Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd.

Transkript

1 Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres oplysningerne fra skemaet. Delopgave a (1.1.1) (1.1.2) Hvor betegner værdierne (årstal) og betegner -værdierne (omsætning i mia. kr). Bemærk, at der ikke står 2011 osv, idet der er tale om begyndelsespunkter, derfor for begyndelsespunktet. Anvendes nu 2011, fås en besynderlig graf.

2 En høj forklaringsgrad betyder, at grafen er sand. Derved - ud fra den eksponentielle regression - blev tallene og og samt forskriften bestemt. Som beskriver den kraftige stigning i omsætningen (mia. kr.) (1.1.3) Delopgave b År 2015 omregnes til, idet 2011 var Så i år 2015 vil omsætningen i mia. kr være nået mia kr. (1.2.1) Den årlige vækst-rate kan bestemmes ved, hvor er fremskrivningsfaktoren eller i dette tilfælde. Værdien indsættes

3 solve for r Omregnes til procent. (1.2.2) (1.2.3) Dvs. den vokser hæftigt med % om året. (1.2.4) Delopgave c For at bestemme hvornår omsætningen er fordoblet, anvendes fordoblingskonstanten ved indsættelse af - værdien i nævner. (1.3.1) at 5 digits (1.3.2) (1.3.3) Så ca. i slutningen af år 2011 vil omsætningen være fordoblet. Det passer også godt med skemaet. Opgave 8 - Geometri Delopgave a Da man får afvide, at hytten har ens trekanter, dvs. 12 stks, kan man regne den enkelte vinkel v.h. a. at dividere vinkelsummen med antal trekanter. Altså Dvs. den enkelte trekants vinkel vil være for ganges det med 12, fås. (2.1.1) Delopgave b Arealet er 22. Dette divideres med antallet af trekanter.

4 11 6 (2.2.1) Heraf fås som er arealet af den enkelte trekant. Nu kan man benytte sig af formlen for et areal. Her indsættes oplysningerne. solve for a (2.2.2) (2.2.3) Dette er begge sidelængder. (2.2.4) Man kan nu regne den sidste sidelængde v.h.a. cosinusrelationerne, da man kender begge sidelængder. I web2.0calc fås længden (2.2.5) Dette er sidelængden. Opgave 9 - Differentialregning Opgaven indleder med, at man skal bestemme nulpunkterne. Funktionen defineres. (3.1) Delopgave a Nulpunkterne bestemmes ved at sætte lig med 0. (3.1.1)

5 solve for x Funktionens nulpunkter har alle reelle rødder. Dette kan ses visuelt v.h.a. plotfunktionen. (3.1.2) Som beviser rødderne, eller nulpunkterne. Delopgave b Monotoniforholdene bestemmes v.h.a. at differentiere funktionen samt sætte den lig med 0. solve for x (3.2.1) Her ses to rødder, der beskriver den oprindelige funktions forløb. De aproximeres, således man kan arbejde med dem. (3.2.2)

6 (3.2.3) at 5 digits (3.2.4) (3.2.5) at 5 digits (3.2.6) Så kan man hermed konkludere, hvornår funktionen er voksende og aftagende. Dette kan bekræftes ved, at vælge tal der ikke er lig med. I dette tilfælde vælges og. De indsættes i den afledede funktion 4 (3.2.7) (3.2.8) 12 (3.2.9) Således ses det, hvornår funktionen er voksende og aftagende. En monotonilinje forklarer det hele. Det passer meget godt med plottet fra forrige delopgave. Derfor er den endelige konklusion at; er voksende i intervallet er aftagende i intervallet er voksende i intervallet Delopgave c Da linjen er givet ved, som er parallel med linjen, der rammer i kan dette regnes, men der gives lige en visualisering i GeoGebra

7 Her ses det, at den afledede har en tangent i. Man ønsker envidere at finde førstekoordinatet til, som også har en tangent. Der forudsættes at og er parallelle. Den aflede tages for at undersøge, hvorhenne dette foregår. Denne sættes lig med 1, idet er altså hældningskoefficienten. Da man ved, at, bør man kunne sætte 1 lig med den afledede (3.3.1) solve for x (3.3.2) (3.3.3) Her fås to variabler. De indsættes i funktionen for at finde ud af, hvor henne den er parallel med og tangerer. (3.3.4) at 5 digits (3.3.5) (3.3.6)

8 Indsættes 3 i fås men det giver punktet, som allerede tangerer ved. Derfor må konklusionen være, at hvis man indsætter i fås, derfra må være førstekoordinaten til Andenkoordinaten blev bestemt til Opgave 10 - Sandsynlighedsregning Familietype og BMI er uafhængige Delopgave a De forventede værdier kan man bestemme ved at kende sine oplysninger, men først defineres de i en matrix. Nu kan man finde de forventede. (4.1.1) (4.1.2) Bor sammen med forældre Bor sammen med en forældre BMI under 25 BMI over 25 Således vil de forventede værdier være. Der udføres en test.

9 Da (7.519% 5%) så accepteres nulhypotesen om BMI'en. Delopgave b Den nye tabel indtastes. Bor sammen med forældr e Bor på skift mellem forælder Bor udelukkende med den ene forældre BMI under 25 BMI over 25 Den sidste kulonne udregnes v.h.a. den totale fra "bor sammen med én forældre" divideret med bor på skift mellem forældre oplysningerne.

10 Der udføres en test igen, men først defineres oplysningerne. (4.2.1) (4.2.2) De forventede værdier indtastes i tabellen nedenfor: Bor sammen med forældr e Bor på skift mellem forælder Bor udelukkende med den ene forældre BMI under 25 BMI over 25

11 Ved tilføjelse af underkategorien, vil nulhypotesen blive forskastes, idet (0.366% 5%) dvs. oplysningerne om BMI'en forkastes. Opgave 11 - Rumgeometri Opgaven viser en bygning, tegnet i et koordinatsystem. Man ønsker bl.a. at kende arealet af CDE. Delopgave a Arealet bestemmes v.h.a. denne formel: Her defineres C D og E

12 (5.1.1) (5.1.2) (5.1.3) Heraf trækkes fra C og D. (5.1.4) (5.1.5) Af dette fås vektorerene (5.1.6) Og (5.1.7) Man kan nu regne arealet ved at kende disse vektorer. Men først tages krydsproduktet af og

13 (5.1.8) Nu findes arealet. at 5 digits Så arealet af glasfladen CDE er bestemt til. (5.1.9) (5.1.10) Delopgave b Da gulvplanen ligger på -aksen, forudsættes det, at -aksen = 0. Derfor: (5.2.1) (5.2.2) (5.2.3) Fordi aksen skal være 0. Derved er der oplysninger nok til at lave en plan, der dækker gulvet. Det er derfor ligegyldigt om hvor henne gulvet ligger, sålænge at aksen er 0. (5.2.4)

14 (5.2.5) Vektorerne defineres. (5.2.6) (5.2.7) (5.2.8) Indsættes i planens ligning for et vilkårligt punkt, der væles A. Så gulvplanen er (5.2.9) Dette er planen. Men da det er ligegyldigt, hvilken højde planen har, så kan man stadig regne vinklen ved glasfladen CDE og gulvplanen, idet man kender normalvektoren fra udregning af arealet af CDE. Derfor kan vinklen mellem glasfladen og gulvet regnes. Dog defineres normalvektoren for glasfladen og normalvektoren for gulvet.

15 (5.2.10) Og (5.2.11) (5.2.12) Så den spidse vinkel mellem gulvet og glasfladen er. Dette kan visualiseres i GeoGebra. Mellem betyder det der ligger under glasfladen og gulvet, ergo det er den spidse vinkel der tæller. Bemærk, at illustrationen viser den stumpe vinkel mellem CDE og gulvet samt at den viser en anden plan, der i realiteten tilhører glasfladen CDE. Delopgave c

16 Der skal i denne opgave dannes to rette linjer, der skærer hinanden. Dette vil give et nyt punkt, kaldet for P. Linjerne er også kaldet for parameterfremstillinger, så dette udføres ud fra oplysningerne. Da A og B kan benyttes som et fast punkt, kan man trække hhv. C og D fra A og B. (5.3.1) (5.3.2) Dette giver en retningsvektor. Begge linjer kaldes for og. (5.3.3) (5.3.4) Ved at sætte parameterfremstillingerne lig med hinanden og for at løse et ligninssystem, fås koordinaterne (5.3.5) (5.3.6)

17 at 5 digits (5.3.7) Ved indsættelse af og i parameterfremstillingerne fås (5.3.8) (5.3.9) Her ses det, at punkterne er ens, dvs. koordinatsættet til, hvor er monteret til samt er monteret til (5.3.10) Dette kan også illustreres via GeoGebra.

18 Opgave 12 - Differentialligninger Det oplyses, at differentialligningen Hvor er klorkoncentrationen i mg/ltr. til tidspunktet som tælles i timer. Delopgave a Der indsættes / i differentialligningen. (6.1.1) Dvs. hastigheden for tiden hvorpå klorkoncentrationen er 1.2 aftager med pr. time. Delopgave b Der benyttes (6.2.1) at 5 digits

19 Den defineres. (6.2.2) Dvs. at funktionen er fundet. Nu indsættes 24 på plads. (6.2.3) Så klorkoncentrationen vil efter 24 timer være mg/ltr. (6.2.4) Opgave 13 - Trigonometriske funktioner Temperaturen kan bestemmes ved funktionen (7.1) Delopgave a Grafen tegnes i GeoGebra, således det er lettere for læseren at aflæse grafen. Grafen kunne også tegnes i Maple, men det gør det hele mere uoverskueligt at aflæse. Man kan bestemme den laveste såvel som den højeste temperatur ved at: 1) aflæse grafen i GeoGebra.

20 2) at bruge følgende kommando (7.1.1) Således fandt man den højeste og laveste temperatur. (7.1.2) Delopgave b Funktionen skal differentieres. Ligeledes skal 8 indsættes på plads. Så vi får: (7.2.1) Den afledede af, med tallet 8 indsat den temperaturstigning der er, for hver time der går. Dvs. væksthastigheden fra time nr. 8 og frem efter. Opgave 14 - Integralregning Funktionen er givet ved (8.1)

21 Delopgave a Funktionen kan plottes v.h.a. følgende kommando. Således kan man se, hvordan grafen forløber sig. Man ønsker at bestemme arealet af den. Der er angivet grænseværdier. Udregning af arealet gøres sådan: at 5 digits Arealet af er (8.1.1) (8.1.2) Delopgave b

22 (8.2.1) solve for a (8.2.2) at 5 digits Hvilket er den ønskede værdi. (8.2.3)