Efteruddannelsesudvalget for Bygge/anlæg og industri. Teodolit og totalstation

Transkript

1 Efteruddannelsesudvalget for Bygge/anlæg og industri Teodolit og totalstation

2 Efteruddannelsesudvalget for bygge/anlæg og industri Teodolit og totalstation Undervisningsministeriet. Februar Materialet er udviklet for Efteruddannelsesudvalget for bygge/anlæg og industri i samarbejde med Byggetek, en del af Mercantec. Materialet kan frit viderebearbejdes med angivelse af følgende tekst: Dette materiale indeholder en bearbejdning af kompendium for teodolit og totalstation, februar 2009 udviklet for Undervisningsministeriet af Efteruddannelsesudvalget for bygge/anlæg og industri i samarbejde med Byggetek en del af mercantec. Forord Teodolit og totalstation Side 1

3 Dette kompendium er udviklet til brug for Efteruddannelsesudvalget for bygge/anlæg og industri (BAI, med støtte fra Undervisningsministeriet. Kompendiet er udarbejdet for at understøtte målet i følgende uddannelse: 41957, Teodolit og totalstation, Uddrag af kursets målbeskrivelse Deltagerne kan udføre opmåling og afsætningsopgaver med teodolit og totalstation inden for bygge- og anlægsbranchen, herunder: TEODOLIT: Deltageren kan selvstændigt opstille en teodolit på baggrund af viden om teorien omkring teodolittens anvendelsesmuligheder og systematiske fejl. Deltageren kan udføre en kontrol af teodolittens for systematiske fejl. TOTALSTATION: Deltageren kan udføre opsætning og betjening af totalstation på baggrund af en generel viden om: - totalstationens opbygning og enkeltdele - måleprincipper og metoder - programmer i totalstationen - automatiseret opmåling med totalstation - metoder og principper ved afsætning. Deltageren kan omsætte målinger til en analog situationsplan samt foretage kontrol af totalstationens systematiske fejl. Indholdsfortegnelse Titel: Teodolit og totalstation... 1 Teodolit og totalstation Side 2

4 Indhold... Fejl! Bogmærke er ikke defineret. Teodolit... 4 Totalstation... 5 Anvendelse... 6 Afsætning af rette linier... 6 Måling af vinkler Afsætning af vinkler... 7 Op og nedlodning... 7 Afstandsmåling med totalstation Optisk afstansmåling... 7 Håndtering af instrumenter... 7 Målefejl... 8 Opstilling af teodolit... 9 Instrumentkontrol... 9 Brug af instrument Aflæsning af vinkelmål Landmåling og landskoordinatsystem Plane koordinatsystemer Geometri Grundlæggende begreber Vinkler Linier Cirklen Trekanter Firkanter Kontruktion af mangekanter Femkant Sekskant Syvkant Ottekant Tolvkant Teodolit og totalstation Side 3

5 Trekantsberegning Pythagoras (3-4-5 vinkel) Trigonometri Retvinklet trekant Vilkårlige trekanter Cosinusrelationen Sinusrelationen Beregningsformler for cirkler og kurvestykker Afsætning af punkter Afsætning med teodolit Fremskæring (to vinkler) Polær afsætning Matematisk koordinatsystem Vej- og kurveafsætning Stationering af linier Rette linier Kurver Kurveafsætning generelt Kurvetabel Pilhøjdemetoden Kurvetoppunkt Indrykningsmetoden Ortogonal afsætning Polær afsætning Teodolit Teodolitten er at alsidigt instrument, som primært bruges til afsætning af vinkler, men den kan også bruges som nivellerinstrument til afsætning af højder. Udformningen af de enkelte dele på teodolitten, vil være afhængig af fabrikatet. De fleste teodolitter er i dag Teodolit og totalstation Side 4

6 elektroniske, hvilket vil sige, at aflæsningen af vinkler foregår på display. En teodolit er kort fortalt en vinkelmåler, monteret på et 3-ben. Selve kikkerten er monteret, så den kan dreje både om en vandret akse og om en lodret akse. For at få kikkertens midte opstillet nøjagtigt lodret over et punkt, er kikkerten udstyret med et lod i en snor eller et optisk lod. I alle tilfælde skal instrumentet forinden være stillet op som et nivellerinstrument ved hjælp af libellerne på instrumentet, således at instrumentet kan drejes rundt uden, at libellen slår ud til siden. Instrumentets hovedbestanddele Selve gradskiven, som er inddelt i 360 ( grader ) og / eller 400 g ( gon ), er indskudt mellem fodstykket med kikkerten og foden, som ved hjælp af centerskruen på trebenet er monteret på trebenet. For at kunne fastholde kikkerten, er denne udstyret med klemskruer og finskruer både for den vandrette akse og for den lodrette akse. Desuden er der normalt en klemskrue og finskrue til indstilling af kredsen i forhold til foden samt kikkertens fokuserinsskrue og okularets justeringsring Totalstation Teodolit og totalstation Side 5

7 Totalstationen kan have mange udformninger med et utal af faciliteter men består grundlæggende af en teodolit til vinkelmåling med opbygning som beskrevet ovenfor og en række yderligere påbygning i form af en elektronisk afstandsmåling og en computer til databehandling. Selve målingen kan fortages til et prisme eller det kan foregå uden prisme. Anvendelse Teodolitten og totalstationen betegnes også som vinkelmåleinstrumenter, da det kan bruges til både vand- rette og lodrette planer. Instrumenterne anvendes til såvel opmålings- som afsætmngsopgaver. Inden for bygge- og anlægsvirksomhed anvendes teodolitten og totalstationen til følgende måling af vinkler afsætning af rette linier afsætning af vinkler op- og nedlodning afstandsmåling med totalstationen og evt. optisk afstandsmålin med teodolitten Afsætning af rette linier Den rette linies retning er givet ved punkternea og B. Linien skal forlænges udover punkt B. Teodolitten opstilles i punkt B, og sigtet rettes mod punkt A. Stokke i nødvendigt omfang vinkes ind i sigtet. Måling af vinkler. Instrumentet opstilles i skæringen mellem vinkelbenene og kikkerkerten rettes mod punktet A. Herefter 0-stilles vinkelmåleren og derefter rettes kikkerten mod punkt B og vinklen aflæses på displayet. Målenøjagtigheden kan variere men vil ligge på 1/1000 af en gon Teodolit og totalstation Side 6

8 Afsætning af vinkler Der skelnes mellem ortogonal afsætning og polær afsætning. Op og nedlodning Nadirlodning (nedlodninge) Kan udføres med instrumentets optiske lod. Zenitlodning (oplodning) kan udføres med et specielt zenitokular. Afstandsmåling med totalstation. Kikkerten rettes mod prismet og efter et øjeblik kan afstanden mellem totalstationen aflæses med mm nøjagtighed Optisk afstansmåling Instrumentet opstilles nøjagtig midt over det punkt man ønsker at måle fra. Derefter placeres stadiet på det punkt man ønsker at kende afstanden til. distancestreger Nu foretager man en aflæsning på den øverste distancestreg, dette tal noteres. Derefter aflæser man på den nederste distancestreg. Det sidst aflæste tal, trækkes fra det første, resultatet ganges med hundrede. A - B 100 = distancen Resultatet er distancen (afstanden) mellem stadie og instrument målt i meter. Nøjagtigheden kan angives til at være +/- 15 cm. på 100 m Håndtering af instrumenter Et instrument er opbygget af bl.a. finmekanik og optik. Det skal derfor opbevares, transporteres og anvendes med omtanke. Det må aldrig udsættes for hårdhændet behandling, såsom slag og stød, unødig hård spænding af betjeningsskruer, ekstreme temperatur- og fugtforhold osv. Under transport skal det opbevares i sin transportkasse. Teodolit og totalstation Side 7

9 For at sikre mod funktionsfejl skal instrumentet have samme temperatur som omgivelserne. Det betyder f.eks. at man ikke kan tage et instrument fra et opvarmet rum direkte ud i frostvejr. Som tommelfingerregel kan man regne med, at for hver grad Celsius forskel mellem opbevarings- og arbejdstemperatur skal instrumentet tempereres i et minut. Målefejl Målefejl inddeles i tre grupper efter deres opståen og virkning. Grove fejl. Disse fremkommer f.eks. ved forkerte aflæsninger af instrumenter eller målebånd, eller ved fejl ved nedskrivning af den i øvrigt korrekte måling. For at mindske denne fejlmulighed bør man, gentagen måling. Systematiske fejl. Denne type af fejl kan opstå ved forkert anvendelse af eller fejl på måleinstrumenter Denne fejltype er langt farligere end den grove fejl, idet den er ensidig og ikke vil blive opdaget ved gentagen måling. Det er således af afgørende betydning at måleinstrumenter kontroleres for fejl og at de anvendes med omhyggelighed Tilfældige fejl. Årsagen til denne type fejl er målerens manglende erfaring og/eller omhyggelighed, samt begrænsningerne i det anvendte udstyrs nøjagtighed. Denne type fejl har både positivt og negativt fortegn Teodolit og totalstation Side 8

10 Opstilling af teodolit Normalt opstilles teodolitten over et markeret punkt. Stativet placeres på øjemål over punktet. 1. Eventuelt kan man bruge et hænge- eller stanglod til at sikre at stativets topplade er omtrentligt over punktet. 2. Efter at have trådt stativbenene fast monteres instrumentet på toppladen. 3. Ved hjælp af fodskruerne bringes dåselibellen til at spille ind. 4. Instrumentets placering lodret over punktet kontrolleres med det optiske lod. Hvis denne ikke er korrekt løsnes centralskruen, og instrumentet forskydes på toppladen, indtil man i det optiske lod konstaterer at instrumentet er centreret over punktet. 5. Herefter spændes centralskruen igen. 6. Instrumentet drejes, således at rørlibellen står parallelt med to af fodskruerne. Ved justering af disse to fodskruer bringes libellen til at spille ind. Justeringen skal foretages ved at dreje fodskruerne hver sin vej. 7. Derefter drejes instrumentet 100g og den tredje fodskrue justeres. 8. Til kontrol af at libellen viser korrekt drejes instrumentet 200g og libellen skal også i denne stilling spille ind. Hvis dette ikke er tilfældet må libellen justeres. hvis libellen spiller ind kontrolleres igen med det optiske lod, at instrumentet er centreret over punktet. 9. Hvis ikke dette er tilfældet løsnes centralskruen igen, og processen startes igen fra. Instrumentkontrol Inden instrumenterne benyttes til vinkelmålinger eller afsætninger, skal det kontrolleres, om de forskellige akser indtager den indbyrdes rigtige beliggenhed. De fleste korrektionsskruer indkapslet i instrumentet, således at der skal specialværktøj til, hvorfor vi overlade korrektioner og justeringer til instrumentmageren. Det er dog altid brugeren, der skal konstatere. Om Teodolit og totalstation Side 9

11 instrumentet er i orden eller hvilke fejl evt. instrumentet har. l. Libelleaksen skal være vinkelret på vertikalaksen: At få libelleaksen vinkelret på vertikalaksen og samtidig få vertikalaksen lodret kan opnås ved anvendelse af følgende fremgangsmåde: 1. Først drejes instrumentets overdel, så et lodret plan gennem libelleaksen er parallel med et lodret plan gennem fodskrue l og 2, og libellen bringes til at spille ind ved hjælp af disse to fodskruer. 2. Dernæst drejes instrumentets overdel 100 g om vertikalaksen, og libellen bringes i denne stilling til at spille ind med fodskrue Derefter drejes instrumentets overdel 200 g, og et evt. udslag på libellen indikere at instrumentet skal verificeres hos instrumentmageren 2. Sigtelinien skal være vinkelret på horisontalaksen: Kontrol af, at disse to akser har indbyrdes rigtig stilling, kan foretages ved i nogenlunde vandret terræn at rette sigtet mod et fjernt punkt Kikkerten slås igennem (drejes 200g omkring horisontalaksen), og et punkt A1 afmærkes på et vandret stadie i sigtets retning. Ved drejning omkring vertikalaksen rettes sigtet atter mod P, kikkerten slås igennem, og et punkt A2 afmærkes på stadiet i sigtets retning. Såfremt der ikke er sammenfald mellem A1 og A2 skal der foretages verifikation hos instrumentmageren. 3. Horisontalaksen skal være vinkelretvertikalaksen: Efter at instrumentet er opstillet korrekt, sigtes til et forholdsvis højtliggende punkt B, Derpå drejes kikkerten om den vandrette akse ned mod et vandretliggende stadie, der er anbragt i en afstand af ca. 60 m fra instrumentet. Trådkorsets lodrette streg på stadiet Teodolit og totalstation Side 10

12 aflæses. Derpå slås kikkerten igennem, sigtet indstilles på B og derefter på stadiet, som på ny aflæses. Hvis de to aflæsninger ikke er ens, skal der foretages korrektion hos instrumentmageren. 4. Vertikalaksen skal gå gennem centrum for kredsinddelingen: Findes der på instrumentet en fejl af denne art, vil dens størrelse kunne findes ved, at man indstiller på et fjernt punkt P med kredsaflæsningen på 0,00 g. Dernæst slås kikkerten igennem, der indstilles igen på p ved drejning omkring vertikalaksen, hvorpå der påny aflæses. Differencen mellem de to aflæsninger skal være 200g En evt. afvigelse herfra noteres Der indstilles nu med kredsaflæsningen 20,00g, og ovennævnte fremgangsmåde anvendes igen. Dernæst med kredsaflæsning henholdsvis 40,00g - 60,00g o.s.v. hele kredsen rundt. Såfremt alle målinger med instrumentet fortages satsmålinger dvs. mideltallet for 2 målinger til hvert punkt efter gennemslag eliminere denne fejl. 5. For instrumenter med stanglod skal stangloddets akse skal være vinkelret på dåselibellens hovedplan: Ved forskydning af teodolitten på stativhovedet bringes dålelibellen til at spille ind. Dernæst drejes stangloddet om sin egen akse. Hvis libellen herved gør et udslag, er libellens hovedplan og stangloddets akse ikke vinkelret på hinanden. Fejlen rettes hos instrumentmageren 6. Det lods akse skal være sammenfaldende med vertikalaksen: Befinder det optiske lod sig i den bevægelige overdel, opstilles teodolitten, over et skarpt markeret punkt, idet det optiske lods stregkors på punktet. Derefter drejes 200 g. Hvis stregkorset ikke forsat er på punktet sendes instrumentet til instrumentmageren for korrektion Teodolit og totalstation Side 11

13 Er loddet indbygget i fodstykket, må kontrollen foretages ved hjælp af et hængelod. Kontrollen derfor må udføres enten i stille vejr eller indendørs. Fodskruerne skrues til samme dybde i møtrikkerne, og dåselibelien bringes til at spille ind ved at træde stativbenene i jorden. Instrumentets vertikalakse stilles lodret, og hængeloddet monteres. Loddets stilling afmærkes omhyggeligt, og hængeloddet fjernes. Derefter sigtes gennem det optiske lod mod det afmærkede punkt, er der ikke overensstemmelse er der behov for justering hos instrumentmageren Brug af instrument Indstilling af trådkors og billede For at kunne måle omhyggeligt er det vigtigt,at trådkorset er indstillet skarpt. Dette gøres ved at dreje på okularet, mens man retter kikkerten mod en lys baggrund. Som ved alle andre kikkerter er okularindstillingen personlig Indstilling Dernæst rettes kikkerten en mod på signal (stok, genstand mv.) kikkertbilledet stilles skarpt med fokuserknappen og vinkelmåleren nulstilles eller aflæses Med løsnede låseknapper drejes kikkerten, så sigtekornet på denne står på signalet. Derefter spændes låseknappeme og nu kan teodolitten kun drejes ved Hjælp af finstilleskrueme. Nu stilles kikkertbilledet skarpt med fokuserknappen. Ved hjælp af henholdsvis vertikalfinskruen og horisontalfinskruen indstilles trådkorset nøjagtigtpå signalet. For at sikre sig mod den fejlkilde at vertikalaksen er eksecentrisk placeret i forhold kredsen kan der fortages en satsmåling. Det vil sige at kikkerten slås igennem og måling gentages som oven for beskrevet Aflæsning af vinkelmål Instrumenter med digital display kan aflæse direkte på displayet. Vigtigt Teodolit og totalstation Side 12

14 Aflæs på korrekt skala: H for vinkler i vandret plan. V for vinkler i lodretplan. Bemærk at det er almindeligt at landmålingsinstrumenter arbejder i gon Gradmåling En cirkel er opdelt i grader. Graderne angive vinklens størrelse, både i vandret og lodret plan. Man regner med 2 slags grader - gammelgrader og nygrade (gon) I gammelgrader er cirklen opdelt i 360 dvs at en ret vinkel= 90 l = 6O'min l'= 60" sek I nygrader (gon) er cirklen opdelt i 400,00g dvs. en ret vinkel = 100,00gVed nygrader regnes der med decimaler (10 talssystem). Omregning mellem de to gradmåleenheder kan gøres ved at Gange nygrader(gon) med 0,9 for at omregne til gammelgrader 1g x 0,9 = 1 Og Dividere gammelgrader med 0,9 for at få nygrader (gon) 1 : 0,9 = 1g Landmåling og landskoordinatsystem. Plane koordinatsystemer Et koordinatsystem er en måde at fastlægge punkter i forhold til hinanden i et overordnet system. På den måde kan ethvert punkt defineres som afstandene fra koordinatsystemets akser. Normalt anvendes et retvinklet koordinatsystem, med akser der er rette linier. Frem til har S34 været fastlagt således, at fikspunktet Agri Baunehøj på Djursland blev defineret som koordinaten 200 KM på begge akser. Y blev Teodolit og totalstation Side 13

15 fastlagt som 1. aksen og gående mod nord, og X som 2. aksen mod vest. Nationale referencenet i Danmark Et nationalt referencenet er et landsdækkende net af punkter, der etableres i marken, og som gør det muligt at definere et nationalt referencesystem. Referencenet i Danmark Matrikelstyrelsen har etableret flere typer referencenet i Danmark, som er opmålt med forskellige teknikker. De nyeste net består af punkter, som er målt med GPS: REFDK-nettet og 10 km-nettet. REFDK-nettet er det grundlæggende GPSreferencenet i Danmark og består af 95 punkter, der definerer det europæiske referencesystem ETRS89 i Danmark. 10 km-nettet er en fortætning af REFDKnettet og består af ca. 700 punkter. Desuden findes der et referencenet bestående af ca punkter, hvori der er foretaget præcisionsnivellement. Det vil sige, at der er bestemt præcise koter for punkterne. Præcisionsnivellementsnettet er et højdereferencenet, som definerer det nationale højdesystem DVR90 i Danmark. Fortætningen af dette net kaldes detailnivellementsnettet og det består af ca punkter. Detailnivellementsnettet bringer DVR90-koter ud i alle dele af landet. Det skaber også forbindelsen fra præcisionsnivellementsnettet til REFDK-nettet og 10 km-nettet. Derudover eksisterer der et fintmasket net bestående af ca punkter, som kaldes 2 km-nettet eller triangulationsnettet. Der er bestemt plane koordinater ud fra terrestriske målinger for punkterne i dette net. Nettet definerer System34 og UTM/ED50 i Danmark. Kilde: Kort og Matrikelstyrelsen For yderligere informationer om referancenet i Danmark henvises til Kort og Matrikelstyrelses hjemmeside Når det drejer sig om større områder får jordens krumning indflydelse. Man må, for at kunne overføre punkter fra den krumme jordflade til det plane papir (eller skærm), indføre en udfoldning. Det danske koordinatsystem S34, som dækker hele Danmark undtagen Bornholm (S45), er defineret som beliggende på to cylindre, adskilt af Storebælt. Da man i trediverne fastlagde dette system var kravet at fortegningen ikke måtte overstige 5 cm pr. km noget sted. Dette betyder dog at et mål i marken på 1000 m taget Ø-V ved f.eks. Vejle skal tillægges 5 cm når det skal indpasses i S34. Teodolit og totalstation Side 14

16 Til mindre områder kan anvendes et lokalt defineret koordinatsystem. Det har den fordel, at det er plant og derfor ikke er behæftet med fortegning p.g.a. jordens krumning. Teodolit og totalstation Side 15

17 Geometri. For at arbejde med at opmåle og afsætte efter en anlægstegning, er en grundviden om de linier og geometriske figurer, der anvendes, et god fundament. Formålet med dette stof, er at vise nøje sammenhæng mellem teori og praktik, og give de grundlæggende forudsætninger for praktiske opmålings og afsætningsopgaver. Grundlæggende begreber Et legeme er til alle sider et afgrænset rum, og legemets grænser dannes af flader (grundflader, sideflader). Et legeme har tre dimensioner eller udstrækninger, længde, bredde og højde En flade er enten ret som: en gulvflade, vægflade, vandflade, eller krum som f.eks. en kugles overflade. En flade har to dimensioner eller udstrækninger, længde og bredde En linie har én længde En flade afgrænses af linier, og der skelnes mellem rette og krumme linier. En ret linie et den korteste afstand mellem to punkter. Et punkt har ingen udstrækning Vinkler En vinkel er åbningen mellem to rette linier, der skærer hinanden har et fælles punkt. Åbningen mellem linierne AB og AC kaldes en vinkel, de to rette linier AB og AC, vinklens ben, og deres fælles punkt, kaldes vinklens toppunkt. Teodolit og totalstation Side 16

18 En bestemt vinkel betegnes af ét eller tre bogstaver. Eks. vinkel A, eller vinkel BAC, i sidste tilfælde skal bogstavet ved toppunktet stå i midten. Skal vinklen gøres større eller mindre, må det ene ben drejes om toppunktet fra eller mod det andet ben. Hele omdrejningen deles i 360 lige store dele, og hver af disse kaldes en grad (l ). Eller i landmåling 400g. og (1g) Den vinkel der fremkommer ved en kvart drejning, kaldes en ret vinkel, og den måler altså 90. En vinkel der ikke er ret, kaldes skæv. Er den større end en ret, kaldes den stump, er den mindre kaldes den spids. Linier Parallele linier der som AB og CD overalt har samme afstand til hinanden, er parallelle og vil, hvor langt de end forlænges, aldrig skære hinanden (togskinner). A C B D En afgrænset flade kaldes en figur. Er de linier, som danner grænserne rette, kaldes disse figurens sider. En flade kan ikke afgrænses af færre end tre rette linier (trekant). En flade kan også afgrænses af 4,5,6... rette linier, hvorved der fremkommer en firkant, femkant, sekskant osv. Disse kaldes for mangekanter eller polygoner. Cirklen Cirklelfladens grænse er en krum linie, hvis punkter alle har samme afstandfra, cirklens midtpunkt, der kaldes centrum. Den krumme linie kaldes omkredsen eller periferien. En ret linie fra centrum til periferien kaldes radius (CB, CD). Alle radier i samme cirkel har samme længde. En linie fra et punkt på periferien til et andet punkt på denne, kaldes en korde (EF). Går korden gennem centrum, kaldes den cirklens diameter (AB). Teodolit og totalstation Side 17

19 En ret linie der rører cirklen i et punkt kaldes en tangent. Tangenten vil altid være vinkelret på Radius. Centervinkler er vinkler, hvis toppunkt ligger i en cirkels centrum. Periferivinkler er vinkler, hvis toppunkt ligger på cirkel-periferien, og de er halvt så mange grader som de spænder over. Således kan man altså konstruere en 90 graders vinkel. Man kan også konstruere en 90 graders vinkel, ved at halvere en 180 graders vinkel (en ret linie), dette kaldes også at oprette den vinkelrette. Herudfra kan man ved halveringer skabe andre vinkler, som igen kan kombineres med hinanden. En 60 graders vinkel konstrueres ved, at afsætte radius ud af periferien. Hvis man oprejser en vinkelret midt på en korde, vil denne gå gennem cirklens centrum. Denne linie kaldes en halveringslinie og afstanden fra korden i denne linie til cirkelperiferien kaldes pilhøjden Trekanter I trekanter ABC kaldes den vandrette linie (linien AC) grundlinien. Afstanden fra en vinkelspids vinkelret på den modstående (grundlinien) side, kaldes højden i trekanten. Teodolit og totalstation Side 18

20 I en stumpvinklet trekant, falder to af højderne udenfor trekanten. En trekants omskrevne cirkel, findes ved at halvere to af siderne, halveringslinierne vil skære hinanden i cirklens centrum. Siderne i trekanten er korder i cirklen. En trekants indskrevne cirkel, findes ved at halvere to af trekantens vinkler, vinkelhalveringslinierne skærer hinanden i den indskrevne cirkels centrum. I en retvinklet trekant, kaldes den side der ligger overfor den rette vinkel, for hypotenusen, de to andre sider er kateterne. Teodolit og totalstation Side 19

21 Firkanter Rektanglet har to lange og to korte sider, parvis lige lange, og fire rette vinkler. Diagonalerne er lige lange, og halverer hinanden. Parallelogrammet er en firkant, hvor de modstående sider er parallelle og parvis lige lange. Diagonalerne halverer hinanden. Afstanden mellem de to modstående sider kaldes en højde. Kvadratet er en firkant, der har fire lige lange sider, og fire rette vinkler. Diagonalerne er lige lange. Romben er et parallelogram, hvor alle fire sider er lige lange, og diagonalerne står vinkelret på hinanden. Trapezen er en firkant, hvor to af siderne er parallelle, og af forskellig længde. Eksempler på trapezer: Kontruktion af mangekanter Femkant Femkanten konstrueres ved at man først finder punktet C, ved halvering af radius. Med C som centrum, og afstanden CA som radius tegnes en bue, der skærer diameteren i punktet B. AB er side i den regelmæssige femkant. Bn er side i en regelmæssig tikant, indskreven i den samme cirkel. Teodolit og totalstation Side 20

22 Sekskant Sekskanten konstrueres ved at man afsætter radius som korde, 6 gange på cirkelperiferien. Syvkant Syvkanten konstrueres ved at man halverer radius, liniestykket AB er siden i syvkanten. Ottekant Ottekant (regelmæssig). Man konstruerer først en firkant, hvis sider er afstanden mellem to parallele sider i ottekanten. Tolvkant Ved konstruktion af en tolvkant, tegner man først de to diametre vinkelret på hinanden. Derefter tages afstanden radius i passeren, og med diameterens skæringspunkt på periferien som centrum tegnes små buestykker på cirkelperiferien. Teodolit og totalstation Side 21

23 Trekantsberegning Pythagoras (3-4-5 vinkel) vinklen bygger på det forhold at sidelængderne i en retvinklet trekant, forholder sig til hinanden som 3:4:5. Derfor gælder følgende formel for siderne i alle retvinklede trekanter. a² + b² = c² Eksempel (kontrol af vinkel): a = 3 meter b = 4 meter c = 5 meter 3² + 4² = 5² = 25 kvadratroden af 25 = 5 Man kan fremstille en ret vinkel i enhver størrelse, således at den passer til opgavens art. To lige brædder danner vinklens ben, og et bræt sat på skrå, holder benene i den rette vinkel. (90º) For at opnå størst mulig nøjagtighed, anvendes et båndmål ved udmålingen. a 2 + b 2 = c 2 c = a 2 + b 2 og a = c 2 - b 2 og b = c 2 - a 2 Teodolit og totalstation Side 22

24 Trigonometri Retvinklet trekant Trigonometri betyder læren om en trekants sider og vinkler, som tager sit udgangspunkt i enhedscirklen, hvilket er en cirkel hvor radius gives værdien l, og hvis cirkels centrum er nulpunkt for et koordinatsystem med akserne X og Y. Trigonometriske beregninger kan bruge til at beregne sidelængder og vinkler i trekanter og herigennem skabe grundlag for afsætning f.eks finde kordelængder, samt pilhøjder i cirkeludsnit. Dette kan bruges ved afsætning af buede linier. Eksempelvis ved vjearbejder, kantsten og belægninger i buer og cirkler. Beregningsformler For alle retvinklede trekanter gælder følgende trigonometriske funktioner: sin A = cos A = tan A = a c b c a b eller sin cos tan = = = modstående katete hypotenusen hosliggende katete hypotenusen modstående katete hosliggende katete Ved hjælp af det foranstående kan der opstilles formler for trekantsberegninger som ses i nedenstående tabe. Teodolit og totalstation Side 23

25 Til hjælp til løsning af en bestemt opgave, kan det være en god ide, at tegne en trekant og indsætte alle oplysningerne fra opgaven, og dernæst anvende formlerne på de manglende størrelser. Teodolit og totalstation Side 24

26 Vilkårlige trekanter Beregning af vilkårlige trekanter de ikke retvinklede kan benytte cosinus- og sinusrelationen Cosinusrelationen Cosinus og sinus er indført i forbindelse med retvinklede trekanter, men kan også anvendes til beregning af vinkler og sider i en vilkårlig trekant, deraf ordet trigonometri, som betyder trekantsregning. h a² = b² + c² - 2 b c cos A b² = a² + c² - 2 a c cos B c² = a² + b² - 2 a b cos C b I cosinusrelationerne indgår de tre sider og en vinkel. Hvis tre af disse emner er kendte, kan man beregne den fjerde. Sinusrelationen For at kunne anvende cosinusrelationen er det nødvendigt at kende mindst to af siderne i trekanten. Vi mangler således en formel, hvori to af vinklerne indgår. = = Teodolit og totalstation Side 25

27 Beregningsformler for cirkler og kurvestykker afstandsformler K = kordelængde =2 x r x sin h = pilhøjde = r r x cos s = Buelængde = Arealformler areal af cirkelafsnit = r² 2 ( π 180 v sin v ) areal af cirkeludsnit = v 360 π r² Teodolit og totalstation Side 26

28 Afsætning af punkter Et punkt, der skal afsættes i marken, vil i almindelighed være angivet enten relativt i forhold til andre punkter, ved hjælp af vinkler, afstande eller ved koordinater (retvinklede eller polære) i lokale systemer eller i landskoordinatsystemet. Afsætning med teodolit. Ortogonal afsætning (retvinklede linier perpendikulærer). Ved ortogonalafsætning går man ud fra en ret linie mellem to kendte punkter A og B med frit sigte imellem. Afstanden beregnes fra A og B til punkt P's projektion F på AB. Derefter afsættes F ved et af disse "fodmål". Med et vinkelprisme afsættes normalen til AB i det afsatte punkt F. I den pågældende retning afsættes dernæst den søgte afstand FP (perpendikulærlængden). P Fodmål A F B Ved krav om nøjagtigere afsætninger bør teodiliten anvendes i F i stedet for prisme, ligesom fodmålene som kontrol bør afsættes til F fra begge udgangspunkterne A og B. Teodolit og totalstation Side 27

29 Fremskæring (to vinkler). Afsætning af et punkt ved fremskæring sker fra to givne punkter, f.eks. A og B, idet vinklerne er kendte. Der anvendes som regel to teodolitter, som stilles op over hvert af de givne punkter. P A v u Skæringen mellem sigtelinierne fastlægger derefter punktets placering. B Polær afsætning (vinkel + afstand). Ved afsætning efter polarmetoden, går man ud fra en kendt i terrænet given retning (f.eks. x - aksen). Teodolitten opstilles i punkt A (aksernes krydsningspunkt), og ud fra x - aksens retning afsættes den givne vinkel v. Ved at afsætte den kendte afstand i meter ud ad den afsatte retning fastlægges det søgte punkt P. y - akse P afstand i meter A v teodolitopstilling x - akse Afsætning efter polarmetoden, er med fremkomsten af elektromagnetiske distancemålingsinstrumenter, blevet Teodolit og totalstation Side 28

30 almindelig udbredt blandt andet ved afsætning af veje og montagebyggeri. Teodolit og totalstation Side 29

31 Matematisk koordinatsystem Systemet består af to tallinier der står vinkelret på hinanden. Krydsningspunktet er liniernes fælles nulpunkt, og den positive retning vises med pile. Kan angive et punkts beliggenhed i planen. Talliniernes positive retninger vises ved pile. Den vandrette linie kaldes x-aksen eller abscisseaksen, og den lodrette linie kaldes y-aksen eller ordinataksen. Undertiden træffer man også betegnelserne førsteakse og andenakse. Tilsammen kaldes de koordinat-akserne. Skæringspunktet kaldes nulpunktet og betegnes som regel med et stort O. De 4 "rum" som begrænses af akserne kaldes 1., 2., 3. og 4. kvadrant. Den positive retning i planet kan vises ved en buet pil modsat urvisernes drejning. Man kan angive et punkts beliggenhed ved at fortælle, hvor langt det ligger fra y-aksen (afstanden kaldes punktets abscisse), og hvor langt det ligger fra x-aksen (punktets ordinat). Visse steder kalder man abscissen for sidetallet og ordinaten for højdetallet. Afstandene adskilles af komma og omgives af en parentes, f.eks.: (2,3) - læses: to komma tre (0,-5) - læses: nul komma minus fem. Første tal (bogstav) er altid abscissen - x-værdien (afstanden fra y-aksen) andet tal (bogstav) er altid ordinaten - y-værdien (afstanden fra x-aksen). Teodolit og totalstation Side 30

32 Punktet A har abscissen 4 - måles på x-aksen fra nulpunktet til skæringspunktet med den vinkelrette fra punkt A. Punkt A har ordinaten 3 - måles på y-aksen fra nulpunktet til skæringspunktet med den vinkelrette fra punkt A. Vil man angive punktet A's beliggenhed, skriver man: A: (4,3). De to tal (bogstaver) i parentesen kaldes punktet A's koordinater. En polær beskrivelse af punktet placering vil bestå af en vinkel mellem 1. Aksen og retningen til punktet i (0,0) I dette tilfælde inv tan ¾ = 40,967g og en afstand fra igen (0,0) C = = 5 Et hvert punkt beliggende i koordinatsystemet kan beskrives på enten den ene eller anden måde Alle punkter i 1. kvadrant har positiv abscisse og positiv ordinat (+,+). Punkter i 2. kvadrant har negativ abscisse og positiv ordinat (-,+). Punkterne i 3. kvadrant har punkterne både negativ abscisse og negativ ordinat (-,-). Alle punkter i 4. kvadrant har positiv abscisse og negativ ordinat (+,-). Læg mærke til, at det matematiske system er forskelligt fra landskoordinatsystemet, idet sidstnævnte system har Teodolit og totalstation Side 31

33 x aksens positive retning vendt modsat det matematiske og omløbsretningen er med uret. Teodolit og totalstation Side 32

34 Vej- og kurveafsætning En vejkurve er som regel en del af en cirkelbue, som konstruktionsmæssigt ligger sådan, at den kan indtegnes i en trekant eller firkant, (se figur). Cirkelbuen tangerer (berører) tangenterne (trekantsiderne)i tangentpunkterne. Disse punkter kan man beregne eller konstruere sig til. Det er af stor vigtighed, at de bliver afsat korrekt i terrænet. Stationering af linier Rette linier Ved en retlinet vejakse udmåles i praksis først 200 m, idet man lader stikkerne blive stående. Når dette er foretaget, rettes hvert enkelt stationeringspunkt nøjagtigt ind i linien ved hjælp af en landmålerstok, der sigtes ind med det blotte øje eller med instrument. Vejaksen på lige strækninger og i kurver med radius over ca. 200 m stationeres normalt pr. 20 m i arbejdssituationen og vejens hovedstationering pr 100 m forbliver og sluttelig markeres med hvide kantpæle. Kurver Ved stationering i kurver (cirkelbuer) afsættes kurven først. Kurven stationeres først når den forudgående lige strækning, da stationeringen denne skal fortsættes gennem kurven Stationering og afmærkning udføres som for rette linier; men ved cirkelradier mindre end ca. 200 m nedsættes stationeringsafstandene fra 20 til 10 meter, hvorved, at forskellen mellem buelængden og kordelængden, er meget lille og uden praktisk betydning. Teodolit og totalstation Side 33

35 Kurveafsætning generelt Afsætning af cirkelbuer i marken finder navnlig anvendelse ved udstikning af veje og anlægsarbejder i øvrigt. Skal en cirkelbue afsættes i marken, og radius er større end ca. 50 meter (større end alm. båndlængde), må man benytte særlige metoder til afsætning af kurven. Dispositionen for gennemgangen er følgende: Kurvetabel Pilhøjdemetoden Kurvetoppunkt og 4. -delsmetoden Indrykningsmetoden Afsætning fra tangent Mellempunkter på kurve Kurvespejl Indmundingskurver Ortogonal afsætning Polært afsætning 7.5 Kurvetabel På næste side er der en kurvetabel for 0-180⁰ for radius =. 1 En kurvetabel indeholder sammenhørende værdier for korde, pilhøjde, buelængde og centervinkel. KURVETABEL 0-180⁰ for radius 1 Cv Korde Pilhøjde Bue Cv Korde Pilhøjde Bue Cv Korde Pilhøjde Bue Cv Korde Pilhøjde Bue ⁰ K p s ⁰ K p s ⁰ K p s ⁰ K p s 1 0,0175 0,0000 0, ,7815 0,0795 0, ,4265 0,2991 1, ,8544 0,6254 2,3736 Teodolit og totalstation Side 34

36 2 0,0349 0,0002 0, ,7975 0,0829 0, ,4387 0,3053 1, ,8608 0,6335 2, ,0524 0,0003 0, ,8135 0,0865 0, ,4507 0,3116 1, ,8672 0,6416 2, ,0698 0,0006 0, ,8294 0,0900 0, ,4627 0,3180 1, ,8733 0,6498 2, ,0872 0,0010 0, ,8452 0,0937 0, ,4746 0,3244 1, ,8794 0,6580 2, ,1047 0,0014 0, ,8610 0,0974 0, ,4863 0,3309 1, ,8853 0,6662 2, ,1221 0,0019 0, ,8767 0,1012 0, ,4979 0,3374 1, ,8910 0,6744 2, ,1395 0,0024 0, ,8924 0,1051 0, ,5094 0,3439 1, ,8966 0,6827 2, ,1569 0,0031 0, ,9080 0,1090 0, ,5208 0,3506 1, ,9021 0,6910 2, ,1743 0,0038 0, ,9235 0,1130 0, ,5321 0,3572 1, ,9074 0,6993 2, ,1917 0,0046 0, ,9389 0,1171 0, ,5432 0,3639 1, ,9126 0,7076 2, ,2091 0,0055 0, ,9543 0,1212 0, ,5543 0,3707 1, ,9176 0,7160 2, ,2264 0,0064 0, ,9696 0,1254 1, ,5652 0,3775 1, ,9225 0,7244 2, ,2437 0,0075 0, ,9848 0,1296 1, ,5760 0,3843 1, ,9273 0,7328 2, ,2611 0,0086 0, ,0000 0,1340 1, ,5867 0,3912 1, ,9319 0,7412 2, ,2783 0,0097 0, ,0151 0,1384 1, ,5973 0,3982 1, ,9363 0,7496 2, ,2956 0,0110 0, ,0301 0,1428 1, ,6077 0,4052 1, ,9406 0,7581 2, ,3129 0,0123 0, ,0450 0,1474 1, ,6180 0,4122 1, ,9447 0,7666 2, ,3301 0,0137 0, ,0598 0,1520 1, ,6282 0,4193 1, ,9487 0,7750 2, ,3473 0,0152 0, ,0746 0,1566 1, ,6383 0,4264 1, ,9526 0,7836 2, ,3645 0,0167 0, ,0893 0,1613 1, ,6483 0,4336 1, ,9563 0,7921 2, ,3816 0,0184 0, ,1039 0,1661 1, ,6581 0,4408 1, ,9598 0,8006 2, ,3987 0,0201 0, ,1184 0,1710 1, ,6678 0,4481 1, ,9633 0,8092 2, ,4158 0,0219 0, ,1328 0,1759 1, ,6773 0,4554 1, ,9665 0,8178 2, ,4329 0,0237 0, ,1472 0,1808 1, ,6868 0,4627 2, ,9696 0,8264 2, ,4499 0,0256 0, ,1614 0,1859 1, ,6961 0,4701 2, ,9726 0,8350 2, ,4669 0,0276 0, ,1756 0,1910 1, ,7053 0,4775 2, ,9754 0,8436 2, ,4838 0,0297 0, ,1896 0,1961 1, ,7143 0,4850 2, ,9780 0,8522 2, ,5008 0,0319 0, ,2036 0,2014 1, ,7233 0,4925 2, ,9805 0,8608 2, ,5176 0,0341 0, ,2175 0,2066 1, ,7321 0,5000 2, ,9829 0,8695 2, ,5345 0,0364 0, ,2313 0,2120 1, ,7407 0,5076 2, ,9851 0,8781 2, ,5513 0,0387 0, ,2450 0,2174 1, ,7492 0,5152 2, ,9871 0,8868 2, ,5680 0,0412 0, ,2586 0,2229 1, ,7576 0,5228 2, ,9890 0,8955 2, ,5847 0,0437 0, ,2722 0,2284 1, ,7659 0,5305 2, ,9908 0,9042 2, ,6014 0,0463 0, ,2856 0,2340 1, ,7740 0,5383 2, ,9924 0,9128 2, ,6180 0,0489 0, ,2989 0,2396 1, ,7820 0,5460 2, ,9938 0,9215 2,9845 Teodolit og totalstation Side 35

37 37 0,6346 0,0517 0, ,3121 0,2453 1, ,7899 0,5538 2, ,9951 0,9302 3, ,6511 0,0545 0, ,3252 0,2510 1, ,7976 0,5616 2, ,9963 0,9390 3, ,6676 0,0574 0, ,3383 0,2569 1, ,8052 0,5695 2, ,9973 0,9477 3, ,6840 0,0603 0, ,3512 0,2627 1, ,8126 0,5774 2, ,9981 0,9564 3, ,7004 0,0633 0, ,3640 0,2686 1, ,8199 0,5853 2, ,9988 0,9651 3, ,7167 0,0664 0, ,3767 0,2746 1, ,8271 0,5933 2, ,9993 0,9738 3, ,7330 0,0696 0, ,3893 0,2807 1, ,8341 0,6013 2, ,9997 0,9825 3, ,7492 0,0728 0, ,4018 0,2867 1, ,8410 0,6093 2, ,9999 0,9913 3, ,7654 0,0761 0, ,4142 0,2929 1, ,8478 0,6173 2, ,0000 1,0000 3,1416 k = 2 x r x sin ( Cv/2) p = r - r x cos ( Cv/2) s = 2 x r x Cv/360 Eksempel l For radius (r) = 80 m og en centervinkel (Cv) = 10 skal findes: Korden (K), Pilhøjde (h), Buelængde (s) Løsning Der "slås op" i tabellen ved Cv = 10. Værdierne for k, h og s aflæses og de aflæste størrelser med r, da tabellen gælder for r= 1. Korden (K) = 0,1743 x 80 = 13,944 m Pilhøjden (p) = 0,0038 x 80 = 0,304 m Buelængden (s) = 0,1745 x 80 = 13,960 m Eksempel 2 Givet: R=90 m og Cv= 64 Find: Korden (K 1 ), Pilhøjden (h 1 ), Buelængde (s) Løsning Ved tabelopslag fås: Korden (k 1 ) =1,0598 x 90=95,382m Pilhøjden (p 1 ) = 0,1520 x 90 = 13,680 m Buelængden (s) = 1,1170 x 90 = 100,530 m Teodolit og totalstation Side 36

38 Ønskes tilsvarende værdier bestemt for den halve vinkel, til afsætning af yderligere punkter på buen Cv/2 = 64/2 = 32, fås: Korden (k 2 ) = 0,5513 x 90 = 49,617 m Pilhøjden (p 2 ) = 0,0387 x 90 = 3,4830 m Pilhøjdemetoden I En af de mere enkle metoder til bestemmelse af cirkelpunkter er den såkaldte piihøjdemetode eller fjerdedelsmetode. Metoden er tilnærmet. Forudsætningen er, at 3 cirkelpunkter ABC er afsat og pilhøjden p derfor bestemt (B skal være buens toppunkt). I kordernes midtpunkter oprejses den vinkelrette, hvorfra der afsættes liniestykker p 1 lig med en fjerdedel pilhøjde p. Eksempel Givet: Pilhøjde p = 19,08 m Find: Pilhøjdeme p 1 og p 2 Løsning p 1 = p/4 = 19,08/4 = 4, 77 m p 2 = P 1 /4 = 4,77/4 = 1,19 m ~ Metoden er anvendelig til afsætning af kurver med. Radius på op til 100 m. Cirke1kurven kan være givet ved radius r og vinklen Cv mellem de begrænsede radier. Pilhøjden bestemmes da ved tabelopslag i kurvetabel som tidligere vist Kurvetoppunkt Denne afsætningsmetode kan bruges til at finde en cirkelbues toppunkt (og evt. flere cirkelpunkter), når tangentpunkterne er kendte, som følger: Teodolit og totalstation Side 37

39 1. Tangenterne (de lige vejstykker) forlænges til skæring. 2. Den halve korde (K/2) afsættes ud af tangenten, målt fra tangentpunktet C til D og tilsvarende fra A til E. 3. Fra punkt D og E afsættes nu den vinkelrette mod toppunktet. Hvor de to linier skærer hinanden (på topvinklens halveringslinie), har vi kurvens toppunkt (Ktp). 4. Det bemærkes, at de to vinkelrette linier fra D og E har samme længde som kurvens pilhøjde (h), da de 3 linier er radier i den indskrevne cirkel i trekant ABC. 5. Konstruktionen kan evt. gentages, idet kurvetoppunkt (Ktp) og tangentpunkt (Tgp) bruges som nye udgangspunkter. Som tillæg skal bemærkes at afstanden D Ktp og E Ktp er den samme som pilhøjden h. Det betyder at for en kurve med en radius mindre end 100 m kan ovenstående 4.-delsmetode benyttes til at finde yderligere punkter på kurven Indrykningsmetoden Metoden bør ikke anvendes ved kurveradier under 200 m, da metoden bygger på en tilnærmet regnemetode, og afsætningen af kurvepunkterne bevirker en opsummering af fejl. Metoden er især anvendelig ved kontrol af kurver med større radius, samt til at genopsætte "tabte" punkter. Første indrykning (1) =a/ 2xR Øvrige indrykninger (2, 3 osv.) = a/r Teodolit og totalstation Side 38

40 a og R indsættes i meter. Stationeringsafstand a sættes normalt til IO ener 20 m afhængig af kurveradius R. Eksempel Givet: a=20m, R=500m Find: Indrykningerne i m. Løsning Første indrykning = 20 m / 2 x 500 = 0,40 m Øvrige indrykninger = 20 / 500 =0,80 m Ortogonal afsætning Her afsættes de enkelte punkter ud fra de to hovedtangenter. Da det på figurens søgte punkt P's stationering er kendt, kan buen b findes, hvorved centervinklen v kan beregnes: V = I det viste koordinatsystem findes x = R x sin v y = R - R x cos v Denne direkte beregning kan udføres med lommeregner Anvendelse af hjælpetangent Da det ofte er umuligt at afsætte alle cirkelpunkterne ud fra de to hovedtangenter AB og BD, enten på grund af terrænforholdene eller fordi de vinkelrette udmålinger fra hovedtangenterne bliver for store og for unøjagtig, bliver det nødvendigt at anvende en eller flere hjælpetangenter. Hjælpetangenten Indlægges 1 et stationspunkt, hvorved beregningerne lettes. Teodolit og totalstation Side 39

41 Indlægges der kun en hjælpetangent, og er der i terrænet Ingen hindringer derfor, indlægges hjælpetangenten som regel i stationspunktet nærmest kurvens midtpunkt. Da P på figur er valgt i et stationspunkt, er b 1 og b 2 derved kendt. Hjælpetangenten kan afsættes i marken, når stykkerne AS og DT er beregnet AS = SP = R x tan v 1 DT= TP = R x tan Som kontrol på afsætningens rigtighed haves: ST = SP + PT = AS + DT De enkelte cirkelpunkter afsættes således: x-afstanden afsættes med stålbånd ud ad tangenten til det beregnede punkt, hvorfra y-retningen afsættes ved hjælp af prisme eller målebånd og y-afstanden ved hjælp af stålbånd. Polær afsætning Ved den polære afsætning opstilles teodolitten i tangentpunktet A og nul-stilles i tangentretningen. Ved hjælp af vinklen a eller a afsættes retningen mod P. Med den beregnede k-værdi afsættes P med enten stål bånd eller elektronisk afstandsmåler. Når stationeringsafstanden i buen er kendt findes v, a og k således v = a = AP = k = 2 x r sin (a) Beregning: b = st.p - st.a Eksempel: Stationeringsafstand i buen = 10 m. Radius = 160 m. Teodolit og totalstation Side 40

42 v 1 = 4, a 1 = = 2, A P 1 = k 1 = 2 x 120 x sin(2, ) = 9,9970m v 2 = v 1 x 2 = 9, a 2 = a 1 x 2 = 4, A P 2 = k 2 = 2 x 120 x sin(4, ) = 19,9767 m a 3 = a 1 x 3 = 7, A P 3 = k 3 = 2 x 120 x sin(7, ) = 29,9216 m a og k beregnes for samtlige punkter, der ønskes afsat fra A. Resten beregnes på tilsvarende måde fra det andet tangentpunkt. Teodolit og totalstation Side 41