfunktioners egenskaber. Vi kan altså konkludere at grundtallet for en eksponentialfunktion kan være alle positive tal. 5

6 Lad os nu skitsere følgende eksponentialfunktion hvor grundtallet er 10. f (x) = 10 x hvor a = 10 > 0 altså en voksende eksponentialfunktion. Som ses af grafen er denne funktion skitseret med rød farve. Lad os nu finde den omvendte funktion til eksponentialfunktionen. Vi er sikker på at f (x) = 10 x er injektiv ( prøv at tegne en vandret linje), som også ses af grafen. Kun injektive funktioner har inverse funktioner. For at finde den omvendte eller inverse funktion, skal man ombytte x og y. f (x) = 10 x x = 10 y Hvordan kan vi så isolere y? Det gør vi på følgende måde ved at tage logaritmen på begge sider: log(x) = log(10 y ) = log(10) y 6

7 log(x) = y log(10) y = log(x) log(10) = log 10(x) Disse to funktioner er hinandens omvendte og spejling om y = x. Der er imidlertid to grundtal og dermed to eksponentialfunktioner, som anvendes mere end de andre. Den naturlige eksponentialfunktion: f (x) = y = e x hvor e =2, tals eksponentialfunktion: f (x) = 10 x hvor a = 10 Prøv at skitsere disse to eksponentialfunktioner i samme koordinatsystem, inden du går videre. Lav øvelse vha. GeoGebra Øvelse Bestem grundtallet for følgende eksponentialfunktion f (x) = 2 x x ved at omskrive regneforskriften vha. potensregnereglerne. Løsning: f (x) = 2 x x f (x) = 2 x 2 2 2(1 x) = 2 x x = 2 x x 7

8 f (x) = 2 x 2+2 2x f (x) = 2 x = 1 2 x = (1 2 )x Grundtallet er a = Eksponentiel udvikling Eksponentialfunktioner -eksponentiel udviklinger-, anvendes ofte indenfor så forskellige områder som fysik, kemi,økonomi, etc Definition Ved en eksponentiel vækstfunktion eller eksponentiel udvikling, forstås en funktion med regneforskriften f (x) = b a x x R hvor a > 0 og b > 0. Funktionen skærer y-aksen i (0,b). Dvs. at en eksponentialfunktion er en eksponentiel udvikling med b = 1 Eksempel 3 - Renteformlen Vi forestiller os at vi har 800 kr.(begyndelsesværdien) i en bankkonto med en rente 4% pr. måned (vækstraten). Vi kan nu beregne beløbets værdi til forskellige tidspunkter: Efter 1 måned er værdien: 800 1, 04 = 832. Efter 2 måneder er værdien: 832 1,04 = 800 1,04 1,04 = 865,28 8

9 Efter 3 måneder er værdien: ,04 = 800 1,04 1, = 800 1,04 3 = 899,89 Sådan kan vi åbenbart fortsætte. Efter n måneder er værdien vokset til 800 1,04 n. Hvis ændringen havde været med procenten r skrevet som decimaltal, havde vi efter n måneder fået en værdi på 800 (1 + r) n Tidsrummet måned kunne have været andet - uge, år, minut,sekund osv. I almindelighed bruger vi den mere neutrale betegnelse termin for tidsrummet mellem to ændringer. Hvis man nu betegner værdien efter n-terminer med K n og begyndelsesværdien med K 0,gælder følgende renteformlen. Renteformlen: En størrelse med begyndelseværdien K 0 ændrer sig med procenten r pr. termin. Efter n-terminer er størrelsen da ændret til slutværdien K n, hvor K n = K 0 (1 + r) n hvor r er vækstraten og (1 + r) er fremskrivningsfaktoren. Læg mærke til, at renteformlen ovenover og udtrykket for en eksponentiel udvikling f (x) = b a x i virkeligheden er det samme, fordi f (x) svarer til K n : Værdien til et givet tidspunkt b svarer til K 0 : Begyndelsesværdien 9

10 a svarer til (1 + r): Fremskrivningsfaktoren hvor r = p 100 x svarer til n: Antallet af terminer Eksempel 4 - Fordoblings- og halveringskonstant Eksponentielt voksende udviklinger vokser med samme procent for hver enhed, man går til højre på x-aksen. efter et bestemt antal enheder er en sådan eksponentielt voksende udviklings værdier fordoblet. Dette antal enheder kaldes fordoblingskonstanten. Fordoblingskonstant: Lad os starte med at skitsere en eksponentiel udvikling vha. GeoGebra på følgende måde: Dvs. Her er funktionsværdien f (x+t 2 ) dobbelt så stor som funktionsværdien f (x). f (x + T 2 ) = 2 f (x) Vi indsætter i regneforskriften 10

11 f (x) = b a x f (x + T 2 ) = b a x+t 2 b a x+t 2 = 2 b a x b a x a T 2 = 2 b a x a T 2 = 2 Denne sidste eksponentiel ligning løses ved at tage logaritmen på begge sider: log(a T 2) = log(2) T 2 log(a) = log(2) T 2 = log(2) log(a) Helt tilsvarende beregninger kan gennemføres med ln -naturlig logaritme- dvs. T 2 = ln(2) ln(a) Fordoblingskonstant: Vi ser på den aftagende eksponentiel udvikling. 11

12 dvs. Her er funktionsværdien f (x + T1 2 ) halvt så stor som funktionsværdien f (x), f (x + T1 2 ) = 1 2 f (x) f (x) = b a x Indsættes i regneforskriften b a x+t 1 2 = 1 2 b ax Denne løses på samme måde som før b a x a T 1 2 = 1 2 b ax a T 1 2 = 1 2 Vi tager logaritmen på begge sider log(a T 1 2 ) = log( 1 2 ) T1 2 log(a) = log( 1 2 ) T1 2 = log( 1 2 ) log(a) = log(1) log(2) log(a) = log(2) log(a) Eksempel 5 Hvis en eksponentelt voksende udvikling har en vækstrate på 7%, er fremskrivningsfaktoren 12

13 Så fordoblingskonstanten bliver; a = (1 + p 100 ) = ( ) = 1,07 T 2 = log2 log(1,07) = 10,24 Hvis vi omvendt kender fordoblingskonstanten og ønsker at finde vækstraten r, kan vi vha. a T 2 = 2 finde fremskrivningsfaktoren a = (1 + r) og dermed vækstraten r på følgende måde a T 2 = 2 a = 2 1 T 2 Prøv nu at se på følgende eksempel: a 3 = 2 a = = 1,259 Kontrol (1,259) 3 = 2 Så vi kan nu finde vækstraten r a = 2 1 T 2 = ,24 = 1, 149 a = (1 + r) r = a 1 = 1,149 1 = 0,149 = 49% Vi kan på tilsvarende måde finde fremskrivningsfaktoren for halveringskonstant på følgende måde: a T 1 2 = 1 2 a = (1 2 ) 1 T12 13

14 9.2.4 Øvelse Tegn i samme koordinatsystem grafen for funktionernerne f (x) = x og g(x) = x Forklar resultatet og angiv de to funktioners procenttilvækst. Løsning: Vi ved at en eksponentiel udvikling er f (x) = b a x a = 1 + r hvor r er vækstraten i procent, dvs a = 1 + p 100 1,50 = (1 + p 100 ) 0,67 = 1 + p = p 67 = p p = 50% stigning p = 33% fald Skitsering vha. GeoGebra som følger: 14

15 9.2.5 Øvelse Bestem regneforskriften for den eksponentielle vækstfunktion f som opfylder at f (2) = 4.5 og f (4) = 40.5 Løsning: f (x) = b a x 4.5 = b a = b a 4 Divideres de to med hinanden Regneforskriften bliver 40,5 4,5 = b a4 b a 2 9 = a 2 a = = 3 b = 4,5 a 2 = 4,5 3 2 = 0,5 f (x) = b a x f (x) = 0,5 3 x Du kan evt. også regne denne opgave vha. formelsamling side 20 viste formel y2 a = x 2 x 1 y 1 Regn øvelse inden du går videre. Husk der er facit bag ved bogen til denne øvelse! 15

16 9.3 Logaritmefunktioner Vi så før at eksponentialfunktioner er injektive dvs. de har inverse funktioner som er logaritmiske funktioner. Vi har vist at den inverse funktion til en eksponentialfunktion kaldes en logaritmefunktion med grundtal a. Regneforskriften er f (x) = y = log a x Definition Ved logaritmefunktionen med grundtal a,hvor a > 0 og a 1, forstås den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtal a, og den betegnes f (x) = y = log a x, x > Logaritmefunktioners egenskaber Logaritmefunktionen f (x) = log a x har følgende egenskaber: 1. Dm f = R + =]0; [ 2. Grafen går gennem (1, 0). Dvs. f (1) = 0 3. Grafen går gennem (a, 1). Dvs. f (a) = 1 4. Hvis 0 < a < 1 er funktionen aftagende Hvis 1 < a er funktionen voksende 5. V m f = R Prøv nu at sammenligne logaritmefunktioner med eksponentialfunktioners egenskaber dvs og gennemgå beviset på side 53 Bog 2 VIGTIGT: Den omvendte funktion til eksponentialfunktionen f (x) = 10 x kaldes logaritmefunktionen med grundtal 10, og den betegnes 16

17 f 1 (x) = log(y). Vi kan skrive nogle værdier for de to funktioner op: f (2) = 10 2 og den omvendte funktion f 1 (100) = log100 = 2 f (1) = 10 1 = 10 og den omvendte funktion f (10) 1 = log10 = 1 Da grafen for eksponentialfunktionen ligger over x-aksen, er der kun positive tal, der har logaritmer, så definitionsmængden for logaritmefunktionen er mængden af positive tal, værdimængden er alle tal. Dvs, 1. TITALSLOGARITMEN TIL ET POSITIVT TAL ER DEN EKSPONENT, SOM 10 SKAL OPLØFTES TIL FOR AT GIVE TALLET 10 logx = x og log(10 x ) = x 2. DEN NATURLIGE LOGARITME TIL ET POSITIVT TAL ER DEN EK- SPONENT, SOM e SKAL OPLØFTES TIL FOR AT GIVE TALLET. e lnx = x og ln(e x ) = x Logaritmeregneregler Følgende meget vigtige logaritmeregler(både log og ln) kan vises vha. potensregneregler. 1. log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) Bevis: Vi forudsætter i alle disse beviser at x 1 > 0 x 2 > 0 Regel: x 1 = 10 logx 1og x 2 = 10 logx 2 log(x 1 x 2 ) = log(10 logx 1 10 logx 2) 17

18 Regel: 10 p 10 q = 10 p+q log(x 1 x 2 ) = log(10 logx 1+logx 2 ) Regel: x = 10 logx log(x 1 x 2 ) = logx 1 + logx 2 2. log a ( x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) log a (x 2 ) Bevis: log( x 1 x 2 ) = log( 10logx1 10 logx 2 ) = log(10logx 1 logx 2 ) = log(x 1 ) log(x 2 ) 3. log(x n 1 ) = n log(x 1) Bevis: log(x n 1 ) = log(x 1) n = log(10 logx 1) n = log(10 n logx 1) = n log(x 1 ) 4. log( n x 1 ) = 1 n log(x 1) Bevis: Regel: a 1 n = n a 10 1 n = n 10 f orn = = 10 log( n x 1 ) = log(x 1 n 1 ) = 1 n log(x 1) 5. log( 1 x 1 ) = log(x 1 1 ) = log(x 1) Bevis: Regel er bevis 3 log( 1 x 1 ) = log(x 1 ) = 1 log(x 1 ) = log(x 1 ) 18

19 Bemærk, at disse regneregler også at betragte som egenskaber ved logaritmefunktionerne, da disse funktioner er de eneste, som har de egenskaber. Vi har tidligere vist grafen for f (x) = 10 x og dens inverse som er en logaritmisk funktion f 1 (x) = log(x). I det følgende graf vises grafen for den naturlige eksponentialfunktion f (x) = e x og dens inverse funktion f 1 (x) = ln(x) Eksempel - Radioaktivt henfald Radioaktivt stof omdannes - henfalder- til ikke-radioaktivt stof. Den mængde radioaktivt stof, der er tilbage, er altså en funktion af tiden. Vi kan benytte N(t) for denne funktion, altså: N(t) : Mængden af tilbageværende radioaktivt stof til tiden t. Radiaktivt henfald kan beskrives ved funktionen 19

20 N(t) = N 0 a t N(t) = N 0 (e lna ) t N(t) = N 0 e kt = N(0) (e k ) t, t [0; [ hvor 0 < a < 1, t er tiden og fremskrivningsfaktoren a = e k hvor k = lna. N 0 er antallet af aktive kerner til t = 0 N(t)er antallet af aktive kerner til tiden. k = lna er en positiv konstant, der varierer fra stof til stof og den kaldes henfaldskonstanten. På et tidspunkt er halvdelen af den radioaktive stofmængde omdannet til ikkeradioaktivt stof. Vi fandt halveringskonstanten - halveringstiden - til T1 = ln 1 2 ln1 ln2 = = 0 ln2 = ln2 2 lna k k k Vi har her benyttet regnereglen for logaritmen af en brøk og at k = lna Den radioaktive isotop radium Ra har en halveringstid på 1620 år. Dermed kan vi finde fremskrivningsfaktoren a a = ( 1 2 ) 1 T 1 2 = ( 1 2 ) = 0, Henfaldskonstanten k findes af formlen k = lna = ln0, = 0, år Den funktion der angiver den tilbageværende mængde radioaktivt stof efter t N(t) = N 0 a t N(t) = N 0 0, t = N 0 e 0, t Hvis vi tænker os at begyndelsesværdien er N 0 = 1g radioaktivt stof, kan vi vha. GeoGebra skitsere funktionen 20

21 Efter ca 1620 år er der stadig 50% af stofmængden tilbage, det var halveringstiden. Eksempel 6 - Atmosfærisk tryk Lufttrykket ved jordoverfladen er ca pascal - 1 atmosfære - eller 1000 hpa(hectopascal). Trykket aftager i atmosfærens nedre lag (op til ca. 80 km.) eksponentielt med højden og halveringskonstanten er T = 5,76 km. Den funktion f, der beskriver trykket som funktion af højden, har en fremskrivningsfaktor a = ( ) T12,der kan beregnes som a = 0,5 1 T. Regneforskriften er altså: f (x) = b (0,5 1 T ) x = ,5 x T = ,5 x 5,76 I en højde på 8,5 km (Mount Everest) er lufttrykket 21

22 f (8,5) = ,5 8,5 5,76 = 359,6 hpa Vi kan selvfølgelig udregne a = 0,5 1 5,76 = 0,887, så regneforskriften bliver f (x) = ,887 x 1 km. Vi ser heraf, at lufttrykket falder med 11,3 %, når højden over jorden øges med Sætning For logaritmefunktionen med grundtal a gælder Bevis: y = log a (x) = ln(x) ln(a) = log(x) log(a) x = a y log(x) = log(a y ) På tilsvarende måde: log(x) = y log(a) y = log(x) log(a) = log a(x) x = a y ln(x) = ln(a y ) ln(x) = y ln(a) y = ln(x) ln(a) = ln a(x) 22

23 9.3.7 Sætning For eksponentialfunktionen med grundtal a gælder y = a x = e x lna = 10 x loga Bevis: y = a x ln(y) = ln(a x ) = x ln(a) e lny = e xlna y = e xlna På tilsvarende måde: y = a x log(y) = log(a x ) = x log(a) 10 log(y) = 10 x log(a) y = 10 x log(a) Øvelse Tegn grafen for følgende funktion i et koordinatsystem.tegn derefter funktion i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. f (x) = 0,01 x 5,0 x 15 23

24 Løsning: Der er tale om en potesfunktion! x 15 Vi bruger GeoGebra s Function[ ] kommando med definitionsmængden, 0 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem skitseret vha. programmet Graph da GeoGebra ikke kan skitsere logaritmiske koordinater. 24

25 Logaritmisk skala på y-aksen på en potensfunktion giver ikke en lineær funktion! Men logaritmisk skala på begge aksler giver til gengæld en lineær funktion. Enkeltlogaritmisk y-koordinat med fordel anvendes når man har eksponential funktion. Logaritmisk y-akse gør grafen en ret linie når der er tale om eksponential funktion. Det er ikke en fordel at bruge logaritmisk y-akse for potesfunktioner Øvelse Bestem halveringskonstanten eller fordoblingskonstanten for følgende funktioner. a) f (x) = 2 4 x b) g(x) = 4 0,9 x Løsning: Fordoblings- og halveringskonstaner: 25

26 T 2 = ln(2) ln(a) og T1 = ln(2) 2 ln(a) a) Fordobling da a > 1 voksende funktion (fordobling) T 2 = ln(2) ln(4) = 0,5 b) Halvering da a < 1 aftagende funktion (halvering) T1 2 = ln(2) ln(0,9) = 6, Generelt om eksponentielle og logaritmiske ligninger Den første forudsætning, for at man kan løse eksponentielle og logaritmiske ligninger er at man kan løse de tilhørende grundligninger. 9.5 Grundligningen a x = b Løsning af denne grundligning betyder at beregne x-koordinaterne for skæringspunkterne mellem graferne for funktionerne y = a x og y = b. Vær opmærksom på at den eksponentielle grundligning a x = b har en løsning hvis b > 0 da V m f = R + = ]0; [. Se evt. eksponentialfunktioners egenskaber på side 49 i bog Sætning Ligningen a x = b, b > 0 har løsningen x = lnb lna 26

27 Bevis: a x = b Vi tager logaritmen på begge sider af lighedstegnet ln(a x ) = ln(b) Vi bruger logaritme- og potensreglerne x ln(a) = ln(b) x isoleres x = ln(b) ln(a) Nu skal du gennemregne eksempel 9.5.2, og inden du går videre. Prøv også at overveje, om du har en alternativ løsning til eksempel Øvelse Løs ligningerne a) 3 x = 1 9 b) 1,09 x = 2 c) e x = 7,389 d) 10 x = 3,162 Løsning: Vi bruger logaritme- og potensreglerne a) 3 x =

28 itme? log(3 x ) = log( 1 9 ) log(3) x = log(1) log(9) x log(3) = log(1) log(9) x = 0 log(9) log(3) = 2 Vær opmærksom på at log(1) = 0.Kan du løse ligningen vha. naturlig logar- b) 1,09 x = 2 ln(1,09) x = ln(2) x ln(1,09) = ln(2) x = ln(2) ln(1,09) = 8,04 Kan du også løse ligningen vha. 10 tals logaritme? c) e x = 7,389 Da ligningen en naturlig eksponential ligning, bruges automatisk den naturlige logaritme x = ln(7,389) ln(e) d) Facit x = 0.5 Lav selv! ln(e x ) = ln(7,389) x ln(e) = ln(7,389) = ln(7,389) 1 28 = ln(7,389) = 2

29 9.5.6 Øvelse Løs ligningerne a) 100 1,1 x = 1 b) 2 x 3 = 32 Løsning: a) 100 1,1 x = 1 1,1 x = log(1,1) x = log1 log100 b) x = x log(1,1) = 2 2 log(1,1) = 48,32 2 x 3 = 32 log(2) x 3 = 32 (x 3) log(2) = log(32) (x 3) = log(32) log(2) = 5 x 3 = 5 x = 8 29

30 9.6 Eksponentielle ligninger Først og fremmest skal du gennemregne og forstå eksemplerne 9.6.1, 9.6.2, og inden du går videre Øvelse Løs ligningerne a) 6 x+1 3 2x 1 = 5832 b) 3 1 2x 6 x 1 = 0.75 Løsning: a) Grundmængden er G = R 6 x+1 3 2x 1 = x x 3 1 = 5832 Ganges begge sider med tallet 3 6 x 6 3 2x = Divideres begge sider med tallet 6 6 x 3 2x = x 3 2x = x (3 2 ) x = 2916 (6 9) x = x =

31 Nu har vi en eksponential ligning som kan løses ved at bruge logaritme ln(54) x = ln(2916) Dvs. løsningsmængden bliver x ln(54) = ln(2916) x = ln(2916) ln(54) = 2 L = {2} Ligningen kan løses vha. GeoGebra s Nsolve (numerisk solve) kommando. Grafregnerens solve kommando kan også bruges på følgende måde: solve(6 x+1 3 2x 1 = 5832,x) som giver x = 2 b) Igen er grundmængden G = R 3 1 2x 6 x 1 = 0,75 Ganges begge sider med tallet x 6 x 6 1 = 0, x = 0, x 6 6 x 6 9 x = 1,5 ( 6 9 )x = 1,5 ( 2 3 )x = 1,5 31

32 Nu har vi en eksponential ligning ln( 2 3 )x = 1,5 Løsningsmængden bliver x ln( 2 3 ) = ln(1,5) x = ln(1,5) ln( 2 3 ) = 1 L = { 1} Prøv nu GeoGebra s Nsolve og/eller grafregnerens solve kommando til at kontrollere resultatet inden du går videre Øvelse Løs ligningerne a) 4 x x 24 = 0 b) 4 x 10 2 x 24 = 0 c) 4 x 3 2 x = 0 d) 4 x +3 2 x = 32 Løsning: a) Grundmængden G = R 4 x x 24 = 0 (2 x ) x 24 = 0 Maskeret andengradsligning. Vi sætter y = 2 x y y 24 = 0 y = 2 x 32

33 (y = 2 y = 12) (y = 2 x ) 2 x = 2 2 x = 12 2 x = 2 {/O} Løsningsmængden bliver L = {1} Løs ligningen vha. Geogebra og/eller Grafregner b) Grundmængden er G = R 4 x 10 2 x 24 = 0 (2 x ) x 24 = 0 maskeret andengradsligning, vi sætter y = 2 x (y 2 10y 24 = 0) (y = 2 x ) (y = 12 y = 2) (y = 2 x ) 2 x = 12 {/o} En eksponential ligning. Løses vha. logaritme ln(2 x ) = ln(12) x ln(2) = ln(12) x = ln(12) ln(2) = 3,58 33

34 Løsningsmængden bliver L = {3,58} c) Grafregnerens solve kommando solve(4 x 3 2 x = 0,x) giver følgende løsningsmængde: L = {2,3} Lad os løse ligningen: 4 x 3 2 x = 0 (2 x ) x = 0 (2 x ) x + 32 = 0 Maskeret andengradsligning. Vi sætter y = 2 x (y 2 12 y + 32 = 0) (y = 2 x ) (y = 4 y = 8) (y = 2 x ) 2 x = 4 2 x = 8 To eksponentielle ligninger som kan løses vha. logaritme 2 x = 4 2 x = 8 ln(2 x ) = ln(4) ln(2 x ) = ln(8) 34

35 Løsningsmængden bliver x ln(2) = ln(4) x ln(2) = ln(8) x = ln(4) ln(2) = 2 x = ln(8) ln(2) = 3 L = {2,3} d) GeoGebra s Nsolve giver en fejlmeddelelse som åbenbart betyder at ligningen ingen reelle løsninger har. Grafregneren giver false Prøv at løse ligningen for at se om den har en løsning Øvelse Løs ligningerne a) 2 x x = 5 b ) 2 x x = 5 Løsning: Grundmængderne er begge G = R a) 2 x x 5 = 0 2 x x 5 = 0 Ganges alle led med 2 x 4 (2 x ) x + 1 = 0 Maskeret andengradsligning. Vi sætter z = 2 x 35

36 (4 z 2 5 z + 1 = 0) (z = 2 x ) (z = 1 4 z = 1) (z = 2x ) (2 x = 1 4 2x = 1) To eksponentielle ligninger som løses vha. logaritme ln(2) x = ln( 1 4 ) ln(2)x = ln(1) x ln(2) = ln( 1 ) x ln(2) = ln(1) 4 ln( 1 x = 4 ) ln(2) GeoGebra s Nsolve giver b) = 2 x = ln(1) ln(2) = 0 {x = ln(4) ln(2), x = 0} 2 (x+2) + 2 ( x) + 5 = 0 2 x x + 5 = 0 Vi ganger begge sider af lighedstegnet med 2 x 4 (2 x ) x + 1 = 0 Maskeret andengrdsligning. Vi sætter z = 2 x (4 z z + 1 = 0) (z = 2 x ) 36

37 (z = 1 z = 1 4 ) (z = 2x ) 2 x = 1 2 x = 1 4 To eksponentielle ligninger uden reelle løsninger. Kan du se hvorfor? Logaritmen til et negativt tal eksisterer ikke da logaritmen kun definineret for positive værdier. Se evt. definitionsmængden på side 53 i Bog 2. Løsningsmængden bliver en tom mængde. L = /O 9.7 Grundligningerne ln(x)=b og log(x) = b At løse ligninger af typen ln(x) = b og log(x) = b, betyder at finde x-koordinaterne for skæringspunkterne mellem graferne y = ln(x), y = log(x) og y = b Sætning Ligningen ln(x) = b x > 0 og b R har løsningen x = e b Bevis: Læg mærke til at ln(x) og e x - og dermed log(x) og 10 x er hinandens inverse funktioner og de ophæver hinanden når de anvendes samtidig. 37

38 ln(x) = b e lnx = e b x = e b Sætning Ligningen log(x) = b x > 0 og b R har løsningen x = 10 b Bevis: log(x) = b 10 logx = 10 b x = 10 b videre. Nu skal du gennemregne eksemplerne 9.7.3, 9.7.4, og inden du går Øvelse Løs ligningerne a) log(x) = 6 b ln(x) = 1 2 c) 3 log8x) = 6 d) 1 2 ln(x) = 1 e) log(x + 3) = 2 e) ln(2x e) = 2 38

39 Løsning: Vi husker at finde ligningernes grundmængder inden vi finder løsningsmængderne. a) log(x) = 6 Grundmængden G = R + =]0; [ Løsningsmængden 10 log(x) = 10 6 x = 10 6 Vi prøver at bruge GeoGebra s Solve kommando Solve[lg(x) = 6] som giver {x = } Du kan også bruge grafregneres solve kommando på følgende måde: Solve(log(x) = 6, x) b) ln(x) = 1 2 Grundmængden G = R + =]0; [ 39

40 Løsningsmængden e ln(x) = e 1 2 x = e 0,5 = 1,6487 Vi prøver GeoGebra s Solve kommando Solve[ln(x) = 1 2 ] som giver {x = e = 1,6487} Læg mærke til forskellen mellem kommandoerne for de to logaritmer i GeoGebra lg(x) er 10 tals logaritme ln(x) er naturlig logaritme c) 3 log(x) = 6 Grundmængden G = R + =]0; [ Løsningsmængden log(x) = 2 10 log(x) = 10 2 x =

41 GeoGebra s Solve kommando giver d) Solve[3 lg(x) 6] som giver {x = } 1 2 ln(x) = 1 ln(x) = 2 Grundmængden G = R + =]0; [ Løsningsmængden e ln(x) = e 2 x = e 2 Solve[ln(x) = 2] giver {x = e 2 } e) log(x + 3) = 2 Grundmængden x + 3 > 0 log(x + 3) = 2 (x + 3) > 0 (10 (x+3) = 2) (x > 3) 41

42 (x + 3 = 100) (x > 3) (x = 97 x > 3) Løsningsmængden L = {97} f) ln(2x e) = 2 (ln(2x e) = 2) (2x e > 0) e ln(2x e) = 2 2x > e 2x e = e 2 x > e 2 e 2 + e 2x = 0 x > e 2 x = e(e + 1) 2 x > e 2 Løsningsmængden L = { e(e + 1) } 2 Nu prøver du Solve kommandoen i GeoGebra/grafregner, inden du går videre. 42

43 9.7.8 Øvelse Løs ligningerne a) log(3x + 4) = 0,69 b) ln( x + 2) = 0,03 c) log(1 2x) = 6 d) ln( 1 x) = ln(2) 2 Løsning: Vi løser dem ved at finde både grundmængden og løsningsmængden a) log(3x + 4) = 0,69 3x + 4 > 0 3x > 4 x > 4 3 Grundmænden bliver G =] 4 3 ; [ (log(3x + 4) = 0,69) (3x + 4 > 0) (10 log(3x+4) = 10 ( 0,69) ) (x > 4 3 ) (3x + 4 = 10 0,69 x > 4 3 ) (x = 1,2652 x > 4 3 ) L = { 1,2652} Kontrolleres med solve kommandoen 43

44 Solve[lg(3x + 4) = 0,69] b) ln( x + 2) = 0,03 x > 0 x 0 Grundmængden bliver G = [0; [ (e ln( x+2) = e 0,03 x + 2 > 0) x + 2 = e 0,03 x > 2) x = 0,97 x > 2 /O x > 2 Man kan ikke indsætte minustal ind i kvadratroden! Fællesmængden er løsningsmængden L = /O c) log(1 2x) = 6 (1 2x) > 0 1 > 2x x < 1 2 Grundmængden bliver: 44

45 G =] ; 1 2 [ 10 log(1 2x) = 10 6 (1 2x = x > 0) (x = 0,498 x < 0,5) L = {0,498} d) ln( 1 x) = ln(2) 2 Grundmængden G =]0; [ (e ln(0,5x) = e ln(2) 0,5x > 0) 0,5x = 2 x > 0) x = 4 x > 0 Løsningmæsngden L = {4} Solve[ln(0, 5x) = ln(2)] giver {x = 4} 9.8 Logaritmiske ligninger Prøv at genopfriske reglerne for logaritmer og gennemregn eksemplerne 9.8.1, 9.8.2, og

46 9.8.5 Øvelse Løs ligningerne a) (lnx) 2 2lnx = 0 b) 2log 2 x 3logx = 0 c) log 2 x + logx 2 = 8 d) ln 2 x + 21 lnx 46 = 0 Løsning: Vi finder løsningsmængden vha. logartimereglerne og derefter bruger vi Solve kommandoen til at kontrollere de fundne resultater. a) (lnx) 2 2lnx = 0 Grundmængden G =]0; [ Vi erstatter y = ln(x) y 2 2 y = 0 y(y 2) = 0 Her bruger vi nulreglen y = 0 y = 2 ln(x) = 0 ln(x) = 2 e lnx = e 0 e lnx = e 2 46

47 x = e 0 = 1 x = e 2 Løsningsmængden L = {1,e 2 } Solve[(ln(x)) 2 2 ln(x) = 0] giver {x = e 2,x = 1} b) 2log 2 x 3logx = 0 Grundmængden G =]0; [ Indsættes y = log(x) 2 y 2 3 y = 0 y = 0 y = 3 2 logx = 0 logx = 1,5 10 logx = logx = 10 1,5 x = 1 x = 10 1,5 = 31,62 Løsningsmængden L = {1;31,62} Solve[2 lg(x) 2 3 lg(x) = 0] giver {x = 10 10,x = 1} 47

48 c) log 2 x + logx 2 = 8 Grundmængden G =]0; [ log 2 x = logx 2 = y 2 2y 2 8 = 0 y = 2 y = 2 log(x) = 2 log(x) = 2 10 logx = logx = 10 2 x = 10 2 x = 100 Løsningsmængden L = {10 2,100} Solve[2 lg(x) 2 8] giver {x = 1,x = 100} 100 d) ln 2 x + 21lnx 46 = 0 Grundmængden G =]0; [ 48

49 y = ln(x) indsættes y y 46 = 0 Andengradsligningen kan løses Solve[y y 46] giver {y = 2,y = 23} ln(x) = 2 ln(x) = 23 e lnx = e 2 e lnx = e 23 x = e 2 x = e 23 Løsningsmængden L = {e 2,e 23 } Solve[ln(x) ln(x) 46] giver {x = e 2,x = 1 e 23 } Øvelse I skal lave denne øvelse! Husk grundmængden og kontrol med Solve kommanden! Facit er bag ved i bogen. 49