Hopf-Rinow s sætning og Bonnet s sætning The Hopf-Rinow Theorem and Bonnet s Theorem

Transkript

1 E T N A T U R V I E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt i matematik Søren Frejstrup Grav Petersen Hopf-Rinow s sætning og Bonnet s sætning The Hopf-Rinow Theorem and Bonnet s Theorem Vejleder: Henrik Schlichtkrull 4. Januar

2

3 ette værk er et bachelorprojekt skrevet af Søren Frejstrup Grav Petersen under vejledning af Henrik Schlichtkrull, Institut For Matematisk Fag, et Naturvidenskabelig Fakultet, Københavns Universitet, anmark. okumentet, herunder layout og typografi er trykt ved hjælp af L A TEX ε i dokumentklassen article. Brøeksten er trykt med Computer Modern pt med margin på.8in. Layout og typografi er fremstillet af forfatteren ved hjælp af følgende L A TEX ε pakker: amsfonts, amsmath, amssymb, amsfonts, amsthm, ulem, inputenc, fontenc, nicefrac, latexsym, graphs, lastpage, enumerate, wrapfig, float, tocloft, geometry, fancyhdr. Forside layout er lavet med pakken ku-forside fremstillet af Christian Hans Aastrup med brug af Københavns Universitets logo som tilla af Københavns Universitet. Alle figurer benyttet i dokumentet er originale, og er konstrueret med open source programmet INKSCAPE samt Maple 4 c. Ved spørgsmål eller anden henvendelse, kan forfatteren kontaktes på sorenfgp@gmail.com.

4 Abstract The field of geometry has always been one of the main approaches to mathematics, and many mathematical problems originate from this field. Although, the modern geometry does not just consists of one single unity, but embraces a very large field, which has been influenced by all the other fields of mathematics. As the modern calculus was invented, with all its new aspects of differentiability, integrability, and infinity, so was a new era created introducing the analytical part of geometry, later known as differential geometry. In the field of differential geometry the study of surfaces as a subset of R 3, is one of the most important parts. To clarify the properties of a surface, here often constrained to a regular surface, one can approach the surface from an intrinsic manner. This method involves the study of geodesics as curves on a surface with no intrinsic curvature, the Gaussian curvature, and the tangential components of this surface. In this article we will primarily focus on two major theorems in differential geometry, namely the joint theorem of Hopf-Rinow, stating that in a complete connected surface it is possible to connect two arbitrary points by a geodesic, and the theorem of Bonnet, which bounds the diameter of any given surface, if the Gaussian curvature of that surface is strictly positive and has an explicit lower bound. These two theorems depend closely on one another, as we will observe later. To achieve this in a well fashioned manner we will firstly cover the necessary basic theory of this field, including the need to introduce the exponential mapping as well as the polar coordinates, and from this continue to prove the Hopf-Rinow theorem from a list of preceeding theorems. From this result we can now achieve some very important corollaries, which in addition to two other fields in differential geometry (namely the study of variations and that of vector fields, gives us the required knowledge necessary to prove Bonnet s theorem from the concept of contradiction. We will use the theory involving the study of variations to construct a specific arc length function, which, when used on geodesics, will provide us with an important fact we can later use in the proof of Bonnet s theorem to obtain our required contradiction.

5 Indhold Indledning Baggrundsdefinitioner Eksponentialafbildningen Polære koordinater Optakt til Hopf-Rinow s sætning Hopf-Rinow s sætning Vigtige konsekvenser af Hopf-Rinow s sætning Indledning til variationsregning en kovariante aflee Optakt til Bonnet s sætning Bonnet s sætning Referencer

6 5 Indledning Indledning Geometrien har historisk set altid været en af de letteste og mest direkte tilgange til matematikken. Allerede de gamle grækere benyttede sig af avancerede geometriske argumenter indenfor bevisførelse. Nogle af dem mente endda at al matematik måtte have en geometrisk tilgang. Siden da har matematikken, såvel som geometrien, udviklet sig enormt! Sammen med udviklingen af den moderne analyse med begreber som differentiabilitet, integrabilitet og uendelighed, er der opstået nye områder indenfor geometrien. Heriblan findes differentialgeometrien, som dette værk vil koncentrere sig om. Inden for almindelig funktionsanalyse i to dimensioner, er det naturligt at kigge på differentiable funktioner og deres aflee, og herudfra funktionernes tangentielle egenskaber. enne analytiske metode kan imidlertid udvides til tre dimensioner med begreber som glatte kurver, regulære flader, tangentplaner og krumninger. I differentialgeometrien er studiet af flader i R 3, her især regulære flader, et af de hovedområder, som meget teori indenfor dette område er skabt ud fra. et tilstræbes ofte i studiet af regulære flader, at beskrive disse ved hjælp af deres indre egenskaber, som er defineret til at være de egenskaber, der er invariante under implementeringen i rummet. enne form for beskrivelse giver en yderst brugbar generalitet, som blan andet åbner op for nemmere overførsel af teorier i tre dimensioner til dimensioner af højere grad. esuden gør dette det også nemt at forbinde differentialgeometrien til andre områder indenfor den generelle matematik. I dette værk, vil vi koncentrere os om to hovedsætninger inden for differentialgeometrien - Hopf-Rinow s sætning og Bonnet s sætning. Hopf-Rinow s sætning udsiger, at på en regulær fuldstændig flade er det muligt at forbinde to vilkårlige punkter med en minimal geodætisk kurve, hvilket gør det muligt at indføre et veldefineret afstandsmål på vilkårlige flader, der opfylder disse krav. enne sætning giver nu, sammen med dets korollarer, vital viden, som vi kan benytte os af i beviset for Bonnet s sætning. Før vi beviser Hopf-Rinow s sætning, har vi først og fremmest brug for at definere en række grundbegreber. Ud fra disse kan vi definere eksponentialafbildningen, som skaber en basal forbindelse mellem tangentplanet til et givet punkt på en flade og fladen selv. Ved hjælp af denne afbildning kan enhver regulær flade koordinatlægges ud fra de sædvanlige polære koordinater, som kan defineres på tangentplanet. Til sidst før vi når frem til Hopf-Rinow s sætning, har vi nu brug for en række hjælpesætninger, som vi kan vise ved hjælp af eksponentialafbildningen og de polære koordinater. Vi vil herfra nu bevæge os ind på området kaldet variationsregning, som omhandler beregninger omkring variationer af kurver. En variation af en kurve kan vi forstå, som lette udsving af denne kurve fra dens oprindelige spor. Udover dette er der ligeledes behov for, ud fra området omkring vektorfelter, at definere begrebet den kovariante aflee, idet denne vil gøre de følgende beregninger meget nemmere og langt mere elegante. isse to områder tilsammen giver os nu, at vi ud fra en familie af variationer over en kurve, kan definere en buelængdefunktion, som afgør længden af en given kurve i familien af variationer. ette gør os i stand til at afklare, hvorledes variationerne inde omkring den oprindelige kurve opfører sig, og ud fra dette konkludere en række resultater, som vi kan benytte i beviset for Bonnet s sætning. Alt i alt giver dette os, sammen med korollarer af Hopf-Rinow s sætning, at vi nu kan vise Bonnet s sætning, som siger, at såfremt Gausskrumningen af en given flade har en eksplicit nedre grænse, da vil diameteren af denne flade være opail begrænset af en sammenhæng mellem denne grænse og konstanten π.

7 Baggrundsdefinitioner 6 Bemærkninger Af hensyn til fremtidig overskuelighed vil vi her indføre en række notationer: A B vil fremover betyde, at A er en ægte delmængde af B. Skrives A B betyder det, at A er indehol i B. vil vi benytte til at betegne krydsproduktet af to vektorer defineret som i H.S. efinition.3.. Vi vil dog også benytte samme notation til at betegne produktmængder, når der er tale om mængder i stedet for vektorer., vil vi benytte til at betegne det sædvanlige indre produkt på vektorer i R 3. Bd( vil vi benytte til at betegne randen af. l, hvor er en kurve, vil vi benytte til at betegne længden af denne kurve. Baggrundsdefinitioner Vi har til at begynde med behov for en række baggrundsdefinitioner, som danner grundlag for resten af teorien i dette værk. Af disse er definitionen af en regulær flade den mest grundlæggende, hvorpå det er naturligt at begynde med denne. Vi vil med begrebet en regulær flade i rummet betragte de flader i R 3, som ikke skærer sig selv og ikke har nogen spidse punkter eller kanter. isse begrænsninger gør, at det er muligt i ethvert punkt på en regulær flade at bestemme et entydigt tangentplan til fladen selv. ette tangentplan, som vi i princippet kan betragte som en slags afle plan af fladen, skaber grundlaget for, at vi kan overføre den sædvanlige analyse til 3 dimensioner. Vil vi nu derfor formelt definere, hvad vi matematisk forstår ved en regulær flade: efinition.. En delmængde S R 3 kaldes for en regulær flade (se figur, hvis der til ethvert punkt p S findes en omegn V R 3 omkring p og en afbildning x : U V S med U R og V S R 3, som opfylder følgende kriterier: i x er differentiabel, som vi i denne forstand vil forstå sådan, at hvis vi skriver x(u, v : (x(u, v, y(u, v, z(u, v, da har de tre funktioner x,y og z partielle afledede af alle ordner. ii x er en homeomorfi, hvilket betyder at x har en kontinuert invers x : V S U. iii For ethvert q U er differentialet x q : R R 3 bijektivt.

8 7 Baggrundsdefinitioner y U x x z V p S x - y x Figur : En regulær flade. Vi kalder da V S for et koordinatområde af p. Bemærkning: Hvis ikke andet nævnt vil S fremover i dette værk betegne en regulær flade, altså en flade givet ved ovenstående. efinition.. Lad S være givet, og lad endvidere to punkter p, q S være givet. Ud fra disse punkter kan vi nu konstruere et afstandsmål d(p, q, defineret ved følgende: d(p, q inf L p,q Hvor L p,q er mængden bestående af alle længder af alle stykvise differentiable kurver indehol i S mellem p og q. Sætning.3. Ovenstående afstandsmål d er en metrik. ette betyder, at d opfylder følgende for vilkårlige punkter p, q, s S:. d(p, q d(q, p. d(p, s d(p, q + d(q, s 3. d(p, q 4. d(p, q p q Bevis.. Lad γ : [a, b] S være en stykvis differentiabel kurve, som opfylder at γ(a p og γ(b q. ette giver anledning til en ny omven kurve ˆγ : [a, b] S defineret ved ˆγ(t γ(a t + b. et er nu klart, at ˆγ(a γ(b q og ˆγ(b γ(a p, hvorpå altså ˆγ bevæger sig fra q til p ad samme vej som γ. et er derfor klart, at d(p, q d(q, p, idet længderne af disse to kurver γ og ˆγ nødvendigvis må være ens.. et ses ud fra definitionen af d, at der kan defineres d(p, s inf L p,s, d(p, q inf L p,q og d(q, s inf L q,s, hvor L p,s, L p,q og L q,s er mængderne bestående af længder som i definitionen. er vil nu gælde, at L p,s L p,q L q,s, idet enhver kurve i foreningsmængden af L p,q og L q,s kan passes ind med en tilsvarende kurve i L p,s der går igennem punktet p. ette giver, at inf L p,s inf(l p,s L p,q inf L p,s + inf L p,q, som ønsket. 3. enne følger af definitionen, idet d er defineret som et infimum af en mængde bestående af længder, som specielt er ikke-negative.

9 Baggrundsdefinitioner 8 4. Antag først at d(p, q, og antag herefter for modstrid at p q. er findes nu et område V omkring p som ikke indeholder q. I dette område er det nu muligt at konstruere kuglen K(p, r med centrum i p og radius r >, således at K(p, r V. et er derfor klart, at q / K(p, r. Konstrueres nu kurven γ : [a, b] S således, at γ(a p og γ(b q, da vil der eksistere et t [a, b] således at γ(t Bd(K(p, r, hvorpå l γ([a,b] > r. Ud fra definitionen af d og antagelsen om at d(p, q er det endvidere klart, at l γ([a,b] kan gøres mindre en enhver vilkårlig værdi, specielt kan vi derfor vælge ε, så < ε < r som denne værdi. Vi har derfor, at l γ([a,b] < ε < r < l γ([a,b], hvilket er en modstrid, hvorpå altså p q. Omven er d(p, q hvis p q, idet vil indgå i mængden af alle længderne af kurverne i dette tilfælde, da en af kurverne mellem disse to punkter kan betrages som et af punkterne selv og derfor har længden. efinition.4. Sætning.3 giver nu, at vi kan betragte (S, d som et metrisk rum. ette giver nu anledning til, at vi kan snakke om diameteren af S, som vi kan definere ved følgende: (S sup d(p, q. p,q S Eksempel.5. Betragtes f.eks. enhedskuglen i R 3, vil denne have diameter π, idet den maksimale afstand mellem to punkter højst kan være halvdelen af længden af den storcirkel der går igennem de to punkter, hvilket er π (se figur. p q π Figur : Enhedskuglen i R 3. Korollar.6. Lad p, q, s S. a gælder, at d(s, p d(s, q d(p, q eller med andre ord, at d(p, q d(s, p d(s, q d(p, q. Bevis. et ses udfra Sætning.3, at der gælder, at d(s, q d(s, p + d(p, q, d(s, p d(p, q + d(s, q. ette giver, at d(p, q d(s, p d(s, q d(p, q, som ønsket. efinition.7. En kurve γ : I S på en flade S kaldes for geodætisk såfremt kurvens geodætiske krumning K g defineret som i H.S. efinition 4.8 er identisk. efinition.8. Lad S R 3 være givet. a kaldes S fuldstændig, hvis der for ethvert p S, gælder for enhver geodætisk kurve γ : [a, b] S med γ(a p, at γ kan udvides til en ny geodætisk kurve ˆγ : R S, som altså er defineret på hele R.

10 9 3 Eksponentialafbildningen I denne forstand er et vilkårligt halvplan ikke fuldstændigt, idet enhver geodætisk kurve som ikke er parallel med randen af halvplanet, ikke vil kunne forlænges vilkårligt uden på et tidspunkt at skære randen. Modsat er enhver kugleoverflade fuldstændig, idet en geodætisk kurve på en sådan, vil være en delmængde af en storcirkel. En vilkårlig udvidelse af denne geodætiske kurve vil da stadig være en delmængde af selvsamme storcirkel, hvorpå efinition.8 er opfyl. efinition.9. Vi vil nu indføre følgende notation vedrørende regulære kurver i R 3. En parametriseret regulær kurve α : [a, b] S, med [a, b] R, vil vi opfatte, som restriktionen af en anden differentiabel afbildning defineret fra (a ε, b+ε for ε > til S. I denne forstand er α altså også differentiabel i endepunkterne a og b. Endvidere vil vi for p, q S, såfremt α(a p og α(b q sige, at α er en kurve, der forbinder p og q. ette var de nødvendige baggrundsdefinitioner. Vi vil nu definere eksponentialafbildningen, som kan opfattes som en foldning af tangentplanet i et givet punkt på en regulær flade ned over selv samme flade, hvorpå vi således får en korrespondance mellem tangentplan og flade. ette gøres ved følgende: 3 Eksponentialafbildningen For at definere eksponentialafbildningen har vi først behov for følgende sætning: Sætning 3.. Givet et punkt p på S og en vektor v T p (S, v, hvor T p (S er tangentrummet til S med centrum i p, da findes et ε > og en entydigt bestemt parametriseret geodætisk kurve γ : ( ε, ε S (op til et skift af konstant hastighed således, at γ( p og γ ( v. Med andre ord findes der for hver retningsvektor i tangentrummet en entydigt bestemt geodætisk kurve med denne retning i planet. Beviset for dette kræver et resultat om entydighed af ordinære differentialligninger, og vil af hensyn til overskuelighed udelades her. Vi kan nu benytte ovenstående sætning til følgende: efinition 3.. Lad p S være givet. Ud fra Sætning 3. giver det nu mening at definere enhver geodætisk kurve γ, der går igennem p ud fra dens retningsvektor i tangentrummet. ette gøres med notationen γ(t γ(t, v med v T p (S, hvor v er tangentvektoren. Lad nu v T p (S, v således, at γ( v, v v er defineret. a kan vi nu definere en afbildning, som vi kalder ekspontialafbildningen, til at være givet ved exp p (v γ(, v for v og exp p ( p (Se figur 3. Geometrisk set svarer ekspontialafbildningen af en vektor i tangentplanet til at lægge en linie af samme længde og samme retning, som denne vektor har på den dertilhørende flade. efinér endvidere B δ (p til at være det indre af cirklen i tangentrummet med radius δ > og centrum i i T p (S, hvorpå det ses ud fra figur 3, hvorledes billedet exp p (B δ (p vil se ud (det grå område.

11 3 Eksponentialafbildningen T p (S v p δ B (p δ exp(b δ (p exp(v S Figur 3: Ekspontial afbildningen på S. Vi vil nu komme ind på nogle vigtige resultater om eksponentialafbildningen, hvor vi derfor har brug for følgende lemmaer: Lemma 3.3. Lad p S, lad γ være en geodætisk kurve på fladen S og lad v T p (S. Hvis γ(t, v er defineret for t ( ε, ε, da er γ(t, λv med λ R, λ den geodætiske kurve defineret for t ( ε /λ, ε /λ og endvidere er γ(t, λv γ(λt, v. Bevis. efinér kurven α : ( ε /λ, ε /λ S ved α(t γ(λt, v. Nu er α( γ(, v og α ( λγ (, v λv. enne er klart en omparametrisering af kurven γ, hvorpå HS. 4.8 giver, at α igen er en geodætisk kurve. Idet α(t har samme retning i som γ(t, λv, samme udgangspunkt i, og de begge er geodætiske kurver, giver Sætning 3. ud fra entydighed at γ(λt, v α(t γ(t, λv. Lemma 3.4. Givet p S findes der en differentiabel afbildning γ : ( ε, ε B ε (p S, med ε >, ε >, således at for t ( ε, ε og for v B ε (p, v, da er γ(t, v den geodætiske kurve med egenskaberne γ(, v p og γ (, v v og for v er γ(t, p. Beviset for dette kræver ligesom i Sætning 3. også et resultat om entydighed af ordinære differentialligninger, og vil derfor udelades. Ved henvendelse af ovenstående lemmaer, kan vi nu komme frem til følgende resultater om eksponentialafbildningen: Sætning 3.5. Givet p S, findes et ε >, således at exp p er defineret og differentiabel i B ε (p T p (S. Bevis. Lad γ(t, v med γ : ( ε, ε B ε (p S være en geodætisk kurve som givet i Lemma 3.4. et ses først, at det er klart at med et bestemt valg af λ R, at det er muligt ud fra Lemma 3.3, at udvide definitionsintervallet af γ så det indeholder, hvoraf exp p (v γ(, v er defineret. Idet γ(t, v er defineret for ε < t < ε og v < ε, og at vi kan sætte λ ε i Lemma 3.3, kan vi opnå, at γ(t, ε v er defineret for < t < og v < ε. Ved nu at definere ε < ε ε,

12 4 Polære koordinater ε >, har vi altså at γ(, w er defineret for alle w B ε (p. Idet γ endvidere er differentiabel og γ(, w exp p (w, har vi opnået det ønskede. Sætning 3.6. Lad p S. a er exp p : U S en diffeomorfi i et område U B ε (p T p (S med ε > og billedet exp p (U er da åbent i R 3. Bevis. Vi ønsker til dette bevis at benytte H.S. Theorem.. enne udsiger, at idet exp p : B ε (p S R 3 er glat, og B ε (p er åben i T p (S, da gælder, at hvis d(exp p er nonsingulær i, da findes en åben mængde U B ε (p, som indeholder T p (S, og endvidere findes en anden åben mængde V R 3, som indeholder p så V exp p (U, og således at exp p er en diffeomorfi fra U til V. Vi mangler altså nu blot at vise, at d(exp p er nonsingulær i. et ses først, at d(exp p er defineret på mængden T (T p (S, hvor er nulvektoren i T p (S. Vi kan nu identificere denne mængde med T p (S, idet disse mængder er ens. Lad derfor en vektor v T p (S være givet, og betragt ud fra denne kurven α(t tv, hvorpå det er klart at α( og α ( v. Betragt nu kurven (exp p α(t exp p (tv. et ses nu per definition, at med γ valgt som i efinition 3., at exp p (tv γ(, tv γ(t, v, hvor sidste lighed gælder iflg. Lemma 3.3. Nu er tangentvektoren til denne kurve givet ved d(exp p (v d (exp p(tv d t t (γ(t, v γ (, v ( v, hvor ( gælder iflg. Lemma 3.4. ette giver altså nu, at d(exp p er den identiske afbildning i T p (S, hvorpå den specielt er nonsingulær. Vi kan nu benytte eksponentialafbildningen til at opnå et resultat om metrikken indført i efinition.3. Sætning 3.7. Lad d R 3 betegne den sædvanlige R 3 -metrik. a er d og d R 3 ækvivalente metrikker på S. Bevis. For at vise, at de to metrikker er ækvivalente på S, skal det vises, at for ethvert p S, da vil enhver mængde på formen Kδ R3 (p : {p S d R 3(p, p < δ } indeholde en mængde på formen K δ (p : {p S d(p, p < δ } for δ, δ > og omven. et er trivielt, at K δ (p indeholder en mængde af typen K R3 δ (p, da vi blot kan vælge δ δ, idet d R 3(x, y d(x, y for alle x, y S. Lad nu K R3 δ (p være givet, og lad ud fra dette exp p være en diffeomorfi i B δ (p med δ < δ, som kan gøres ud fra Sætning 3.6, hvorpå der gælder at exp p (B δ (p K R3 δ (p. er gælder nu yderligere ud fra Sætning 3.6 at exp p (B δ (p er åben i R 3, hvorpå der eksisterer et δ < δ, δ > så K δ (p exp p (B δ (p, hvoraf altså K δ (p K R3 δ (p som ønsket. er ækvi- Bemærkning: et er nu et velken resultat indenfor topologien, at idet d og d R 3 valente metrikker på S, da er d kontinuert på S mht. d R 3. 4 Polære koordinater Mange resultater indenfor geometri i dimensioner vedrører ofte relative koordinater, da disse giver en entydig forståelse af, hvordan geometrien fungerer. For at videreføre dette til 3 dimensioner, vil vi i det følgende indføre det polære koordinatsystem på regulære flader.

13 4 Polære koordinater efinition 4.. Idet tangentrummet T p (S i et punkt p kan betragtes på samme måde som en tilsvarende delmængde af R, er det muligt at indføre det sædvanlige polære koordinatsystem (ρ, θ på tangentrummet, hvor ρ R er den polære afstand og θ R er den polære vinkel. For at gøre dette vil vi begynde med at vælge en ortonormalbasis {e, e } for T p (S. Ud fra denne basis kan vi definere en afbildning τ : R R T p (S ved τ(ρ, θ ρ cos(θe + ρ sin(θe, som altså kan betragtes som det polære koordinatsystem på T p (S (se figur 4. T p (S e ρ θ θ ρ e Figur 4: en polære koordinatafbildning på tangentplanet. Vi ønsker nu at overføre det polære koordinatsystem fra tangentplanet til selve fladen. Lad derfor W T p (S være et område omkring p således at exp p er en diffeomorfi i W og lad exp p (W V S. Vi kalder i dette tilfælde V for et normalt område omkring p. Nu er exp p : W V en diffeomorfi, og ud fra dette kan punkterne i V beskrives ud fra ρ og θ. Vælg nu R R sådan, at τ er defineret på ( R, R R U og således at τ(u indehol i W. Vi kan derfor betragte afbildningen σ : U S givet ved σ exp p τ U. enne afbildning vil vi fremover betegne som den geodætiske polære afbildning. Vi vil nu ud fra denne afbildning kalde billedet af kurven ρ σ(ρ, θ for en radial geodætisk kurve, og billedet af kurven θ σ(ρ, θ for en geodætisk cirkel. Lad nu en parametriseret glat kurve α : I V S, hvor V er som før, være givet således, at α er en kurve i σ(u, som opfylder, at α ikke krydser p i andre punkter end endepunkterne, og lad herefter kurven ˆα i tangentplanet være givet ved ˆα exp p (α, altså kurven der i tangentplanet svarer til α. Vi ønsker nu at bestemme ρ og θ således, at de er glatte funktioner, hvorpå det vil være muligt at parametrisere α i V ud fra σ. et ses først at vi kan vælge ρ(t dist(, ˆα(t, hvor dist er den sædvanlige euklidiske afstand med hensyn til basen for T p (S, hvorpå det er klart at ρ kan vælges glat, idet antagelsen om at α ikke krydser p medfører at ˆα ikke krydser, hvorpå dist(, ˆα(t er differentiabel. et eneste problem der nu er tilbage, er at bestemme, hvorledes vi skal vælge θ glat, idet denne kun er defineret kontinuert i intervaller af længde π. For at gøre dette vil vi bestemme en differentiabel funktion ϕ, som afgør vinklen θ i tangentplanet til et givet punkt p S. Vi vil derfor betragte rummet bestående af vektorer, benævnt w(t, fra origo til punkterne ˆα(t ˆα(t for alle t I i tangentplanet pånær endepunkterne. et ses, at disse er veldefinerede, idet α jo var antaget til ikke at krydse p, hvorpå ˆα(t aldrig vil være. Endvidere vil alle disse vektorer have en entydigt bestemt vinkel i forhold til basen {e, e }. Vi kan nu ud fra denne base skrive w(t a(te + b(te, hvor a og b er differentiable funktioner. er vil ud fra dette gælde, at w(t a + b. et kan nu vises, at der ud fra et givet punkt t I og herved en bestemt vinkel z defineret ud fra w(t, kan bestemmes en differentiabel funktion ϕ, der afgør vinklen til vektoren w(t

14 3 4 Polære koordinater for alle t I, altså en funktion hvoraf funktionerne a og b kan udledes af. ette gøres ved følgende lemma: Lemma 4.. Lad t I være givet, lad z være den givne vinkel mellem de to vektorer w(t og w(t og lad a og b være differentiable funktioner på I givet ved a(t cos(z, b(t sin(z, som klart opfylder at a + b. efinér nu den differentiable funktion ϕ : I R ved følgende: t ϕ(t z + (ab ba t enne funktion opfylder, at ϕ(t z, samt at cos(ϕ(t a(t og sin(ϕ(t b(t for alle t I. Bevis. Vi ønsker at vise, at funktionerne a cos(ϕ og b sin(ϕ er identiske, eller ækvivalent at (a cos(ϕ + (b sin(ϕ er identisk. et ses, at (a cos(ϕ + (b sin(ϕ a + cos (ϕ a cos(ϕ + b + sin (ϕ b sin(ϕ (a cos(ϕ + b sin(ϕ ette giver derfor, at det blot er nødvendigt at vise, at a cos(ϕ + b sin(ϕ. et ses nu ud fra differentiation af urykket a + b, at aa bb. Endvidere ses, at der gælder følgende: Samt at: a(ab ba b a baa b a + b b b (a + b b(ab ba b ba a b a a a b a (a + b Hvorpå der ses, ud fra definitionen af ϕ, at ϕ ab ba, som giver, at der gælder: (a cos(ϕ + b sin(ϕ a cos(ϕ a sin(ϕϕ + b sin(ϕ + b cos(ϕϕ a cos(ϕ a sin(ϕ(ab ba + b sin(ϕ + b cos(ϕ(ab ba a cos(ϕ b sin(ϕ(a + b + b sin(ϕ a cos(ϕ(a + b a cos(ϕ b sin(ϕ + b sin(ϕ a cos(ϕ ette giver altså, at a cos(ϕ + b sin(ϕ er en konstant funktion, og idet a(t cos(ϕ(t + b(t sin(ϕ(t cos (ϕ(t + sin (ϕ(t er a cos(ϕ + b sin(ϕ, som skulle vises. et kan altså nu lade sig gøre at skrive w(t cos(ϕ(te + sin(ϕ(te med ϕ defineret som ovenfor. enne funktion er klart glat idet ϕ er glat, hvorpå vi har en entydig vinkel ϕ(t ud fra hver vektor w(t. Vi kan nu betragte vinklen θ til et givet punkt på ˆα(t, som denne entydigt bestemte vinkel, hvorpå det er muligt at definere θ(t : ϕ(t som en glat funktion. ette leder os hermed frem til følgende resultat:

15 4 Polære koordinater 4 Sætning 4.3. Enhver glat kurve (parametriseret ved α : I S med I R på S\{p} kan ud fra et givet punkt p S beskrives i et område W omkring p, hvor exp p er en diffeomorfi, ud fra σ, således at α(t σ(ρ(t, θ(t med glatte funktioner ρ og θ for t I. ette resultat giver nu anledning til, at vi kan beregne koefficienterne til den første fundamentalform for en flade, hvorpå vi har defineret den geodætisk polære afbildning. ette giver os uvurderlig hjælp fremover til beregninger vedrørende det polære koordinatsystem. For at gøre dette, har vi dog først behov for følgende lemma: Lemma 4.4. Lad σ : U V S være den geodætiske polære afbildning på fladen S med origo i p S, og lad θ R være givet. a er E og E θ F ρ i alle punkter på kurven ρ σ(ρ, θ. Bevis. Idet kurven ρ σ(ρ, θ har konstant fart, gælder der, at den endvidere har enhedsfart, idet vi kan betragte den som kurven t exp p (tv, hvor v cos(θ e + sin(θ e ud fra definitionen af σ. et ses ud fra dette og beregningerne i Sætning 3.6, at d (exp p(tv v, t hvorpå altså ρ σ(ρ, θ har enhedsfart. et er nu klart, at E idet E er en beskrivelse af længden af tangentvektoren til givet punkt på kurven ρ σ(ρ, θ. en anden aflee af kurven ρ σ(ρ, θ kan ses at være lig σ, hvor σ repræsenterer den dobbelt afledede af urykket σ(ρ, θ med hensyn til ρ. ette giver ud fra H.S. Theorem 4., idet kurven ρ σ(ρ, θ er geodætisk pr. antagelse og har konstant hastighed, at σ er normal til tangentrummet til fladen S i alle punkter på kurven ρ σ(ρ, θ, hvorpå altså specielt σ σ i disse punkter, hvor σ er urykket σ(ρ, θ differentieret én gang med hensyn til θ. Ud fra H.S Lemma 6.3, er dette ækvivalent med urykket hvor ( g g g g dg dρ dg dθ, ( E F F G som jo dermed er det samme som F ρ E θ eller ved omflytning til den anden side af lighedstegnet E θ F ρ, som ønsket., Sætning 4.5. Lad σ : U V S være den geodætiske polære afbildning på fladen S. a gælder, at koefficienterne af den første fundamentalform til σ er givet ved E(ρ, θ, F (ρ, θ. Bevis. Lad θ R være givet som en vinkel i det geodætiske polære koordinatsystem. Vi kan nu benytte Lemma 4.4, som giver os, at E(ρ, θ, samt at E θ (ρ, θ F ρ(ρ, θ i alle punkter på kurven ρ σ(ρ, θ. Idet θ er valgt vilkårligt, vil dette altså gælde i alle punkter af σ på S, hvorved E(ρ, θ og E θ (ρ, θ F ρ(ρ, θ. Ud fra at E(ρ, θ, kan vi nu konkludere, at E θ (ρ, θ, hvorpå F ρ(ρ, θ. Heraf gælder der nu, at kurven ρ F (ρ, θ må være konstant for ethvert θ R. et ses, at F (ρ, θ σ ρ(ρ, θ σ θ (ρ, θ per definition. Endvidere er σ(, θ p for alle θ R, hvorved kurven θ σ(, θ er konstant. ette giver den partielle aflee σ ρ(, θ, hvorpå F (, θ, som altså giver, at F (ρ, θ idet F er konstant.

16 5 5 Optakt til Hopf-Rinow s sætning 5 Optakt til Hopf-Rinow s sætning I denne sektion vil vi gennemgå den nødvendige teori, der ligger til grunde for beviset af Hopf- Rinow s sætning. Til at begynde med vil vi derfor kigge på nogle egenskaber ved geodætiske kurver. Sætning 5.. Lad p S og lad et område W exp p (B δ (p, og hermed et δ >, være givet således, at afslutningen af W er indehol i et normalt område V omkring p. Lad γ : [, t] W være en geodætisk kurve med γ( p og γ( t q. Antag nu, at der findes en anden kurve α : [, t] S, som forbinder p til q. a er l γ l α, og hvis l γ l α, vil sporet af α falde sammen med sporet af γ mellem p og q. Bevis. Lad V S være et normalt område omkring p og lad som tidligere nævnt W exp p (B r (p, som opfylder at afslutningen W af W er indehol i V, og lad herudfra den geodætiske polære afbildning være defineret i W. Lad endvidere θ være den konstante vinkel, der svarer til vinklen til den radiale geodætiske kurve, der går igennem q. Vi ønsker nu at antage, at α ikke går gennem p for t >. Hvis ikke dette er tilfældet, kan vi ellers lade t være supremum af alle t > for hvilke α(t p. a α er antaget kontinuert, må der gælde at α(t p, hvorpå afstanden fra α( til α( t nødvendigvis må være større end afstanden fra α(t til α( t. Vi antager altså at α(t p for alle t >. Antag nu, at α((, t W og lad da ud fra Sætning 4.3: α(t σ(ρ(t, θ(t. a er følgende gældende udfra Sætning 4.5 og H.S. Theorem 3.4 α (t ρ (t + G(ρ, θθ (t. esuden ses også, at ρ (t + G(ρ, θθ (t ρ (t, for ethvert t [, t], idet G(ρ, θ per definition og θ (t. Vi kan nu definere kurven γ til at være den radiale geodætiske kurve med udgangspunkt i p og endepunkt i q grundet entydigheden af geodætiske kurver som vist i Sætning 3.. enne kan nu klart parametriseres ved γ(t σ(ρ(t, θ for t [, t]. et ses nu, at længden af γ (igen ud fra Sætning 4.5 og H.S. Theorem 3.4, er givet ved: l γ t ρ (t Idet α er differentiabel i det åbne interval (, t, og vi kan betragte α (t som en målelig funktion, giver dette, at det giver mening, hvis vi tillader som en mulig værdi, at betragte integralet t α (t over det åbne interval (, t. ette giver os dermed følgende, hvor integralerne ned til ( skal betragtes som integraler over åbne mængder: l α ( t t t α (t ρ (t + G(ρ, θθ (t ρ (t (t (, t ρ (t (t [, t] ρ (t l γ

17 5 Optakt til Hopf-Rinow s sætning 6 Hvor ( gælder idet endepunkterne i integralet udgør en nulmængde. ette giver at l α l γ. et ses endvidere, at der gælder lighed i ovenstående hvis og kun hvis θ (t er identisk og ρ >, hvorpå θ altså vil være konstant, som giver at α nødvendigvis må være den radiale geodætiske kurve i en retning hvor θ θ med θ R. Idet q ligger i retningen, hvor θ θ, og α netop skal ende i denne retning, må der derfor gælde, at θ θ, hvorpå α har samme retning som γ, og heraf altså at sporet af α og γ vil falde sammen imellem p og q. α x W ~ α γ ~ p γ q Figur 5: Hvis α((, t W. I det følgende argument er det væsentligt at bemærke, at ovenstående argument også gælder, hvis q er indehol i randen af W. Antag nu, at α((, t W (se figur 5. ette betyder, at α må skære randen af W i mindst ét punkt på denne. Lad derfor t [, t] være infimum af disse punkter, hvorpå α(t Bd(W og definér herudfra α(t x. efinér nu α til at være restriktionen af α i intervallet [, t ]. et er nu klart, at l α l α. et ses nu ud fra ovenstående bemærkning, at vi kan benytte det forrige argument på kurverne α og den radiale geodætiske kurve γ med udgangspunkt i og endepunkt i x, som giver at l α l γ. Idet q er antaget til at ligge i det indre af W og x Bd(W, må der nødvendigvis gælde, at l γ < l γ. ette giver følgende række af uligheder: som viser det ønskede, nemlig at l α > l γ. l α l α l γ > l γ, Vi ønsker nu at udvide teorien vedrørende eksponentialafbildningen, som gøres i Sætning 5.3. Til dette har vi dog først brug for følgende Lemma: Lemma 5.. Lad p S være givet. a findes ε, ε, ε 3 > og for ethvert q exp p (B ε (p en differentiabel afbildning γ q : ( ε, ε B ε3 (q S, således at γ q (t, q og for v B ε3 (q, v er t γ q (t, v den geodætiske kurve, der opfylder betingelserne γ q(, v v og γ q (, v q. Beviset for dette bygger på beviset for Lemma 3.4, og vil derfor udelades af samme årsager. ette leder os altså hen til: Sætning 5.3. Lad p S. a findes et område H omkring p og et δ >, således at der for ethvert q H gælder, at exp q med udgangspunkt i q er en diffeomorfi i B δ (q T q (S, og endvidere at H exp q (B δ (q, med andre ord, at H er et normalt område af alle dets punkter.

18 7 5 Optakt til Hopf-Rinow s sætning Bevis. Lad V S være et koordinatområde af p, og lad γ q : ( ε, ε B ε3 (q S samt ε, ε, ε 3 være defineret som i Lemma 5.. Hvis vi endvidere lader ε 3 < ε, kan vi med dette opnå, at exp q (v γ q ( v, v er veldefineret for v B ε3 (q for ethvert q H. Herudfra kan vi nu definere en afbildning ϕ : exp p (B ε (p B ε3 (q V V givet ved ϕ(q, v (q, exp q (v. Vi ønsker nu at benytte den inverse funktions sætning givet ved H.S. Theorem.. Til dette vil vi derfor vise, at differentialet d(ϕ er nonsingulært i punktet (p,. For at vise dette vil vi undersøge den lineære afbildning d(ϕ : T (p, (exp p (B ε (p B ε3 (q T ϕ(p, (V V. Til dette vil vi lade w T p (S og en glat kurve α(t i S være givet så α( p og α ( z, og ud fra disse vil vi nu undersøge, hvorledes d(ϕ (p, virker på de to kurver givet ved: t (p, tw, t (α(t,, et ses for t, at ovenstående kurver har tangentvektorer (, w hhv. (z,, som altså er vektorer med udgangspunkt i punktet (p,, hvorpå altså (, w, (z, T (p, (exp p (B ε (p B ε3 (q. et ses nu, at transformationen af den første vektor (, w med hensyn til d(ϕ er givet ved: d(ϕ (p, (, w d t (ϕ(p, tw d (p, exp p(tw d t (p, γ p( tw, tw ( d (p, γ p(t tw, w (, γ p(, w ( (, w, t hvor ( gælder ifølge Lemma 3.3 og ( gælder ifølge Lemma 5.. Endvidere ses tilsvarende, at transformationen af den anden vektor (α (, med hensyn til d(ϕ er givet ved: d(ϕ (p, (α (, d t (ϕ(α(t, d (α(t, exp α(t( d (α(t, γ α(t(, t (3 t d (α(t, α(t t (α (, α (, hvor (3 gælder iflg. Lemma 5.. et ses altså at d(ϕ sender alle vektorer på formen (, w over i (, w og alle vektorer på formen (z, over i (z, z. Ud fra lineariteten af d(ϕ gælder der nu, at d(ϕ(z, w d(ϕ(z, + d(ϕ(, w (z, z + w. Ved at betragte T (p, (exp p (B ε (p B ε3 (q som et 4-dimensionalt vektorrum kan vi nu skrive w (w, w på formen (,, w, w og v (v, v på formen v (v, v,,. Ved nu at kigge på den naturlige base for dette vektorrum, har vi altså at: dϕ dϕ t

19 5 Optakt til Hopf-Rinow s sætning 8 dϕ dϕ Som nu giver, at matrix repræsentationen for d(ϕ er givet ved: Ovenstående matrix har determinant idet den er en trekantsmatrix med er i diagonalen, hvorpå altså dϕ er nonsingulær. Nu giver H.S. Theorem., at der findes et område V omkring (p, således at ϕ er en diffeomorfi mellem V og et område af ϕ(p, (p, p i V V. Lad nu U exp p (B ɛ (p og δ > være givet såden, at ϕ er en diffeomorfi i området U B δ (q, hvor B δ (q B ε3 (q. Vi kan nu lade H U være givet sådan, at H H ϕ(u B δ (q. Idet ϕ er en diffeomorfi defineret på U B δ (q, er exp q en diffeomorfi på B δ (q for ethvert q H. Endvidere gælder der, at hvis q H, da er {q} H ϕ({q} B δ (q, og af dette er H exp q (B δ (q. Til sidst i denne sektion vil vi nu kigge på nogle egenskaber ved minimale kurver. et viser sig i følgende, at hvis en kurve er minimal mellem to punkter, i den forstand, at der ikke findes en anden kurve, hvis buelængde er kortere, da vil kurven være geodætisk. ette opsummeres i følgende to sætninger: Sætning 5.4. Lad α : I S være en parametriseret regulær kurve, således at buelængden af α er proportional med parameteren af α (vi kalder i dette tilfælde α for parametriseret ved buelængde såfremt at buelængden af α er lig længden af intervallet I. Hvis buelængden af α imellem ethvert par af punkter på α er mindre end eller lig buelængden af enhver anden parametriseret regulær kurve på S, der forbinder disse to punkter, da er α geodætisk. Bevis. Lad t I være givet, og lad herudfra α(t p. Lad nu ud fra dette et område W omkring p være givet, så W opfylder betingelserne i Sætning 5.. Lad da t I så α(t q W. Nu vil buelængden af α mellem p og q enten være den samme som længden af den radiale geodætiske kurve, der forbinder p og q, eller større end denne iflg. Sætning 5.. Hvis længden af α mellem p og q er større end den geodætiske, vil dette stride imod antagelsen om at α s buelængde imellem to vilkårlige punkter på α er mindre end enhver anden kurve, der forbinder p og q, i dette tilfælde den radiale geodætiske kurve. ette giver altså, at længden af α være den samme som længden af den radiale geodætiske kurve. et følger nu af Sætning 5., at sporet af α vil falde sammen med sporet af den radiale geodætiske kurve, hvorpå α er geodætisk i intervallet (t, t. Idet α er regulær og specielt kontinuert i t og t, er α også geodætisk i t og t, og da t og t begge er valgt arbitrært i I, har vi altså at α er geodætisk på hele I. Vi ønsker nu at udvide dette resultat til også at omhandle stykvise regulære kurver. ette gøres ved følgende: Sætning 5.5. Lad α : I S være en parametriseret, stykvis regulær kurve, med I R åben, således at i ethvert regulært buestykke, at buelængden af dette stykke er proportionalt

20 9 6 Hopf-Rinow s sætning med parameteren af α. Hvis buelængden af α imellem ethvert par af punkter på α er mindre end eller lig buelængden af enhver parameteriset (stykvis regulær kurve, der forbinder disse to punkter, da er α geodætisk. Bevis. Lad t t t n t, være en inddeling af intervallet I (t, t, således at α er regulær i alle intervallerne (t i, t i+ for i [, n ]. er gælder nu af Sætning 5.4, at α er geodætisk i alle intervallerne (t i, t i+. Vi mangler derfor kun at vise, at α også er geodætisk omkring endepunkterne af dise intervaller. Lad derfor i (, n være givet og definér α(t i p. Betragt nu området H omkring p, med et dertilhørende δ, givet i Sætning 5.3, så vi har at H exp p (B δ (p. et ses nu, at Sætning 5. gælder for ethvert område W omkring p, som er billedet af exp p af B δ (p for et bestemt δ, og således at afslutningen af W er indehol i et normalt område omkring p. Ud fra dette gælder både Sætning 5. og Sætning 5.3 for området W exp p (B δ (p omkring p, hvis vi vælger δ < δ, således at afslutningen af W er indehol i H, som jo er et normalt område omkring p. Lad nu ε > være givet, så α((t i ε, t i + ε W (se figur 6. efinér nu yderligere α(t i ε p og α(t i + ε p hvorpå p, p W. Lad endvidere µ være den radiale geodætiske kurve der forbinder p til p defineret ud fra det polære koordinatsystem i T p (S. Ud fra Sætning 5. vil der nu gælde, at l µ l α imellem p og p. Ud fra antagelsen om, at buelængden af α mellem to vilkårlige punkter på α er mindre end eller lig buelængden af alle andre (stykvis regulære kurver mellem disse to punkter, giver dette at l µ l α imellem p og p. Nu giver Sætning 5., at sporet af α da vil falde sammen med sporet af µ, hvorpå α er geodætisk i intervallet (t i ε, t i + ε og dermed også i hele I. W α(t i +ε μ α(t i α(t i -ε Figur 6: Kurven α i W. Alt det ovenstående gør os nu i stand til at bevise Hopf-Rinow s sætning. 6 Hopf-Rinow s sætning Sætning 6. (Hopf-Rinow s sætning. Lad S være en fuldstændig flade. Givet to punkter p, q S eksisterer der en mindste geodætisk kurve der forbinder p til q. Bevis. efinér først r d(p, q til at være afstanden mellem de to punkter p og q, hvor d er defineret som i efinition.3. Lad nu et område U T p (S omkring p være givet således, at exp p er en diffeomorfi i U, og vælg endvidere δ > så B δ (p U.

21 6 Hopf-Rinow s sætning efinér nu yderligere B δ exp p (B δ (p, som altså er billedet af eksponentialafbildningen af det indre af en cirkel i tangentplanet. et kan nu observeres, at randen Bd(B δ er en kompakt mængde, idet den er billedet af en kontinuert funktion, nemlig eksponential afbildningen, af en kompakt mængde i tangentplanet, nemlig Bd(B δ (Ref. C.B. Sætning 6.9, idet (S, d er et metrisk rum og (T p (S, d, hvor d er den sædvanlige euklidiske metrik, er et metrisk rum. Vi ønsker nu at vælge et x Bd(B δ, så afstanden mellem x og q er mindst muligt. ette kan vi gøre ud fra den kontinuerte funktion d(x, q defineret for x Bd(B δ. enne funktion vil opnå en mindste værdi i et punkt x Bd(B δ iflg. C.B. Sætning 6.. et er nu muligt at vælge v T p (S med v således at x exp p (δv, og ud fra dette, kan det derfor lade sig gøre at definere den geodætiske kurve γ på S (se figur 7, som udspringer fra p, og har retning igennem x, ud fra retningsvektoren v, som følgende: γ(t exp p (tv. T p (S U p δ Bd(B B δ x γ Figur 7: en geodætiske kurve γ. Idet S er en fuldstændig flade kan vi lade γ være defineret i hele R, som specielt giver, at γ er defineret i intervallet fra til r. Vi har altså nu en geodætisk kurve med den nødvendige længde til at kunne forbinde p og q, og mangler derfor bare at vise, at γ(r q, hvorpå γ nødvendigvis må være den mindste geodætiske kurve, der forbinder p og q, idet længden af γ er defineret som r d(p, q, hvor d jo netop var defineret som sådan. For at vise, at γ(r q vil vi vise, at følgende uryk gælder for alle t [δ, r]: d(γ(t, q r t Er dette vist, følger det nemlig, at d(γ(r, q r r, hvorpå der nødvendigvis må gælde, at γ(r q ud fra egenskaberne ved metrikken d. Beviset for dette gøres induktivt, idet vi vil betragte mængden A {t [δ, r] d(γ(t, q r t}. Vi vil herudfra først vise, at urykket ovenfor gælder for t δ. Ud fra dette, er A altså ikke tom, hvorpå vi kan lade t A, t < r, og vi vil da vise, at der findes et δ > så også t + ε A for ethvert ε > som opfylder, at ε < δ. Hvis vi nu antager, at vi har vist ovenstående, mangler vi altså blot at vise, at A [δ, r]. Til dette kan vi begynde med at observere, at idet d(γ(t, q + t er kontinuert som funktion af t, da d er kontinuert, er A klart afsluttet. Lad nu t inf ([δ, r]\a. Idet δ A er altså t δ. et ses nu for enhver minorant a for mængden [δ, r]\a, som opfylder at a δ, at a A. Per definition af infimum giver dette, at t A. Vi har nu ud fra antagelsen, at der eksisterer et δ > så t + ε A for ethvert ε >, ε < δ. a t + ε nu er minorant for mængden [δ, r]\a, er dette i modstrid med valget

22 6 Hopf-Rinow s sætning af t, hvoraf altså denne mængde ikke har noget infimum. Idet mængden endvidere klart er nedail begrænset af δ, kan vi konkludere, at [δ, r]\a, som giver at [δ, r] A, og da A [δ, r] per definition, har vi altså at A [δ, r]. Vi mangler altså nu blot at vise vores induktive argument, som gøres ved følgende: Viser, at det gælder for t δ: et ses først, at for x Bd(B δ, at d(p, x δ. ette ses, idet vi kan betragte den geodætiske radiale kurve, der forbinder p og x, som netop har længde δ, og hermed benytte Sætning 5., som giver at denne må være den korteste kurve imellem de to punkter. Idet enhver kurve der forbinder p og q, nødvendigvis må krydse Bd(B δ har vi for et x Bd(B δ at der gælder: d(p, q inf L p,q inf p,x + inf L x,q x Bd(B δ inf (d(p, x + d(x, q x Bd(B δ inf (δ + d(x, q x Bd(B δ δ + d(x, q Idet d(p, q r og x exp p (δv γ(δ, kan vi ved at flytte run på elementerne i ovenstående ligning opnå urykket d(γ(δ, q r δ, som ønsket. Viser, at det udfra antagelsen om at det gælder for t A, også gælder for t + ε: Antag altså, at d(γ(t, q r t med t A. Betragt nu tangentplanet T γ(t (S. Lad da, ligesom i begyndelsen af beviset, det indre af en cirkel med radius δ >, benævnt B δ (γ(t, være givet i T γ(t (S, således at exp p (B δ (γ(t er indehol i et normalt område omkring γ(t. Lad endvidere B δ exp p (B δ (γ(t, og lad hermed Bd(B δ være randen af denne. er vil nu gælde, at Bd(B δ er en kompakt mængde, idet den er billedet af en kontinuert funktion af en kompakt mængde, hvorpå den kontinuerte funktion d(x, q for x Bd(B δ vil opnå en mindste værdi i et punkt x Bd(B δ. Nu kan vi ved tilsvarende beregninger som i induktionsstarten opnå: d(γ(t, q inf x Bd(B δ (d(γ(t, x + d(x, q δ + d(x, q Hvor sidste beregning gælder, idet d(γ(t, x δ for alle x Bd(B δ af samme argument som i induktionsstarten. Vi har altså nu, at δ + d(x, q d(γ(t, q r t, hvorpå d(x, q r (t + δ. ( Ud fra d s metriske egenskaber, kan vi endvidere opnå uligheden d(p, q d(p, x + d(x, q, hvorpå d(p, q d(x, q d(p, x. ette giver ud fra ovenstående, at d(p, x r (r (t + δ t + δ. Idet længden af kurven γ fra til t er d(p, q d(γ(t, q r (r t t, kan vi definere kurven γ til at være restriktionen af γ til intervallet [, t ] sat sammen med den radiale geodætiske kurve gående fra γ(t til x (se figur 8. Længden af γ vil da være t + δ. Idet vi nu har fundet en kurve af længde t + δ, som forbinder p og x, og afstanden mellem disse to punkter netop var større end eller lig t + δ, kan vi altså konkludere, at d(p, x t + δ. Ud fra dette har kurven γ altså minimal længde, og da giver Sætning 5.5, at γ er geodætisk,

23 7 Vigtige konsekvenser af Hopf-Rinow s sætning hvorpå Sætning 3. giver, at sporet af γ falder sammen med sporet af γ. ette giver tilsammen, at x γ(t + δ γ(t + δ. Indsættes dette i urykket ( fra før, opnås dermed at som ønsket. d(γ(t + δ, q r (t + δ Bd( B δ x q γ(t p γ Figur 8: e geodætiske kurver γ og γ. 7 Vigtige konsekvenser af Hopf-Rinow s sætning Som følge af Hopf-Rinow s sætning får vi nu følgende, som i vores videre beregninger vil have stor betydning. Korollar 7.. Lad S være fuldstændig. a gælder for ethvert p S, at eksponentialafbildningen, som defineret på T p (S, er surjektiv. Bevis. Lad q S være givet. er vil nu gælde ud fra Sætning 6., at der eksisterer en minimal geodætisk kurve γ, der forbinder p og q med γ ( v for v T p (S med buelængde r. er vil nu gælde, at exp p (rv q, hvorpå eksponentialafbildningen er surjektiv, idet q S er valgt tilfældigt. efinition 7.. Vi kalder S for begrænset i metrikken d, såfremt der eksisterer et r >, så d(p, q < r for alle p, q S. enne definition sammen med ovenstående korollar giver endvidere følgende: Korollar 7.3. Lad S være fuldstændig og begrænset i metrikken d med begrænsning r >. a er S kompakt. Bevis. Lad p S være givet. Vi kan nu betragte B r (p T p (S, hvorpå det er klart, at exp p (B r (p exp p (T p (S. Idet eksponentialafbildningen er surjektiv ud fra Korollar 7., er exp p (T p (S S, hvorpå altså exp p (B r (p S. Idet B r (p er kompakt, idet den er en begrænset og afsluttet delmængde af R giver C.B. Sætning 6.9, at S er kompakt idet eksponentialafbildningen er kontinuert.

24 3 8 Indledning til variationsregning 8 Indledning til variationsregning Vi vil nu bevæge os ind på et område, der omhandler varationsregning. Til at begynde med, vil vi derfor definere, hvad vi forstår ved en variation af en kurve. efinition 8.. Lad α : [, l] S være en regulær kurve parametriseret ved buelængde. En variation h af α forstås nu, for et ε >, som en differentiabel afbildning h : [, l] ( ε, ε S, som opfylder at h(s, α(s for alle s [, l]. Vi vil endvidere for ethvert t ( ε, ε definere kurven h t (s h(s, t, som vi kalder for en kurve af variationen h. En variation kan derfor betragtes som en familie af kurver. Vi kalder variationen h for ægte, såfremt den for alle t ( ε, ε opfylder at: h(, t α(, h(l, t α(l For bedre at kunne beskrive hvorledes en variation af kurve virker, har vi udover variationen selv også behov for at betragte de tangentielle egenskaber ved variationen. Til dette vil vi derfor definere et vektorfelt over kurven, og ud fra dette danne en sammenhæng mellem variationen og dette vektorfelt. ette gøres ved følgende definitioner: efinition 8.. Lad en parametriseret kurve α : I S være givet. Vi kan nu definere et vektorfelt w over kurven α til at være den mængde af vektorer, således at der til ethvert t I svarer én vektor w(t T α(t (S til dette t. Ud fra en given parametrisering x(u, v af S har vi nu, at {x u(t, x v(t} danner en base for T α(t (S for ethvert t I, hvorpå vi kan skrive w(t a(tx u(t+b(tx v(t for ethvert t I med to funktioner a(t og b(t. Vi kalder nu vektorfeltet w differentiabelt i et punkt t I, såfremt der gælder, at a(t og b(t er differentiable funktioner i t, og ud fra dette kalder vi vektorfeltet w for differentiabelt, hvis det er differentiabelt i alle punkter i I. efinition 8.3. En variation giver nu anledning til et vektorfelt over variationen selv, som vi vil beskrive ved følgende: Lad først en variation h : [, l] ( ε, ε S af en regulær kurve α være givet, og ud fra denne kan vi lade et punkt p (s, t [, l] ( ε, ε være givet. Betragt nu kurverne s (s, t og t (s, t med tangentvektorerne (, hhv. (, i punktet p. Nu vil d(h p (, være tangentvektoren til kurven s h(s, t og d(h p (, tangentvektoren til kurven t (s, t i punktet h(p. Ud fra disse giver det nu mening at definere: (p : d(h p (, (p : d(h p (, og kan betragtes som vektorfelter over kurven h t for et t ( ε, ε, som et ses nu, at opfylder at h t (s p for et s [, l], idet de til ethvert s [, l] definerer en entydig vektor, hhv. tangentvektoren og den tværliggende vektor. Ud fra dette er det nu naturligt at definere et vektorfelt over α ved følgende: V (s (s,, for s [, l]. Vi har altså nu et vektorfelt, der til ethvert s [, l] giver tangentvektoren til den tværliggende kurve i punktet, hvor denne skærer α (se figur 9.

25 8 Indledning til variationsregning 4 h S ε -ε l α Figur 9: En ægte variation over α. Tangentvektorerne på tegningen svarer til vektorfeltet V (s. For nemmere at kæde vektorfelter og variationer sammen, har vi behov for en sætning som giver os eksistensen af en variation ud fra et givet vektorfelt. ette gøres ved følgende: Sætning 8.4. Lad V (s være et differentiabelt vektorfelt over en regulær kurve α : [, l] S, således at max s [,l] V (s >. a findes et ε > og en variation h : [, l] ( ε, ε S så V er variationsvektorfeltet over h, og endvidere kan h vælges til at være ægte såfremt V ( V (l. Bevis. I det følgende vil vi lade H p være området givet ud fra Sætning 5.3 omkring med dertilhørende δ p for et givet p α([, l]. et ses, at α([, l] er kompakt ifølge C.B. Sætning 6.9, idet [, l] er kompakt og α er kontinuert. er vil nu gælde, at foreningsmængden p α([,l] H p dækker α([, l], og eftersom α([, l] er kompakt, gælder ifølge C.B. Sætning 6.7, at en endelig delmængde af H p er også vil dække α([, l]. Lad denne delmængde være givet ved H,..., H n, med dertilhørende δ,..., δ n, hvor δ i hører til H i som givet i Sætning 5.3 for i [,..., n]. Lad nu δ min{δ,..., δ n }, og herved er exp α(s (v altså defineret for alle s [, l] og for ethvert v T α(s (S, der opfylder at v < δ. Vi kan nu definere M : max s [,l] V (s, hvorpå det ses, at M > ud fra den oprindelige antagelse om V. Ud fra dette kan vi nu lade ε < δ M, ε >, være givet. a gælder der for ethvert t ( ε, ε, og ethvert s [, l], at tv (s < ε V (s < δ M V (s < δ, hvorved exp α(s (tv (s er defineret for alle s [, l]. et giver derfor nu mening at definere h(s, t : exp α(s (tv (s. Ud fra dette kan vi endvidere lade exp α(s (tv (s γ α(s (, tv (s, hvor γ α(s er den geodætiske kurve defineret i Lemma 5., og da denne er differentiabel for ethvert t ( ε, ε er h det også. et ses nu også ud fra Lemma 5., at h(s, exp α(s ( γ α(s (, α(s, hvorpå h opfylder betingelsen for at være en variation af α. Vi mangler nu blot at vise, at V rent faktisk er et variationsvektorfelt over h. Til dette ses, at: (s, dh (s,(, d (exp α(s(tv (s d ( γα(s (, tv (s t t