Distributionsplanlægning

Transkript

1 Bachelorafhandling Institut for Økonomi Forfattere: Helle Maria Landtved Stine Kjær Hansen Vejleder: Jens Lysgaard Distributionsplanlægning Ruteplanlægning af Aarstidernes slutlevering Aarhus Universitet Business and Social Science Maj 2012 Side 1 af 64

2 Abstract Distribution of goods is a great sinner in discharging CO 2. Reducing the discharge of CO 2 is a subject that a lot of people in the world are absorbed by. Another question that concerns a lot of businesses is the increasing competition. The motivation for this assignment is to examine the possible ways of reducing the two concerns listed above, the discharging of CO 2 and the increasing competition for the Danish company, Aarstiderne. By reducing the kilometers the goods are transported it is possible to accommodate both demands. This will be done in relation to the final delivery, from the depot to the customers. The method used, to solve the problem is Clarke and Wrights Savings Heuristic. The savings calculation and ranging will be modified in different ways to improve the solution first found. The first modification of the calculation of the savings is described by Gaskell (1967), the next by Paessens (1988) and a third by Altinel and Öncan (2005). The savings ranging will also be modified with the use of a method described by Holmes and Parker (1976). The best solution found with the savings heuristic, will be used as a basis for the improvement heuristics. A multiroute improvement heuristic will be made and followed by a single-route improvement heuristic for all the individual routes. The multiroute improment heuristic that will be used is cyclic permutation, which is described by Thompson and Psarafis, while the single-route improvement heuristic that will be used is 2-opt improvement which is described by Lin (1973). The best found solution will be evaluated in relation to and compared with the solution of Aarstiderne and the best known solution, found with VRP Solver. The result of the savings heuristic without modifications of any kind is an improvement from the existing solution of Aarstiderne of 33,7 percent. The modifications of the savings calculation do not give a better solution than the first found solution. The modification in the ranging of the savings on the other hand gives an improvement, from the present solution of Aarstiderne of 33,8 percent. The best solution found at this point is the savings heuristic with the modification of the savings range. The improvement heuristics are therefore based on this solution. The multiroute improvement, cyclic permutation does not give a better solution but the 2-opt improvement gives an improvement of both routes and a total improvement from the present solution of Aarstiderne of 35,4 percent. Side 2 af 64

3 The routes have been improved by 35,4 percent, but compared to the best found solution found with VRP Solver there is still room for improvement of a least 8,43 percent. The final conclusion of the assignment is that the discharging of CO 2 can be reduced and Aarstiderne is now able to negotiate better prices with their transporters. This is due to a reduction in the distance of the final deliveries. Side 3 af 64

4 Indholdsfortegnelse 1. Indledning Problemstilling Problemformulering Afgrænsning Metode Ruteplanlægningsproblemer og løsningsmetoder Vehicle Routing Problem Capacitated VRP VRP with time windows VRP with backhauls VRP with pickups VRP with stocastic demands Teoretiske løsningsmetoder Eksakte metoder Heuristikker Constructive heuristikker Clarke og Wrights savingsheuristik Modifikationer af savingsberegningen Mole og Jameson s restriktion Holmes og Parkers undertrykkelse af saving Two-phase heuristikker Sweep heuristikken Fisher og Jaikumar heuristikken Improvement heuristikker Single-route improvements Multiroute improvements Metaheuristikkerne Sammenligning af heuristikker Vurderingskriterier Vurdering af udvalgte heuristikker Opstilling af model og udarbejdelse af løsningsforlag Virksomhedsbeskrivelse Historisk tilbageblik Aarstidernes mission og værdier Side 4 af 64

5 3.1.3 Aarstidernes forsyningskæde Nuværende ruteplanlægning af slutleveringen Opstilling af modellen Problemstillingens synspunkt og valg af kriterium Vognparken Chaufførerne Kundernes bestilling af varer Geografisk placering af ordrerne Tidshensyn Fastlæggelse af ruteplanlægningsmodel Valg af løsningsmetode Udarbejdelse af løsningsforslag Afstandsmatrice Savingsmatrice Kapacitetsbegrænsning Kapacitet i drops Kapacitet i kolli Kapacitet i 3-rib kasser Løsning Rangering af savings Opstilling af betingelser Allokering af kunderne til ruterne De endelige ruter Mulige forbedringer af løsningen Løsning med modifikationer af savingsberegningen Løsning med undertrykkelse af savings Løsning med efterfølgende cyklisk permutation Løsning med efterfølgende 2-opt improvement Opsummering af opstillede løsninger Validering Validering af modellen Problemstillingens synspunkt og valg af kriterium: Vognparken Vognstørrelserne og kapaciteten Tomme kasser Chaufførerne Side 5 af 64

6 Ændring i chaufførernes ruter Forskel i rutestørrelse: Kundernes bestilling af varer Geografisk placering af ordrerne Tidshensyn Modellens anvendelse på hele Aarstiderne Validering af løsningsmetoden Vurdering af modellens præcision Vurdering af enkelthed Vurdering af hastighed Opsummering Konklusion Litteraturliste Side 6 af 64

7 1. Indledning Virksomheders distributionssystemer bliver stadigt mere og mere komplekse på grund af stadig voksende virksomheder samt en stigende interesse for det tidsmæssige aspekt i distributionskæden (Larsen, 2000). God distributionsplanlægning kan medføre væsentlige besparelser for virksomheden, hvilket gør det relevant at undersøge optimeringsmulighederne inden for området. Aarstiderne er også en virksomhed, som har oplevet stor vækst og er siden deres officielle start i 1999 vokset sig til at levere varer til mere end familier fordelt i Danmark og Sverige (Aarstiderne.com, 2012), hvilket gør distributionen mere kompleks og udfordrende. Den mere komplekse distribution gør det relevant at undersøge mulighederne for optimering af ruteplanlægningen med henblik på at minimere omkostningerne. Aarstiderne vægter samtidig miljøet højt, både hvad angår råvarerne og distributionen, og de har intentioner om at nedbringe udledningen fra netop deres distribution og herunder slutdistribution, som udgør den største post i deres CO 2 -regnskab. Der er altså mere end blot en omkostningsmæssig interesse i at effektivisere distributionen og dermed minimere tiden på landevejen. 1.1 Problemstilling Aarstidernes slutlevering, som omhandler transporten af kasserne fra distributionscentre og ud til selve kunden, er outsourcet til 24 selvstændige vognmænd, som råder over én til otte detaildistributionsvogne. Aarstiderne fordeler selv kunder til forskellige ruter via deres ERP system. Disse lister med kunder videregives derefter til vognmændene, og vognmændene er herefter selv ansvarlige for ruteplanlægningen af deres udleverede kørselslister. Der er altså to elementer i Aarstidernes ruteplanlægning; fordeling af kunder til forskellige ruter samt planlægningen af disse ruter. Aarstiderne har oplevet stor stigning i antallet af kunder indenfor få år, og det kan derfor være interessant at undersøge, om ruteplanlægningen er fulgt med, og om der eventuelt er plads til forbedring. Denne afhandling vil dermed tage udgangspunkt i ovenstående problemstilling omkring Aarstidernes fordeling af ruter mellem deres distributører og planlægningen af disse. 1.2 Problemformulering Afhandlingen vil tage udgangspunkt i virksomheden Aarstiderne og har til formål at optimere deres ruteplanlægning på tværs af deres distributører. Side 1 af 64

8 Udarbejdelsen vil blive indledt med en beskrivelse af forskellige typer af Vehicle Routing Problems, med henblik på efterfølgende at kunne fastlægge problemstillingens konkrete VRP type. Derudover vil beskrivelsen også indeholde en redegørelse af forskellige metoder til at løse problemstillingen, samt en afsluttende sammenligning af de udvalgte metoder, der vurderes på baggrund af en række udvalgte kriterier. Dernæst vil afhandlingen indeholde en nærmere analyse af Aarstiderne med henblik på at kunne opstille en model og dermed fastlægge, hvilke hensyn modellen skal indeholde. Dette vil danne baggrund for valget af én metode, som efterfølgende vil forsøges forbedret. Ud fra dette vil der blive udarbejdet et løsningsforslag, og problemstillingen vil dermed blive forsøgt løst. Afslutningsvist vil der i udarbejdelsen blive foretaget en validering af det pågældende løsningsforlag i forhold til den opstillede model og den anvendte løsningsmetode. 1.3 Afgrænsning Der vil i afhandlingen fokuseres på Aarstidernes slutlevering. Udarbejdelsen vil derfor omhandle transporten af varerne fra distributionscenteret og ud til de enkelte kunder. Dog findes det relevant at beskrive Aarstidernes forsyningskæde på et mere overordnet niveau, hvorfor der her vil ses bort fra den nævnte afgrænsning. Derudover vil problemet blive forsøgt løst for et mindre geografisk område i og omkring Roskilde og derved vil ikke alle kunder vil blive taget i betragtning. Grunden til at der kun fokuseres på tre ruter i Roskilde, er dels det datamateriele, som er blevet udleveret af virksomheden, men også at omfanget af at skulle løse problemstillingen for alle Aarstidernes kunder vil blive for stort. Fokusset på et lille geografisk område i Roskilde, indkredser problemstillingen til at være et enkeltdepotproblem, mens det ville have været et multidepotproblem, hvis man havde kigget på hele Aarstiderne. I udarbejdelsen vil der blive beskrevet en række metoder, der kan benyttes til at løse forskellige transportproblemer. Det er dog ikke muligt at omtale alle løsningsmetoder, hvorfor der vil blive lagt mest vægt på heuristikkerne. Heuristikkerne giver til forskel for de eksakte løsningsmetoder mulighed for at løse problemer, hvor der er flere end 100 leveringer på en rute (Laporte, 2009), og i udarbejdelsen vil der være behov for at planlægge ruter ud fra flere en 100 leveringer. På trods af denne afgrænsning vil de eksakte metoder kort blive nævnt i udarbejdelsen. Side 2 af 64

9 Der lægges i udarbejdelsen vægt på de klassiske heuristikker frem for metaheuristikkerne, da de er mere enkle, lettere at anvende og dermed passer bedre til opgaveløsers kompetencer og evner. Overordnet set er der to problemer, der tages i betragtning i denne udarbejdelse. Opdelingen af de overordnede ruter, hvilket gøres af Aarstiderne, samt planlægningen af de endelige ruter, der i praksis bliver udført af vognmændene. For at lave en samlet problemstilling er det nødvendigt, at de nævnte problemer anskues ud fra samme interesse. Problemet ses derfor fra Aarstidernes synsvinkel, da det praktisk set ikke ville være muligt for de selvstændige vognmænd selv af lave de overordnede ruter, men omvendt er det muligt for Aarstiderne at lave ruterne for slutleveringen. Det udleverede datamateriale fra Aarstiderne omhandler kun privatkunder. Ifølge Palle Pagh (distributionsdirektør ved Aarstiderne) er leveringen til erhvervskunderne forskellig fra leveringen til privatkunder (Bilag 1). Erhvervskunderne vil derfor ikke blive behandlet i denne udarbejdelse. 1.4 Metode Rapporten vil udarbejdes ud fra en teoretisk og praktisk tilgang. Målet med rapporten vil være at beskrive og løse den praktiske del med udgangspunkt i teoretiske modeller og metoder. I den teoretiske del opstilles der først forskellige former for ruteplanlægningsproblemer, da fastlægning af modellen er afgørende for det senere valg af løsningsmetode. De beskrevne ruteplanlægningsmodeller tager udgangspunkt i The Traveling Salesman Problem, og den senere udvikling heraf i form af Vehicle Routing Problem og variationer heraf. Der opstilles i den teoretiske del en række forskellige løsningsmetoder til det generelle ruteplanlægningsproblem for at give et overblik over mulige metoder. Kendetegnet for alle de beskrevne løsningsmetoder er, at de er de bedst kendte, mest omtalte og benyttede metoder. Løsningsmetoderne vil alle blive redegjort for, med udgangspunkt i hver af deres ophavskilde, redegørelsen vil dog suppleres af senere kilder. Til at vurdere de beskrevne løsningsmetoder opstiller Cordeau mfl. (2002) en række kriterier. En redegørelse samt en sammenligning af disse vil afrunde den teoretiske del af rapporten, og grundlaget for den praktiske del er nu fastlagt. Den praktiske del indledes med en virksomhedsbeskrivelse af Aarstiderne. Dette gøres ved hjælp af kvalitativ metode i form af Aarstidernes hjemmeside samt interviews med Aarstidernes Distributionschef, Palle Pagh og Benny Olesen, der er selvstændig vognmand for Aarstiderne. Side 3 af 64

10 Ruteplanlægningsmodellen for Aarstidernes problem fastlægges ud fra en række hensyn, herunder problemstillingens synspunkt og valg af kriterium, vognparken, chaufførerne, kundernes bestilling af varer, geografisk placering af ordrerne og tidshensyn. De fire kriterier, der beskrives af Cordeau mfl. (2002), vægtes herefter for at kunne fastlægge den bedste løsningsmetode for Aarstidernes problem. Den udvalgte løsningsmetode vil anvendes, og løsningen vil blive forsøgt forbedret ved hjælp af relevante metoder. Til sidst i udarbejdelsen vil der blive set på styrker og svagheder ved den fastlagte model og den benyttede metode. Side 4 af 64

11 2. Ruteplanlægningsproblemer og løsningsmetoder I det følgende afsnit vil der blive redegjort for forskellige former for ruteplanlægningsproblemer, løsningsmetoder hertil samt en række kriterier til vurderingen af løsningsmetoderne. 2.1 Vehicle Routing Problem Vehicle Routing Problemet (VRP) kan beskrives som a set of customers with known location and demand are to be supplied from a depot by delivery vehicles of known capacity subject to all customer demand being met, vehicle capacity not being exceeded and total trip length not exceeding some specifed level (Rand G. K., 2009). Problemet er et af de mest undersøgte kombinatoriske optimeringsproblemer (Toth mfl., 2002). Dette er blandt andet på grund af dets kompleksitet men samtidig også dets praktiske betydning i det virkelige liv, hvor problemet forekommer i mange situationer. Vehicle Routing problemet udspringer af The Traveling Salesman Problem (TSP), der første gang blev benyttet som et term i en matematisk model i Det vigtigste aspekt ved termet TSP er to cover as many locations as possible without visiting a location twice (Lawler m.fl., 1985). Princippet tager udgangspunkt i en rejsende sælger, der starter hjemme og har en række kunder, der skal besøges én gang, hvorefter han igen kan vende hjem. Målet er her at minimere den afstand sælgeren skal rejse. Ud over dette problem benyttes TSP også som delled ved Vehicle Routing og minimering af afstande/omkostninger ved andre praktiske problemstillinger som eksempelvis design af computere og andre digitale systemer (Lawler m.fl., 1985). Ved TSP er antal mulige ruter givet ved n!, hvor n er antal kunder på ruten. Der tages i denne beregning ikke hensyn til depotet, da dette er fastlagt som start-og slutpunkt for ruten. Beregenes antal mulige ruter, som n!, vil man få samme rute to gange, men dog i omvendt rækkefølge. Dette kan man tage højde for ved at sige, at antal mulige ruter for TSP er lig med n!/2. VRP blev første gang beskrevet af Dantzig og Ramser tilbage i 1959 under titlen The Truck Dispatching Problem (Laporte, 2009). Dantzig og Ramser tog udgangspunkt i TSP og udvidede det med andre betingelser. Problemet bliver stadig diskuteret mere end 50 år efter det først blev præsenteret, hvilket formentlig hænger sammen med, at det er blevet benævnt som et såkaldt NPhard 1 problem. Det angiver, at problemet er meget svært at løse, og der er endnu ikke fundet en optimal løsningsmetode for store udgaver af problemet (Bjanadóttir, 2004). Eksakte løsninger af 1 Non-deterministic polynomial-time hard Side 5 af 64

12 VRP problemet kan kun løses, hvis der er under eller omkring 100 punkter (Laporte, 2009). Praktiske udgaver af problemet vil dog ofte overstige dette, hvilket gør det nødvendigt at løse problemet ved hjælp af heuristikker. Der findes en lang række forskellige modificerede versioner af VRP. Den overordnede og mest benyttede model er den kapacitetsbegrænsende VRP model. Herunder er der blandt andet udviklet VRP with time windows, VRP with backhaul, VRP with pickups og VRP with stocastic demands (Toth & Vigo, 2002). Udover de nævnte kan man tilføre en lang række andre begrænsninger, således at VRP modellen kommer til at passe til den pågældende problemstilling. Et eksempel kunne være, at man ønskede at tage hensyn til ensrettede veje, hvilket ofte vil være relavant ved leveringer i storbyer, da der antageligt er mange ensrettedet veje her. Man ville her kunne benytte assymetrisk VRP, hvor afstanden mellem to knuder ikke nødvendigvis er ens. Man vil således, skulle benytte en dobbelt afstandsmatrice til at imødekomme problemet om ensrettede veje Capacitated VRP Den generelle VRP model er den kapacitetsbegrænsede VRP (Bjanadóttir, 2004). Modellen indeholder en række forudsætninger, som at kundernes efterspørgsel skal være kendt på forhånd, samt at denne ikke kan splittes. Dette betyder også, at én kunde kun skal betjenes af én vogn. Yderligere skal alle vogne være af samme størrelse, og disse skal alle køre ud fra det samme depot. Modellens output skal være en præcis rutebeskrivelse for hver vogn, således at vognen har start- og slutpunkt ved depotet. Formålet med modellen er at minimere omkostningerne, hvilket gøres i form af at vægte antallet af ruter med længden eller rejsetiden på de givne ruter, samtidig med at alle kunder betjenes (Toth & Vigo, 2002). Modellen er opstillet ud fra Bjanadóttir (2004) og indeholder følgende parametre: K = Kapaciteten for én vogn d i = Efterspørgslen for kunde i c ij = Omkostningen ved at køre fra kunde i til kunde j V = Vognparken og hvor v angiver hver enkelt vogn Alle ovenstående parametre kan kun antage positive værdier. Side 6 af 64

13 En matematisk opstilling af modellen i en graf defineres G = (N,A), hvor N er antal knuder, og som svarer til kunderne C = {1,, n} og depotet er angivet som 0. A er alle de mulige forbindelser mellem knuderne, også kaldet kanter. De førnævnte kanter kan skrives som (i,j) ε A. Mellem hver kant, (i,j) ε A er der tilhørende transportomkostninger, c ij, som viser omkostningerne ved at gå fra knude i til knude j. Det antages i denne generelle model at transportomkostningerne er symmetriske for i og j, således at der ikke vil være forskel i fragtomkostningerne, om man kører fra i til j eller fra j til i, hvilket vil sige at c ij = c ji. Variablen X ij er binær og antager værdien 1, hvis den pågældende vogn kører mellem i og j, og 0 hvis den ikke gør. X ij 1 0 hvis vognv kører fra knudei til knude j ellers Objektfunktionen til den matematiske model ser således ud (2.1): min c ij X ij (2.1) v V ( i, j) A Dette betyder, at det ønskes at minimere transportomkostninger mellem knuder, som vognen kører fra og til. Udover objektfunktionen består modellen også af en række begrænsninger, som vil blive uddybet herunder. v V j N X ij 1 i C (2.2) Ovenstående betingelse (2.2) sikrer at hver knude kun besøges og forlades én gang. i i C d X K v V (2.3) j N ij Dette er en kapacitetsbegrænsning (2.3), der siger, at summen af knudernes efterspørgsel, der skal besøges med én vogn, skal være mindre eller lig med kapaciteten af vognen. Denne betingelse sikrer således, at kapaciteten på en vogn ikke overstiges. i N X 0 j 1 v V (2.4) Begrænsning ovenfor sikrer at vognen kun kan forlade depotet én gang (2.4). Side 7 af 64

14 i N X X 0 k C og v V (2.5) ik j N kj Denne sidste begrænsning sikrer at hver vogn både ankommer til og forlader hver knude på ruten (2.5). X ij 0,1, ( i, j) A og v V (2.6) VRP with time windows VPR with time windows er som tidligere nævnt en modifikation af VRP. Der er her tale om en række leveringer, der skal ske inden for et givent tidsinterval. Grænserne på leveringsintervallerne kan både være bløde og hårde. Definitionen på det bløde leveringsinterval er, at leveringsintervallet godt kan brydes, således at en levering finder sted før eller efter det aftalte leveringsinterval. Dette kan dog resultere i en ekstra omkostning til distributøren, da leveringsstedet eksempelvis kan være nødsaget til at hente bemanding ind, for at leveringen kan finde sted uden for det aftalte tidsrum. De hårde leveringsintervaller tillader ikke en levering uden for det aftalte tidsrum, hvilket kan betyde, at distributøren må tage varerne til leveringsstedet med retur fra igangværende rute (Rand G. K., 2009) VRP with backhauls En anden videreudvikling af VRP er VRP with Backhauls. Destinationerne, der skal besøges, opdeles i to; linehaul kunder og backhaul kunder. Linehaul kunder skal alle have leveret en given mængde af et produkt, mens der hos backhaul kunderne skal afhentes en given mængde af et produkt (Toth & Vigo, 2002). Der er her tale om en række leveringer til kunder samt en række afhentninger ved forhandlere i samme lastbil. Det er på denne måde muligt at udnytte kapaciteten i lastbilen på hele ruten og dermed minimere kørsel uden gods (Rand G. K., 2009) VRP with pickups VRP med pickups er defineret ved, at distributøren har en række leveringer til en række kunder. Ved leveringen afhenter distributøren fra samme kunde eksempelvis genbrugsmateriale. Det vil derfor typisk være, når en kunde får leveringer gentagne gange over flere perioder. En antagelse ved denne metode er, at kunderne foretrækker at få besøg af distributøren én gang på en rute frem for flere gange, hvilket ville være tilfældet, hvis afleveringen af den nye vare fandt sted før afhentningen af genbrugsmateriale. Levering og afhentning sker derfor simultant. Hvis der er tale om et problem, hvor det er mennesker, der skal fragtes, vil antagelsen om levering og afhentning på samme tid ikke Side 8 af 64

15 give mening. Her vil man i stedet for have at gøre med et dial-a-ride problem, da levering og afhentning ikke sker simultant (Rand G. K., 2009) VRP with stocastic demands I tilfælde hvor kundernes efterspørgsel er stokastisk variabel, men for hvilke sandsynlighedsfordelingen for hver kunde er kendt på planlægningstidspunktet, vil det være de totale forventede fragtomkostninger, der skal minimeres. Da planlægningen er baseret på sandsynligheder af efterspørgslen, kan der opstå mangel på kapacitet, hvilket medfører at ikke alle kunder kan betjenes. Til sådanne siturationer er det nødvendigt at opdatere ruten, således at ressourcerne på ruten allokeres optimalt. Denne form for VRP kaldes VRP with stocastic demands (Rand G. K., 2009). 2.2 Teoretiske løsningsmetoder Der findes overordnet to forskellige løsningsmetoder til at løse Vehicle Routing Problmet; eksakte og heuristiske metoder. Forskellen mellem disse er, at de heuristiske metoder ikke finder en optimal løsning, men i stedet finder en brugbar løsning på det opstillede problem. De eksakte metoder finder optimale løsninger, og vil selvfølgelig være at foretrække, men som det vil blive uddybet herunder, så slår disse eksakte metoder oftest ikke til i praksis og brugen af heuristikker nødvendiggøres Eksakte metoder Ruteplanlægningsproblemer kan løses eksakt og ifølge Laporte og Nobert (1987), findes der overordnet tre forskellige slags eksakte løsningsmetoder; Direct tree search methods, Dynamic programming og integer linear programming. Den sidste metode, integer linear programming (ILP), kan endvidere opdeles i set partioning formulation, two-index flow formulation og the two-commodity flow formulation. Disse anses for at være de mest succesfulde eksakte metoder til løsning af CVRP-problemet (Baldacci, Mingozz, & Roberti, 2012). Af denne grund uddybes ILP metoden yderligere herunder. ILP metoderne formuleres som et matematisk programmeringsproblem, hvor man har en række variable, som udgør alle mulige kombinationer af punkterne. Disse variable kan antage værdien 0 eller 1, alt efter om knuden skal besøges. Objektfunktionen vil være at minimere de samlede transportomkostninger. Derudover følger en række betingelser, som skal være opfyldt, hvilke er beskrevet i afsnit Problemet ved denne løsning er, at antallet af binære variable kan blive Side 9 af 64

16 utrolig stort for mange praktiske ruteplanlægningsproblemer, hvilket kan gøre problemet umuligt at løse indenfor en rimelig tidshorisont ved hjælp af lineær programmering. Man kender altså til en række eksakte løsningsmetoder, der kan bruges til at løse problemet. Disse metoder kan dog imidlertid kun løse mindre og simple problemstillinger og ved store problemer må metoderne opgives. Brugen af eksakte løsningsmetoder er altså meget begrænset og har derfor ikke den store relevans i praksis. Dette er som førnævnt grundet, at problemstillingen er NP-hard, og skal større problemer løses, vil det kræve enorme tidsressourcer eller være umuligt. Den manglende tilstrækkelighed ved de eksakte metoder danner grundlag for brugen af de heuristiske metoder Heuristikker Der er igennem tiderne udviklet en lang række heuristikker til at løse Vehicle Routing problemet. Overordnet set kan disse klassificeres under de klassiske heuristikker og metaheuristikkerne. De klassiske heuristikker kan yderligere opdeles i constructive heuristikker, two-phase heuristikker og improvement methods (Toth & Vigo, 2002). Constructive heuristikker finder gradvist en mulig løsning, ved at der etapevist bliver tilføjet kunder til ruterne, samtidig med at der tages hensyn til omkostningerne. Dog kigges der ikke på mulige forbedringer ved de først fundne løsninger. I two-phase heuristikkerne indgår der to komponenter, klyngeinddeling af knuder til mulige ruter og den reelle rutekonstruering. Yderligere er der mulige feedbackloops mellem de to komponenter. Improvement metoden forsøger at forbedre en mulig løsning ved at lave en række udvekslinger af knuder og kanter mellem de forskellige ruter (Toth & Vigo, 2002). De fleste heuristikker er udviklet med det formål at løse CVRP. Der kan dog, som beskrevet under afsnit 2.1 være modifikationer af de forskellige ruteplanlægningsproblemer. Dette kan inkorporeres i de enkelte heuristikker, således at det er muligt at løse det aktuelle problem ud fra yderligere betingelser Constructive heuristikker Metoderne tager ikke udgangspunkt i en forhenværende rute, men derimod konstrueres ruterne gradvist, som navnet på heuristikkerne også antyder det. Metoden gør det muligt løbende at kunne holde øje med, at modellens opstillede begrænsninger overholdes. Side 10 af 64

17 Clarke og Wrights Savingsheuristik er den mest kendte og benyttede constructive heuristik (Rand G. K., 2009). Denne metode tager udgangspunkt i en metode udarbejdet af Dantzig og Ramser, som tidligere nævnt var de første til at skrive om begrebet VRP. Clarke og Wright havde en række forbedringer til Dantzig og Ramsers metode, da de så nogle problemer ved den. Problemerne de så ved metoden var, at der kun blev kigget på én vogn (TSP), og at der derfor blev lagt for stor vægt på at denne vogn blev fyldt helt op frem for at minimere længden på den rute vognen skulle køre (Clarke & Wright, 1962) Clarke og Wrights savingsheuristik På samme vis, som navnet på metoden også antyder, baseres metoden på hvad, man kan spare ved at levere til to kunder på samme rute, frem for at have to ruter for leveringerne. Det vil sige, at man kører fra depotet til den første kunde. Herfra kører man videre til den næste kunde og til sidst tilbage til depotet. En illustration af ruterne før og efter sammenlægningen ses nedenfor i figur 2.1, hvor (a) er før sammenlægningen og (b) er efter sammenlægningen af de to ruter. Figur 2.1 Sammenlægning af ruter Kilde: (Lysgaard, 1997) De samlede transportomkostninger (D a ) for rute a består af omkostninger ved at køre mellem depotet og i og mellem depotet og j (2.7) D a c c c c (2.7) 0i i0 0 j j0 De samlede transportomkostninger (D b ) for rute b består kun af omkostningerne mellem depotet og i og j samt mellem de to punkter i og j, da ruten lægges sammen (2.8) D c c c (2.8) b 0i ij j0 Side 11 af 64

18 Ved at beregne forskellen på transportomkostningerne for de to ruter, a og b, fremkommer besparelsen (2.9). Det er det, man har sparet ved sammenlægningen af de to ruter og angives som saving. s s ij ij c c 0 i c0i c0 j c j0 ci0 c0 j cij for i, j 1,..., i0 c 0 j c ij n og i j (2.9) De udregnede savings mellem de enkelte knuder, som beskrevet ovenfor, kan indsættes i en savingsmatrice. Denne udarbejdes som udgangspunkt ud fra en afstandstabel, der angiver afstanden fra og til alle knuder. Afstandstabellen kan imidlertid også angives i omkostninger, som det er tilfældet i ovenstående formler. I indeværende afsnit vil det dog blive betragtet som det samme, da der ikke er nogle forståelsesmæssige forskelle. Et eksempel på tabellen angivet i omkostninger er, hvis vognmændene aflønnes i timer frem for kilometer. Tabellen vil her skulle være baseret på omkostningen forbundet med den tid, der er brugt på leveringen. Tabellen kan både laves symmetrisk og ikke-symmetrisk, alt afhængigt af om man ønsker at tage hensyn til ensrettede veje, og andre elementer der kan gøre, at matricen ikke er symmetrisk, som hvis der eksempelvis er højresving forbudt i et kryds, hvor det ellers ville være kortest at dreje. Clarke og Wright beskriver to forskellige tilgange til at danne ruterne. Der er den sekventielle tilgang og den parallelle tilgang. Begge tilgange indledes med at udregne en savingsmatrice. Ved den sekventielle tilgang koncentrerer man sig udelukkende om den igangværende rute. Man ser først på mellem hvilke to knuder, der giver størst saving ved at lægge to ruter sammen. Disse to ruter lægges nu sammen og man ser dernæst på, hvilken tilbageværende knude, der giver størst saving. For at knuden kan tilføjes ruten er der en række betingelser, som skal være opfyldt. Først og fremmest må begge knuder ikke være tilkoblet samme rute. Hvis ingen af knuderne er en del af ruten, forsættes der, da der fokuseres på at færdiggøre én rute af gangen. Derudover må depotet ikke være knude i s forgænger og knude j s efterfølger, da det vil resultere i, at ruten kobles sammen udenom depotet. Hver gang der tilkobles en knude skal det kontrolleres, hvorvidt kapacitetsbegrænsningen er overholdt. Når man til et punkt hvor, der ikke er nok tilbageværende kapacitet på vognen, går man videre til den knude, der giver den næsthøjeste saving ved sammenlægning til den eksisterende rute. Således fortsættes proceduren indtil det ikke længere er Side 12 af 64

19 muligt at tilføje yderligere efterspørgsel til en rute. Når efterspørgslen på en rute er nået, oprettes der en ny rute ved hjælp af samme princip (Clarke & Wright, 1962). Den parallelle tilgang muliggør dannelsen af flere ruter på en gang. Princippet er overordnet det samme som ved den sekventielle metode. En ændring er dog, at hvis ingen af knuderne, for den saving der betragtes, er en del af ruten, så oprettes en ny rute og dette bevirker, at man skal håndtere flere ruter på én gang. Man kan altså ikke kun koble enkelte knuder på en rute, men ruter kan også lægges sammen. Den sidstnævnte parallelle tilgang er den tilgang, der statistisk set har givet de bedste løsninger på VRP (Toth & Vigo, 2002). Den parallelle tilgang kræver dog flere ressourcer end den sekventielle, da det kræver mere at have flere ruter i gang på samme tid. Man kan derfor heller ikke sige noget endegyldigt omkring, hvilken metode der er den bedste. Det afhænger af de ressourcer, der er tillagt problemstillingen (Lysgaard, 1997) Modifikationer af savingsberegningen Flere teoretikere har prøvet at videreudvikle den oprindelige savingsheuristik. Modifikationer er lavet med henblik på at forbedre processen, hvor ruterne laves, og dermed minimere den samlede afstand for ruterne, men samtidig også for at mindske tidsforbruget ved selve ruteplanlægningen (Rand G. K., 2009). Ved modifikationer, hvor selve rutesammenlægningen har været i fokus har Gaskell (1967) blandt andet lavet en modifikation af Clake og Wrights savingsheuristik. Han var bekymret for Clarke og Wrights savingsheuristiks tendens til at lave perifere ruter. Han modificerede derfor måden hvorpå besparelserne udregnes ved at tilføje et parameter λ (2.10), som ville påvirke ruterne. Ved at modificere savingsberegningen og lægge større vægt på kanten mellem de to knuder, bliver ruterne mere radiale 2. Ræsonnementet bag denne tilføjelse er, at det var mere hensigtsmæssigt at tage hensyn til ekstreme punkter først og dermed undgå lange rute ud til enkelte kunder. Problemet er dog, hvilken værdi som parameteren skal antage. Undersøgelser har senere vist, at der ikke kunne findes nogen værdi af parameteren, som er signifikant bedre end andre (Rand G. K., 2009). s ij c i 0 c0 i c ij, 0 3 (2.10) 2 Ruter som udgår fra depotet som stråler. Side 13 af 64

20 Paessens (1988) byggede videre på den første modifikation af savingsheuristikken (2.11). Han argumenterede for, at den oprindelige heuristik nogle gange producerer dårlige resultater, men ikke hvad der ligger til grund herfor. sij ci0 c0i cij c0i c j0, 0 3 og 0 1 (2.11) Altinel og Öncan (2005) har også bidraget med en yderligere modifikation til udregningen af savings. De fandt ud af, at heuristikken ved afslutningen af rutesammenfletningerne ofte står overfor savings, som er ens eller ligger meget tæt. De modificerede derfor beregningen til at tage højde for kundernes efterspørgsel (Rand G. K., 2009). Det nye parameter ν vægter den relative vigtighed af de kunder med store efterspørgsler (2.12). Jo højere værdi parameteret har, desto tidligere bliver kunder med stor efterspørgsel tilført ruten (Altinel & Öncan, 2005). s ij di d j ci0 c0i cij c0i ci0 (2.12) d To andre modifikationer tager udgangspunkt i at Clarke og Wright heuristikken også kan være tidskrævende, idet der skal udregnes savings for alle mulige kombinationer af punkter, og de skal samtidig lagres og sorteres (Toth & Vigo, 2002). Yellow prøvede at formindske tidsforbruget ved at undgå at lave én stor savingsmatrice men i stedet anvende en mere simpel geometrisk søgeteknik ved hjælp af polære koordinater og Nelson anbefalede en anden datastruktur for at lave udregningerne mere effektive (Rand G. K., 2009) Mole og Jameson s restriktion Clarke og Wrights savingsheuristik tager udgangspunkt i, at kunder som skal tilføjes ruten kun kan blive indsat mellem depotet og den første og sidste knude på hver rute. Denne restriktion laver Mole og Jameson (1976) et opgør imod. I stedet mener de, at man også skal overveje, hvorvidt en knude kan indsættes mellem allerede sammensatte kunder. For hver kunde, som endnu ikke er tilkoblet ruten, skal det udregnes, hvad besparelsen er ved at sætte knuden ind mellem i og j. I denne forbindelse betyder i og j de to knuder, der allerede er blevet koblet sammen, og k er den mulige knude, som kan indsættes mellem i og j. Besparelsen udregnes med formlen herunder (2.13): s k ( 0k ik kj ij i, j) c ( c c c ) (2.13) Side 14 af 64

21 Hvis λ og μ antager henholdsvis værdierne 2 og 1, vil besparelsen blive forskellen mellem at besøge knude k separat fra depotet (2 c 0 k ) og at besøge k mellem knude i og j ( cik ckj cij ). Ved at besøge knude k mellem knude i og j sparer man altså afstanden mellem k og depotet samt afstanden mellem i og j, som ikke længere besøges efter hinanden. Hertil skal man dog ligge afstanden for at køre mellem i og k samt k og j. Parametrene λ og μ kan også antage andre værdier eksempelvis ved at sætte 1 2 og 1 svarer dette til Gaskells modifikation og andre variationer, som rangerer knuderne efter afstanden til depotet (Jameson & Mole, 1976). Det bedømmes hver gang, hvilken indsættelse af k mellem i og j, der medfører optimering af besparelsen. Dette fortsættes indtil alle kunder er allokeret til ruterne Holmes og Parkers undertrykkelse af saving Holmes og Parker (1976) beskriver en måde, hvorpå man med udgangspunkt i Clarke og Wrights savingsmetode kan opnå en bedre løsning end den først fundne. Ved at undertrykke den største saving ( s i, j ), er det i visse tilfælde muligt at reducere den samlede afstand for løsningen. Man tager udgangspunkt i den eksisterende savingsrække. Den største saving undertrykkes ved at sætte den lig med nul, og det forsøges på ny at finde en løsning. De første to punker, der kobles sammen i den nye løsning, vil således være punkterne der i den første løsning havde den anden højeste saving, men som på baggrund af undertrykkelsen af førnævnte saving nu har den højeste saving. Hvis den samlede afstand ved den nye løsning er kortere end ved den først fundne løsning, har man fundet en forbedret løsning. Princippet fortsættes indtil man ikke finder en forbedret løsning ved at undertrykke den største saving i den forhenværende rute. På det tidspunkt skal man i stedet for forsøge at undertrykke de 2, 3,, n største savings i den forhenværende rute indtil, man finder en forbedret løsning, eller alle savings i den forhenværende rute er undertrykte. Holmes og Parker har benyttet metoden på seks symmetriske problemer, hvoraf tre var virkelige problemer og tre var opdigtede. Resultaterne de opnåede med metoden lå tæt op af de bedst kendte løsninger, hvorfor de konkluder, at metoden kan være profitabel i forhold til at optimere den først fundne løsning. Side 15 af 64

22 Two-phase heuristikker Two-phase heuristikkerne kan overordnet inddeles i to forskellige typer; cluster first route second og route first cluster second. Cluster first route second er en metode, hvor punkterne først opdeles i en række oplagte klynger. Det vil sige punkter, som geografisk ligger rimelig tæt. Derefter skal man for hver klynge bestemme en rute, hvor alle klyngens knuder besøges. Den anden type heuristik route first cluster second starter anderledes, ved at der først bestemmes én stor rute, hvor alle punkter besøges, og derefter deles denne rute op i mindre ture (Lysgaard, 1993). De bedst kendte og populære two-phase heuristikker er Sweep og Fisher and Jaikumar heuristikkerne (Cordeau m.fl. 2002) og kaldes også for de elementære klyngemetoder (Toth & Vigo, 2002) Sweep heuristikken Sweep heuristikken er den mest simple og bedst kendte two-phase heuristik og er opbygget ved først at lave et forward sweep og derefter et backward sweep. Først roterer man et koordinatsystem omkring depotet (0,0) og udregner vinkler for hvert punkt, og punkterne allokeres således til ruterne ved at starte med den mindste vinkel og dette forsættes til alle punkter er inkluderet i klynger. Derefter laves et backward sweep, som foregår på samme måde bare i omvendt rækkefølge. De to løsninger er ofte forskellige som følge af kapacitetsbegrænsningen. De får derfor også forskellige minimumsafstande for ruterne (Gillett & Miller, 1971). Efter den første inddeling kan der eksempelvis udføres en 3-opt på de først dannede ruter, for at forsøge at minimere afstanden på ruterne yderligere (Cordeau m.fl. 2002). Denne metode hører altså til typen cluster first route second, da klyngerne dannes først Fisher og Jaikumar heuristikken Fisher og Jaikumar heuristikken fungerer ved at man først opdeler kunderne i mulige klynger ved hjælp af at løse et Generalized Assignment Problem (GAP) 3. Denne metode kan inddeles i fire steps. Først udvælges én knude for hver klynge, der skal dannes. Disse knuder kaldes også for seeds (j k ), og det er de knuder, de enkelte klynger skal tage udgangspunkt i. Herefter udregnes omkostningen ved at allokere en knude til hver af klyngerne, d ik, (2.13) hvor k angiver klyngenummeret. 3 GAP udspringer af problemstillingen omkring, at man har et antal agenter og et antal jobs. Målet er at minimere omkostningerne ved uddelegere disse jobs under begrænsningerne, at hver enkel agent kun skal tildeles ét job og der skal tages hensyn til dennes ressourcer. Side 16 af 64

23 d ik c c c, c c c ( c c ) min i ij j 0 0 j j i i0 0 j j 0 (2.13) 0 k k k k k k GAP løses nu ved at tildele knuderne til den klynge, hvorved der er færrest omkostninger forbundet. Samtidig må kapaciteten for vognene ikke overstiges (Toth & Vigo, 2002). Klyngerne er nu dannet, og de enkelte klyngers ruter fastlægges ved at løse et Traveling Salesman Problem for hver klynge (Cordeau m.fl. 2002). Denne metode er på samme vis som sweep heuristikken, af typen cluster first route second, da klyngerne dannes først og ruten dannes herefter Improvement heuristikker Improvement heuristikkerne tager udgangspunkt i en allerede dannet rute, dvs. en mulig rute. Man skifter en eller flere kanter mellem to knuder ud, med henblik på at se, om udskiftningen reducerer omkostningerne og i tilfælde heraf, også om løsningen er mulig (Fisher M., 1995). Improvement heuristikken kan både benyttes på én rute ad gangen samt på flere ruter. Navne til de to tilgange er henholdsvis single-route improvements og multiroute improvements (Toth & Vigo, 2002) Single-route improvements Single-route improvements er en række forbedringer på TSP. Den bedst kendte metode hertil beskrives af Lin, ved hjælp af Lin s λ opt mekanisme. Lin definerer λ optimality som værende en rute, hvor det ikke er muligt at reducere rutens omkostninger ved at erstatte λ link med andre λ link (Lin, 1973). Metoden anvendes således, at λ links fjernes fra ruten. Der tilføres nu det samme antal nye links og disse forsøges kombineret på alle mulig måder. Udskiftes der eksempelvis 1 λ link kaldes dette for 1-opt improvement. En hver rute er en 1-opt improvement, da ombytningen af et led kun kan give samme løsning, som før ombytningen. 2-opt improvement er forholdsvis let at anvende. Når der fjernes to led på en rute, er der kun én mulig måde, hvorpå ruten kan kobles sammen igen. En 3-opt improvement er mere omfattende end 2-opt improvement, da der ved ombytning af tre led er otte mulige måder, hvorpå ruten kan kobles sammen (Lin, 1973). Side 17 af 64

24 Figur opt improvement heuristik a. b. c. Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Lin, 1973 I figur 2.2 er der illustreret en 2-opt improvement. Knude 1 angiver depotet, hvorfra ruten starter. Fjerner man eksempelvis linket (5,6) og (2,3) er det kun muligt at forbinde knude 6 med knude 3 og knude 5 med knude 2, da ruten fortsat skal være én hel rute (c). Illustreret oven for i figur 2.2 ses det at en kobling af de to endepunkter 6 og 2 og 5 og 3 giver en løsning med to ruter (b), hvilket ikke er muligt da depotet således ikke vil indgå i ruten (5 4-3). Der er to strategier i forhold til at finde steder, hvor en given rute kan optimeres. Den første er first improvement FI, hvor man vælger den første løsning, der optimerer ruten. Den anden er best improvement BI, hvor man undersøger hele ruten for at finde den bedste forbedring. Alt afhængig af hvilken startegi man har, bliver ruten omlagt herefter (Toth & Vigo, 2002) Multiroute improvements Multiroute improvement beskriver, hvordan man ved VRP kan bytte en række kanter ud og dermed se, om de oprindelige ruter forbedres herved. Thompson og Psarafis beskriver multiroute improvement ved hjælp af b-cyklisk og k-transfer. De benytter en cyklisk permutation af b, der er det antal ruter, der kigges på og k, der er de kunder, der flyttes fra en rute til en anden (Toth & Vigo, 2002). Cyklisk permutation af ruter er en permutation, hvor alle knuder rykkes et antal pladser frem eller tilbage i rækkefølgen. De knuder der skubbes ud, flyttes til starten henholdsvis slutningen af en ny rute. Thompson og Psarafis har fået en række interessante resultater ved at benytte sekvenser af denne metode til optimering af VRP (Toth & Vigo, 2002) Metaheuristikkerne Metaheuristikkerne har over de seneste to årtier haft en stor fremgang i forhold til løsning af VRP (Cordeau m.fl. 2002). De undersøger løsningsrummet grundigt med henblik på at identificere gode løsninger. Disse heuristikker indlejrer ofte elementer fra constructive og improvement Side 18 af 64

25 heuristikkerne, men en stor forskel ved metaheuristikkerne er, at de tillader forværrede og uopnåelige mellemled samt rekonstruering af tidligere løsningsforslag i søgningen på den gode løsning. Metaheuristikker finder ofte frem til bedre lokale minimumsomkostninger, men dette er på bekostning af tidsforbruget, der er højere end ved de klassiske heuristikker (Toth & Vigo, 2002). Sammenligner man metaheuristikkerne med de klassiske heuristikker, vil man se, at metaheuristikkerne i højere grad gennemanalyserer løsningsrummet. Den øgede kvalitet ved metaheuristikkerne medfører dog en øget kompleksitet samt tidsforbrug (Cordeau m.fl. 2002) Sammenligning af heuristikker Den bedste heuristik defineres forskelligt i forhold til, hvad formålet med heuristikken er, samt hvilke specifikke krav en udarbejdelse har til heuristikken. I det følgende vil der blive opstillet en række kriterier, hvorudfra heuristikker kan vurderes. De i udarbejdelsen tidligere nævnte heuristikker vil efterfølgende blive vurderet ud fra de opstillede kriterier for at give en vejledning til, hvornår det er favorabelt at benytte de forskellige heuristikker Vurderingskriterier Cordeau m.fl. (2002) nævner fire kriterier, som heuristikkerne kan måles på, når de skal vurderes; præcision, hastighed, enkelthed og fleksibilitet. Præcision vurderer hvor nøjagtig heuristikken er, ved at holde heuristikkens løsningsværdi op i mod den mest optimale løsningsværdi, som er fundet. Dette kan altså give en indikation af hvor optimale løsninger heuristikken finder. I relation til præcision er det også relevant at undersøge, hvor konsistent metoden er, da svingende kvalitet af løsningerne også er af betydning. Et andet kriterium, som er relevant for vurderingen, er hastigheden. Dette kriterium skal holdes op imod de tidsressourcer, som man har til rådighed og samtidig hænger hastigheden også uundgåeligt sammen med den ønskede præcision. I tilfælde hvor man ikke har særlig meget tid til rådighed, er hastigheden utrolig vigtig. I andre situationer vil hastigheden ikke have den store indflydelse, hvis man planlægger langt ude i fremtiden. Derudover vil man ved vigtige eller omkostningsfulde beslutninger formentlig gerne gå på kompromis med hastigheden, hvis det kan resultere i en bedre løsning. Enkeltheden af en heuristik spiller også en stor rolle. Hvis heuristikken bliver for kompleks, svær at forstå og problematisk at implementere, vil den formentlig ikke blive anvendt. Eksempelvis bliver Side 19 af 64

26 heuristikker med for mange parametre ikke anvendt på grund af, at de er så komplicerede at implementere. Et sidste kriterium, for vurdering af heuristikkerne, er fleksibiliteten. Dette omhandler, hvor fleksibel heuristikken er i forhold til at udvide med flere betingelser. De fleste heuristikker tager hensyn til kapacitetsbegrænsningen, men det kan, som tidligere nævnt, være relevant at udvide med flere betingelser i forhold til den aktuelle problemstilling Vurdering af udvalgte heuristikker Cordeau m.fl. lavede i 2002 en sammenligning af udvalgte klassiske heuristikker og metaheuristikker. De blev sammenlignet på baggrund af 14 opstillede problemer med et forskelligt antal knuder. Disse problemer byggede på Christofides benchmark problemer fra Alle problemerne var underlagt en kapacitetsbegrænsning og nogle var også underlagt en begrænsning på varigheden af ruterne. Resultaterne af denne undersøgelse ses i tabel 2.1 nedenfor. Ifølge Cordeau m.fl. (2002) er Clarke og Wrights Savingsheuristik især god målt på enkelthed og hastighed. Modsat scorer den ikke særlig højt på præcision. Den parallelle version efterfulgt af 3- opt er den udgave af heuristikken, som scorer højest på præcision. Den afviger i gennemsnit 6,71 pct. fra den bedst kendte løsning. Grunden til, at den gennemsnitlige afvigelse ikke er mindre, er at heuristikken har tilbøjelighed til, at lave ruter der er perifere. En anden ulempe ved denne metode er, at den ikke er særlig fleksibel, hvilket betyder, at når yderligere betingelser tilføjes, forringes løsningskvaliteten. Sweep heuristikkens afvigelse fra den bedst fundne løsning var i undersøgelsen i gennemsnit på 7,09 pct. Til gengæld er heuristikken meget enkelt at anvende. Derudover er den, ligesom Clarke og Wrights savingsheuristik, ikke særlig fleksibel ved tilføjelse af yderligere betingelser. Ydermere ser heuristikken heller ikke ud til at overgå Clarke og Wright i forhold til præcision og hastighed baseret på Cordeau m.fl.. Derudover tilføjes også, at heuristikken ikke er særlig anvendelig i byområder på grund af at metoden antager en plan struktur. Fisher (1995) sammenlignede også disse to heuristikker men kun på baggrund af seks problemer. Her blev konklusionen imidlertid omvendt, da Sweep heuristikken på baggrund af disse seks problemer viste sig at give bedre resultater end Clarke og Wrights. Fisher og Jaikumars heuristik vurderes i denne undersøgelse til at være svær at implementere, hvilket gør metoden svær at gå til. Derudover afhænger metodens hastighed af valget af seeds og Side 20 af 64

27 fleksibiliteten af metoden er ligesom de ovenstående heuristikker heller ikke særlig god. Fishers førnævnte undersøgelse inkluderede også Fisher og Jaikumar heuristikken. Sammenlignet ud fra de seks forskellige problemer er Fisher og Jaikumar bedre end både Sweep og Clarke og Wright. Disse resultater som Fisher og Jaikumar når frem til, kunne dog ikke verificeres af Cordeau m.fl. (2002), og metodens nøjagtighed er altså svær at bedømme. Improvement heuristikkerne indgår ikke i tabel 2.1, da de som tidligere beskrevet tager udgangspunkt i allerede eksisterende ruter. Det er derfor vanskeligt at vurdere på disse heuristikker for sig selv. Man kan derimod kigge på improvement heuristikkerne i sammenhæng med contructions og two phase heuristikkerne. Christofides, Mingozzi og Toth undersøger Lin s 3-opt genoptimering på Clarke og Wrights savingsheuristik på henholdsvis den sekventielle og parallelle tilgang til savingsheuristik. De benytter begge de førnævnte strategier FI og BI til at identificere den bedste forbedring på de allerede fundne ruter. Nogle gange er der ingen effekt ved at genoptimere Clarke og Wrights savingsheuristik, men i visse tilfælde kan man opnå en forbedring på op til 2 pct. ved at benytte improvement heuristikker. Benytter man 3-opt på en heuristik lavet efter den sekventielle tilgang, vil man sjældent kunne opnå store forbedringer ved anvendelse af 3-opt. Dette skyldes, at 3-opt ikke vil være tilstrækkeligt til at rette op på de relative inefficiente led, der dannes ved konstruktionen af den sekventielle savingsheuristik. Resultaterne er noget anderledes hvis man benytter på en 3-opt improvement på den parallelle savingsheuristik. Her oplever man, ved benyttelse af BI strategien, i gennemsnit en forbedring således at heuristikken kun ligger 6,71 pct. fra den optimale løsning (Toth & Vigo, 2002). Ser man på improvement heuristikker benyttet på two-phase heuristikker, er der i litteraturen et meget begrænset antal undersøgelser af forbedringer heraf. Paessens skriver om Lin s 3-opt benyttet på Gillett og Johnsons Sweep heuristik. Undersøgelsen tager udgangspunkt i 249 kunders efterspørgsel. 3-opt benyttet til genoptimering af Gillett og Johnsons Sweep heuristik giver en gennemsnitlig forbedring på 0,4 pct. (Paessens, 1988). Dette illustrerer at det er muligt at benytte improvement heuristikker til at optimere en Sweep heuristik. Side 21 af 64

28 Tabel 2.1 Heuristikkernes performance målt på de fire vurderingskriterier Klassiske Heuristikker Accuracy Speed Simplicity Flexibility Clarke and Wright Low Very high Very high Low Sweep Low Medium-high High Low Fischer and Jaikumar Difficult to assess Medium-high Low Low Metaheuristikker Very high-high Low-medium Low-Medium High Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Cordeau m.fl. (2002) De klassiske metoders fordel er generelt deres hastighed og enkelthed. Metaheuristikkernes fortrin er derimod kvaliteten af løsningerne samt fleksibiliteten, hvor man omvendt mister hastigheden og enkeltheden. Der er altså ikke noget entydigt svar, på hvilken heuristik der er optimal, hvilket også fremgår i ovenstående tabel 2.1. Side 22 af 64

29 3. Opstilling af model og udarbejdelse af løsningsforlag I indeværende afsnit vil den konkrete problemstilling blive opstillet med udgangspunkt i en virksomhedsbeskrivelse af Aarstiderne og en efterfølgende uddybning af vigtige elementer i forhold til det konkrete problem. Derefter vil de nævnte Vehicle Routing problemer og løsningsmetoder fra afsnit 2 blive vurderet i relation til den fastsatte model. Efter udarbejdelsen af den første løsning vil det herefter forsøges at forbedre denne ved hjælp af forskellige udvalgte metoder. 3.1 Virksomhedsbeskrivelse Grundideen bag Aarstiderne er simpel: Vi dyrker økologiske grøntsager på vores gårde og pakker sæsonens bedste økologiske råvarer i en kasse, lægger opskrifter på velsmagende hverdagsretter ved og kører kassen ud til din hoveddør. (Aarstiderne.com, 2012). På Aarstidernes hjemmeside har kunderne mulighed for at vælge forskellige sammensætninger af økologiske varer, herunder kan de vælge økologisk frugt, grøntsager, kød, fisk og livretter. Den sammensætning, kunden har valgt, bliver pakket i en eller flere kasser og leveret til kunden. Kunden har mulighed for at ændre eller framelde en bestilling op til halvanden dag før levering (Bilag 1). Hele konceptet bygger på at yde en hverdagsservice for kunden, samtidig med at produktet, fleksibiliteten og servicen er af høj kvalitet Historisk tilbageblik I 1996 stiftede Thomas Harttung foreningen Barritskov Grøntsagshave. Ideen bag foreningen var, at bonden skulle have lov til at dyrke, det han brændte for, som i dette tilfælde var gode råvarer. Endvidere skabte man en relation bonde og kunde i mellem, så bonden var sikker på at kunne afsætte sine afgrøder. På daværende tidspunkt kom kunderne selv til gårdene og hentede grøntsagerne, der var pakket i kasser. Det var imidlertid problematisk at for gårdene at få de gamle kasser igen, og dermed var ideen til Aarstiderne dannet. 1. januar 1999 blev foreningen til Aarstiderne. Aarstiderne skulle nu køre varerne helt ud til kunderne og ved levering indsamle de gamle kasser. Aarstiderne blev en succes, og siden dannelsen i 1999 er kundegruppen vokset meget. De har i dag kunder i Danmark og kunder i Sverige, hvilket svarer til over 1,5 millioner leverede kasser om året. Aarstiderne er altså vækstet meget siden deres start, men har dog oplevet et faldende salg de sidste par år dels på grund af finanskrisen, men også fordi at supermarkederne er blevet mere konkurrencedygtige i forhold til prisen på de økologiske varer. Aarstiderne har derudover også udvidet deres produktsortiment fra i starten, hvor de kun havde Side 23 af 64

30 grøntsager til i dag, hvor de også leverer frugt, kød, fisk og hele måltidskasser (Aarstiderne.com, 2012) Aarstidernes mission og værdier Aarstidernes mission er: Aarstiderne genskaber den tætte forbindelse mellem dyrkningen af jorden og glæden ved måltider, fulde af gode råvarer, sundhed, smagsoplevelser og nærvær (Aarstiderne.com, 2012). De lægger stor vægt på at bevare jordforbindelsen, og at de i høj grad er en del af alle led, fra at varen produceres til at den er ude ved kunden. Værdierne i Aarstiderne er omtanke, kvalitet, kreativitet, udvikling, vækst, gennemsigtighed og økologisk hverdagskost, hvilke tilsammen understøtter deres mission (Aarstiderne.com, 2012). Miljøet er også et stort fokuspunkt for Aarstiderne: Omtanken for miljøet har en naturlig og høj prioritet uanset om vi er i marken, i køkkenet eller på landevejen. (Aarstiderne.com, 2012). I relation hertil har Aarstiderne udarbejdet et CO 2 -regnskab og en miljøredegørelse, som indeholder miljømæssige mål samt en handlingsplan for, hvordan disse skal nås. Transportdelen udgør den største post i deres CO 2- regnskab, og for at nedbringe CO 2 udslippet på denne post deltager Aarstiderne bland andet i forskningsprojekter omkring elbiler og biobrændsel Aarstidernes forsyningskæde Aarstidernes grøntsager dyrkes til dels på egne gårde. Halvdelen af grøntsagerne dyrkes selv på Billeslund, hvor der dyrkes ca. 50 forskellige slags grøntsager og krydderurter. Resten af grøntsagerne og frugterne kommer fra udvalgte danske økologiske landbrug samt udenlandske leverandører. Råvarerne transporteres fra producenterne til Barrit med store lastbiler, hvorfra de bliver læsset af på deres kølelager og bliver pakket. Gården, Barritskov, udgør på den måde et knudepunkt i Aarstidernes distribution, da det er her alle grøntsags-, frugt- og måltidskasser bliver pakket og transporteret videre. De pakkede kasser bliver hentet på Barritskov i store lastbiler og bliver herfra transporteret videre til syv depoter placeret forskellige steder rundt i landet. Transporten fra pakkeriet sker aftenen eller natten før leveringen hos kunderne. Varevogne kommer på leveringsdagen ud til de syv depoter samt Barritskov, der også fungerer som depot. Her afhenter chaufførerne de produkter, som fremgår af deres kørelister og transporterer derpå varerne ud til de enkelte kunder på deres liste. Chaufførerne har faste ruter de kører og har derfor nøgler til de enkelte kunder for at få adgang til at aflevere kasserne. Hos kunden indsamler chaufførerne også eventuelle brugte kasser, som transporteres tilbage til depotet. Denne forsyningskæde er også forsøgt illustreret herunder i figur 3.1 Side 24 af 64

31 Figur 3.1 Aarstidernes forsyningskæde Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i interview med Palle Pagh (Bilag 1) Nuværende ruteplanlægning af slutleveringen Aarstidernes overordnede ruteplanlægning udarbejdes hovedsagligt ved hjælp af deres ERP-system, Navision, som generer ruterne. De forskellige veje bliver tilknyttet en rute og denne rute leveres på én bestemt ugedag. Disse ruter bliver fordelt til selvstændige vognmænd, som varetager leveringen fra depoterne og ud til kunderne. Herefter står vognmændene selv for at udarbejde en rute ud fra de uddelegerede lister over kunder på ruten. Efter at de overordnede ruter er genereret, kan man manuelt flytte rundt på vejene eller blot enkelte kunder, hvis det skulle være mere optimalt. Hvis efterspørgslen ændrer sig meget kan det også være nødvendigt at splitte en rute op, hvis der kommer for mange kunder på en rute og omvendt sammenlægge ruter, hvis kunderne opsiger deres abonnement. At rykke rundt på kunder imellem vognmændene kan dog også være problematisk. For at kunne komme ind med en levering hos en kunde, kræver det mange steder, at Aarstiderne har en nøgle. Aarstiderne administrerer derfor mange nøgler, for eksempel har en vognmand i København ca nøgler. Dette kan besværliggøre, at kunder fra uge til uge skifter rute, da der mange gange vil skulle afleveres en nøgle fra en vognmand til en anden. Fleksibiliteten på ugeplan er altså ikke er så stor i forhold til at flytte kunder til andre ruter. Side 25 af 64

32 Kunderne har mulighed for op til halvandet døgn før levering at ændre bestillingen eller melde den fra eller til. Eksempelvis betyder det, at de kunder, som har deadline onsdag kl , får deres varer leveret om fredagen. Denne deadline vil dog i fremtiden blive ændret i Københavnsområdet, da kunderne skal kunne ændre bestillingen helt frem til kl dagen før levering (Bilag 1). Aarstiderne har som førnævnt outsourcet deres slutlevering, til selvstændige vognmænd. I alt udføres slutleveringen af 24 selvstændige distributører, der har mellem én og otte varevogne. I én varevogn kan der være ca. 120 drops, og ved hvert drop bliver der i gennemsnit leveret 1,3 kasser. Distributørerne får dagen før levering hos kunderne uddelt en kørselsliste, hvorudfra de selv planlægger den endelige rute. Benny Olesen der er distributør ved Aarstiderne benytter Microsoft Autoroute til at planlægge den endelige rute, han finder det dog en smule problematisk, når der kommer nye kunder til en rute, da han selv skal ind og tilføje kunden i Microsoft Autoroute for dernæst at beregne en ny rute. Endvidere tager Microsoft Autoroute ikke hensyn til ensrettede veje, og Benny har flere gange oplevet at være kørt forbi en kunde tidligt på ruten, uden dog at levere der, fordi Microsoft Autoroute først havde placeret kunden senere på ruten. Han nævner også at Microsoft Autoroute ikke er tilfredsstillende, hvad angår placering af husnumre på mange veje, hvilket også kan give problemer (Bilag 3). 3.2 Opstilling af modellen I indeværende afsnit vil problemstillingen blive indkredset og relevante variable vil blive diskuteret med henblik på at udvælge og opstille modellen til løsningen af udarbejdelsens problemstilling. Overordnet set vil der blive set på, hvilket perspektiv problemstillingen ses ud fra samt andre relevante hensyn herunder vognparken, chaufførerne, geografisk placering af ordre, kundernes bestilling af varer og eventuelle tidshensyn. Problemet indkredses i det følgende til tre nuværende ruter i Roskilde, der alle har depot i Avedøre Problemstillingens synspunkt og valg af kriterium Det findes relevant at vælge fra hvilket synspunkt problemstillingen anskues, da dette kan have indvirkninger på, hvordan problemstillingen skal formuleres, og hvordan den endvidere skal løses. I dette tilfælde kan problemstillingen anskues fra to synspunkter; Aarstidernes og vognmændenes. Side 26 af 64

33 Denne afhandling vil anskue problemstillingen fra Aarstidernes synspunkt, og problemstillingen vil derfor opstilles med henblik på at varetage Aarstidernes interesse. Set fra Aarstiderne synspunkt har de en økonomisk interessere i at minimere omkostningerne ved slutleveringen. Da det er eksterne vognmænd varetager distributionen fra terminalerne og ud til kunderne, har Aarstiderne dog ikke nogen direkte interesse i at slutleveringen sker så billigt som muligt, da de betales pr. drop. Dog har Aarstiderne en indirekte interesse i at vide, hvordan omkostningerne bliver minimeret bedst muligt, da det for dem kan anvendes i forhandlingssituationer, når droppriserne bliver forhandlet med vognmændene hver især. Derudover har Aarstiderne også en miljømæssig interesse i at slutdistributionen sker så effektivt som muligt, da de har et ønske om at minimere CO 2 udslippet fra de varevogne, som anvendes ved slutleveringen. Det antages derfor at man ved at minimere ruternes samlede afstand kan tilgodese Aarstidernes økonomiske og miljømæssige interesse og at omkostnings- og miljøminimering dermed er lig afstandsminimering. Hvis man i stedet havde set problemstillingen fra vognmændenes synspunkt, ville man ende med et ønske om at minimere ruternes afstande og tidsforbrug. Aarstiderne og vognmændene har derfor overordnet set samme interesser. Af denne grund vil vognmændenes problemstilling også nævnes under relevante af nedenstående elementer Vognparken Aarstiderne samarbejder med flere forskellige selvstændige vognmænd om slutleveringen fra terminalerne og ud til kunden. Disse vognmænd råder selv over en vognpark bestående af én til otte varevogne, som anvendes til at transportere varerne. Varevognene, der anvendes, er i store træk ens, og kapaciteten er derfor næsten den samme, ca. 12 m 3 på tværs af den samlede vognpark. Der kan forekomme afvigelser i varevognenes kapacitet, men på grund af manglende oplysninger omkring alle varevognenes kapacitet og for at forenkle problemstillingen, vil det fremefter antages, at vognparken er homogen. I den klassiske formulering af VRP skal alle vogne starte i depotet og efter ruten er afsluttet skal de igen vende hjem til depotet. Dette er også tilfældet i denne problemstilling, da vognmændene skal starte ved depotet, hvor kundernes bestillinger læsses og derefter vende hjem til depotet for at losse tomme kasser, som er blevet opsamlet på ruten. Vognmændenes varevogne er dog ikke stationeret i depotet, da de bagefter skal hjem til vognmandens plads. Denne kørsel fra depotet og hjem til selve Side 27 af 64

34 vognmanden, vil der ikke blive taget hensyn til, da problemstillingen anskues fra Aarstidernes synspunkt. Endvidere skal denne afstand køres uanset hvad, hvorfor det ikke er relevant for minimering afstanden Chaufførerne Aarstiderne har kontrakt med 24 selvstændige vognmænd. De aflønnes alle efter, hvor mange drops de har på deres rute. Dropprisen varierer dog efter, hvor langt der er mellem de forskellige drops. Et drop i et tættere bebygget område som eksempelvis på Nørrebro er prisfastsat lavere end et drop ude på landet, hvor chaufføren givetvis vil have større afstand mellem de forskellige drops. Forhandlingen af droppriserne foregår individuelt mellem Aarstiderne og de enkelte selvstændige vognmænd, så droppriserne vil yderligere variere fra vognmand til vognmand. Til en pågældende rute får vognmanden udleveret en dropliste, hvorpå adresserne på de forskellige drops er listet. Det er herudfra vognmændene selv, der skal planlægge, i hvilken rækkefælge de vil køre ud til kunderne. Da dropprisen er fastlagt ved forhandlingen betyder det, at alle vognmændene vil have incitament til lave deres ruter så korte som muligt. Havde de i stedet været aflønnet efter antal kilometer eller timer, ville de have haft incitament til at gøre ruterne henholdsvis så lange og tidskrævende som muligt. Ønsker en vognmand eller Aarstiderne at opsige deres samarbejde, skal dette ske med et varsel på mellem to og tre måneder. Grunden til variationen er forskellige kontraktforhold med de enkelte vognmænd. Den forholdsvis lange varslingsperiode gør opsigelsen af en vognmand ved store udsving i efterspørgslen mindre fleksibel fra Aarstidernes side. På den anden side er de garanteret at vognmændene ikke kan opsige samarbejdet fra den ene dag til den anden, og de er dermed sikret, at de kan får deres varer leveret ud til kunderne for en længere periode. På grund af ovennævnte kontrakter vil der derfor ikke tages hensyn til, at vognparken ændrer sig, da det antages, at denne er fast for en periode Kundernes bestilling af varer Aarstiderne sælger som førnævnt et stort udvalg af forskellige frugt- og grøntsagskasser, måltidsløsninger, ekstravarer og poser, som kan til vælges. Selve kasserne findes i forskellige mål alt efter, hvad kunderne bestiller. 3-rib kasserne svarer til 30x40x30 cm, 2-rib og 1-rib har de samme bundmål men er henholdsvis 20 og 10 cm i højden. Side 28 af 64

35 Måltidsløsningerne kommer altid i de store kasser og på denne kasse er påhæftet en flamingokasse til kødet med ca. samme dimensioner som 3-rib kassen. Poserne og tilvalgsvarerne kan ikke bestilles, med mindre kunden allerede har bestilt en kasse. Ved levering kommer poser og tilvalgsvarerne ned i kundens kasse, mens poserne under transporten er placeret i en 2- rib kasse sammen med andre kunders posevarer (Bilag 2). Levering af varer til Aarstidernes kunder er som udgangspunkt baseret på et abonnement og derfor er der ikke meget kraftige udsving i efterspørgslen. Kunderne har dog mulighed for at melde leveringen fra i perioder, hvor de eksempelvis skal på ferie. Dette gør at efterspørgslen er lavere i feriernes højsæsoner. Det kunne i disse perioder være relevant at tilpasse leveringsruterne i forhold til efterspørgslen. Generelt er efterspørgslen faldet som følge af finanskrisen. Dette skyldes blandt andet at supermarkedskæder, som Rema1000 yder stor konkurrence på markedet for økologiske fødevarer (Bilag 1). Efterspørgslen siges at være dynamisk, hvis der er ændring i kunderne, der betjenes fra levering til levering, og efterspørgslen siges at være stokastisk hvis mængden af varer en kunde bestiller varierer fra levering til levering. Aarstidernes slutlevering til kunderne indeholder både elementer af dynamisk og stokastisk efterspørgsel. Antallet af kunder og varer kendes dog på planlægningstidspunktet. De nævnte svingninger i efterspørgslen udgør derfor ikke et problem for ruteplanlægningen Geografisk placering af ordrerne Aarstidernes kunder er hovedsagligt placeret i større byer, og det kan derfor være relevant at tage hensyn til ensrettede veje. Ensrettede veje kan besværliggøre ruteplanlægningen for vognmændene og derfor resultere i, at ruterne bliver længere end nødvendigt. I denne udarbejdelse kigges der på 156 kunder fordelt i og lidt uden for Roskilde. Problemet med ensrettede veje anses ikke at være så stort som i København eksempelvis, da der er langt færre indbyggere i Roskilde. Side 29 af 64

36 Figur 3.2 Geografisk placering af kunder og depot Kilde: Logvrp.com Oven for i figur 3.2 ses en grafisk illustration af de 156 kunder samt depotet i Avedøre. De fleste kunder er placeret i Roskilde by, mens der er få kunder, der er placeret et stykke fra byen. De 156 kunder er af Aarstiderne fordelt på tre ruter, som ses i tabel 3.1. Den første rute udgør levering til 88 kunder, den anden levering til 17 kunder og den sidste levering til 51 kunder. Der er altså stor variation i antallet af kunder på de enkelte ruter, mens antallet af kilometer, der køres på de enkelte ruter, ikke varierer med så meget. Til sammen udgør de tre ruter en samlet afstand på 362,4km. Tabel Aarstidernes nuværende ruter Rute # Kunder Km , , ,8 I alt ,4 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag Tidshensyn Der er ikke fra kunderne eller Aarstidernes side opsat et tidsvindue for, hvornår på dagen leveringen skal finde sted. Leveringen skal blot ske inden kl. 17. Det er altså ikke noget, der i modellen skal tages hensyn til. Derudover skal der ikke tages hensyn til kørehviletidsbestemmelserne, da denne bestemmelse kun er gældende for køretøjer der overstiger en totalvægt på 3500 kg inkl. Side 30 af 64

37 påhængsvogn (Politi.dk, 2012), hvilket ikke er tilfældet for de varevogne vognmændene anvender til at levering for Aarstiderne Fastlæggelse af ruteplanlægningsmodel I afsnit 2.1 blev der beskrevet en række forskellige Vehicle Routing problemer. Ud fra ovenstående diskussion af relevante hensyn, vil der i det følgende blive set på, hvilke af VRP erne der er relevante for den givne problemstilling. TSP er ikke relevant at tage i betragtning, da der arbejdes med flere ruter. CVRP ses som relevant i forhold til at varevognene, der bruges til levering af Aarstidernes varer, har en begrænset kapacitet. Forudsætningerne der gør sig gældende omkring denne model, som at efterspørgslen skal være kendt på forhånd, at denne ikke må splittes, at vognene er af samme størrelse samt at de skal køre ud fra samme depot, kommer ikke i karambolage med problemstillingen for Aarstiderne. Kundernes ordrer kendes ca. halvanden dag før levering, og leveringen til én kunde skal ikke splittes. Endvidere er alle varevognene af samme størrelse, samtidig med at de kører ud fra samme depot. Aarstiderne har som tidligere nævnt flere depoter de kører ud fra, men der kigges på levering fra hvert depot for sig. Alle betingelser for at benytte CVRP modellen er altså opfyldt. CVRP with timewindows er ikke relevant i forhold til problemstillingen, da ingen af Aarstidernes leveringer er begrænset til et tidsinterval. Leveringen skal blot ske på ruten, altså i løbet af den angivne dag. CVRP with backhauls er heller ikke relevant for problemstillingen, da de små varevogne der benyttes til slutleveringen ikke henter varer fra leverandører. Når der leveres til en kunde indsamler chaufføren gamle kasser til genbrug. Aarstiderne beskriver dog at manglende kapacitet i varevognene aldrig vil være et problem. Når de tomme kasser stables, fylder de mindre, end når de er fyldte. Endvidere er chaufførerne ikke forpligtet til at tage imod flere kasser end de afleverer til kunderne. CVRP with pickups bliver derfor ikke relevant at inddrage i modellen, da der ikke skal tages hensyn til returneringen af kasserne. Det sidste Vehicle Routing Problem, der blev beskrevet i afsnit 2.1, er VRP with stokastik demand. Aarstidernes kunder abonnerer på produktet, hvilket medfører at der ikke sker store forandringer i efterspørgslen. Kunderne kan fra uge til uge lave små modifikationer i deres efterspørgsel, men Aarstiderne ser ikke dette som et problem i forhold til deres ruteplanlægning, da efterspørgslen er Side 31 af 64

38 kendt på planlægningstidspunktet. Der vil derfor heller ikke blive taget hensyn hertil i valget af modellen til løsningen af problemstillingen. Ud fra ovenstående gennemgang af de forskellige ruteplanlægningsmodeller, kan det sluttes, at modellen til løsningen af problemstillingen kun skal indeholde et kapacitetshensyn. Det vil altså udelukkende være de begrænsninger og antagelser, der nævnes under CVRP, der vil blive taget hensyn til. 3.3 Valg af løsningsmetode Det optimale valg af løsningsmetode vil være de eksakte metoder, da de med sikkerhed finder en optimal løsning af problemet. Men som førnævnt er disse metoder meget tidskrævende, og de er derfor ikke særlig anvendelige i praksis. På grund af de eksakte metoders uanvendelighed i praksis er denne form for løsningsmetode altså ikke relevant i forbindelse med løsning af Aarstidernes problemstilling. Derfor bør løsningsmetoden i stedet findes blandt heuristikkerne. Her er man dog ikke sikker på at en optimal løsning findes, men i stedet findes en mulig løsning på problemet. I afsnit konkluderes det, at der ikke findes noget entydigt svar på, hvilken heuristik der er bedst, da det afhænger af, hvordan de forskellige vurderingskriterier vægtes. Det findes derfor nødvendigt at prioritere førnævnte kriterier for at udvælge den mest optimale løsningsmetode. Taget opgaveløser og brugers erfaring og kompetencer i betragtning, vil det være mest optimalt at anvende en simpel metode og enkeltheden vægtes derfor højt. Dette vil i sidste ende også resultere i, at dem der kunne ønske at bruge løsningen i praksis har større forståelse og føling med modellen. Derudover vægtes præcisionen også forholdsvist højt, da man ønsker at minimere de samlede afstande bedst muligt. Præcision hænger dog sammen med tidsforbruget og kompleksiteten af løsningen, og det kan derfor være nødvendigt at gå på kompromis med præcisionen for stadig at kunne anvende simple metoder og holde tidsressourcerne på et rimeligt niveau. Fleksibiliteten nævntes også som et kriterium ved valg af heuristik, da det kan være nødvendigt at tilpasse metoden til den virkelige verden og derved tage hensyn til flere betingelser. I forhold til netop denne problemstilling er fleksibiliteten dog ikke særlig vigtig, da der, som nævnt i afsnit 3.2.7, kun skal tages hensyn til kapaciteten. Som det blev diskuteret i afsnit giver metaheuristikkerne gode løsninger og er samtidig meget fleksible. Dog bliver der gået på kompromis med enkeltheden og hastigheden. Selvom det er ønskeligt med mere optimale løsninger, vurderes det dog, at kompleksiteten af disse samt det Side 32 af 64

39 forøgede tidsforbrug i stedet taler for anvendelsen af de klassiske heuristikker. Ved en sammenligning af de udvalgte klassiske heuristikker ses, at Fischer and Jaikumars løsningsmetode, ligesom metaheuristikkerne, ikke er særlig enkel at anvende eller implementere. Samtidig er nøjagtigheden af heuristikken svær at bedømme, hvorfor heuristikken fravælges. Sweep og Clarke og Wright heuristikkerne er begge meget enkle og hurtige til at generere en løsning. Dog ser Sweep ikke ud til at overgå Clarke og Wright målt på nøjagtighed og hastighed. Endvidere er Sweep heuristikken mindre anvendelig i byområder, da den antager en plan struktur. Dette resulterer derfor i, at Clarke og Wright heuristikken anses for at være den mest hensigtsmæssige metode til at løse den opstillede problemstilling. Som beskrevet i afsnit er der to tilgange til Clarke og Wrights savingsalgoritme, den sekventielle og den parallelle. Den parallelle tilgang giver statistisk set de bedste resultater, men kræver lidt flere ressourcer end den sekventielle tilgang, idet man skal have flere ruter i gang på samme tid. De yderligere ressourcer, der skal til for at benytte den parallelle frem for den sekventielle tilgang, anses dog ikke for at have en afgørende faktor, idet der vil blive benyttet Excel VBA programmering til løsning af problemet. De statistiske bedre resultater vægtes derfor højest, og der vil derfor i løsningsudarbejdelsen blive benyttet den parallelle tilgang. Argumentet for at benytte en asymmetrisk afstandsmatrice til udregning af savings mellem hver knude, er at ensrettede veje kan have indflydelse på den praktiske udførelse af en rute. I Bilag 6 er der udregnet forskellen mellem at køre fra henholdsvis punkt i til j og fra j til i. Trækker man c ij fra c ji, giver det en forskel på nul for alle punkter. Der vindes derfor ikke yderligere informationer ved at benytte en asymmetrisk matrice, og argumentet herfor er derfor ikke opfyldt. Der vil derfor heller ikke blive benyttet en asymmetrisk matrice i løsningsudarbejdelsen. Der vil i løsningsudarbejdelsen blive kigget på modifikationer af savingsudregningen, som det blev beskrevet i afsnit med henblik på at finde forbedringer til den først fundne løsning uden modifikationer. Som der også blev beskrevet i afsnittet, er der dog ikke noget entydigt svar på resultatet ved at benytte modifikationer. De andre nævnte modifikationer omkring minimering af tidsforbruget vil ikke anvendes, fordi det antages, at anvendelse af ovenstående løsningsmetode ikke vil resultere i brugen af for mange tidsressourcer. Jameson og Mole (1976) kom med et bud på endnu en modifikation af savingsheuristikken. Denne metode tog udgangspunkt i Clarke og Wright, men tillod at kunder godt kunne kobles ind imellem Side 33 af 64

40 kunder, som allerede var på ruten. Denne metode kunne være relevant at afprøve, dog er der ikke særlig meget empiri omkring, hvor gode resultater denne metode har opnået. Denne løsningsmetode vil derfor ikke blive gennemført i løbet af analysen. Holmes og Parker (1976) opnåede gode resultater i deres forsøg på at forbedre en løsning på et symmetrisk problem fundet med den parallelle savingsmetode. Metoden vil derfor blive testet i den følgende løsningsudarbejdelse. Den bedst fundne løsning vil i løsningsudarbejdelsen forsøges forbedret ved hjælp af improvement heuristikkerne. I afsnit blev det beskrevet, at den bedste improvement heuristik i samarbejde med savingsheuristikken er 3-opt. På trods heraf anses omfanget ved denne metode at være for stort, og der vil i stedet for blive lavet improvement i form af en 2-opt. Til sammenligning giver ombytningen af tre led otte mulige kombinationer af en ny sammensætning, mens der kun er én mulig kombination ved ombytningen af to led. 2-opt improvement er som tidligere beskrevet derfor let at anvende. En 2-opt improvement tager udgangspunkt i TSP og derfor vil der i løsningsudarbejdelsen først laves improvement i form af cyklisk permutation, der forsøger at forbedre alle ruterne samlet set. Findes der en forbedring herved, vil den 2-opt improvement, der udføres tage udgangspunkt i hver af de nye ruter. 3.4 Udarbejdelse af løsningsforslag Problemstillingen er nu blevet indsnævret og løsningsmetoden er fastlagt. I det følgende afsnit ses først på en række elementer, der ligger forud for løsningen af problemet. Herunder hører afstandsmatricen, savingsmatricen samt kapacitetsbegrænsningen, som modellen er underlagt i form af CVRP. Til sidst i afsnittet opstilles den endelige løsning for Aarstidernes ruter fra depotet i Avedøre og ud til de 156 kunder, der er placeret i og omkring Roskilde Afstandsmatrice Til udregning af afstandsmatricen er programmet Logvrp benyttet, som er understøttet af Google Maps. Logvrp kan både regne afstande i fugleflugt og den reelle vejafstand. I denne problemstilling er det mest relevant at anvende vejafstanden, da det er disse, der skal anvendes i forbindelse med transporten. Afstandsmatricen er således opgivet i den reelle vejafstand. Nedenstående tabel 3.2 er et udsnit af afstandsmatricen. Depotet har værdien 0 og matricen er derfor af størrelsen , da der er 156 kunder på de betragtede ruter. Hele afstandsmatricen kan ses i Bilag 8. Side 34 af 64

41 Tabel Afstandsmatrice Fra/til ,9 35,8 35,9 35,9 35,9 1 33,9 0 2,8 2,9 2, ,8 2,8 0 0,2 0,2 0,2 3 35,9 2,9 0, ,1 4 35,9 2,9 0, ,9 3 0,2 0,1 0 0 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag Savingsmatrice På baggrund af afstandsmatricen beregnes en tilsvarende savingsmatrice, der angiver hvor meget der spares ved at slå to punkter sammen til en rute, frem for at køre fra depotet til hvert punkt. Savingsmatricen er illustreret nedenfor i tabel 3.3. Tabel Savingsmatrice Fra/til , ,9 71, ,9 71,5 71, ,8 71,5 71,7 71,8 0 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag 8 s ij ci0 c0 j cij for i, j 1,..., n og i j (3.1) Savings udregnes ud fra formel 3.1. Nedenfor ses to eksempler på savingsudregningen. Udregningerne tager udgangspunkt i afstandene i tabel 3.2. s 1,2 33,9 35,8 2,8 s1, 2 66,9 s 3,4 35,9 35,9 0 s3, 4 71,8 Som det blev illustreret i Figur 3.2, ligger depotet langt væk fra kunderne. Afstandene c 0 og c 0 er i j derfor store i forhold til c ij. Dette medfører, at der er stor gevinst ved at slå to knuder sammen på en rute. Alle de udregnede savings kan ses i Bilag 8. Side 35 af 64

42 3.4.3 Kapacitetsbegrænsning For at løse problemstillingen er det relevant at se på kapacitetsbetingelsen. Løsningen er underlagt den begrænsning, at varevognene har en maksimal kapacitet, som skal overholdes. Det er altså nødvendigt at udregne kapaciteten af varevognene. Dette kan dog gøres på flere forskellige måder, som vil blive forklaret og diskuteret herunder Kapacitet i drops Aarstidernes distributionschef, Palle Pagh, mener at varevognene i gennemsnit har en kapacitet på 120 drops (Bilag 1). Dette kan anvendes som kapacitetsbegrænsning, hvor kunderne derved tæller for ét drop og hver varevogn dermed maksimalt kan servicere 120 kunder. Dette vil dog medføre, at der hverken tages højde for antallet af varer som kunderne bestiller eller størrelsen af disse. Dette mål vil dermed blive meget upræcist og man vil kunne risikere at bilen allerede er fuld ved et lavere antal kunder, på grund af at de bestiller flere eller større varer end gennemsnittet Kapacitet i kolli Vognmændene regner normalt selv i kolli, hvilket betyder, at der tages udgangspunkt i antal enheder og hver vare tæller således én enhed. Ifølge vognmanden, Benny, er der normalt plads til 250 kolli i en varevogn. Men varevognen kan dog allerede være fuld ved 200 kolli, hvis kunderne bestiller store kasser som eksempelvis måltidskasser, og omvendt kan varevognen først være fuld ved 300 kolli, hvis kunderne bestiller mindre varer som eksempelvis frugtposer (Bilag 2). Denne løsning tager således hensyn til antallet af varer, men ikke størrelsen af de pågældende varer. Samtidig er det uvist, præcist hvilken kapacitetsbegrænsning man vil skulle bruge, da der netop ikke tages hensyn til størrelsen af varerne. Det vil derfor være nødvendigt at anvende de 200 kolli som begrænsning, for at sikre at der er plads til bestillingerne og sandsynligheden for at der vil være uudnyttet plads i varevognene er dermed større Kapacitet i 3-rib kasser De udvalgte ruter, som anvendes i denne problemstilling, køres alle med varevognene som er ca. 12 m 3. Det er også den størrelse der almindeligvis anvendes på andre ruter. Den type varevogn som anvendes på disse ruter, er en Mercedes Sprinter 315 og 316 (Bilag 4), som måler 4,215m i længden, 1,736m og 1,855m i henholdsvis bredden og højden. Dette vil sige, at der kan være Side 36 af 64

43 rib kasser 4 i længden, 4 kasser i bredden 5 og 6 kasser i højden 6 (se figur 3.3 for illustration). Dette vil betyde, at der i alt vil kunne være kasser og dermed rib kasser i alt. Figur 3.3 Rumfang af varevogn 4,215m - 14 kasser 1,855m - 6 kasser I alt 336 kasser 1,736m 4 kasser Kilde: Egen tilvirkning Dette antal er dog urealistisk at anvende i praksis, da der ikke er taget hensyn til blandt andet hjulkasser og at det ikke er praktisk muligt at læsse bilen på denne måde. Det samme giver vognmanden, Benny, udtryk for. Han mener der maksimalt kan være rib kasser i varevognene og muligvis mindre, for at gøre det lettere at komme til kasserne (Bilag 2). Derfor anvendes rib kasser som kapacitetsbegrænsning. Denne metode til udregning af kapacitetsbegrænsningen tager altså både hensyn til størrelsen af kundernes efterspurgte varer og antallet af disse, hvorfor denne metode vil blive anvendt i løsningsforslaget. For at anvende denne metode skal hver kundes efterspørgsel udregnes i 3-rib kasser, hvilket også er muligt, da man på kørelisterne kan se hvorvidt der er tale om 1, 2 eller 3-rib kasser. Nedenfor i tabel 3.4 er angivet fem kunder og deres bestillinger. Da kunde 1 skal have en 3-rib kasse, bliver ordren omregnet til 3-rib kasser 1. For kunde 2, som kun skal have en 2-rib kasse, betyder det, at kundens efterspørgsel bliver 2/3 osv. 4 4,215/0,4 = 14, ,736/0,3 = 4, ,855/0,3 = 6,183 6 Side 37 af 64

44 Tabel 3.4 Oversigt over bestillinger Kundenr. Bestillinger Antal ribs Bestilling i 3 ribs 1 3 rib - Frugtkasse rib - Stor frugt 2 2/3 3 3 rib - Mix + 3 rib single rib - Basisfrugt 1 1/3 5 3 rib - Basis + 1 rib - Basisfrugt 4 1 1/3 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag 6 Aarstiderne leverer også andre produkter, som ikke pakkes på samme måde. Måltidskasserne består af en 3-rib kasse og en påhæftet flamingokasse. Dette fylder omtrent det samme som to 3-rib kasser, og indregnes derfor som dette. Derudover leveres også eksempelvis frugtposer. Disse pakkes i 2-rib kasser, hvor der kan være tre posevarer. For at forsimple dette udregnes denne bestilling som 1/3 af en 2-rib kasse, hvilket vil sige 2/9 3-rib kasse. Andre ekstravarer kan også vælges til så som flåede tomater, ost eller te. Der tages dog ikke hensyn til disse varer i beregningerne, da det antages, at de lægges i kundens kasse. I Bilag 7 kan summen af alle kundernes bestillinger omregnet til 3-rib kasser ses. Kundernes samlede ordrer på de tre udvalgte ruter i Roskilde er i den pågældende uge på 171,4 3-rib kasser. På grund af kapacitetsgrænsen på rib kasser må det derfor forventes, at løsningen kun vil indeholde to ruter, i modsætning til de tre som blev kørt i den udvalgte uge Løsning Efter at have udvalgt løsningsmetoden og opstillet afstandsmatrice, savingsmatrice og fundet kapacitetsbegrænsningen er det nu muligt at udarbejde løsningen. Løsningen vil blive udarbejdet i Excel blandt andet ved hjælp af Visiual Basic 7 for at automatisere processen Rangering af savings Clarke & Wrights savingsheuristik tildeler, som førnævnt, kunder til ruterne på baggrund af, hvad der giver den største besparelse. For at gøre løsningen nemmere at udarbejde rangeres de udregnede savings i faldende orden. I tabel 3.5 kan de seks største savings ses. Af tabellen ses det, at savingstørrelsen for de fire sidste kunder alle er ens. Clarke og Wright har ikke umiddelbart noget svar på, hvad man gør i sådanne situationer og vælger tilfældigt mellem kunder med ens 7 VBA koden er udarbejdet i samarbejde med Jens Lysgaard. Side 38 af 64

45 savingstørrelse. Ved at have rangeret punkterne på denne måde bliver det øverste punkt automatisk valgt først, hvilket i denne situation altid vil være punkterne med de mindste kundenumre. Tabel 3.5 Savings rangeret med største først Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag Opstilling af betingelser Ud over kapacitetsbegrænsningen er der også andre betingelser, som skal overholdes, når kunderne skal fordeles ud på ruter. Når kunde i skal have tildelt en nabo 8, vil kunde j blive kunde i s nabo 1 og hvis dennes naboplads er optaget skal kunde j sættes på den modsatte side og bliver dermed nabo 2. Har kunde i allerede to naboer, kan kunde j ikke kobles på. Hvis kunde i og kunde j begge er endepunkter 9 for den rute, som de optræder på, må de ikke kobles sammen, da dette vil resultere i en lukket kreds. Depotet vil dermed blive ekskluderet fra ruten, hvilket ikke ønskes. Den førnævnte kapacitetsbegrænsning tages der hensyn til ved at opdatere den samlede mængde for ruten, hver gang der tilføjes en ekstra kunde. Hvis den samlede mængde stadig lægger under de tilladte rib kasser, må kunden gerne tilføjes ruten. Betingelsen er opstillet matematisk nedenfor i (3.2) i i V Kunde 1 Kunde 2 (fra) (til) Savings rangeret , , , , , ,6 d X 150 v V (3.2) j V ij 8 En kundes nabo er en kunde der enten er forgænger eller efterfølger til den pågældende kunde. 9 Om endepunkt benyttes også begrebet makker. Side 39 af 64

46 Allokering af kunderne til ruterne Savingsheuristikken tager udgangspunkt i, at der er 156 separate ruter fra kunderne og til depotet, som er illustreret i figur 3.4. Figur 3.4 Illustration af heuristikkens udgangspunkt Kilde: Egen tilvirkning For at illustrere, hvordan kunderne i en bestemt rækkefølge bliver allokeret til en bestemt rute, forklares denne fordeling punktvis nedenfor og oversigten kan ses i tabel Af figur 3.5 ses, at kunde 58 og kunde 104 er de første, der bliver lagt sammen, da dette vil medføre den største besparelse, hvilket ses af tabel 3.5. Denne sammenlægning er ikke problematisk i forhold til kapacitetsbegrænsningen, da den samlede mængde kun giver 2 2/3, som ses i nedenstående tabel 3.6. Der er altså stadig rigeligt plads i varevognen, da den kan indeholde 150 kasser. Tabel 3.6 Kundernes efterspørgsel målt i 3-rib kasser Kunde nr. Efterspørgsel /3 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag 7 2. Derefter ses på kunderne med næsthøjeste saving; kunde 56 og kunde 57. Disse er ikke en del af den allerede eksisterende rute, og på grund af valget af en parallel udgave af Clarke og Wrights savingsheuristik, oprettes der nu endnu en rute, med disse punkter, samtidig med at kapacitetsbegrænsningen er overholdt. Side 40 af 64

47 3. Der ses nu på kunderne med den tredje højeste saving, som er kunde 56 og kunde 58. Kunde 58 er allerede en del af en anden rute, og det samme gælder for kunde 56, det betyder, at disse ruter nu kan lægges sammen, og ruten består derved af fire kunder i stedet for to separate ruter med to kunder i hver, hvilket ses af figur 3.5. Før disse lægges sammen skal kapacitetsbegrænsningen tjekkes. Mængden for hver af ruterne er henholdsvis 2 2/3 og 2, og kapacitetsgrænsen er derfor ikke nået. Figur 3.5 Illustration af allokeringen af kunder Kilde: Egen tilvirkning 4. De næste kunder, der bliver taget i betragtning, er kunde 56 og kunde 104. Disse kunder bliver dog ikke koblet sammen, da kunde 56 allerede har to naboer. Der kan derfor ikke kobles flere sammen med denne kunde. 5. Det samme gælder for de næste kunder i rækken; kunde 57 og kunde 58, hvor kunde 58 allerede er besat på begge sider. 6. Derefter tages kunde 57 og kunde 104 i betragtning. Ingen af disse har naboer på begge sider, og de kan derfor som udgangspunkt godt kobles sammen. Problemet med denne sammenkobling er dog, at de to kunder samtidig er hinandens makkere. Dette er dermed et brud på en af betingelserne, som er nævnt først i dette afsnit. Betingelsen siger, at to kunder der er en rutes endepunkter, ikke må sættes sammen. Denne tildeling af kunder fortsættes indtil alle kunderne er koblet til en rute. Side 41 af 64

48 Tabel 3.7 Oversigt over allokeringen af punkter Punkt 1 Punkt 2 Kapacitetsbegrænsning Savings Beslutning Kapacitet (fra) (til) ,0 Ny rute oprettes 2 2/3 Overholdt ,6 Ny rute oprettes 2 Overholdt ,6 Ruterne sammenlægges 4 2/3 Overholdt ,6 Brud på betingelser - "56" har allerede to naboer ,6 Brud på betingelser - "58" har allerede to naboer ,6 Brud på betingelser - "57" og "104" er hinandens makkere Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag De endelige ruter De endelige ruter kan ses i tabel 3.9. Løsningen for ruterne er fundet ved hjælp af Microsoft Excel og Visual Basic. Kunderne er blevet fordelt ud på to ruter på, da kundernes samlede efterspørgsel på 171,4 3-rib kasser overstiger kapacitetsbegrænsningen på de 150 kasser. Den første rute består af 133 kunder og er 137,5 km lang. På denne rute skal der fordeles 145,9 bestillinger i 3-rib kasser, hvilket også kan ses af tabel 3.8. Den anden rute består kun af 23 kunder og er 102,6 km lang. På grund af det lavere antal kunder skal der også transporteres en del færre varer og der transporteres derfor kun 25,4 bestillinger målt i 3-rib kasser. For at betjene alle 156 kunder skal der altså køres i alt 240,1 km med i alt 171,4 3-rib kasser Tabel 3.8 Oversigt over ruterne Rute # Kunder Efterspørgsel Km ,9 137, ,4 102,6 I alt ,4 240,1 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag 7 Herunder i tabel 3.9 kan ses den endelige rækkefølge, som kundernes skal besøges i. Side 42 af 64

49 Tabel 3.9 Oversigt over rækkefølgen Rute Rute Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag 7 I nedenstående figur 3.6 og 3.7 er de to ruter illustreret 10. Det ses at rute 1 hovedsageligt medtager kunder i Roskilde, og rute 2 stort set kun indeholder kunder uden for Roskilde. Figur 3.6 Illustration af Rute 1 Kilde: Microsof Autoroute I figur 3.6 og 3.7 angiver numrene rækkefølgen på ruten, hvorfor de ikke stemmer overens med kundenumrene. Side 43 af 64

50 Figur 3.7 Illustration af Rute 2 Kilde: Microsof Autoroute Mulige forbedringer af løsningen Løsningen, som blev fundet ovenfor, vil nu blive forsøgt forbedret. Dette vil blive gjort ved hjælp af en række forskellige metoder. Først vil løsningen forsøges forbedret ved at anvende modifikationer af savingsberegningen. Derefter vil det undersøges, hvorvidt undertrykkelse af savings kan føre til bedre løsninger. Ydermere vil der også blive anvendt to forskellige improvement heuristikker i form af Cyklisk Permutation og 2-opt. improvement Løsning med modifikationer af savingsberegningen Modifikationer af savingsberegningen har, som beskrevet i afsnit , i visse tilfælde vist sig at have en positiv effekt på afstandsminimering i ruteplanlægningen. I dette afsnit vil der derfor blive udregnet nye savings med de i afsnit beskrevne modifikationer. Disse savings vil blive benyttet til udregning af nye ruter med henblik på at se, om det er muligt at optimere afstanden på ruterne. Den første modifikation skal ændre vægten der tillægges afstanden mellem i og j ( c ij ). Parameteret λ ligger mellem nul og tre. Når λ er mindre end én lægges mindre vægt på c ij, hvorimod der tillægges større vægt på c ij, når λ er større end én. Side 44 af 64

51 s ij ci 0 c0i cij (3.3) Eksempel på beregning af savings med λ = 0,5: s c c 0, c s 1,2 33,9 35,8 0,5 2,8 s1, 2 68, 3 1,2 0,1 2,0 5 1, 2 Eksempel på beregning af savings med λ = 1,5: s c c 1, c s 1,2 33,9 35,8 1,5 2,8 s1, 2 65, 5 1,2 0,1 2,0 5 1, 2 Savings bliver henholdsvis større og mindre end uden modifikationen, alt afhængigt af om λ sættes til en værdi der er mindre eller større end én. Løsningen for ovenstående modifikationer giver en samlet ruteafstand på henholdsvis 245,7 km og 243,0 km. Der er altså ingen af ovenstående modifikationer, der giver en bedre løsning end løsningen med den oprindelige savingsberegning (240,1 km). Den anden modifikation bygger videre på den første modifikation. Parameteret μ kan antage værdier mellem nul og ét (Rand G. K., 2009). s ij c c c c c (3.4) i0 0i ij 0i j0 Den bedste løsning under den første modifikation, blev fundet med λ=1,5, hvorfor denne værdi benyttes i eksemplet med Paessens modifikation. Eksempel på beregning af savings med λ = 1,5 og μ = 0,5: s 1,2 c 0,1 c 2,0 1,5 c 1,2 0,5 c 0,1 c 2,0 s 1,2 33,9 35,8 1,5 2,8 0,5 33,9 35,8 s 1,2 66,45 Når alle savings er beregnet på ovenstående vis, beregnes en ny løsning af problemet. Den samlede afstand for denne er 243,1 km. Løsning er altså forringet med 0,1 km set i forhold til løsningen der blev fundet under den første modifikation. Samlet set er det stadig løsningen med de oprindelige savingsberegninger, der giver det bedste resultat, da denne metode giver den korteste afstand for ruterne. Den tredje modifikation bygger ligeledes videre på de andre modifikationer. Der indføres et nyt led medhenblik på at tage efterspørgslen fra kunderne med i savingsberegningerne. Når to savings er Side 45 af 64

52 ens, er det normalt tilfældigt, hvilket af de to punkter der kobles på en rute. Ved at indføre efterspørgslen kan dette i højere grad undgås (Rand G. K., 2009). s ij di d j ci0 c0i cij c0i ci0 (3.5) d I nedenstående eksempel tages udgangspunkt i den bedste løsning fra Paessens modifikation, dette vil sige λ = 1,5 og μ = 0,5. Det beskrives ikke i teorien hvilken værdi parameteret ν kan antage, så i nedenstående eksempel antager ν værdien 0,5. s s 1,2 1,2 d1 d 2 c0,1 c2,0 1,5 c1,2 0,5 c0,1 c2,0 0,5 d ,9 35,8 1,5 2,8 0,5 33,9 35,8 0,5 3 1,1 s 1,2 67,21 Alle savings beregnes som på ovenstående vis og en ny løsning findes herudfra. Afstanden på de samlede ruter er 248 km, hvilket vil sige at løsningen er blevet forringet ved at indføre den tredje modifikation. En samlet oversigt over værdier af de tre parametre og den samlede afstand på de dannede ruter er opstillet i tabel Forskellige værdier af parametrene er afprøvet, da der ikke er noget entydigt svar på, hvilken værdi de hver især skal antage. Tabel 3.10 Oversigt over udførte løsninger med modifikationer λ μ ν Afstand (Km) ,1 0, ,7 1, ,0 0,5 0,5-246,8 1,5 0,5-243,1 0,5 0,5 0,5 268,4 0,5 0,5 1,0 296,8 0,5 0,5 1,5 315,4 1,5 0,5 0,5 248,0 1,5 0,5 1,0 247,6 1,5 0,5 1,5 330,4 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag 8 Side 46 af 64

53 Der er ingen af de benyttede modifikationer, der giver en bedre løsning end den oprindelige løsning. En mulig forklaring på, at der ikke ved hjælp af modifikationerne er fundet en bedre løsning end den først fundne løsning uden modifikationer, kan være at den første løsning er en god løsning. Endvidere er der ingen faste værdier af de tre modifikationers parameter, der konsekvent giver en bedre løsning (Rand G. K., 2009). Det er derfor svært at identificere, hvad parametrene skal sættes til for at finde en bedre løsning end løsningen uden modifikationer af savingsberegningerne Løsning med undertrykkelse af savings En mulig måde hvorpå man kan forsøge at forbedre løsningen er ved hjælp af Holmes og Parkers metode, hvor savings undertrykkes. Der tages udgangspunkt i den løsning, som blev fundet i afsnit Herefter udelukkes det led med den største saving, som er s 58, 104 med en saving på 78 jf. tabel Da modellen tager udgangspunkt i en symmetrisk afstandsmatrice vil det sige, at både s 58, 104 og s 104, 58 bliver udelukket og disse kan derfor ikke kobles sammen, når løsningen efterfølgende laves. Tabel 3.11 Oversigt over allokering af punkter ved undertrykkelse af den største saving Punkt 1 Punkt 2 (fra) (til) Savings Beslutning ,0 Undertrykkes ,6 Ny rute oprettes ,6 "58" kobles på "56" ,6 Brud på betingelser - "56" har allerede to naboer ,6 Brud på betingelser - "57" og "58" er hinandens makkere ,6 "104" kobles på "57" Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag 9 Når 58, 104 s udelukkes, bliver den største saving dermed s56, 57 med en saving på 77,6. Kunde 56 og kunde 57 kobles derfor først sammen. Derefter kobles kunde 58 på kunde 56. De to næste led i rækken kan ikke anvendes, da kunde 56 allerede har to naboer og da kunde 57 og kunde 58 er hinandens makkere. Til sidst kobles kunde 104 på kunde 57 og rækkefølgen ændrer sig derfor i forhold til den først fundne løsning, som det kan ses i tabel 3.12 nedenfor. Tabel 3.12 Sammenligning af de to løsninger Side 47 af 64

54 Løsnin Samlet afstand Første løsning ,1 Løsning med undertrykkelse ,5 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag 9 Allokeringen af kunder til ruterne fortsættes, som i den første løsning og man ender til sidst med en samlet afstand for de to ruter på 240,5 km, som dermed er længere end afstanden på den først fundne løsning. Dét at den pågældende saving blev undertrykt, har altså ikke medført en forbedring af den samlede afstand. Af denne grund fortsættes undertrykkelsen af den næste saving, til der om muligt findes en bedre løsning eller at alle savings er undertrykt. Resultaterne af de fire første undertrykkelser kan ses i tabel 3.13 nedenfor. Af tabellen ses, at hvis den fjerde højeste saving undertrykkes, resulterer det i en forbedring af den først fundne løsning. Ved undertrykkelse af den fjerde saving opnås en samlet afstand på 240 km (se Bilag 9). Denne afstand skal ses i forhold til den først fundne løsnings samlede afstand på 240,1 km. Der er altså sket en lille forbedring på 0,04 pct. i forhold til den først fundne løsning. Tabel 3.13 Undertrykkelse af savings Undertrykt saving Samlet afstand Procentvis forbedring 1. s ,5-0,17% 2. s ,5-0,17% 3. s ,9-0,75% 4. s ,0 0,04% Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag 9 Sammenlignet med den først fundne løsning er der ikke sket nogen ændringer på rute 2. Dette betyder dermed, at der heller ikke er nogen ændring af antallet af kunder og efterspørgslen for begge ruter. Da rute 2 er uændret, betyder det ligeledes, at det må være rute 1 der er forbedret, hvilket også ses af tabel Rute 1 er forbedret med 0,1 km. Ved hjælp af Holmes og Parkers metode var det altså muligt at skabe en forbedring af den først fundne løsning. Undertrykkelsen kunne være fortsat for at forsøge at finde yderligere forbedringer. Tabel 3.14 Oversigt over ruten Side 48 af 64

55 Rute # Kunder Efterspørgsel Km ,9 137, ,4 102,6 I alt ,4 240 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag Løsning med efterfølgende cyklisk permutation En anden måde hvorpå man kan forsøge at finde en løsning, der er forbedret i forhold til den først fundne, er ved hjælp at cyklisk permutation, der blev beskrevet i afsnit om multiroute improvement. Denne heuristik vil tage udgangspunkt i den indtil nu bedst fundne løsning, hvilket er løsningen fundet i afsnit I nedenstående tabel 3.15 er resultatet af 2-cyklisk permutation med henholdsvis 3 og 5-transfer. Det vil sige, at der i de to oprindelige ruter flyttes henholdsvis 3 og 5 kunder fra den ene rute til den anden. Rotationen er udført både fremad- og tilbagerettet (se Bilag 10). I den 2-cykliske 3-transfer, hvor rotationen er fremad, tages de tre sidste punkter (100, 99 og 101) fra rute 2 og sættes op foran på rute 1. Samtidig skubbes de tre sidste punkter på rute 1 (144, 143 og 145) til rute 2, således at de indleder rute 2. Når rotationen laves, skal kapacitetsbegrænsningen stadig være gældende, der er derfor indsat mængden af kasser på de to ruter efter rotationen i tabel Kapacitetsbegrænsningen er dog ikke oversteget i nogle af de fire løsninger. Tabel 3.15 Oversigt over cyklisk permutation b-cyklisk k-transfer Retning Rute Mængde Km 2 3 Frem 1 143,61 140,6 2 27,78 111,8 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag ,4 2 3 Tilbage 1 145,94 141,1 2 25,44 113,3 254,4 2 5 Frem 1 143,06 143,1 2 28, ,1 2 5 Tilbage 1 146,28 153,2 2 25,11 118,1 271,3 Side 49 af 64

56 Der er ingen af de udførte cykliske permutationer, der giver en forbedret løsning i forhold til den bedst fundne løsning. Det ser derimod ud til at jo højere k er jo dårligere en løsning findes. Dette giver god intuitiv mening, idet man tager en rute, der burde være relativ god og ændrer mere på ruten jo højere k sættes til. Dette kan dog også være tilfældigt, da der i teorien ikke er beskrevet noget herom. Problemet ved den cykliske permutation er det samme som ved modifikationerne. Der er i teorien ikke beskrevet, hvilken værdi k skal antage, for at man får en forbedret løsning. Dette medfører, at man skal prøve sig frem, indtil man om muligt finder en forbedret løsning Løsning med efterfølgende 2-opt improvement Løsningen i afsnit vil i det følgende forsøges forbedret ved hjælp af en 2-opt, da der ikke ved multiroute improvement blev fundet en bedre løsning. I nedenstående tabel 3.16 er princippet ved 2-opt improvement illustreret med udgangspunkt i de første fire kunder i rute 2. Tabel 3.16 Eksempel på 2-opt improvement Ændring i løsning Samlet afstand Første løsning ,6 Første ombytning ,6 Anden ombytning ,7 Tredje ombytning ,1 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag 12 Først ombyttes kunde 99 og kunde 100, men da afstanden mellem disse to kunder er nul sker der ingen ændring i den samlede afstand for ruten. Da der ikke sker en forbedring ved ombytningen, rykker de to kunder tilbage til deres oprindelige plads på ruten. I anden ombytning skifter kunde 101 og kunde 100 plads. Afstanden ved denne ombytning forringes med 0,1 km og de to kunder rykker derfor tilbage på samme vis som ved første ombytning. Den sidste ombytning, der er illustreret i Tabel 3.16 af kunde 105 og kunde 100, bevirker ligeledes at afstanden forringes, hvorfor også disse punkter rykker tilbage til deres oprindelige position. Eksemplet her viser ingen forbedringer, men i tilfælde hvor en ombytning resulterer i en forbedret afstand, vil man ved næste ombytning tage udgangspunkt i den forbedrede rute. Side 50 af 64

57 Tabel 3.17 Sammenligning af resultat før og efter 2-opt improvement Rute nr. Afstand før 2-opt Afstand efter 2-opt Procentvise forbedring 1 137,4 133,9 2,55% 2 102,6 100,2 2,34% I alt ,1 2,46% Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag 11 og 12. Resultatet af 2-opt improvement med best improvement strategien (BI) ses i ovenstående tabel Løsningen er fundet ved hjælp af Microsoft Excel 2007 og Visual Basic 11. Det ses, at den første rute er forbedret med 2,55 pct. og den anden rute har opnået en forbedring på 2,34 pct. Samlet set er den afstand, der skal køres, for at levere til de 156 kunder faldet fra 240 km til 234,1 km, hvilket svarer til en forbedring af ruten på 2,46 pct. 2-opt improvement på hver af ruterne, medfører altså en forbedring af den hidtil bedst fundne løsning. 3.5 Opsummering af opstillede løsninger En løsning på problemstillingen er i indeværende afsnit forsøgt fundet. Den første løsning blev fundet ved hjælp af Clarke og Wrights Savingsheuristik. Denne løsning resulterede i at de 156 kunder blev betjent på to ruter, og den samlede rute udgjorde 240,10 km. Det blev forsøgt at modificere savingsberegningen med henblik på at finde en bedre løsning end den først fundne. Dette var imidlertid ikke muligt. Resultatet af modifikationerne var derimod meget varierende, som det ses i tabel 3.18, og jo flere modifikationer der blev tilføjet jo dårligere blev modellens løsning. Da modifikationerne af savingsberegningerne ikke gav et bedre resultat, blev det ud fra den oprindelige savingsberegning i stedet forsøgt at finde en bedre løsning ved Holmes og Parkers undertrykkelse af savings. Dette gav en samlet afstand for løsningen på 240,0 km hvilket var den hidtil bedste løsning. Tabel 3.18 opsummering af løsninger Samlet afstand Første løsning 240,1 Løsning med modifikationer ,4 Løsning med undertrykkelse af led 240,0 Løsning med cyklisk permutation 252,5-271,4 Løsning med 2 opt. Improvement 234,1 Kilde: Egen tilvirkning. 11 VBA koden tager udgangspunkt i materiale uleveret af Jens Lysgaard. Side 51 af 64

58 Improvement heuristikken Cyklisk permutation blev benyttet på den hidtil bedst fundne løsning med henblik på at forbedre denne. Der blev fundet løsninger med henholdsvis 3 og 5-transfer, men ingen af de fundne løsninger gav et bedre resultat end den hidtil bedst fundne løsning. På samme vis, som det var tilfældet med løsningerne, der fremkom ved modifikationer af savingsberegningen, varierede løsningerne også meget ved Cyklisk permutation, og der fremkom løsninger der lå langt fra den hidtil bedst fundne løsning, som det ses i tabel Da den benyttede multiroute heuristik ikke gav et forbedret resultat, blev det forsøgt at forbedre de to ruter hver i sær. Dette blev gjort ved hjælp af Lins 2-opt improvement. Denne heuristik gav et forbedret resultat for hver af de to ruter og dermed også samlet set. Efter 2-opt improvement heuristikken var benyttet på den hidtil bedst fundne løsning, udgjorde den samlede afstand for de to ruter 234,1 km, hvilket er en forbedring på 6 km fra den først fundne løsning. Side 52 af 64

59 4. Validering Efter at modellen er opstillet og de valgte løsningsmetoderne er benyttet, findes det relevant at validere disse. Dette gøres med henblik på at bedømme, hvorvidt den opstillede model svarer til den praktiske problemstilling og om de valgte løsningsmetoder løser problemet tilfredsstillende. 4.1 Validering af modellen Den opstillede model, der blev benyttet til udarbejdelsen af problemstillingen, vil i indeværende afsnit blive valideret i forhold til svagheder og styrker. Svaghederne tager udgangspunkt i en række antagelser, der blev lavet forud for modellen samt praktiske problemstillinger, som modellen har overset. Disse vil sammen med modellens styrker blive kommenteret ud fra den struktur der blev opstillet i afsnit Problemstillingens synspunkt og valg af kriterium: I afsnit antages det at minimering af afstanden, imødeser Aarstidernes to overordnede krav om omkostningsminimering og mindst mulig miljøpåvirkning. I forhold til omkostningsminimering antages det, at Aarstiderne har incitament til at gøre afstanden på ruterne kortere, for dermed at kunne benytte dette i forhandlingen af droppriserne med vognmændene. I forhandlingen af droppriserne er det dog imidlertid ikke kun afstanden, som kan være en vigtig faktor, men ligeledes den tid vognmændene bruger på at køre afstanden. Der er i modellen ikke taget hensyn til lyskryds, at hastighedsbegrænsningen er forskellig fra vej til vej eller at trafikken kan variere. Dette er et stort kritikpunkt til modellen, men det er også et punkt der er svært at tage højde for, da der vil være stor usikkerhed i beregningen af tidsforbruget Vognparken Da problemstillingen blev indkredset og uddybet, var det også nødvendigt at gøre sig antagelser omkring vognparken. Dette handlede om varevognenes størrelse og dermed også deres kapacitet Vognstørrelserne og kapaciteten De selvstændige vognmænds varevogne, som Aarstiderne benytter til at levere varerne ud til kunderne, blev antaget homogene. Dette er imidlertid ikke nødvendigvis tilfældet på tværs af alle distributørernes varevogne. Antagelsen omkring homogene varevogne, vil altså kunne resultere i, at der vil være uudnyttet plads i nogle varevogne, som ikke tages i betragtning, når bestillingerne skal fordeles. Endnu værre vil det Side 53 af 64

60 være, at der ikke er taget hensyn til, at nogle varevogne ikke vil have plads til varerne, fordi deres kapacitet er mindre end gennemsnittet. Denne antagelse er altså en svaghed for modellen, og i praksis ville man ikke kunne tillade, at vognmændene muligvis ikke kan have de bestilte varer i varevognen, og dermed må lade varer blive tilbage på depotet. Dog skal det tilføjes, at der næsten er samme kapacitet på tværs af de selvstændige vognmænds vognpark, hvilket gør antagelsen mindre problematisk og samtidig er der regnet med en mindre kapacitetsgrænse end hvad der er fysisk mulig i gennemsnitsvarevognene hvilket til dels imødekommer denne problematik Tomme kasser Aarstiderne ønsker at genanvende kundernes brugte kasser. De skal derfor afhente de tomme kasser på kundens bopæl, hvilket giver en yderligere dimension til problemstillingen. Problemstillingen er dermed ikke mere blot et capacitated vehicle routing problem men et pickup vehicle routing problem. Disse tomme kasser tages der ikke hensyn til ved den opstillede model. Dog ses det som en styrke ved modellen at dette udelades, da man på forhånd ikke ved hvor mange kasser der skal afhentes hos kunden. Samtidig har chaufføren lov til at afvise kasserne, hvis kunden har samlet kasser gennem længere tid. Derudover fylder de tomme kasser mindre, end dem som kunden får leveret, da de tommer kasser kan stables oven i hinanden. En udvidelse af problemstillingen vil derfor gøre modellen mere kompliceret end nødvendigt og er derfor ikke relevant Chaufførerne I afsnit diskuteredes vognmændenes aflønning. Der er dog også andre elementer, som kan være relevante at tage hensyn til. Herunder vil chaufførernes kendskab til ruterne samt balancering af deres arbejdsdag derfor diskuteres Ændring i chaufførernes ruter Anvendelsen af den opstillede model og metode vil resultere i en ændring af de oprindelige ruter og en ændring af, hvilke chauffører der varetager udbringningen på disse. Samtidig vil det også være relevant kontinuerligt at køre modellen for at tage hensyn til at nye kunder, kunder der falder fra samt at kunderne kan ændre deres bestilling fra uge til uge Når løsningen køres kontinuerligt vil det højst sandsynligt medføre, at kunder vil skifte mellem ruter og dermed mellem distributører på grund af en ny fordeling mellem de selvstændige vognmænd. Side 54 af 64

61 Når det tillades, at kunder skifter mellem distributører medfører det nogle praktiske vanskeligheder. Dette skyldes, at afleveringen af de fleste varer kræver, at vognmændene har en nøgle til kundens bopæl. Hvis kunder skifter mellem distributørerne, skal denne kundes nøgle altså overdrages til et andet vognmandsfirma, hvilket vil være problematisk. Hvis kunderne skifter imellem distributører, vil det medføre at de serviceres af forskellige chauffører. Dette udgør et problem ifølge vognmanden, Benny, da chaufførerne kan opbygge et kendskab til ruterne (Bilag 2). Det at forskellige chauffører skal varetage ruterne, kan det resultere i, at de bruger længere tid på at levere varerne, da de ikke kender kunderne på ruten ligeså godt. Dette gør dermed risikoen for fejl langt større. Samtidig kan kunden selv bestemme hvor kassen skal afleveres, og dette kendskab har alle chauffører heller ikke Forskel i rutestørrelse: Den bedst fundne løsning er fundet ved hjælp af Clarke og Wrights Savingsheuristik, Holmes og Parkers undertrykkelse af savings samt Lins 2-opt improvement. Dette gav resultatet i nedenstående tabel 4.1. Denne fordeling kan virke uhensigtsmæssig i praksis på grund af den store forskel i antallet af kunder, som skal besøges og dermed hvor mange kasser der skal transporteres. Hvis den selvstændige vognmand har to chauffører til rådighed, vil det resultere i, at den ene skulle bruge meget længere tid end den anden til at færdiggøre ruten. Dette er formentlig ikke ønskeligt i praksis, da det ville resultere i, at den ene chauffør arbejdede hele dagen, mens den anden var tidligere færdig og derefter ikke havde noget at lave. Tabel 4.1 Oversigt over ruterne Rute # Kunder Efterspørgsel Km ,9 133, ,4 100,2 I alt ,4 234,1 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag 11 og 12 I praksis vil det derfor give mere mening, at der er bedre balance både i chaufførernes rutelængder og det antal kunder de hver skal besøge. Set fra de selvstændige vognmænds synspunkt vil denne balance være fordelagtig, da det vil resultere i at begge chaufførers arbejdsdag vil være bedre fyldt ud. Hvis denne fordeling er mere optimal for de selvstændige vognmænd, vil det også resultere i, at Aarstiderne eventuelt vil kunne forhandle bedre droppriser. Den opstillede model tager altså ikke Side 55 af 64

62 hensyn til at en balancering af chaufførernes tidsforbrug vil være hensigtsmæssig, hvilket kan ses som en svaghed for modellen. En måde hvorpå man kan opdele ruterne mere ligeligt, vil være manuelt at rykke kunder fra rute 1 til rute 2. En anden metode, som kan anvendes, vil være at sætte kapacitetsgrænsen ned, og der vil dermed ikke blive tildelt lige så mange kunder til rute 1, som ved de nuværende rib kasser som kapacitetsbegrænsning. På forhånd vides, at der i alt skal leveres 171,39 3-rib kasser til de 156 kunder. Ved den nuværende kapacitetsbegrænsning på rib kasser, kan den ene varevogn altså indeholde størstedelen af ordrerne. Hvis kapacitetsgrænsen eksempelvis sættes til rib kasser, vil det medføre, at den første rute vil blive mindre, og en del af kunderne vil derfor overgå til den anden rute som bliver genereret. Hvis savingsheuristikken løses igen med en kapacitetsgrænse på rib kasser, vil man i stedet få løsningen, som kan ses nedenfor i tabel 4.2. Selve løsningen kan ses i Bilag 13. Tabel 4.2 Oversigt over balanceret arbejdsdag for chaufførerne Rute # Kunder Efterspørgsel Km ,61 110, ,78 126,3 I alt ,39 236,8 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag 13 Denne løsning bevirker, at kunderne fordeles mere ligeligt ud på ruterne med henholdsvis 86 og 70 kunder på hver rute og det samme gælder for efterspørgslen. Derudover kan man se, at den samlede længde for rute 1 bliver 110,5 km og 126,3 for rute 2. Det interessante ved denne løsning er, at den faktisk giver et bedre resultat end den først fundne løsning, som strakte sig over 240,1 km, hvor denne tilsvarende kun strækker sig over 236,8 km. Ved at ændre på kapacitetsgrænsen er det altså blevet muligt at nedbringe den samlede afstand. Hvis løsningsmetoden havde været eksakt, ville det ikke have væres muligt at mindske den samlede afstand ved at nedsætte kapacitetsgrænsen, da en eksakt metode ville have taget ovenstående løsning i betragtning. Dette illustrerer at heuristikker ikke giver optimale løsninger men i stedet brugbare løsninger, som muligvis kan minimeres. Clarke og Wrights Savingsheuristik har altså Side 56 af 64

63 overset denne løsning, fordi den ikke tager hensyn til alle mulige kombinationer og det er derfor en tilfældighed, at man får et bedre resultat ved at nedjustere kapacitetsgrænsen Kundernes bestilling af varer Modellen er lavet ud fra efterspørgslen på én bestemt dag for tre ruter i Roskilde. I praksis svinger efterspørgslen fra uge til uge, når der kommer nye kunder til, eksisterende kunder ændrer i deres bestilling eller helt stopper deres abonnement. Variation i efterspørgslen medfører, at Aarstiderne kontinuerligt skal lave en ny løsning for leveringen. Aarstiderne prøver på at holde ruterne forholdsvis ens fra uge til uge og ændrer derfor ikke på hele deres rutenet, fordi der er en kunde, der bestiller en ekstra pose frugt. Det ses derfor for hensigtsmæssigt at have lidt ekstra plads i varevognene til små ændringer i efterspørgslen. Ifølge vognmand Benny kan der maksimalt være rib kasser i en varevogn. Kapacitetsgrænsen er i modellen sat til rib kasser, hvilket dermed tillader at der kan forekomme små ændringer i efterspørgslen uden at det er nødvendig at omlægge ruterne Geografisk placering af ordrerne I modellen anvendes en symmetrisk afstandsmatrice. Dette gøres på baggrund af at der i afsnit 3.2 ikke blev fundet en forskel på cij og c ji. Programmet Logvrp, der benyttes til at udarbejde afstandsmatricen, angiver dog ikke, hvorvidt afstandsmatricen er symmetrisk eller ej. Yderligere angiver Logvrp kun afstande med én decimal, hvorfor der kan være forskelle i afstandsmatricen, der ikke er synlige. Kritikpunktet heraf anses dog ikke for væsentligt set i forhold til, at der i afstandsmatricen indgår afstande, der er meget større end 0,1. I forbindelse med dannelsen af afstandsmatricen, havde Logvrp problemer med at finde en række adresser, hvorfor disse manuelt måtte indsættes på kortet i Logvrp. Problemerne skyldes at kortet, som Logvrp benytter, ikke er opdateret og de pågældende adresser ikke kan findes på kortet. Det nævnte problem anses dog ikke for at give større fejl end på 0,1 km. Det anses derfor ikke for at være en synlig fejl, da der i afstandsmatricen kun regnes med én decimal Tidshensyn Modellen tager ikke hensyn til tidsmæssige aspekter. Dog er der tidsperspektiver i forhold til chaufførernes arbejdstid og kundernes forventning til levering, hvilke kunne være inddraget i modellen. Side 57 af 64

64 Der er en begrænsning af tiden i form af, at leveringstiden for en rute ikke må overstige chaufførens arbejdstid på en given dag. En chauffør på fuld tid har en arbejdsdag på ca. 8 timer. Indsættes de endelige ruter i programmet Microsoft Autoroute, kan tiden for ruterne estimeres. Den første rute estimeres til at tage fem timer og toogfyrre minutter, mens rute to estimeres til at tage to timer og trediveminutter. I estimeringerne er der taget hensyn til, at chaufføren skal aflevere kasserne til kunden, men præcis hvor lang tid Microsoft Autoroute sætter af hertil vides imidlertid ikke. Ruterne kan altså køres indenfor chaufførernes arbejdsdag i disse tilfælde. I interviewet med Vognmanden Benny bemærkes det, at kunderne forventer at få deres varer leveret på det tidspunkt de er vant til. Sker dette ikke opleveres det, at kunderne ringer til Aarstidernes kundeservice for at klage over en levering på et senere tidspunkt end normalt. I kontrakten med kunderne lover Aarstiderne ikke levering på et bestemt tidspunkt, men blot inden kl. 17 den pågældende dag. Modellens antagelse omkring ikke at inddrage dette tidshensyn strider således ikke imod hvad Aarstiderne lover sine kunder. Der vil dog være nogle kunder, der vil opleve et højere serviceniveau ved hensynstagen til dette tidsperspektiv. Skulle der i modellen være taget hensyn til tiden, ville problemet have været af typen VRP with time windows. Dette er ikke gjort, da ovenstående antagelser ikke ses som nødvendige i forhold til Aarstidernes opfyldelse af aftalen med kunderne. Den manglende hensynstagen til tiden gør til gengæld, at modellen bliver lettere for Aarstiderne at benytte Modellens anvendelse på hele Aarstiderne Modellen, der er udarbejdet i denne rapport, tager udgangspunkt i 156 kunder og ét depot. Samlet set har Aarstiderne ca kunder i Danmark og otte depoter. Problemstillingen ville derfor være anderledes, hvis man så samlet på Aarstiderne i Danmark. Da de i alt har otte depoter, hvorfra de leverer til deres kunder, vil problemet således være et multidepot problem. For at kunne anvende den anbefalede model, vil det være nødvendigt at opdele kunderne i klynger og tildele dem til ét depot. Så ville problemstillingen overordnet set være den samme for Aarstiderne. Nogle af modellens antagelser så som en asymmetrisk afstandsmatrice og tidshensyn kan være problematiske at anvende for alle Aarstidernes kunder. En asymmetrisk matrice kunne eksempelvis være relevant i centrum af København, hvor Vognmanden, Benny, blandt andet nævner, at de ensrettede veje kan volde ham problemer. Endvidere vil chaufførernes 8 timers arbejdsdag eventuelt skulle tages i betragtning på ruter, hvor der er store afstande mellem kunderne. Her er det muligt at Side 58 af 64

65 den ekstra afstand mellem kunderne kan forsage at en chauffør ikke kan nå ud med en hel fuld vogn inden for 8 timer. 4.2 Validering af løsningsmetoden Løsningsmetoderne vil i dette afsnit valideres ud fra kriterierne præcision, enkelthed og hastighed, der i afsnit 3.3. udgjorde de vigtigste vurderingskriterier for valg af løsningsmetode. Kriteriet præcisionen vurderes ud fra Aarstidernes nuværende rute og den bedst kendte løsning til problemet fundet ved hjælp af VRP Solver. Enkeltheden af den benyttede metode holdes op i mod andre metoder, der kunne være benyttet til at løse problemet. Til sidst vurderes hastigheden ud fra, hvor lang tid det i praksis tager at finde en løsning ved hjælp af den beskrevne metode. Yderligere holdes den anvendte tid op imod, den tid det tager at finde den bedst kendte løsning Vurdering af modellens præcision Aarstidernes nuværende løsning tager udgangspunkt i tre ruter, der tilsammen udgør 362,4 km. Kunderne er meget skævt fordelt i forhold til antal kunder på ruterne, men afstandene på hver rute afviger ikke betydeligt, som det kan ses i tabel 4.3. Tabel 4.3 Oversigt over Aarstidernes oprindelige rute Rute # Kunder Km , , ,8 I alt ,4 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i udleverede kørelister Da det praktisk set ikke er muligt at udarbejde en løsning, der er eksakt, præsenteres her i stedet for den bedst kendte løsning, der er fundet ved hjælp af VRP Solver. VRP Solver anvender Clarke and Wright s Savingsheuristik, hvorefter der udføres en række forskellige improvements 12 på løsningen. Den præcise bagvedliggende opbygning for denne løsningsmetode, præsenteres ikke i kilden, hvorfor der kan være nogle problemer med vide præcist, hvordan denne løsning er nået. Løsningen ses nedenfor i tabel 4.4. Den samlede afstand for ruterne er 216,9 og der er 16 og 140 kunder på de to ruter og en efterspørgsel på henholdsvis 21,67 og 149,76. Kapaciteten på rute to nås altså næsten opt, or-opt og ombytning af to kunder mellem ruter. Side 59 af 64

66 Tabel Oversigt over løsning fra VRP Solver Rutenr. Antal kunder Efterspørgsel Antal Km. 1 16,00 21,67 82, ,00 149,76 133,20 I alt 156,00 171,43 215,90 Kilde: Egen tilvirkning med udgangspunkt i Bilag 14 En sammenligning af afstanden for Aarstidernes oprindelige rute og den i udarbejdelsen bedst fundne løsning (2-opt improvement benyttet på den parallelle savingsheuristik), ses i nedenstående tabel 4.5. Den procentvise forbedring i forhold til den oprindelige løsning er på 35,4 pct., hvilket antyder, at den benyttede metode giver en mere præcis løsning end Aarstidernes oprindelige løsningsmetode. Tabel 4.5 Sammenligning af ruter Afstand Procentvis ændring ift. Løsning med 2 opt Løsning med 2-opt 234,10 - Aarstidernes oprindeligeløsning 362,40 35,40% Løsning med VRP Solver 215,90-8,43% Kilde: Egen tilvirkning Sammenligner man den i afsnit 3 bedst fundne løsning med VRP Solvers løsning kan der opnås en forbedring på 8,43 pct. Dvs. at afstanden for ruterne yderligere kan reduceres med mindst 8,43 pct. I afsnit beskrives det at den bedste udgave af Clarke and Wrights Savingsheuristik er den parallelle savingsheuristik efterfulgt af en 3-opt improvement heuristik. Det beskrives endvidere, at denne metode i gennemsnit giver en afvigelse fra den bedst kendte løsning på 6,71 pct. Den fundne løsning med 2-opt afviger mere end 6,71 pct. og ligger dermed under gennemsnitsløsningen for den parallelle savingsheuristik efterfulgt af en 3-opt improvement. Der skal dog i ovenstående tages forbehold for at der her sammenlignes en 2 og en 3-opt improvement heuristik Vurdering af enkelthed I forhold til enkeltheden ved den benyttede metode er det savingsheuristikken, der ifølge Cordeau m.fl. (2002) er den mest enkle metode af de i tabel 2.1 opstillede metoder. Metoden gøres dog mere kompleks i form af, at der yderligere anvendes 2-opt improvement på løsningen. Under improvement heuristikkerne er 2-opt improvement den simpleste af Lin s λ-opt improvements, hvis man ser bort fra 1-opt improvement. Kompleksiteten vurderes derfor til stadighed at blive holdt på Side 60 af 64

67 at lavt niveau. Enkeltheden af metoden vil gøre det lettere for Aarstiderne at gennemskue og senere benytte metoden til ruteplanlægning i deres virksomhed Vurdering af hastighed I praksis tager det ikke lang tid at generere den første løsning med Clarke og Wrights Savingsheuristikken. Løsningen findes ved hjælp af den opstillede model i Excel og VBA i løbet af 30 sekunder (Bilag 7). Det tager dog lidt længere tid at finde en løsning ved hjælp af 2-opt improvement heuristikken. Ved 2-opt improvement på den første rute, hvorpå der er 133 kunder, tager det lidt over en time at generere en løsning, mens det på den anden rute, hvorpå der er 23 kunder, tager et par minutter. Det skal dog nævnes, at hastigheden kan variere i forhold til computerens processorkraft. Det tager 18,58 sekunder for VRP Solver at komme frem til den bedst kendte løsning. Den udfører yderligere en del forbedringer i på den oprindelige savingsheuristik herunder blandt andet også 2- opt. Det er altså muligt at anvende programmer, der er hurtigere til at generere en løsning end denne afhandlings. I praksis ville det være oplagt for Aarstiderne at benytte det hjælpeværktøj, der er hurtigst til at generere ruterne. 4.3 Opsummering Den udarbejdede løsning viser, at det er muligt at planlægge Aarstidernes oprindelige ruter mere effektivt og dermed skære ned på det antal km som køres. Denne effektivisering af ruterne i Roskilde kan altså betyde, at Aarstiderne eventuelt kan forhandle sig til en mindre droppris. Derudover imødekommer optimeringen af ruterne også Aarstidernes ønske om at nedsætte CO 2 udslippet fra deres slutdistribution. Denne udarbejdelse tog udgangspunkt i tre nuværende ruter i Roskilde, som kunne forbedres. Vognmanden som kører disse ruter, var også klar over, at det kunne gøres mere effektivt, da han beskriver: Vore ture ville blive langt mere rentable både for os og kunden, hvis vi kunne flytte vejene fra den ene tur til den anden, således at afstanden mellem kunderne blev minimeret. (Bilag 4). Det lader dog også til, at dette kan gøres på andre ruter. Eksempelvis nævner vognmanden, Benny, at han lige har kørt en tur på Amager ud til 69 kunder, hvor bilen kun var 1/3 fuld. Han nævner også, at Amager er delt op i fem områder, som køres af fire forskellige vognmænd og ruterne her kunne effektiviseres ved at sammenlægge ruterne. Men vognmændene er hver især dog Side 61 af 64

68 ikke interesseret i at afgive kunder til hinanden, da de udover at være kollegaer også er konkurrenter. Der er fra vognmændenes synspunkt, derfor ikke det store incitament til at sammenlægge ruterne. Hvis Aarstidernes andre ruter kan effektiviseres, vil det eventuelt kunne betyde, at nogle vognmænd ville opleve en nedgang i antallet af kunder. Samlet set virker det altså til, at der er plads til forbedring af ruterne, og at man herved vil kunne imødekomme Aarstidernes ønske om at miljøpåvirkningen er mindst muligt samt en mulighed for at formindske droppriserne, som forhandles med vognmændene. Side 62 af 64

69 5. Konklusion Udarbejdelsen blev indledt med en beskrivelse af forskellige ruteplanlægningsproblemer. Overordnet findes The Traveling Salesman Problem og Vehicle Rounting Problem. Der findes flere forskellige udgaver af VRP, som kan tilpasses den konkrete problemstilling. For at løse ruteplanlægningsproblemer findes der to forskellige metoder, de eksakte og heuristiske metoder. Eksakte metoder er som udgangspunkt at foretrække, da de kommer med den optimale løsning på problemet, imidlertid er de ikke særlig anvendelige i praksis, da de ikke kan håndtere særlig mange kunder. Dette betyder, at brugen af heuristikker er meget relevant i forbindelse med praktiske problemstillinger. Grundet at eksakte metoder ikke slår til i praksis, fokuseres der på heuristikkerne, som kan opdeles i to overordnede typer; klassiske og metaheuristikker. Derudover kan de klassiske heuristikker yderligere opdeles i constructive, two-phase og improvement heuristikker. Herunder udvælges de mest anvendte og populære metoder. De udvalgte løsningsmetoder blev derefter vurderet i forhold til fire vurderingskriterier; præcision, enkelthed, hastighed og fleksibilitet. De klassiske heuristikker er generelt gode målt på enkelthed og hastighed, hvorimod metaheuristikkerne er bedre målt på præcision og fleksibilitet. Der blev derfor ikke fundet noget entydig svar på, hvilken heuristik der er optimal. For at udvælge hvilken løsningsmetode der passer bedst til Aarstidernes problemstilling, blev der opstillet en model ud fra relevante hensyn, som dannede baggrund for valg af de endelige løsningsmetoder. Det blev derudover også fundet relevant at prioritere vurderingskriterierne. Enkelthed blev vægtet højest og derefter præcision og hastighed. Fleksibiliteten ansås ikke som relevant i forhold til modellen og blev prioriteret lavest. Ud fra dette blev Clarke & Wrights Savingsheuristik valgt, da den var simpel og hurtig at anvende. Derudover var dens præcision også på niveau med andre klassiske heuristikker. For at forbedre den valgte løsningsmetode, blev det desuden valgt at afprøve modifikationer af savingsberegningen, undertrykkelse af saving og improvement heuristikkerne; Cyklisk permutation og 2-opt improvement. For at kunne anvende savingsheuristikken blev der lavet en afstandsmatrice, udregnet en savingsmatrice samt fastsat en kapacitetsgrænse. Resultatet heraf blev to ruter på samlet set 240,1 km, hvilket er en forbedring af Aarstidernes nuværende tre ruter. Modifikationerne af savingsberegningerne medførte ikke nogen forbedring af den først fundne løsning. Dette kan være et resultat af, at der ikke er noget entydigt svar på hvilke værdier parametrene skal antage. Anvendelsen af Holmes og Parkers undertrykkelse af saving medførte en forbedring af den først Side 63 af 64

70 fundne løsning ved undertrykkelse af den 4. saving og ruternes samlede afstand blev afkortet til 240 km. Herefter anvendtes improvement heuristikkerne. Først blev Cyklisk permutation, anvendt på den indtil nu bedst fundne løsning, hvilket ikke forbedrede løsningen. Her var der samme problematik omkring fastsættelsen af k, som gjorde det nødvendigt at prøve sig frem. Til slut blev 2-opt improvement benyttet på hver af de to ruter. Dette gav en yderligere forbedring og rutens samlede afstand blev således minimeret til 234,1 km. Efterfølgende blev modellen samt løsningsmetoden valideret. I opstillingen af modellen var gjort en række antagelser, for at simplificere modellen. Det blev antaget, at afstandsminimering var lig omkostnings- og miljømæssig minimering, hvilket ikke nødvendigvis er tilfældet, da det kan være relevant at tage højde for tiden på landevejen i stedet. Derudover var kapaciteten på tværs af varevognene ikke fuldstændig ens, hvilket der burde være taget højde for. Samtidig er der ikke taget højde for, at chaufførerne kan opbygge kendskab til ruterne og dermed køre disse mere effektivt. Ligeledes kunne det være mere optimalt at balancere chaufførernes arbejdstid, hvilket dog kunne imødekommes ved en lavere kapacitetsgrænse. Derudover kunne det være relevant at tage nogle tidshensyn, ved at sætte en øvre grænse for hvor langt chaufførerne måtte køre og hvilke tidsintervaller som kunderne ønsker levering. I forhold til Aarstiderne som helhed, der har flere depoter, er det ligeledes relevant at tildele kunderne til disse, før løsningsmetoden og modellen kan anvendes. De anvendte løsningsmetoder blev vurderet på præcision, enkelthed og tid. Clarke & Wright efterfulgt af 2-opt improvement er ikke én af de mest præcise metoder. Dette kunne også fastlægges, da der kunne findes en endnu kortere rute ved hjælp af VRP Solver på 215,9 km. Metoden kunne dog forbedre Aarstidernes nuværende ruter betydeligt. I forhold til enkelthed er de anvendte metoder forholdsvis simple, hvilket også gør det lettere for Aarstiderne at implementere og forstå. Hvad angår hastighed, blev der hurtigt fundet løsning med Clarke & Wright. Tiden forlænges dog ved brug af 2-opt improvement. Tidsforbruget kan dog nedsættes, da eksempelvis VRP Solver som også anvender Clarke & Wright, 2-opt samt en række andre improvement heuristikker kan gøre det betydeligt hurtigere. Det lykkedes altså at minimere afstanden på Aarstideners nuværende tre ruter i Roskilde, hvilket formentlig også vil kunne gøres på andre af deres ruter. Miljømæssigt betyder det altså en forbedring, samt argumenter som vil kunne anvendes, til at forhandle droppriserne med vognmændene. Side 64 af 64

71 Litteraturliste Aarstiderne.com. (2012). aarstiderne.com. Hentet d fra Om Aarstiderne. Altinel, K., & Öncan, T. (2005). A New Enhancement of the Clarke and Wright Savings Heuristic for the Capacitated Vehicle Routing Problem. The Journal of the Operational Research Society, Vol. 56 (8), s Baldacci, R., Mingozz, A., & Roberti, R. (2012). Recent exact algorithms for solving the vehicle routing problem under capacity and time window constraints. European Journal of Operational Research, Vol. 218 (1), s Bjanadóttir, Á. S. (2004). Solving the Vehicle Routing Problem with Genetic Algorithms. IMM - Informatik og Matematisk Modellering. Clarke, G., & Wright, J. W. (1962). Scheduling og vehicles from a central depot to a number of delivery points. Operations research, 12, s Cordeau, J., Gendreau, M., Laporte, G., Potvin, J., & Semet, J. (2002). A guide to vehicle routing heuristics. Journal of the Operational Research Society, s Fisher, M. (1995). Vehicle Routing. Network Routing, Handbooks in Operations Reseach and Management Science, 8, s Gaskell, T. J. (1967). Bases for Vehicle Fleet Scheduling. Operational Research Society, Vol. 18 (5), s Gillett, B., & Miller, L. (1971). A heuristic algorithm for the vehicle dispatch problem. Operations Research, Vol. 22, s Holmes, R. A., & Parker, R. G. (1976). A Vehicle Scheduling Procedure Based Upon Savings and a Solution Perturbation Scheme. Operational Research Quarterly, Vol. 27 (No. 1), s Jameson, S. R., & Mole, R. H. (1976). A sequential Route-building Algorithm Employing a Generalized Savings Criterion. Operational Research Quarterly, No. 2, s Laporte, G. (2009). Fifty Years of Vehicle Routing. Transportation Science, Vol. 43 (4), s Laporte, G., & Nobert, Y. (1987). Exact Algorithms for the Vehicle Routing Problem. I S. Martello, G. Laporte, M. Minoux, & C. Ribeiro, Surveys in Combinatorial Optimization (s ). North- Holland. Larsen, A. (2000). The dynamic vehicle routing problem. IMM. Lawler, E., Lenstra, J., Rinnooy Kan, A., & Shmoys, D. (1985). The Traveling Salesman problem. John Wiley and Sons. Side 1 af 64

72 Lin, S. (1973). Computer solutions of the traveling salesman problem. Bell System Technical Journal, 44, s Lysgaard, J. (1997). Clarke & Wright's Savings Algorithm. The Aarhus School of Business. Department of Management Science and Logistics. Lysgaard, J. (1993). Decision Support Systems for Vehicle Routing and Scheduling. Department of Management Science. Paessens, H. (1988). The savings algorithm for the vehicle routing problem. European Jornal og Operational Research, Vol. 34 (3), s Politi.dk. (2012). Hentet d fra Borgerservice - Vejledning om undtagelser fra køre- og hviletidsforordninge. Rand, G. K. (2009). The life and times of the Savings Method for Vehicle Routing Problems. ORiON, Vol. 25 (2), s Toth, P., & Vigo, D. (2002). The Veichle Routing Problem. Society for Industrial and Applied Mathematics. Side 2 af 64