ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1

Transkript

1 ! ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1 Eksempel 1 TEST AF MIDDELVÆRDI FRA ÉN STIKPRØVE (ukendt varians) En producent af tyggegummi påstår at en pakke tyggegummi i gennemsnit vejer mindst 88 gr. Vægten er normalfordelt med en standardafvigelse på 4 gr. En tilfældig stikprøve på 20 pakker viste en gennemsnitlig vægt på 89 gr. Test på et 5% signifikansniveau om producentens påstand er korrekt. H0: µgns.gram 88 H1: µgns.gram > 88 Vi har at gøre med en enkeltsidet hypotese (højresidet), da vi tester for, om tyggegummipakken mindst vejer 88 gram. H1-hypotesen går altså på, at pakken vejer mere end 88 gr. Husk: Vi tester én ting ad gangen. Vil vi teste, hvorvidt producenten putter for få tyggegummi i pakken, må vi opstille en ny test, som så bliver en venstresidet hypotese (enkeltsidet). 2. Vi gennemfører testet (i StatLearn: 4.1.d: Test af gennemsnit, ukendt varians) og finder en p-værdi på 0,138 (13,8%). Jeg indskriver data på denne måde: ØVELSER / Statistik, Logistikøkonom / Efterår 2015 / Jakob Pindstrup Side "1

2 Da p-værdi (0, ) > testniveau (0,05) accepteres H0. Vi kan altså IKKE forkaste H0, da p-værdien er over 0,05 (signifikansniveauet på 5%). Med et signifikansniveau på 5 %, kan vi konkludere, at tyggegummipakkerne i gennemsnit vejer mindre eller lig med 88 gram. 4. Det kan ikke konkluderes, at tyggegummipakkerne i gennemsnit vejer mere end 88 gram. Producenten skal nok ikke skrive 'mindst', men i stedet 'ca.' Opgave 1 TEST AF MIDDELVÆRDI FRA ÉN STIKPRØVE (ukendt varians) En producent af lakridser reklamerer med, at man lige nu kan få en mega pakke, som indeholder 50% mere end den normale pakke (og nu vejer 400 gr). Vægten er normalfordelt med en standardafvigelse på 8 gr. En tilfældig stikprøve på 25 pakker viste en gennemsnitlig vægt på 394 gr. Test på et 5% signifikansniveau om producentens påstand er korrekt. H0: µgns.gram = 400 H1: µgns.gram 400 Vi har at gøre med en dobbeltsidet hypotese (tosidet), da vi tester for, om pakken vejer 400g eller ej. Vi har således ikke taget stilling til, om den kunne veje mindre eller mere. 2. Vi gennemfører testet (igen test for middelværdi - i StatLearn: 4.1.d: Test af gennemsnit, ukendt varians) og finder en p-værdi på 0, (under 0,0001%). Jeg indskriver data på denne måde: ØVELSER / Statistik, Logistikøkonom / Efterår 2015 / Jakob Pindstrup Side "2

3 Da p-værdi (0, ) < testniveau (0,05) forkastes H0. Vi kan altså forkaste H0, da p-værdien er under 0,05 (signifikansniveauet på 5%). 4. Det kan med et signifikansniveau på 5% konkluderes, at lakridspakkerne ikke i gennemsnit vejer 400 g. Producenten lyver! Spørgsmålet er så, om producenten putter for lidt i pakkerne og dermed snyder kunderne? Opgave 2 TEST AF MIDDELVÆRDI FRA ÉN STIKPRØVE (ukendt varians) Fortsat fra opgave 1: Snyder producenten kunderne, til producentens egen fordel? Vi ønsker at teste, hvorvidt producenten tilsætter for få lakridser i pakkerne end det producenten reklamerer med. H0: µgns.gram 400 H1: µgns.gram < 400 Vi har at gøre med en enkeltsidet hypotese (venstresidet), da vi tester for, om pakken vejer mindre end 400 gram. 2. Vi gennemfører testet (igen test for middelværdi - i StatLearn: 4.1.d: Test af gennemsnit, ukendt varians) og finder en p-værdi på 0, (under 0,0001%). Jeg indskriver data på denne måde: Da p-værdi (0, ) < testniveau (0,05) forkastes H0. Vi kan altså forkaste H0, da p-værdien er under 0,05 (signifikansniveauet på 5%). 4. Det kan altså med et signifikansniveau på 5% konkluderes, at lakridspakkerne vejer mindre end 400 g. Producenten er grådig! ØVELSER / Statistik, Logistikøkonom / Efterår 2015 / Jakob Pindstrup Side "3

4 Opgave 3 TEST AF MIDDELVÆRDI FRA ÉN STIKPRØVE (ukendt varians) Et forskningscenter påstår, at elcykler, ved at anvende et nyt batteri, i gennemsnit kan køre mindst 25 km længere pr. opladning. En tilfældig stikprøve på 100 cykler udvælges til at kontrollere effekten af det nye batteri. Stikprøvens gennemsnitlige stigning i antal kørte kilometer pr. batteriopladning er 26,4 km, og stikprøvens standardafvigelse måles til 4,8 km. pr. opladning. Test om det nye batteri har forøget antal kørte kilometer pr. opladning med mindst 25 km. H0: µkm pr. opladning 25 km. H1: µkm pr. opladning > 25 km. Vi har at gøre med en enkeltsidet hypotese (højresidet), da vi tester for, om at elcyklerne, ved at anvende det nye batteri, i gennemsnit kan køre mindst 25 km længere pr. opladning.. H1-hypotesen går altså på, at elcyklen kører mere end 25 km. pr. opladning. 2. Vi gennemfører testet (igen test for middelværdi - i StatLearn: 4.1.d: Test af gennemsnit, ukendt varians) og finder en p-værdi på 0, (under 0,21886%). Jeg indskriver data på denne måde: Da p-værdi (0, ) < testniveau (0,05) forkastes H0. Vi kan altså forkaste H0, da p-værdien er under 0,05 (signifikansniveauet på 5%). 4. Det kan med et signifikansniveau på 5% konkluderes, at forskningscentret har ret. Elcyklen kører mindst 25 km. pr. opladning. Opgave 4 TEST AF VARIANS Bildæk produceret på en given maskine måles regelmæssigt for at kontrollere variationen i tykkelsen. Hvis standardafvigelsen overstiger 2,24 mm., er der problemer med kvaliteten. Tykkelsen måles på en tilfældig udvalgt stikprøve på 1034 stk. bildæk. ØVELSER / Statistik, Logistikøkonom / Efterår 2015 / Jakob Pindstrup Side "4

5 Test på 5 % niveauet nul-hypotesen om, at populationens standardafvigelsen (dækkenes tykkelse) højst er 2,24 mm. H0: σtykkelse 2,24 mm. H1: σtykkelse > 2,24 mm. Vi har at gøre med en enkeltsidet hypotese (højresidet), da vi tester for, om tykkelsen på bildækkene er mere end det kritiske niveau på 2,24 mm. Vi således helst ikke forkaste H0, men netop konkludere, at tykkelsen er mindre eller lig med 2,24 mm. 2. Vi beregner først standardafvigelsen i stikprøven til 2,171 mm. Vi gennemfører testet (i StatLearn: 4.1.e: Test af standardafvigelse) og finder en p-værdi på 0, (91,82%). Jeg indskriver data på denne måde: Da p-værdi (0, ) > testniveau (0,05) accepteres H0. Vi kan altså ikke forkaste H0, da p-værdien er langt over 0,05 (signifikansniveauet på 5%). Det er vi glade for. 4. Det kan med et signifikansniveau på 5% konkluderes, at bildækkenes tykkelse ikke overstiger 2,24 mm. Opgave 5 TEST AF ANDEL FRA ÉN STIKPRØVE Du er ansat som indkøber i en modekæde med herretøj. Andelen af kunder som anvender jeres fysiske butikker lader til at være faldet dramatisk det seneste år. I har ofte talt om, at I kan mærke at mængden af tøj som udsendes til de fysiske butikker har ændret sig markant. Kædens direktør påstår, at andelen af kunder i de fysiske butikker er faldet over 50% det seneste år, og i stedet er begyndt at shoppe online. Det betyder, at din chefs estimat på hvor stor en andel af kunderne som køber i den fysiske butik, nu bør være under 30% Du får til opgave at undersøge hvorvidt hans påstand er rigtig. Du udtrækker en simple tilfældig stikprøve blandt 1000 kunder (både kunder i fysiske butikker og kunder i jeres online shop) som du kontakter over mail. Disse kunder har ØVELSER / Statistik, Logistikøkonom / Efterår 2015 / Jakob Pindstrup Side "5

6 handlet hos jer indenfor de seneste 3 måneder. Ud af de 1000 respondenter angiver 290 at deres seneste køb hos jer, er foretaget i én af jeres fysiske butikker. Test på et 5% signifikansniveau om din chefs påstand er korrekt. Husk at opstille H0 og H1-hypoteserne og kommentér på dine resultater. H0: pkunder i fysiske butikker 30 % H1: pkunder i fysiske butikker < 30 % Vi har at gøre med en enkeltsidet hypotese (venstresidet), da vi tester for, om andelen af kunder i de fysiske butikker er mindre end 30 %. 2. Vi gennemfører testet (i StatLearn: 4.1.1: Test af andel) og finder en p-værdi på 0, (24,51%). Jeg indskriver data på denne måde: Da p-værdi (0, ) > testniveau (0,05) accepteres H0. Vi kan altså ikke forkaste H0, da p-værdien er over 0,05 (signifikansniveauet på 5%). 4. Da p-værdien er over 0,05 kan vi på et signifikansniveau på 5% ikke konkludere, at andelen af kunder som handler i jeres fysiske butikker, er under 30%. Vi accepterer altså H0. Din chef har dermed ikke statistisk belæg for hans påstand. Opgave 6 TEST AF MIDDELVÆRDI FRA ÉN STIKPRØVE (ukendt varians) En modeblog på nettet ønsker at undersøge hvor lang tid de besøgende opholder sig på siden. Denne viden er meget vigtig for bloggen, da alle indtægter fra bloggen går via de reklamer som findes på siden. Den pris som folkene bag bloggen kan få pr. reklamer, er afhængig af antal besøgende på bloggen. Folkene bag bloggen ønsker at anvende viden om, hvor lang tid de besøgende opholder sig på siden til at dokumentere, at siden rent faktisk giver værdig for brugerne og dermed at disse opholder sig ØVELSER / Statistik, Logistikøkonom / Efterår 2015 / Jakob Pindstrup Side "6

7 længe nok, til samtidig at se de indlagte reklamer. Denne viden kan anvendes til at få en merbetaling hos annoncørerne på siden. Efter forhandling med annoncørerne aftales det, at folkene bag bloggen kan opnå en merbetaling på 10%, såfremt det gennemsnitlige tidsforbrug på siden overstiger 800 sekunder pr. besøgende. Der udtrækkes derfor en stikprøve blandt 1068 besøgende. Det viser sig, at de i gennemsnit opholder sig 847 sekunder på hjemmesiden, med en standardafvigelse på 259 sekunder. a)test på et 5 % signifikansniveau om de besøgendes gennemsnitlige tidsforbrug på siden overstiger 800 sekunder. Husk igen (som altid!) at opstille H0 og H1-hypoteserne og kommentér på dine resultater. H0: µtidsforbrug på bloggen 800 sekunder H1: ptidsforbrug på bloggen > 800 sekunder. Vi har at gøre med en enkeltsidet hypotese (højresidet), da vi tester for, om tidsforbruget på bloggen overstiger (er mindst) 800 sekunder. 2. Vi gennemfører testet (i StatLearn: 4.1.d: Test af gennemsnit, ukendt varians) og finder en p-værdi på 0, (0,00000%). Jeg indskriver data på denne måde: Da p-værdi (0,000000) > testniveau (0,05) forkastes H0, og vi siger at testet er top-signifikant. Vi kan altså forkaste H0, da p-værdien er langt under 0,05 (signifikansniveauet på 5%). 4. Det gennemsnitlige tidsforbrug på hjemmesiden overstiger altså 800 sekunder. Folkene bag bloggen kan derfor indstille sig på at modtage en merpris på 10% pr. konvertering (dvs. for hver gang en besøgende klikker på en reklame på bloggen, og som leder den besøgende videre til en annoncør). ØVELSER / Statistik, Logistikøkonom / Efterår 2015 / Jakob Pindstrup Side "7