I Indledning. I Indledning Side 1. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Transkript

1 Side Beregn uden hjælpemidler: a) b) 24: c) 5 12:4+39:13 d) (1+4 32) 2 55: Beregn uden hjælpemidler: a) ½ 10 b) 49: c) 4 7:2+51:17 d) (5+3 2) 3 120: Reducer følgende udtryk: a) 3 (+2)+4 5 b) 11 2 (6 3) c) 4 (3+4) 5 (3+1) d) 7 ( 3)+(7 2) Reducer følgende udtryk: a) 2 (+4) 2 8 b) 16 2 (2,5+8) c) 5 (3+2) 3 (3+5) d) 4 (2 4)+(8 8) Beregn tallene: a) 4,67 8,4 0,13 1,6 1,96 b) 6,38 4,72 14,3 1,47 c) 47,6:11,4 + 0,163 3,89 d) 36,1/24,8 16,4 0, Beregn tallene: a) 16,7:(21,8 17,9) b) (35,8 + 78,6) :13,7 c) ( )/(0,76 0,28) d) (17,3 + 15,6) (62,9 54,7) 0107 Beregn tallene: 56,7 38,6 a) 23,6 42, 4 5,34 16,7 : 5,36 c) 0,762 1,325 b) d) 34,8 : 3,97 + 5,74 14, , 3 (37,1 19,6) 1,87 7,9 13,2 1,6 4, Hvor mange betydende cifre har tallene? a) 15,820 b) 0,0369 c) 0, d) 30, Beregn tallene og angiv svarene med 4 betydende cifre: 7,258 6,935 a) 78,95 25,84 b) + 8,254 0, c) 13,65 + 2,848 3,985 d) 189, Angiv den eksakte løsning til hver af ligningerne a) 7 = 5 b) 2 π = 10 π c) 5 = 7 d) =

2 Side 2 45,65 117, Lad a være tallet. 2 2, ,987 Udregn med 4 betydende cifre a, 3a + 6,587, a2 + 5a 0112 Omskriv tallene til eksponentiel notation: a) 41,62 b) 486,4 c) 0, d) 0, Omskriv tallene til eksponentiel notation: a) 5 b) 0,589 c) d) Skriv tallet som almindelig decimalbrøk: a) 5, b) 0, c) d) e) f) Beregn tallene og angiv svarene i eksponentiel notation med 5 betydende cifre: a) 5,8 3 4,6 2 b) 16,4 2 0, Beregn tallene og angiv svarene i eksponentiel notation med 4 betydende cifre: a) 16,4 0, ,8 0,863 4 b) 3,37 0, , Beregn tallene: a) 5, , b) 2, /(1, ) c) 3, /(6, ) d) (4, ) 3 2, En oliedråbe falder ned på en vandoverfladen og danner her en olieplet med areal 0,55 m 2. Oliedråben vejer 0,8 milligram (dvs kg) a) Find oliedråbens volumen i m 3 når det oplyses at oliens densitet er 900 kg/m 3. Det er en rimelig antagelse at oliepletten kun består af ét lag molekyler. b) Bestem olielagets tykkelse (og dermed en omtrentlig værdi for diameteren af oliemolekylerne) Solen er én blandt de mindst stjerner i den galakse, der hedder Mælkevejen. Hvor mange stjerner kan der blive til hvert menneske på Jorden, hvis vi fordeler alle mælkevejens stjerner ligeligt. (Der bor cirka mennesker på Jorden) 0120 Betragt en vanddråbe der vejer kg. a) Bestem antallet af molekyler i en sådan vanddråbe når hvert vandmolekyle vejer kg. Antag at 1 million molekyler hvert sekund forlader dråben på grund af fordampning. b) Hvor længe vil det så vare før hele dråben er fordampet? Svaret angives såvel i sekunder som i år. c) Hvad er det der er helt galt ovenfor?

3 Side I 1 cm 3 luft er der ved normalt tryk og normal temperatur cirka 2, molekyler. Med en effektiv pumpe kan man skabe så lavt et tryk som atmosfære. Antallet af molekyler per cm 3 er altså en milliard gange så stort ved almindeligt tryk som ved et sådant vakuum. a) Beregn antallet af molekyler per cm 3 ved trykket 10 9 atmosfære. b) Hvor mange molekyler kan der blive til hver hvis molekylerne i 1 cm 3 vakuum fordeles til jordens 6 milliarder mennesker? 0122 En liter luft indeholder ved normalt tryk og normal temperatur cirka 2, molekyler. Ved et enkelt åndedrag indåndes cirka 0,4 liter. a) Hvor mange molekyler er der i et åndedrag. b) Hvor stor en brøkdel udgør "Gorms sidste molekyler" af molekylerne i atmosfæren (den indeholder cirka molekyler)? Lad os tænke os at den luft som Gorm den Gamle udåndede efter sit sidste åndedrag i løbet af de mange århundreder er blevet jævnt fordelt i hele jordens atmosfære. c) Hvor mange af "Gorms sidste molekyler" indånder vi i hvert af vore åndedrag? d) Diskutér det rimelige i antagelsen om at Gorms sidste luft nu findes jævnt fordelt i hele atmosfæren Løs hver af ligningerne, og angiv løsningerne med 4 betydende cifre a) = 5 b) 8 8 = + 7 c) = 17 1 c) 13 7 = Løs hver af ligningerne, og angiv løsningerne med 4 betydende cifre a) = b) 3,895 = 9, ,584 c) = 5,874 c) 14,95 = 54,25 1, , Løs hver af ligningerne, og angiv løsningerne med 4 betydende cifre a) 34,98 = 13,85 b) 5,305 = 11,65 189,7 c) 68,09 = d) 5,008 6,958 = 9,024 15, Arealet A af et parallelogram er givet ved formlen A = h g hvor h er parallelogrammets højde, og g er grundlinjen. a) Bestem arealet af et parallelogram med højde 5 og grundlinje 7. b) Find formlen til beregning af et parallelograms højde ud fra arealet og grundlinjen. (Dvs. isolér h i formlen).

4 Side Et kar har lodrette sider og plan bund. Det rummer 5 m 3 vand. a) Bestem vanddybden i karret når overfladearealet er 2 m 2. Det samlede areal af oceanerne på jorden er 3, m 2, og de rummer i alt 1, m 3 vand. b) Bestem den gennemsnitlige vanddybde i oceanerne. Jordens middelradius er 6, m. c) Hvad ville vanddybden være på en kugleformet jord hvis vandet i oceanerne blev fordelt jævnt over overfladen? 0128 Det ægyptiske papyrus Rhind er et af de ældste matematiske skrifter man kender. Det er skrevet omkring 1600 år før vor tidsregning. I det papyrus står blandt andet nogle regneopgaver. Her gengives et par af dem i moderne sprog: a) "Det hele og en syvendedel heraf er 16." b) "Læg to tredjedele til og træk en tredjedel (underforstået: af det du fik før) fra, så er der 10 tilbage". Kald i begge tilfælde helheden for og opstil den ligning der er gengivet sprogligt i teksterne. Løs derefter hver af ligningerne Tre positive størrelser v, a, v 0 og t er knyttet sammen af formlen v = a t + v 0 a) Beregn v, når det oplyses, at a = 9,8, t = 5 og v 0 = 2. b) Vis, at formlen er ensbetydende med formlen v v t = 0 a c) Tjek at talværdierne fra a) passer i formlen i b). d) Omskriv formlen, så v 0 isoleres og "tjek" taleksemplet. e) Omskriv formlen, så a isoleres og "tjek" taleksemplet De tre positive størrelser U, R og I er knyttet sammen af formlen U = R I a) Isolér R i formlen. b) Isolér I i formlen Tre positive størrelser d, V og m er knyttet sammen af formlen: m d = V Isolér først m og dernæst V i formlen De fire positive størrelser E, m, c og T er knyttet sammen af formlen E = m c T Isolér hver af størrelserne m, c og T De positive størrelser P, k, A, T 1 og T 2, hvor T 1 T 2, er knyttet sammen af formlen: P = k A ( T2 T1) a) Bestem P, når k = 0,3, A = 120, T 2 = 25 og T 1 = 5. b) Isolér hver af størrelserne i formlen.

5 Side De positive størrelser R, R 1 og R 2 er knyttet sammen af formlen: = + R R1 R2 a) Bestem R når R 1 = 10 og R 2 = 30. b) Isolér R i formlen. c) Isolér R 1 i formlen De positive størrelser n, T 1 og T 2, hvor T 1 T 2, er knyttet sammen af formlen: T1 n = T1 T2 a) Bestem n når T 1 = 323 og T 2 = 281. b) Isolér hver af størrelserne i formlen På en banestrækning kører to tog. Et langsomt der kører 90 km/time i gennemsnit og et hurtigt der kører 110 km/time i gennemsnit. Det langsomme afgår 16 minutter før det hurtige, men det ankommer kun 2 minutter før det hurtige. a) Hvor lang tid er det hurtige tog om turen? b) Hvor lang er banestrækningen? 0137 I den norske elv Jostedøla er der registreret op til fjermyggelarver pr. kvadratmeter af bunden. (Kilde: Faugli m.fl.: Jostedalen. Universitetet i Bergen 1991) a) Hvor stort et areal er der til hver larve? b) Hvis vi giver hver larve et kvadratisk areal, hvor stor bliver da sidelængden i dette kvadrat? c) Opstil en formel for sidelængden (i m) i det kvadrat der er til hvert dyr når der er dyr pr. m Den bremsende kraft fra luften på noget der bevæger sig gennem luften, kaldes luftmodstanden. Luftmodstanden på en bil afhænger af hastigheden og af bilens størrelse og facon. For en bil, der har frontarealet A (målt i m 2 ) og luftmodstandskoefficient C w og som kører med hastigheden v (målt i m/s) er luftmodstanden F (målt i Newton) med tilnærmelse givet ved: F = 0,6 A C w v 2 (Kilde: M. Teisen. Bil og energi. Politikens forlag 1979) En bil har frontareal 1,75 m 2 og luftmodstandskoefficient 0,31. a) Hvad er luftmodstanden når bilen kører 10 m/s. b) Omregn 10 m/s til km/time. c) Hvad er luftmodstanden når bilen kører 28 m/s. d) Omregn 28 m/s til km/time Opskriv et udtryk der angiver hvor lang tid, målt i timer, det tager at køre over Fyn på motorvejen når gennemsnitshastigheden er km/time. Der er 80 km over Fyn på motorvejen. Hvor hurtigt skal man køre i gennemsnit for at komme over Fyn på 55 minutter? (Husk først at regne tiden om i timer).

6 Side Niels har fået en slikpose. Selv spiser han halvdelen. Hans storebroder får halvdelen af resten. Hans søster får to tredjedele af det der nu er tilbage. Så er der lige to stykker til hver af sidekammeraterne tilbage. Hvor mange stykker slik var der i posen? 0141 I klubben er der blevet et overskud på 57 kr. Det passer ikke med at der kan blive et helt antal kroner til hver hvis pengene deles ligeligt. Bestyrelsens tre medlemmer beslutter at de vil nøjes med at få en femmer hver, så passer det nemlig med at der bliver 7 kroner til hver af de andre medlemmer. Kald antallet af medlemmer i klubben for. Opstil en ligning og find Et areal på 100 m 2 skal plantes til med planter i rækker. Der skal være m mellem planterne i hver række, og y m mellem rækkerne. a) Opstil en formel der fortæller hvor mange planter der skal bruges. b) Overvej hvor præcis formlen er. c) Hvor mange planter skal der bruges hvis der er 30 cm mellem rækkerne og 15 cm mellem planterne i hver række? 0143 Som bekendt stiller vandoverfladen inde i et sugerør sig lidt over vandoverfladen udenfor røret. Hvis vi kalder højden (i mm) af vandsøjlen i røret for h, og rørets diameter (i mm) for d, så gælder med tilnærmelse 30 h = d a) I hvilken højde vil vandet stille sig hvis røret har en diameter på 3,5 mm? b) Hvilken diameter skal røret have, for at vandet i røret stiller sig 24 mm over vandet udenfor? (Formlen er fra "Hütte", Des Ingenieurs Taschenbuch, Berlin 1915) 0144 (Ikke nem!) På et viser-ur står minutviseren præcist oven på timeviseren klokken 12 middag. Det samme fænomen indtræffer igen imellem klokken 13 og 14. a) Hvad er klokken da? b) Det sker også på et tidspunkt imellem klokken 17 og klokken 18. Hvornår? c) Hvor mange gange står den store viser præcist ovenpå den lille i løbet af et døgn?

7 Side Achilleus løber "om kap" med en skildpadde. Achilleus løber 10 gange så hurtigt som skildpadden. Til gengæld har skildpadden fået et forspring på 100 m. Hvor langt har Achilleus løbet når skildpadden indhentes. Bemærkning: I det klassiske paradoks argumenterer Zenon for at Achilleus aldrig vil indhente skildpadden. I det øjeblik Achilleus når det sted hvor skildpadden startede, har skildpadden stadig et forspring af en vis størrelse. Når Achilleus herefter har løbet en strækning der svarer til dette nye forspring, har skildpadden stadig et (endnu mindre) forspring, men stadig et forspring osv. osv.) 0146 Antag at Achilleus (opgave 0145) løber med hastigheden 10m/s. a) Lav en tabel der viser hvor langt Achilleus er løbet efter 0s, 1s, 2s osv. b) Lav en tabel der viser hvor langt skildpadden er fra Achilleus' startsted efter 0s, 1s, 2s osv. c) Indret et koordinatsystem med tiden på 1.aksen og afstanden fra Achilleus' startsted på 2.aksen. d) Indtegn tallene fra begge tabeller i koordinatsystemet.

8 Side 8 Ligefrem og omvendt proportionalitet Opgaverne med svar starter længer ned på siden, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står på side 2 med et s foran nummeret En printer kan printe 12 sider pr. minut. Beskriv sammenhængen mellem tid og antal printede sider med en matematisk formel. Hvor mange sider kan printeren printe i løbet af 150 sekunder? Hvor lang tid vil printeren være om at printe 200 sider? 0302 Overvej at formlen for trekantens areal udtrykt ved grundlinje og højde blandt andet indeholder oplysning om at arealet er proportionalt med både grundlinjen og højden. Beskriv for trekanter med grundlinje 5 sammenhængen mellem areal og højde med en matematisk formel. Afbild sammenhængen i et koordinatsystem. Beskriv for trekanter med højde 7 sammenhængen mellem areal og grundlinje med en matematisk formel Overvej at formlen for trekantens areal udtrykt ved grundlinje og højde blandt andet indeholder oplysning om at fo r trekanter med et b estemt areal er højden omvendt proportional med grundlinjen. Beskriv for trekanter med areal 12 sammenhængen mellem højde og grundlinje med en matematisk formel. Afbild sammenhængen i et koordinatsystem Et jordstykke på 10 ha skal udstykkes til parcelhusgrunde. Beskriv sammenhængen mellem den ge nnemsnitlige grundstørrelse (inkl. veje og fællesarealer) og antallet parcelhusgrunde med en matematisk formel. Afbild sammenhængen i et koordinatsystem Beskriv sammenhængen mellem gennemsnitshastighed og tid for 100-meterløb med en matematisk formel. Opgaver med svar. 0301s a) Bestem en li gning sammenhængen mellem og y, når det oplyses at y og er proportionale og at når er 5 er y 58. b) Hvad er y, når er 17? c) Hvad er, når y er 548? 0302s a) Bestem en li gning sammenhængen mellem og y, når det oplyses at y og er omvendt proportionale og at når er 3 er y 45. b) Hvad er y, når er 9? c) Hvad er, når y er 270? Der er svar til s-opgaverne på næste side.

9 Side 9 Svar til s-opgaverne. s0301 a) y = 11,6 b) y = 197,2 c) = 47, s0302 a) y = b) y = 15 c) = 0,5

10 Side 10 Lineær sammenhæng 0201 Afbild linjen med ligning y = 3 +4 i et koordinatsystem Afbild linjen med ligning y = + 5 i et koordinatsystem Tegn i et koordinatsystem linjen gennem punkterne (1,6) og (5,8). Bestem stigningstal og konstantled for linjen Tegn i et koordinatsystem linjen gennem punkterne (-4,1) og (2,-2). Bestem en ligning for linjen. Bestem y koordinaten til det punkt på linjen hvis koordinat er Bestem stigningstal og konstantled for den rette linje der går igennem punkterne (2,34) og (17,-29). Bestem koordinaten til det punkt på linjen hvis y koordinat er Bestem stigningstal og konstantled for den linje der går gennem punkterne (68,171) og ( 32, 237). Bestem linjens skæringspunkter med koordinatakserne En linje har stigningstal 0,8, og den går gennem punktet (5,7). Bestem en ligning for linjen. Bestem linjens skæringspunkter med koordinatakserne Find en ligning for den rette linje der har stigningstal 3, og som går gennem punktet med koordinatsæt (2,7) Find en ligning for den rette linje der har stigningstal 5, og som går gennem punktet med koordinatsæt ( 3,6) Find en li gning for den rette linje der har stigningstal 0,68, og som går gennem punktet med koordinatsæt (5,7) Find en ligning for den rette linje der går gennem punkterne (3,7) og (19,15) Bestem regressionslinjen svarende til følgende sammenhørende værdier af og y: y Bestem ved hjælp af regressionslinjen den y-værdi der svarer til = 11.

11 Side Bestem regressionslinjen svarende til følgende sammenhørende værdier af og y: y Bestem ved hjælp af regressionslinjen den -værdi der svarer til y = Tabellen viser sammenhørende værdier af strækning og dieselforbrug for en 10 personers bus. Forbrug i L Kørt strækning km Gør rede for at sammenhængen kan beskrives med en lineær model og bestem en ligning for bedste rette linje. Fortolk stigningstallet. Bestem den strækning der kan køres på 250L diesel. Bestem den nødvendige mængde diesel til at køre km Tabellen viser antallet af landbrugsbedrifter i Danmark. År Antal bedrifter Opskriv en t ilsvarende tabel hvor tiden regnes i år efter 1970, det vil sige = 0 i Gør rede for at en lineær model kan bruges i den betragtede periode og bestem ligningen for bedste rette linje. Hvor mange bedrifter var der ifølge modellen i 1975? Hvornår var der bedrifter? 0216 Tabellen viser den danske produktion af råolie i millioner kg. (Kilde: Danmarks Statistik). År Olieproduktion i mio. kg Opskriv en tilsvarende tabel hvor tiden regnes i år efter Gør rede for at en lineær model kan bruges i den betragtede periode og angiv ligningen for bedste rette linje. Hvad var olieproduktionen i 1992 ifølge modellen Kemiske reaktioners forløb afhænger af en rækk e forskellige faktorer. For eksempel er temperaturen og startkoncentrationerne af de reagerende stoffer (reaktanterne) med til at bestemme reaktionshastigheden. Skemaet viser resultaterne af nogle forsøg hvor reaktionshastigheden og startkoncentrationen for den ene reaktant er målt. Startkoncentrationen kaldes og måles i mol/l. Reaktionshastigheden kaldes y og måles i (mol/l)/s,. (mol/l) 0,050 0,075 0,100 0,125 0,200 y (mol/l/s) 0,0062 0,0094 0,0140 0,0146 0,0230 Gør rede for at en lineær model kan bruges til at beskrive sammenhængen. Beregn reaktionshastigheden hvis startkoncentrationen er 0,11mol/L? Beregn startkoncentrationen hvis reaktionshastigheden er 0,02 (mol/l)/s.