Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n =

Transkript

1

2 Opgave 6 a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres ( L = 2 z 1 α 2 ) 2 L = 2 z 1 α 2 L = 2 z 1 α 2 n = ( ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) ( n ( ˆp (1 ˆp) ) 1/2 ) 2 L 2 z 1 α 2 n ) 1/2 Opgave 7 n = 4ˆp (1 ˆp) z2 1 α 2 n L 2 a) Data indlæses i Excel hvorefter man laver en pivottabel. b) Vi opstiller følgende nul-hypotese. H 0 : sommerferieplaner er uafhængige af beskæftigelse. A : sommerferieplaner er afhængige af beskæftigelse. Da p-værdien er under signifikansniveauet på 5 % vil vi afvise nulhypotesen og konkluderer at der er en sammenhæng mellem beskæftigelse og sommerferieplaner. side 1 af 6

3 Opgave 8 a) Sandsynligheden for at en tilfældigt udvalgt pose vaskepulver vejer mere end 1100 gram er b) Gennemsnittet i stikprøven er 995 og standardafvigelsen er 61. Opgave 9 a) Restegælden beregnes Restgælden efter 6 år er derfor kroner. b) Ydelsen beregnes R n = A 0 (1 + r) n y (1 + r)n 1 r = = y = A 0 r 1 (1 + r) n = = Ved lån gennem bilforhandleren bliver den månedlige ydelse derfor kroner. c) Hvis mulighed et benyttes bliver renten 0.33 % og ydelsen på kr. pr. måned skal betales over 7 år. Hvis mulighed 2 benyttes bliver den effektive rente = eller 31.6 %, og den samlede ydelse bliver = kroner pr. måned som skal betales over 6 år. Hvis familien ikke har råd til at betale en ydelse på kroner pr. måned skal mulighed 1 vælges. Hvis familien vil kunne betale over kroner pr. måned, bør mulighed 1 kun vælges hvis den generelle rente i samfundet forventes at være høj mens lånet afbetales. side 2 af 6

4 Opgave 10 a) Funktionerne plottes i GeoGebra og skæring med linjen y = 150 findes som vist på figuren. Importen bestemmes til M = = b) Ligesom i spørgsmål a) bestemmes importen ved en toldsats på 50 kr. til M = = Toldindtægten er derfor ved til at være kroner. Opgave 11 a) Koordinater til de pågældende punkter kan findes ved hjælp af GeoGebras skæringsværktøj. Det giver følgende koordinatsæt: P = (3, 0), Q = (0.5, 0) og R = (1, 2). b) Arealet deles ved hjælp af indskudsreglen ved x = 1. De to delarealer beregnes ved hjælp af GeoGebra til 1.5 og så det samlede areal er side 3 af 6

5 Opgave 12 a) Niveaukurven ses at være en ellipse med centrum i (350,250) ved at lave følgende omskrivninger. f (x, y) = x x 0.09y y = ( x 2 700x ) 0.09 ( y 2 500y ) = 6925 ( 0.04 (x 350) ) ( 0.09 (y 250) ) = (x 350) (y 250) 2 = = (x 350) (y 250) = 1 (x 350) 2 (y 250) = 1 (x 350) 2 (y 250) = 1 b) Der er frit maksimum i ellipsens centrum. For at opnå det stmulige samlede dækningsbidrag pr. dag skal der således produceres 350 styk A og 250 styk B. c) For at finde den optimale produktionssammensætning under bibetingelsen y 0.5x indsættes y = 0.5x i kriteriefunktionen og toppunktet findes. Den fundne værdi af x indsættes i y = 0.5x Herved ses at det optimale er at producere 296 styk A og 202 styk B. side 4 af 6

6 Opgave 13A a) Lad x betegne antal tons KOMPAKT og lad y betegne antal tons NORMAL. Vi har følgende bibetingelser og positiv betingelser. 1.5x + 0.5y 100 x + y 100 x 0 y 0 Kriteriefunktionen er f (x, y) = 1200x y. Maksimumspunktet findes ved hjælp af hjørnekontrol. f (0, 0) = 0 f (66 2 /3) = f (50, 50) = f (0, 100) = Der skal produceres 50 tons KOMPAKT og 50 toms NORMAL for at opnå det størst mulige dækningsbidrag. b) Vi laver følsomhedsanalyse ved at kalde dækningsbidraget for NORMAL for b således at det samlede dækningsbidrag bliver f (x, y) = 1200x + by. Vi løser uligheden f (0, 100) f (50, 50) b b 50 50b b 1200 Dækningsbidraget for NORMAL kan stige op til 1200 kr/ton uden at produktionssammensætningen bør ændres. Opgave 13B a) Differentialligningen løses ved hjælp af GeoGebra, hvilket giver K(t) = exp ( x/25). b) Det varer ca. 17 timer og 20 min før 1000 personer har fået kendskab til begivenheden. side 5 af 6

7 Opgave 13C a) Man laver et xy-plot af data og finder ved lineær regression en linje med ligningen A (x) = 0.20x Mange datapunkter afviger dog ganske betydeligt fra regressionslinjen, hvilket afspejler sig i at determinationskoefficienten er helt nede på 0.25 b) Vi udregner et 95 % konfidensinterval ved ( 1 R 2 )1/2 â ± t n 2,1 α/2 â R 2 (n 2) = ± = 0, 20 ± 0.16 ( ) 1/ Konfidensintervallet beregnes således til [0.04;0.36]. Hvis modellen iøvrigt godtages, er konklusionen at uligheden har en tendens til at stige når arbejdsløsheden stiger. Hele modellen er dog ganske problematisk. For det første kan de 2 lande, som medtages i undersøgelsen, næppe siges at være en stikprøve ud af en langt større population, idet en stikprøve helst ikke skal være mere end 5 % af hele populationen. Endvidere er det ikke klart hvorfor et stort land som USA skal vægte lige så meget som et lille land som Estland. Endelig viser et normalfordelingsplot at stigningen i arbejdsløs dårligt kan modelleres med en normalfordeling. side 6 af 6

8

9