Bjælkeoptimering. Opgave #1. Afleveret: Version: 2 Revideret: Optimering, ressourcer og miljø. Anders Løvschal, s022365

Transkript

1 Bjælkeoptimering Opgave # Titel: Bjælkeoptimering Afleveret: Version: Revideret: DTU-kursus: Underviser: Studerende: 968 Optimering, ressourcer og miljø Niels-Jørgen Aagaard Teddy Olsen, s07 Anders øvschal, s065

2 Underskrifter Teddy Olsen, s07 Anders øvschal, s065 Opgaven En bjælke af længden i en etageadskillelse er båret af symmetriske placerede simple understøtninger (med den indbyrdes afstand a) og belastet med den karakteristiske jævnt fordelte nyttelast p. Afstanden a bestemmes så det maksimale snitkraftmoment er mindst muligt. Afstanden a bestemmes så den maksimale nedbøjning er mindst muligt. Skitsering af det tilladte løsningsområde, når de variable er afstanden a og en karakteristiske tværsnitdimension x. Der skal vælges et træprofil eller et standart stålprofil og en afstand for a, så materialeforbruget er mindst muligt på basis af nogle parametre. [m] = p [kn/m] = 9 h max [mm] = 00 Den valgte konstruktions skal begrundes. Det minimale materialeforbrug for den valgte konstruktion skal bestemmes. Følsomheden for materialeforbruget af afstanden a og det valgte profil skal redegøres. Forslag til ændringer til konstruktionen, så materialeforbruget kan reduceres yderligere.

3 Proces Bestemmelse af afstanden a så det maksimale snitkraftmoment er mindst muligt: Illustration a = b a b = Formler fra Structures side 77. Wb M = b M = W 8 M Wb = M = W 8 ( ) a = a 0,586 a 0,586 a 7,0 [ m] b [ m] Bestemmelse af a, så den maksimale nedbøjning er mindst muligt: Da underviser Niels-Jørgen Aagaard har udtalt, at dette kursus er et optimering-kursus og ikke et regne-kursus, har vi valg at aflæse størrelsen af a i notatet: Note om bjælkeudbøjning, af hjælpelærer Søren Risvig. Hvor der på side 8, figur 5 kan aflæses, at det optimale forhold mellem a og udbøjningsmæssigt er ca. 0,55.

4 Illustration Skitsering af det tilladte løsningsområde, når de variable er afstanden a og en karakteristiske tværsnitdimension x: Området begrænses af en række parametre. A) 0 < h 00[ mm] B) 0 < a. 000[ mm] C) M σ W D) a f ( a) U =, for a > 500 EI Forklaring til C: W er tilnærmet på følgende måde: W = kh W k = h 5 0 k = 60 M er følgende: a 8 p 0,0 Formel C bliver derfor følgende; a 8 p h = 0,0 5 h = 0 for = 6000 [mm] Forklaring til D: a P a 500 8EI + a 6 a, for a >

5 Graf: Skitse af det tilladte løsningsområde De reelle løsningsmuligheder ligger i det markerede område, hvor h = lidt over 00 til 00 [mm]. Opgaveformuleringen sagde dog, at h max skulle være 00 mm, hvilket dog ikke er muligt i dette tilfælde. Diskussion En standart stålprofil vælges til at løse opgaven. En I-stålprofil er en konstruktionsingeniør yndlings svar på rigtig meget, pga. dets store styrke samt forudsigelige opførelse, det forudsigelige aspekt giver stor tryghed. Valg af profil der kan holde: P a a a u midt = + 6 8EI P a a a u ende = EI a = 0,58 = 6, 6m Ved at variere højden h på I-profilet fås forskellige Inertimoment, som aflæses på side 9 i Teknisk Ståbi. Ved højden h = 0 mm overholdes kun udbøjningskriteriet u midt og ikke u ende. Ved h = 60 mm overholder både u midt og u ende udbøjningskriterierne på; a 6600[ mm] = =,[ mm]

6 Opgaveformuleringen sagde dog, at u max skal være 00 mm, det kan dog ikke overholdes med et I-stålprofil, og vil være endnu mere umuligt hvis bjælken skulle være af træ, fordi ståls brudstyrke er 5 MPa og elasticitetsmodullet er, 0 5 mens træs kun er hhv. 0 MPa og, 0. Derfor må stålprofil anses for at være det bedste valg, også selvom det ikke opfylder det oprindelige krav fra opgaveformuleringen på h max = 00 [mm]. Materialeforbrug (MA): Arealet af I-profilet kan i teknisk Ståbi, side, aflæses A til 5, 0 mm når h er 60 mm. MA = A MA = 5, 0 [mm] 000 [mm] = 0,06m Følsomheden af materialeforbruget: Bjælken kunne sagtens forhøjes uden særlig indvirkning på materialeforbruget, da I-profils krop er ganske tyndt og primært kun vokser i højden, hvis der skal opnås højre styrke. Der er dog en grænse, da I-profilet på et tidspunkt vil udvise tendens til kipning. Konklusion Kan materialeforbruget reduceres yderligere: Hvis bjælketværsnittets højde være lig med momentkurven, kunne materialeforbruget reduceres. En anden mulighed er at tilfører I-profilet huller i kroppen, så kræfterne vil bevæge sig som var det en gitterbjælke. Hvis hullerne er Ø00 mm og sidder med 00 mm afstand (fra hulcenter til hulcenter), hvilket virker passende, kan der spares 7 % materiale (0,00 m ). 60stk π 50mm 9,mm = 0,00 m [ ] En gitterkonstruktion ville være en tand bedre endnu, da de har en meget stor styrke og stivhed i forhold til vægten. Det er også altid gitterbjælker der benyttes, når musikscener med lys og højttaler skal opstilles da de er ganske hensigtsmæssige til formålet pga. styrken/vægt-forholdet. Ydermere kunne i stedet for almindelig stål (5 MPa) bruges højstyrkestål (690 MPa) eller der kunne sågar benyttes titanium der går fra 7 MPa og helt op til 80 MPa, men prisen for titanium gør det oftest meget uinteressant. 6