1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller-

Transkript

1 1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller- Vækstmodellerne: Lineær funktion: Forskrift: a er hældningskoefficient b er konstantled x er vores uafhængige variabel y er vores afhængige variabel Hvis a er større end 0 er det en voksende funktion Hvis a er mindre en 0 er det en aftagende funktion Eks: En økonomisk vækst kan beskrives ved en lineær funktion. Eksponentiel funktion: Forskrift: a er udviklingshastigheden, jo højere værdi a har, desto stejlere udvikling. b er den højde hvor grafen for funktionen skærer y-aksen. Hvis a er større end 1 er det en voksende funktion Hvis a er ligger mellem 0 og 1, er det en aftagende funktion. Eks: En bakterie. En bakterie deler sig til to. 2 bliver til 4. 4 bliver til 8 etc. Potens funktion: Forskrift: a og b er konstanter. X og y er vores variable. Skrives potensfunktionen i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem = ret linje Hvis a er større end 0 er det en voksende funktion Hvis a er mindre en 0 er det en aftagende funktion Eks: den tilbagelagte vej som funktion af tiden i det frie fald

2 Eksponentielle modeller: y = Resultat b = skæring på y-akse a = udviklingshastigheden (hvor meget den stiger/falder) x = variablen Hvis vil grafen være stigende (voksende funktion). Hvis vil grafen være en vandret linje (konstant funktion). Hvis vil grafen være faldende (aftagende funktion). Eksponentiel vækst: Vi lægger en til på x-aksen, altså gå en hen på x-aksen. Vores tidligere værdi fremskrives med 1 altså Samme regel gælder hvis vi fremskriver x med 2. Tegnes en eksponentiel funktion på et semi-logaritmisk papir, får vi en ret linje. Fordoblings og halveringskonstant: Fordoblingskonstant (eksponentiel voksende funktion) Fordoblingskonstanten T 2 er den afstand på x-aksen hvor y-værdien fordobles T 2 kan findes på to måder: 1. Hvordan fordoblingskonstanten ser ud grafisk på et semi-logaritmisk papir. 2. Hvis man kender a i forskriften Gælder: T 2 = :

3 Hvis man kender T 2 og vil beregne a: Halveringskonstant (eksponentiel aftagende funktion) Halveringskonstanten T ½ er den afstand på x-aksen hvor y-værdien halveres. T ½ kan findes på to måder: 1. Hvordan fordoblingskonstanten ser ud grafisk på et semi-logaritmisk papir. 2. Hvis man kender a i forskriften T ½ = Hvis man kender T ½ og vil beregne a:

4 2. Modeller. Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for lineære modeller. Vækstmodellerne: Lineær funktion: Forskrift: a er hældningskoefficient b er konstantled x er vores uafhængige variabel y er vores afhængige variabel Hvis a er større end 0 er det en voksende funktion Hvis a er mindre en 0 er det en aftagende funktion Eks: En økonomisk vækst kan beskrives ved en lineær funktion. Eksponentiel funktion: Forskrift: a er udviklingshastigheden, jo højere værdi a har, desto stejlere udvikling. b er den højde hvor grafen for funktionen skærer y-aksen. Hvis a er større end 1 er det en voksende funktion Hvis a er ligger mellem 0 og 1, er det en aftagende funktion. Eks: En bakterie. En bakterie deler sig til to. 2 bliver til 4. 4 bliver til 8 etc. Potens funktion: Forskrift: a og b er konstanter. X og y er vores variable. Skrives potensfunktionen i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem = ret linje Hvis a er større end 0 er det en voksende funktion Hvis a er mindre en 0 er det en aftagende funktion Eks: den tilbagelagte vej som funktion af tiden i det frie fald.

5 En lineær funktion har en regneforskrift af typen: f ( x) ax b a hældning, b skæringspunkt med y aksen Hældningen a bestemmer om grafen for en lineær funktion er voksende eller aftagende. Er a mindre end 0, aftagende, a = 0 betyder den er konstant, og a større end 0 = voksende. B er skæringspunktet med y-aksen, da: F(0)= b, linjen går gennem punktet (0,b) Hældningen a kan bestemmes ved: Når det er udregnet, kan B findes. b kan også bestemmes: Dette kan bruges til at finde foreskriften for en linær funktion. Altså Dette kan jeg bevise ved: De to punkter jeg nævnte før som de har en formel som lyder: Disse 2 formler skal vi så bruge til vores bevis, de skal reduceres med hinanden, for at se om vores første resultat var rigtigt ifh til y=ax+b Vi hæver parentesen men sørger for at ændre fortegn: Så skal vi reducere: Først fjernes de to b er. Vi har et +b og et minus b, og de går ud hinanden. Nu vil jeg gerne have sat a, uden for en parentes. Nu vil jeg gerne have a isoleret og dette gøres ved at dividere med De første går altså ud med hinanden: går ud med hinanden, og til sidst er a isoleret.

6 3. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for potensmodeller. Vækstmodellerne: Lineær funktion: Forskrift: a er hældningskoefficient b er konstantled x er vores uafhængige variabel y er vores afhængige variabel Hvis a er større end 0 er det en voksende funktion Hvis a er mindre en 0 er det en aftagende funktion Eks: En økonomisk vækst kan beskrives ved en lineær funktion. Eksponentiel funktion: Forskrift: a er udviklingshastigheden, jo højere værdi a har, desto stejlere udvikling. b er den højde hvor grafen for funktionen skærer y-aksen. Hvis a er større end 1 er det en voksende funktion Hvis a er ligger mellem 0 og 1, er det en aftagende funktion. Eks: En bakterie. En bakterie deler sig til to. 2 bliver til 4. 4 bliver til 8 etc. Potens funktion: Forskrift: a og b er konstanter. X og y er vores variable. Skrives potensfunktionen i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem = ret linje Hvis a er større end 0 er det en voksende funktion Hvis a er mindre en 0 er det en aftagende funktion Eks: den tilbagelagte vej som funktion af tiden i det frie fald

7 Potensmodeller: Forskrift: A er større end 0 = voksende A er mindre end 0 = aftagende Ret linje i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. b er y-værdien når x = 1. Vi finder altså a ud fra et kendskab til to punkter (x 1,y 1 ) og (x 2,y 2 ). Værdier for x og y indsættes i vores formel a. Når man kender a, kan man komme frem til b. Til slut opstilles forskriften for en potensfunktion, men i stedet for a og b, indsættes de konstanter som man netop har fundet frem til. Hvis x skal findes når man kender y: Jeg skal have isoleret x, altså få x til at stå alene. Fra første til andet led, har jeg divideret med b på begge sider af lighedstegnet. Fra andet til tredje led, har jeg isoleret x ved at tage den a ne rod på begge sider af lighedstegnet. Nu indsættes blot værdierne for a og b og naturligvis det y, som man i opgavebeskrivelsen også har kendskab til.

8 For en potensfunktion gælder det, at når x værdien vokser med en fast procent, så aftager eller vokser y-værdien ligeledes med en fast procent. F y = er fremskrivningsfaktoren for y værdien. F x = er fremskrivningsfaktoren for x-værdien X isoleres:. Et lille eksempel: Da vi får at vide at vores x-værdi vokser med 40 % vil vores F x (fremskrivningsfaktor for x) altså være 1,40 Vores ubekendte er fremskrivningsfaktoren for y, altså F y og det er den der bliver spurgt til. Formlen ovenfor hvor F y er isoleret skal altså bruges. Nu indsætter vi blot vores værdier, som vi på forhånd kender til: F y = F x a = dvs. en fremskrivning på cirka 24 %.

9 Bevis: Ret linje i dobbelt log koordinatsystem Hvorfor er en potensfunktion en ret linje i et dobbeltlogaritmisk papir? Vi tager logaritmen på begge sider af lighedstegnet: Ifølge vores logaritme regneregel kan skrives om til. Denne regel benytter vi os af. Vi benytter os nu af en ny regneregel, nemlig: Vi ved at en lineærfunktion har forskriften, og vi er derfor interesseret i at få vores potensfunktion til at ligne denne, da den jo skal være ret, i det dobbeltlogaritmiske papir. Vi kan nu se at vores færdige produkt, ligner en lineær forskrift. B er vores konstant. A og også en konstant. Logy og Logx vil blive afsat på vores logaritme papir, og derfor vil forskriften altså passe med en lineær forskrift. Derfor er en potensfunktion, en ret linje i et dobbeltlogaritmisk papir.

10 4. Polynomier Redegør for andengradspolynomiets regneforskrift og graf. Forskrift: kunne f.eks. være A B C Vi inddeler leddene så de passer til vores forskrift. er A, er B, og er C- Graf: Parabel Der hvor parablen skærer x-aksen, finder vi rødderne. A og C fortæller os hvordan parablen skal se ud. Er A positiv, f.eks. 2, er det en glad parabel. C fortæller os, hvor på y-aksen parablen skærer. Med udgangspunkt i eksemplet ovenfor, kan vi se at den altså skærer ved 2, på y-aksen. B er tangenthældningen. Den fortæller os hvor meget tangenten falder. I ovenstående eksempel er det altså -5. Rødderne kan man naturligvis finde frem til. Dette gøres via diskriminanten. Den kaldes d. Diskriminantformlen: Indsættes vores værdier: Er d større end 0 = 2 rødder Er d mindre end 0 = ingen rødder, skærer slet ikke x-aksen. Er d lig med 0 = en rod Skæringspunkterne på x-aksen findes vha. løsningsformlen: Altså skærer vores parabel x-aksen i 0,5 og 2.

11 Får man opgivet rødderne på forhånd, skal man bruge faktorisering: Hvis d er større end 0 gælder: Hvis d er lige med 0 (dobbeltrod) gælder:

12 5. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets regneforskrift og graf. Fortæl bla. om toppunktet for en parabel. Forskrift: Grafen: Kan se ud på mange måder, afhængig af A, B og C s størrelser. A og C fortæller os hvordan parablen skal se ud. Er A positiv, f.eks. 2, er det en glad parabel. C fortæller os, hvor på y-aksen parablen skærer. Med udgangspunkt i eksemplet ovenfor, kan vi se at den altså skærer ved 2, på y-aksen. B er tangenthældningen. Den fortæller os hvor meget tangenten falder. I ovenstående eksempel er det altså -5. Toppunktet: Toppunktet er det sted i vores parabel, hvor vi oplever den maximale eller minimale værdi. Toppunktet kan findes på to måder; ved differentialregning eller ved toppunktsformlen. Toppunktet via differentialregning: Et andengradspolynomie er givet ved: Jeg differentierer dette udtryk: Nu kan vi se at x-koordinaten til toppunktet er lig med 4. For at finde y-koordinaten, indsætter vi blot 4 på x plads.

13 En anden måde hvorpå man kan finde toppunktet, er ved hjælp af toppunktsformlen:, x- koordinaten til højre, og y-koordinaten til venstre. Med udgangspunkt i Vi starter med at differentiere udtrykket. vil jeg bevise toppunktsformlen. Jeg har sat, således at jeg kan finde ud af hvor mit maksimum eller minimum ligger. X isoleres, og vi har altså x-koordinaten. Det stemmer også overens med x-koordinaten i vores toppunktsformel. For at finde y-koordinaten, indsætter vi vores x-koordinat i vores forskrift: Nu ganger vi så ud: Vi lader de to a er gå ud med hinanden, og derefter finder vi en fælles nævner: Nu sætter vi på fælles brøkstreg: Nu kan vores brøk udregnes: Nu skal vi så få vores brøk til at lige diskriminanten oppe i vores y-værdi: For at få til at blive til -d, ganger jeg med -1. Dette giver, og det stemmer overens med vores y-værdi fra toppunktsformlen.

14 6. Differentialregning. Redegør for begrebet differentialkvotient samt tretringsreglen. Fortæl bla. om bestemmelse af lokale maxima og minima (dvs. lokale ekstrema) ved hjælp af differentialregning. Differentialkvotient i et bestemt punkt er tangentens hældning. Vi har tegnet en parabel: Den har vi så differentieret: Differentialkvotienten i punktet 1, kan udregnes ved blot at indsætte 1 på x s plads. Altså: Differentialkvotienten (altså hældningen i tangenten) i punktet 1, er derfor 2. Er vi derimod interesseret i differentialkvotienten i punktet -2, jamen så indsætter vi blot -2.. Differentialkvotienten i punktet -2 er altså -4. Tretrinsreglen bygger på formlen i en lineær funktion., som er formlen for hældningskoefficienten for den rette linje Når vi arbejder med tretringsreglen, er der to ting som vi skal være bekendt med. Nemlig og Med udgangspunkt i forskriften udføres tretrinsreglen. X 0 er det punkt hvor vi vil finde vores differentialkvotient. Vi har tilsvarende en y-værdi der hedder f(x 0 ) Vores X 2 og Y 2 kalder vi X 0 +h og f(x 0 +h). H et skal vi bruge i vores tretrinsregel, tredje trin er at h skal gå mod 0.

15 Tretrinsreglen for funktionen: 1. trin: Værdierne på y-aksen er indtastet. I næste led indsætter jeg. Så ganger jeg ud: Jeg ser at de forskellige kan gå ud med hinanden. 2. trin: I 2. trin skal vi finde a. A er vores hældningskoefficient. A kender vi fra de lineære funktioner: Vi har allerede fundet vores som værende. Som nævner skal vi have fat i. Den har vi allerede fundet, den er nemlig h.. Dette er vores hældningskoefficient. (den røde på billedet på side 1). Nu indsætter vi vores værdier: Jeg forkorter: Vi kan se at h erne går ud med hinanden, og tilbage har vi at vores hældningskoefficient er: 3. trin. Vi skal nu lade h gå mod 0. Vi skal have den røde sekant til at nærme sig den blå tangent. Vi skal altså have fundet grænseværdien, eller limes, når h 0 h 0 Vi indsætter nu 0 på h s plads, da det var det som h gik i mod. Der kommer altså til at stå: Vi ser nu at vores grænseværdi er, og det stemmer overens med vores differentierede.

16 Lokale maxima og lokale minima ved hjælp af differentialregning. Monotoniforhold: Hvis man skal undersøge en funktions monotoniforhold, skal man kigge på grafens forløb. Hvornår er der minimum, maksimum evt. vandret vendetangent, og hvor er grafen voksende og aftagende? Når (når f er positiv)i et interval, da er voksende i dette interval. Når (når f er negativ)i et interval, da er f aftagende i dette interval. Når funktionen har lokalt minimum eller lokalt maksimum i gælder det, at Vi ser at parablen har et lokalt minimum, det indikerer den røde prik. Så kan vi se at tangentlinjen lige præcis rammer hvor hældningen = 0. Altså: Fordi vi har et lokalt minimum er Eksempel: Vi har en funktion:. Vi skal nu finde f (x). Her har jeg tegnet en monotonitabel. Ud af x-aksen har jeg valgt nogle tilfældige tal, -1, 1 og og 3 kendte jeg i forvejen fra min funktion. Herefter sætter jeg tallene ind på x s plads: -1 ind på x s plads: (positivt tal, markeres med et +, da den så er stigende). Nu indsætter jeg 1 på x s plads: den så er aftagende). Til sidst indsættes 10 på x s plads: den så er stigende). = (negativt tal, markeres med et - da (positivt tal, markeres med et + da

17 Hvis vi kun får opgivet en monotonilinje, kan vi godt tegne en graf for, hvordan den muligvis skal se ud. Vi har tegnet tangentlinjerne, der indikerer minima og, i dette tilfælde, vandret vendetangent.

18 7. Differentialregning. Redegør for begrebet differentialkvotient samt tretringsreglen. Fortæl bla. om bestemmelse af tangentens ligning ved hjælp af differentialregning. Differentialkvotient i et bestemt punkt er tangentens hældning. Vi har tegnet en parabel: Den har vi så differentieret: Differentialkvotienten i punktet 1, kan udregnes ved blot at indsætte 1 på x s plads. Altså: Differentialkvotienten (altså hældningen i tangenten) i punktet 1, er derfor 2. Er vi derimod interesseret i differentialkvotienten i punktet -2, jamen så indsætter vi blot -2.. Differentialkvotienten i punktet -2 er altså -4. Tretrinsreglen bygger på formlen i en lineær funktion., som er formlen for hældningskoefficienten for den rette linje Når vi arbejder med tretringsreglen, er der to ting som vi skal være bekendt med. Nemlig og Med udgangspunkt i forskriften udføres tretrinsreglen. X 0 er det punkt hvor vi vil finde vores differentialkvotient. Vi har tilsvarende en y-værdi der hedder f(x 0 ) Vores X 2 og Y 2 kalder vi X 0 +h og f(x 0 +h). H et skal vi bruge i vores tretrinsregel, tredje trin er at h skal gå mod 0.

19 Tretrinsreglen for funktionen: 1. trin: Værdierne på y-aksen er indtastet. I næste led indsætter jeg. Så ganger jeg ud: Jeg ser at de forskellige kan gå ud med hinanden. 2. trin: I 2. trin skal vi finde a. A er vores hældningskoefficient. A kender vi fra de lineære funktioner: Vi har allerede fundet vores som værende. Som nævner skal vi have fat i. Den har vi allerede fundet, den er nemlig h.. Dette er vores hældningskoefficient. (den røde på billedet på side 1). Nu indsætter vi vores værdier: Jeg forkorter: Vi kan se at h erne går ud med hinanden, og tilbage har vi at vores hældningskoefficient er: 3. trin. Vi skal nu lade h gå mod 0. Vi skal have den røde sekant til at nærme sig den blå tangent. Vi skal altså have fundet grænseværdien, eller limes, når h 0 h 0 Vi indsætter nu 0 på h s plads, da det var det som h gik i mod. Der kommer altså til at stå: Vi ser nu at vores grænseværdi er, og det stemmer overens med vores differentierede.

20 Bevis for tangent linjens ligning: Tangentlinjens ligning ser således ud: X og y er vores ubekendte, og skal forblive som x og y når vi er færdige. Derfor har jeg markeret dem med blåt. Billedet illustrerer en parabel med en forskrift:. Vi har to koordinater, nemlig x ( ) og y ( ). Vi finder y, ved at sætte ind på x s plads i vores forskrift. Nu har jeg koordinatsættet for mit punkt. Nu skal vi finde tangent linjens ligning. Vi ser at tangenten er en ret linje, og derfor gælder formlen: Vi kender dog kun ét punkt, nemlig ( ) og ( Vi kan dog tage et hvilket som helst punkt på vores tangent. Som vi kan se har jeg indtegnet et nyt punkt med blåt, og kaldt det for Vi kender ikke punktet, og det er derfor vores ubekendte. Vi kan nu opskrive hældningskoefficienten for vores tangent: a-værdien, altså vores hældning på tangenten, kan regnes ud på en anden måde. Tangentlinjens hældning er defineret som differentialkvotienten. Vi differentierer vores funktion, som var og sætter ind i vores -funktion:. er altså defineret som hældningen af vores tangent. Det gør altså, at vi kan erstatte vores a-værdi med i stedet: Vi skal nu have dette udtryk til at ligne tangentlinjens ligning. Dette gøre ved at gange med sider af lighedstegnet: på begge Vi mangler nu kun at lægge til på begge sider af lighedstegnet:

21 8. Trigonometri. Redegør kort for beregninger i retvinklede trekanter. Fortæl om sinus-relationerne og deres anvendelse på vilkårlige trekanter. I en retvinklet trekant anvendes Pythagoras sætning: Har vi to bekendte i en retvinklet trekant, kan vi altså finde frem til den ubekendte vha. Pythagoras. På eksemplet er vi interesseret i at finde frem til hypotenusen, c, som er vores ubekendte. Vi kender b og a. Vi indsætter vores værdier i Pythagoras sætning. Vi vil dog finde c og ikke så vi tager derfor kvadratroden på begge sider af lighedstegnet. Vi regner ud: og og til slut tager vi kvadratroden af 25 = 5. Vi kan altså se at c = 5. Er vi derimod interesseret i at finde en af kateterne, skal vi have isoleret b. Vores værdier indsættes. Vi isolerer b ved at trække fra, på begge sider af lighedstegnet. går ud med hinanden på venstre side. er nu isoleret. I stedet for at lægge og sammen, trækker jeg dem fra hinanden, da det jo er kateten og ikke hypotenusen som vi er ude efter. Til sidst tages kvadratroden, for at fjerne og lave dette om til b, da det jo er b, og ikke, som vi er interesseret i at finde.

22 Bevis for Pythagoras sætning. Vi kan se at der er fire retvinklede trekanter, som drejes og udgøre et kvadrat. Vi starter med at beregne arealet for den store forkant. Denne kunne vi kalde for A storfirkant. Arealet for et kvadrat er Vores længde og bredde i denne firkant hedder Altså det ene led i anden + det andet led i anden + det dobbelte(det er to) produkt (a og b) af de to led. Vores areal ser altså således ud: Nu vil vi så regne arealet af vores indmad ud. Indmaden består af4 retvinklede trekanter. Arealet af en trekant er a er vores højde, og b er vores grundlinje så: Vi mangler stadig firkanten i midten: Lægger vi indmaden sammen får vi altså: Arealet af indmaden og arealet af den store firkant skulle meget gerne være lig med hinanden: A storfirkant indmaden Vi kan nu se at der så: går igen på hver side af lighedstegnet, disse går derfor ud med hinanden. Til slut står (Vi kan se a firkanten i midten er kvadratisk da v+w=90. )

23 Enhedscirklen: Når enhedscirklen tegnes, så start altid med at tegne cirklen, og dernæst tegn grafen. Sorg for at den ser symmetrisk ud. Enhedscirklen har altid radius 1. Det vil sige at der skal stå 1 ud for x og y aksen og -1 ved -x og -y. På tegningen ser vi at vi er interesseret i at definere vinklen v. Vi tegner en tilfældig vinkel og lader den samme vores cirkel. Den vinkel vi får, er vores vinkel v. Nu skal vi definere sinus og cosinus. Dem aflæser vi simpelthen. 0 er inde i centrum, og 1 er helt ude ved kanten så cosinus kunne være 0,6. Ligeledes kunne sinus være 0,8. Til sidst mangler jeg blot at definere tangens. Dette gøres ved at tegne en tangentlinje, som går igennem et punkt. Tangenten rammer vores 1 og vores vinkel, og tangens kan simpelt aflæses. Sinusrelationerne: Anvendelse af sinusrelation: Vis jeg skal finde en sidelængde, c. Vi isolerer ved at ganger med sin80 på begge sider af lighedstegnet: Vores ubekendte, c, er altså 79,6.

24 Er jeg derimod interesseret i at finde en vinkel: Jeg vil gerne finde vinkel B: Nu skal vi så have isoleret sinb, og ganger derfor med 158, på begge sider af lighedstegnet. Jeg kan nu tegne min enhedscirkel og indtegne punktet 0,7858 på min y-akse. Vores vinkel v kan vi udregne: Der er dog også en løsning mere, nemlig den vinkel der går helt over og rammer vinklen ud af -1. Jeg kan blot sige: Hvis jeg vil finde vinkel C: Find vinkel C: Jeg ganger med 131 for at få isoleret sinc:

25 Umiddelbart er der to løsninger, men vinkelsummen i en trekant må aldrig overskride 180 grader. Vores 126,1 får vi fra. Lægger vi 126,1 til vinkel A som er 59 grader, vil vi få et tal der overskrider 180 (185,1). Lægger vi derimod 53,8 til de 59 grader, vil vi få et tal der er under 180, og det er derfor 53,8 som er vores rigtige løsning.

26 9. Trigonometri. Redegør kort for beregninger i retvinklede trekanter. Fortæl om cosinus-relationerne og deres anvendelse på vilkårlige trekanter. I en retvinklet trekant anvendes Pythagoras sætning: Har vi to bekendte i en retvinklet trekant, kan vi altså finde frem til den ubekendte vha. Pythagoras. På eksemplet er vi interesseret i at finde frem til hypotenusen, c, som er vores ubekendte. Vi kender b og a. Vi indsætter vores værdier i Pythagoras sætning. Vi vil dog finde c og ikke så vi tager derfor kvadratroden på begge sider af lighedstegnet. Vi regner ud: og og til slut tager vi kvadratroden af 25 = 5. Vi kan altså se at c = 5. Er vi derimod interesseret i at finde en af kateterne, skal vi have isoleret b. Vores værdier indsættes. Vi isolerer b ved at trække fra, på begge sider af lighedstegnet. går ud med hinanden på venstre side. er nu isoleret. I stedet for at lægge og sammen, trækker jeg dem fra hinanden, da det jo er kateten og ikke hypotenusen som vi er ude efter. Til sidst tages kvadratroden, for at fjerne og lave dette om til b, da det jo er b, og ikke, som vi er interesseret i at finde.

27 Bevis for Pythagoras sætning. Vi kan se at der er fire retvinklede trekanter, som drejes og udgøre et kvadrat. Vi starter med at beregne arealet for den store forkant. Denne kunne vi kalde for A storfirkant. Arealet for et kvadrat er Vores længde og bredde i denne firkant hedder Altså det ene led i anden + det andet led i anden + det dobbelte(det er to) produkt (a og b) af de to led. Vores areal ser altså således ud: Nu vil vi så regne arealet af vores indmad ud. Indmaden består af4 retvinklede trekanter. Arealet af en trekant er a er vores højde, og b er vores grundlinje så: Vi mangler stadig firkanten i midten: Lægger vi indmaden sammen får vi altså: Arealet af indmaden og arealet af den store firkant skulle meget gerne være lig med hinanden: A storfirkant indmaden Vi kan nu se at der så: går igen på hver side af lighedstegnet, disse går derfor ud med hinanden. Til slut står (Vi kan se a firkanten i midten er kvadratisk da v+w=90. )

28 Enhedscirklen: Når enhedscirklen tegnes, så start altid med at tegne cirklen, og dernæst tegn grafen. Sorg for at den ser symmetrisk ud. Enhedscirklen har altid radius 1. Det vil sige at der skal stå 1 ud for x og y aksen og -1 ved -x og -y. På tegningen ser vi at vi er interesseret i at definere vinklen v. Vi tegner en tilfældig vinkel og lader den samme vores cirkel. Den vinkel vi får, er vores vinkel v. Nu skal vi definere sinus og cosinus. Dem aflæser vi simpelthen. 0 er inde i centrum, og 1 er helt ude ved kanten så cosinus kunne være 0,6. Ligeledes kunne sinus være 0,8. Til sidst mangler jeg blot at definere tangens. Dette gøres ved at tegne en tangentlinje, som går igennem et punkt. Tangenten rammer vores 1 og vores vinkel, og tangens kan simpelt aflæses. Cosinusrelationerne: Anvendelse af cosinusrelationerne: Cosinusrelationerne findes på to formler: Hvis man vil finde en side: Hvis man vil finde en vinkel: Eksempel med en side: Vi vil gerne finde længden a. 80 For at få ophævet mit, tager jeg kvadratroden på begge sider:

29 Eksempel med en vinkel: Vi vil gerne finde vinkel A For at finde vinkel A skal vi bruge:

30 10. Integralregning. Redegør for begrebet stamfunktion. Fortæl bla. om arealbestemmelse ved hjælp af integralregning. Stamfunktioner betegnes med store bogstaver. Hvis vores oprindelige funktion hedder f, betegner vi således dens stamfunktion med F. Det, der skal til for at være en stamfunktion, er, at hvis man differentierer stamfunktionen, får man den oprindelige funktion. Man kan med andre ord sige, at F er en stamfunktion til f hvis Stamfunktionen, skal differentieret, give vores funktion. Integralregning er det modsatte af differentialregning. Når vi integrerer, så finder vi stamfunktionen, som betegnes. Altså store F til x. Når jeg differentierer bliver det til. Integrerer jeg så dette bliver det. Altså det omvendte. Som det ses på tegningen har jeg først differentieret, dernæst integreret. På næste billede ser vi, at jeg har min funktion som er 5 er en konstant, og når vi først differentierer og dernæst integrerer, går 5 tabt. Det betyder, at hvis jeg skal finde samtlige løsninger til 2x, så bliver jeg nødt til at putte en konstant på, nemlig K abit. (arbitrære konstant) Når vi har en funktion, så findes der uendelig mange stamfunktioner til denne Disse stamfunktioner har alle en konstant. Når vi differentierer en stamfunktion, vil konstanten altid blive 0, og derfor skriver vi denne som K abit.

31 Hvis jeg integrerer, er det fordi jeg gerne vil finde stamfunktionen, altså F(x). Jeg integrerer nu: Jeg har tilføjet da vi integrerer med hensyn til x. Ovenstående er altså = Bestemte og ubestemte integraler. I forbindelse med integralregning, kan ubestemte og bestemte integraler nævnes. De ubestemte integraler giver en funktion, nemlig vores stamfunktion, mens de bestemte integraler giver et tal. Arealbestemmelse ved hjælp af integralregning: Bevis for arealfunktionen: Arealfunktionen fortæller noget om at når man finder stamfunktionen til F, så er det arealet under grafen. Vi starter med at definere arealfunktionen. Vi har en kontinuert funktion f, defineret i intervallet [a, b]. Et eller andet sted i dette interval, har vi vores x, og vores arealfunktion er defineret som A(x), altså afhængig af x. Sætningen om arealfunktionen: Arealfunktionen er en stamfunktion til f. Det betyder altså, at når man kan finde stamfunktionen (F) til f, er det lig med arealet under grafen.

32 Med udgangspunkt i en kontinuert voksende funktion, vil jeg nu bevise arealfunktionen. Vis A (x)=f(x) Vi indtegner vores værdier, som ses på billedet. Ved tretringsreglen arbejder vi med f i vores første trin, men da vi arbejder med arealfunktionen, hedder det A. Vi kan allerede nu sige lidt om, hvor stort A kan være. På tegningen neden for, er værdierne angivet. For at bevise arealfunktionen skal vi bruge tretringsreglen. 1. trin: I første trin skal vi kigge på A., altså hele arealet, minus det blåskraverede areal. 2. trin:. For at komme videre til tredje trin, skal vi prøve at undersøge arealet til A. Det kender vi nemlig allerede lidt til. Vi ved at A ligger mellem minimumsværdien som var maksimum værdien som var ( betyder mindre end eller lig med) Vi vil dog gerne have udtrykket til at ligne det første udtryk i trin 2. Derfor dividerer vi med h. og Vi kan nu se at h går ud med hinanden, og tilbage står der:

33 3. trin: Tredje trin går ud på, at vi lader h gå i mod 0. Vi skal nu differentialkvotienten af arealet. Denne findes ved at finde grænseværdien, når h går i mod 0 af det vi har fundet fra andet trin. Hvis h, så ved vi af. Det kan vi se, i og med at vi indsætter 0 på x plads. Nu har vi altså at der står: Der står på hver side. Det gør at vores bliver presset inde mellem vores lighedstegn, og vi bliver altså nødt til at sætte f(x) bagpå, for at lighedstegnene skal passe. Vi har altså til sidst at differentialkvotienten til arealfunktionen er til med f(x), og det var det vi ville vise. Lille opgave: Jeg integrerer først. Så sætter jeg mit tretal ind på x plads. Jeg trækker 0 fra, for hvis jeg ganger med 0, vil hele leddet give 0. Derfor trækker jeg det blot fra. Til sidst udregnes parentesen, og mit resultat bliver 9 halve. 9 halve er altså mit areal under grafen.

34 11. Integralregning. Redegør for begrebet stamfunktion. Fortæl bla. om bestemmelse af arealet af et område afgrænset af to grafer ved hjælp af integralregning. Stamfunktioner betegnes med store bogstaver. Hvis vores oprindelige funktion hedder f, betegner vi således dens stamfunktion med F. Det, der skal til for at være en stamfunktion, er, at hvis man differentierer stamfunktionen, får man den oprindelige funktion. Man kan med andre ord sige, at F er en stamfunktion til f hvis Stamfunktionen, skal differentieret, give vores funktion. Integralregning er det modsatte af differentialregning. Når vi integrerer, så finder vi stamfunktionen, som betegnes. Altså store F til x. Når jeg differentierer bliver det til. Integrerer jeg så dette bliver det. Altså det omvendte. Som det ses på tegningen har jeg først differentieret, dernæst integreret. På næste billede ser vi, at jeg har min funktion som er 5 er en konstant, og når vi først differentierer og dernæst integrerer, går 5 tabt. Det betyder, at hvis jeg skal finde samtlige løsninger til 2x, så bliver jeg nødt til at putte en konstant på, nemlig K abit. (arbitrære konstant) Når vi har en funktion, så findes der uendelig mange stamfunktioner til denne

35 Disse stamfunktioner har alle en konstant. Når vi differentierer en stamfunktion, vil konstanten altid blive 0, og derfor skriver vi denne som K abit. Hvis jeg integrerer, er det fordi jeg gerne vil finde stamfunktionen, altså F(x). Jeg integrerer nu: Jeg har tilføjet da vi integrerer med hensyn til x. Ovenstående er altså = Bestemte og ubestemte integraler. I forbindelse med integralregning, kan ubestemte og bestemte integraler nævnes. De ubestemte integraler giver en funktion, nemlig vores stamfunktion, mens de bestemte integraler giver et tal. Bestemmelse af arealet af et område afgrænset af to grafer: Bevis for at man kan regne arealet mellem to grafer. Vi bruger formlen: til at finde det skraverede areal, mellem disse to grafer: Vi er interesseret i at integrerer fra a til b, altså der hvor de to grafer skærer hinanden. Dette gøres ved at trække den nederste graf fra den øverste graf.

36 Jeg vil komme ind på to situationer Situation 1. Areal ligger over x-aksen. For at finde arealet mellem de to grafer, skal jeg først finde arealet under begge grafer: Altså det ene areal minus det andet areal. Vi bruger nu vores differensregel for at komme i mål. Differensreglen siger nemlig at: Når man har en funktion af x, der består af en differens af to funktioner af x, kan man differentiere de to funktioner hver for sig og trække de afledede fra hinanden til sidst. Den første differentieret minus den anden differentieret. Vi må altså gerne sætte vores to arealer ind under et fælles integraletegn. Det vil altså sige, at vores formel kommer til at se således ud: vi startede ud med., altså den formel som Situation 2. Arealet ligger under x-aksen (helt eller delvist). Billedet viser en graf hvor noget af arealet ligger under x- aksen. På graf 2. kan vi se at det er den samme graf, men som bare er blevet parallelt forskudt. Vi kan parallelforskyde, hvis vi tilføjer en konstant, k. Vi parallelforskyder, således at det bliver lettere at arbejde med. Vi regner nu arealet ud. Til start finder vi begge arealer, og trækker disse fra hinanden.. Vi beviste i situation 1, at for at regne et areal ud mellem to grafer, da skulle denne formel altså anvendes. Vi har dog fået et k ind, og det gå er vi interesseret i at få lavet om til. Jeg ophæver vores minusparentes: Vores k går ud med -k, og vi kan nu se at: Hermed har jeg altså vist, at arealet, hvad enten det ligger under eller over x-aksen, kan udregnes ved hjælp af en og samme formel.

37 12. Statistik. Redegør for anvendelse af modeller i statistiske undersøgelser. Fortæl om mellem to eller flere inddelingskriterier. -test for uafhængighed Deskriptiv statistik: Deskriptiv statistik omfatter behandling af grupperet og ugrupperet datamateriale (observationer). Ugrupperede observationer: Ugrupperede observationer er det statiske materiale i sin rå form og omfatter det hele. Lille eks: En fisker har på 13 fisketure fanget følgende antal fisk 2,3,1,6,8,3,12,5,4,3,5,2,2 Først bestemmes medianen: observationerne opstilles fra laveste til højeste. 1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,6,8,12 Nedre og øvre kvartil: Vi deler observationssættet i to lige store dele omkring medianen. 1,2,2,2,3,3 4,5,5,6,8,12 Nedre (2,2 i første halvdel) og øvre median (5,6 i andet anden halvdel). Her er et lige antal, så det er gennemsnittet af de to midterste. Nedre kvartil er og øvre kvartil er De tre tal nedre kvartil, median og øvre kvartil udgør kvartilsættet og skrives nogle gange på formen (Q 1,m,Q 3). I dette tilfælde Q 1 =2 m=3 og Q 2 =5.5 Andre statistiske deskriptorer: Største og mindste observation: 1 og 12 (antal fanget fisk på turen) Observationssættets størrelse: 13 (13 fisketure) Typetallet: 2 (det fangede antal fisk der forekommer hyppigst) Hyppighedstabel: Observation Hyppighed Prikdiagram: Pindediagram:

38 Boksplot: Starter ved mindsta værdi. Går ud til største værdi. Streger ved nedre kvartil, median og øvre kvartil. Middeltallet: Middeltallet (gennemsnittet), μ, findes ved at lægge alle observationerne sammen og dele med antallet Grupperede observationer: Man inddeler observationerne i grupper og behandler grupperne statistisk. I en klasse er elevernes højde målt og følgende resultater er registreret I en klasse er elevernes højde målt og følgende resultater er registreret 167,169, 162, 170, 184, 162, 183, 182, 160, 183, 167, 188, 173, 166,, 172, 172, 160, 163, 151, 169, 167, 173, 179, 182, 186 Det står uoverskueligt, så vi inddeler i grupper: Interval ]150;155] ]155;160] ]160;165] ]165;170] ]170;175] ]175;180] ]180;185] ]185;190] Hyppighed Frekvens: altså Interval ]150;155] ]155;160] ]160;165] ]165;170] ]170;175] ]175;180] ]180;185] ]185;190] Hyppighed Frekvens (%)

39 Middelværdi: Interval ]150;155] ]155;160] ]160;165] ]165;170] ]170;175] ]175;180] ]180;185] ]185;190] Midtpunkt Frekvens Formel: = 171,3 Kumuleret frekvens: kumuleret frekvens=4%+8%=12% Interval ]150;155] ]155;160] ]160;165] ]165;170] ]170;175] ]175;180] ]180;185] ]185;190] Frekvens (%) Kum. frek (%) Sumkurve: Intervalendepunkt Kum. frek (%) F.eks. ved intervalendepunkt 170. Der er 52% 170 cm eller derunder.

40 Kvartilsæt på sumkurven: Chi i anden test: bruges til at afgøre om et observeret datasæt følger den forventede fordeling. Vi laver en -test for uafhængighed. Vores nulhypotse: H 0 = Lige mange højre- og venstrehånede, uanset køn. Mænd Kvinder Sum Venstrehåndede , ,8 % (altså 10,8 % af de 1000 er venstrehånede) Højrehåndede ,2 % (altså 89,2 %af de 1000 der er højrehåndede) Sum Cirka 12 % af de venstrehånede er mænd, og knap 10 % af de venstrehånede er kvinder. Umiddelbart kunne man jo så nu svare at mænd er mere venstrehånede end kvinder, men da vi kun har spurgt 1000 mennesker, kan det jo være en tilfældighed. Hvis de kvinder og mænd skulle være ligeligt fordelt, kan vi regne ud hvor mange venstrehånede og højrehåndede der burde være: Forventede Venstrehånede kvinder: Venstrehåndede mænd: Højrehåndede kvinder: Højrehåndede mænd:

41 Nu kan vi beregne vores teststørrelse. Denne teststørrelse kalder vi for Formlen for : Σ = Store sigma = sum Indsættes vores værdier er det = Teststørrelsen siger noget om uafhængigheden. Hvis vores observerede og forventede værdier var de samme, så ville være 0. Vores teststørrelse vil dog altid variere lidt fra 0, i og med at dem man har spurgt ikke er helt repræsentative. Jo større teststørrelsen er, jo værre. Så vil den observerede og forventede være meget langt fra hinanden, og så kan man være tilbøjelig til at forkaste sin Nulhypotesen Vores frihedsgrad er 1 da: Nu skal vi så finde ud af, om vores Jeg vælger et signifikansniveau på 5 %. er acceptabel i forhold til vores nulhypotese. Da vores =, altså mindre end 3,841 (DF=1 og så 5 % signifikans). Vi accepterer altså hypotesen om, at der er lige mange højrehånede og venstrehåndede uanset køn.

42 13. Statistik. Redegør for anvendelse af modeller i statistiske undersøgelser. Fortæl om normalfordelingsmodellen. Deskriptiv statistik: Deskriptiv statistik omfatter behandling af grupperet og ugrupperet datamateriale (observationer). Ugrupperede observationer: Ugrupperede observationer er det statiske materiale i sin rå form og omfatter det hele. Lille eks: En fisker har på 13 fisketure fanget følgende antal fisk 2,3,1,6,8,3,12,5,4,3,5,2,2 Først bestemmes medianen: observationerne opstilles fra laveste til højeste. 1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,6,8,12 Nedre og øvre kvartil: Vi deler observationssættet i to lige store dele omkring medianen. 1,2,2,2,3,3 4,5,5,6,8,12 Nedre (2,2 i første halvdel) og øvre median (5,6 i andet anden halvdel). Her er et lige antal, så det er gennemsnittet af de to midterste. Nedre kvartil er og øvre kvartil er De tre tal nedre kvartil, median og øvre kvartil udgør kvartilsættet og skrives nogle gange på formen (Q 1,m,Q 3 ). I dette tilfælde Q 1 =2 m=3 og Q 2 =5.5 Andre statistiske deskriptorer: Største og mindste observation: 1 og 12 (antal fanget fisk på turen) Observationssættets størrelse: 13 (13 fisketure) Typetallet: 2 (det fangede antal fisk der forekommer hyppigst) Hyppighedstabel: Observation Hyppighed Prikdiagram: Pindediagram: Boksplot:

43 Starter ved mindsta værdi. Går ud til største værdi. Streger ved nedre kvartil, median og øvre kvartil. Middeltallet: Middeltallet (gennemsnittet), μ, findes ved at lægge alle observationerne sammen og dele med antallet Grupperede observationer: Man inddeler observationerne i grupper og behandler grupperne statistisk. I en klasse er elevernes højde målt og følgende resultater er registreret I en klasse er elevernes højde målt og følgende resultater er registreret 167,169, 162, 170, 184, 162, 183, 182, 160, 183, 167, 188, 173, 166,, 172, 172, 160, 163, 151, 169, 167, 173, 179, 182, 186 Det står uoverskueligt, så vi inddeler i grupper: Interval ]150;155] ]155;160] ]160;165] ]165;170] ]170;175] ]175;180] ]180;185] ]185;190] Hyppighed Frekvens: altså Interval ]150;155] ]155;160] ]160;165] ]165;170] ]170;175] ]175;180] ]180;185] ]185;190] Hyppighed Frekvens (%)

44 Middelværdi: Interval ]150;155] ]155;160] ]160;165] ]165;170] ]170;175] ]175;180] ]180;185] ]185;190] Midtpunkt Frekvens Formel: = 171,3 Kumuleret frekvens: kumuleret frekvens=4%+8%=12% Interval ]150;155] ]155;160] ]160;165] ]165;170] ]170;175] ]175;180] ]180;185] ]185;190] Frekvens (%) Kum. frek (%) Sumkurve: Intervalendepunkt Kum. frek (%) F.eks. ved intervalendepunkt 170. Der er 52% 170 cm eller derunder.

45 Kvartilsæt på sumkurven: Normalfordelingsmodellen: Normalfordelingen er en statistisk model, der kan bruges i forbindelse med måling en størrelse, f.eks. højde, vægt. Den højde man f.eks. måler hos en gruppe mænd, vil være normalfordelt. Kontinuer fordeling: Mændenes højde bliver inddelt i intervaller. Når man har de her intervaller, kan man regne frekvensen ud: Når man har frekvensen, kan man lave et histogram: Frekvensen er angivet ved arealet af den pågældende søjle. Normalfordelingskurven, eller gausskurven, er indtegnet med sort, på billedet. Arealet under gausskurven, er altid 1, eller 100 %.