Oversigt [LA] 3, 4, 5
|
|
|
- Randi Steffensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Calculus Uge
2 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Definition f : R n R m er en lineær afbildning, hvis linearkombinationer bevares f(λ 1 u λ k u k ) = λ 1 f(u 1 ) + + λ k f(u k ) Calculus Uge
3 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Definition f : R n R m er en lineær afbildning, hvis linearkombinationer bevares f(λ 1 u λ k u k ) = λ 1 f(u 1 ) + + λ k f(u k ) Bemærk Det er nok, at sum og skalarmultiplikation bevares f(u + v) = f(u) + f(v) f(αu) = αf(u) Calculus Uge
4 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. f(x,y) = (y,x + y) Calculus Uge
5 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Bevis f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) Calculus Uge
6 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Bevis f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) Calculus Uge
7 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Bevis f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) = (y 1,x 1 + y 1 ) + (y 2,x 2 + y 2 ) Calculus Uge
8 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Bevis f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) = (y 1,x 1 + y 1 ) + (y 2,x 2 + y 2 ) = f(x 1,y 1 ) + f(x 2,y 2 ) Calculus Uge
9 Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Bevis f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) Tilsvarende for skalarmultiplikation. = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) = (y 1,x 1 + y 1 ) + (y 2,x 2 + y 2 ) = f(x 1,y 1 ) + f(x 2,y 2 ) Calculus Uge
10 Matrix til lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Definition For en m n-matrix A defineres en afbildning R n R m ved u Au Calculus Uge
11 Matrix til lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Definition For en m n-matrix A defineres en afbildning R n R m ved u Au Eksempel ( u 1 u 2 ) ( ) ( u 1 u 2 ) = ( ) u 1 + 2u 2 3u 1 + 4u 2 Calculus Uge
12 Matrix til lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 4 Funktionen f : R n R m f(u) = Au defineret ved en m n-matrix A er lineœr f(u + v) = f(u) + f(v) f(αu) = αf(u) Calculus Uge
13 Matrix til lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 4 Funktionen f : R n R m f(u) = Au defineret ved en m n-matrix A er lineœr f(u + v) = f(u) + f(v) f(αu) = αf(u) Bevis A(u + v) = Au + Av, A(αu) = αau Fra de simple regneregler for matrix multiplikation. Calculus Uge
14 Lineær afbildning til matrix [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 5 Enhver lineœr afbildning f : R n R m fremkommer fra en entydig bestemt m n-matrix A = Matr(f) f(u) = Au Calculus Uge
15 Lineær afbildning til matrix [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 5 Enhver lineœr afbildning f : R n R m fremkommer fra en entydig bestemt m n-matrix A = Matr(f) f(u) = Au Bemærk f(e j ) = a j j-te søjle i matricen for f er billedet af j-te enhedsvektor i R n. Calculus Uge
16 Opgave [LA] 3 Lineære funktioner Opgave Find M atr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Calculus Uge
17 Opgave [LA] 3 Lineære funktioner Opgave Find M atr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Løsning Søjlerne i Matr(f) er ( ) 1 f(e 1 ) = f( ) = 0 ( ) ( ) 0 0, f(e 2 ) = f( ) = 1 1 ( ) 1 1 Calculus Uge
18 Opgave [LA] 3 Lineære funktioner Opgave Find M atr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Løsning Søjlerne i Matr(f) er Heraf ( ) 1 f(e 1 ) = f( ) = 0 ( ) ( ) 0 0, f(e 2 ) = f( ) = 1 1 Matr(f) = ( ) ( ) 1 1 Calculus Uge
19 Opgave [LA] 3 Lineære funktioner Opgave Find M atr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Løsning Søjlerne i Matr(f) er Heraf ( ) 1 f(e 1 ) = f( ) = 0 ( ) ( ) 0 0, f(e 2 ) = f( ) = 1 1 Matr(f) = ( ) ( ) 1 1 Prøve ( ) ( ) 0 1 x 1 1 y = ( ) y x + y Calculus Uge
20 Multiplicere = sammensætte [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 6 Lad f,g vœre lineœre afbildninger R n f R m g R p Så er den sammensatte afbildning g f lineœr og Matr(g f) = Matr(g)Matr(f) Calculus Uge
21 Multiplicere = sammensætte [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 6 Lad f,g vœre lineœre afbildninger R n f R m g R p Så er den sammensatte afbildning g f lineœr og Matr(g f) = Matr(g)Matr(f) Bevis For f(u) = Au, g(v) = Bv giver den associative lov g f(u) = g(f(u)) = B(Au) = (BA)u Calculus Uge
22 Test matrix-afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Test Den lineære afbildning f(x,y) = (x + y,x y,y) har tilhørende matrix Matr(f): (a) (b) (c) 0 1 ( ). Afkryds den korrekte: (a) (b) (c) Calculus Uge
23 Test matrix-afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Test Den lineære afbildning f(x,y) = (x + y,x y,y) har tilhørende matrix Matr(f): (a) (b) (c) 0 1 ( ). Afkryds den korrekte: (a) (b) (c) Løsning Søjlerne i 3 2-matricen er f(1, 0) = (1, 1, 0), f(0, 1) = (1, 1, 1) Calculus Uge
24 Test matrix-afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Test Den lineære afbildning f(x,y) = (x + y,x y,y) har tilhørende matrix Matr(f): (a) (b) (c) 0 1 ( ). Løsning Søjlerne i 3 2-matricen er Afkryds den korrekte: (a) (b) (c) f(1, 0) = (1, 1, 0), f(0, 1) = (1, 1, 1) Calculus Uge
25 Invers matrix [LA] 4 Inverse matricer Definition En kvadratisk n n-matrix A har en invers matrix B, hvis AB = I n = BA Calculus Uge
26 Invers matrix [LA] 4 Inverse matricer Definition En kvadratisk n n-matrix A har en invers matrix B, hvis AB = I n = BA B er entydigt bestemt og betegnes A kaldes invertibel. B = A 1 Calculus Uge
27 Invers matrix [LA] 4 Inverse matricer Definition En kvadratisk n n-matrix A har en invers matrix B, hvis AB = I n = BA B er entydigt bestemt og betegnes A kaldes invertibel. B = A 1 Bevis Entydighed: For AC = I = CA er B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C Calculus Uge
28 Invers diagonalmatrix [LA] 4 Inverse matricer Eksempel En diagonal n n-matrix Λ = λ λ n med alle diagonal indgange λ i 0 er invertibel. Calculus Uge
29 Invers diagonalmatrix [LA] 4 Inverse matricer Eksempel En diagonal n n-matrix Λ = λ λ n med alle diagonal indgange λ i 0 er invertibel. Den inverse er λ Λ 1 = λ 1 n Calculus Uge
30 Inverter produkt [LA] 4 Inverse matricer Sætning Lad A,B vœre invertible n n-matricer. Så er AB invertibel og der gœlder (AB) 1 = B 1 A 1 "Pas på rœkkefølgen." Calculus Uge
31 Inverter produkt [LA] 4 Inverse matricer Sætning Lad A,B vœre invertible n n-matricer. Så er AB invertibel og der gœlder (AB) 1 = B 1 A 1 "Pas på rœkkefølgen." Bevis (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AI n A 1 = AA 1 = I n Calculus Uge
32 Test invers matrix [LA] 4 Inverse matricer Test Lad A, B være invertible n n-matricer. Så gælder (AB) 1 = A 1 B 1. Afkryds: ja nej Calculus Uge
33 Test invers matrix [LA] 4 Inverse matricer Test Lad A, B være invertible n n-matricer. Så gælder (AB) 1 = A 1 B 1. Løsning Den rigtige formel er (AB) 1 = B 1 A 1 Afkryds: ja nej Calculus Uge
34 Test invers matrix [LA] 4 Inverse matricer Test Lad A, B være invertible n n-matricer. Så gælder (AB) 1 = A 1 B 1. Løsning Den rigtige formel er Afkryds: ja nej (AB) 1 = B 1 A 1 Calculus Uge
35 Matrix potens [LA] 2 Matricer Definition For en kvadratisk n n-matrix A defineres potens, k = 0, 1, 2,..., A 0 = I n, A k = A k 1 A Calculus Uge
36 Matrix potens [LA] 2 Matricer Definition For en kvadratisk n n-matrix A defineres potens, k = 0, 1, 2,..., A 0 = I n, A k = A k 1 A Hvis A er invertibel, så er A k = (A 1 ) k = (A k ) 1 Calculus Uge
37 Matrix potens [LA] 2 Matricer Definition For en kvadratisk n n-matrix A defineres potens, k = 0, 1, 2,..., A 0 = I n, A k = A k 1 A Hvis A er invertibel, så er A k = (A 1 ) k = (A k ) 1 For enhedsmatricen er I k n = I n Calculus Uge
38 Pas på matrix potens [LA] 2 Matricer Bemærkning Potensregneregler gælder A l A m = A l+m (A l ) m = A lm Calculus Uge
39 Pas på matrix potens [LA] 2 Matricer Bemærkning Potensregneregler gælder A l A m = A l+m Men normalt er (A l ) m = A lm A m B m (AB) m Calculus Uge
40 Pas på matrix potens [LA] 2 Matricer Bemærkning Potensregneregler gælder A l A m = A l+m Men normalt er For eksempel (A l ) m = A lm A m B m (AB) m A 2 B 2 = (AA)(BB) (AB)(AB) = (AB) 2 Calculus Uge
41 Potens af diagonalmatrix [LA] 2 Matricer Eksempel For en diagonal n n-matrix Λ = λ λ n og k = 0, 1, 2,... er potensen λ k Λ k = λ k n Calculus Uge
42 Matrix potens [LA] 2 Matricer Opgave Beregn matrix potensen ( 1 a 0 1 ) k Calculus Uge
43 Matrix potens [LA] 2 Matricer Opgave Beregn matrix potensen ( 1 a 0 1 ) k Løsning Bemærk ( 1 x 0 1 ) ( ) 1 y 0 1 = ( ) 1 x + y 0 1 Calculus Uge
44 Matrix potens [LA] 2 Matricer Opgave Beregn matrix potensen ( 1 a 0 1 ) k Løsning Bemærk ( 1 x 0 1 ) ( ) 1 y 0 1 = ( ) 1 x + y 0 1 Heraf ( ) k ( ) 1 a 1 ka = Calculus Uge
45 Ligninger på matrix form [LA] 5 Lineære ligningssystemer Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a m1 x a mn x n = b m. Calculus Uge
46 Ligninger på matrix form [LA] 5 Lineære ligningssystemer Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a m1 x a mn x n = b m På matrix form A = (a ij ) m n-matrix, b = (b i ) m-søjle, x = (x j ) n-søjle Ax = b. Calculus Uge
47 Ligninger på matrix form Definition - fortsat Matrix form skrevet ud Ax = b [LA] 5 Lineære ligningssystemer Calculus Uge
48 Ligninger på matrix form [LA] 5 Lineære ligningssystemer Definition - fortsat Matrix form skrevet ud Ax = b a a 1n a a 2n. x 1 x 2. = b 1 b 2. a m1... a mn x n b m Calculus Uge
49 Koefficient matrix Notation Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 5 Lineære ligningssystemer Calculus Uge
50 Koefficient matrix Notation Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 5 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix Calculus Uge
51 Koefficient matrix Notation Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 5 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix 2. b = 0 homogent system 3. b 0 inhomogent system Calculus Uge
52 Koefficient matrix Notation Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 5 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix 2. b = 0 homogent system 3. b 0 inhomogent system 4. Partikulær løsning en funden løsning, fuldstændig løsning mængden af alle løsninger Calculus Uge
53 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 2x 1 2x 2 4x 3 = 28 x 2 + 2x 3 = 16 Calculus Uge
54 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 2x 1 2x 2 4x 3 = 28 x 2 + 2x 3 = Vælg x 3 = 0 og løs x 2 = 16. Indsæt i første ligning 2x = 28 Calculus Uge
55 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 2x 1 2x 2 4x 3 = 28 x 2 + 2x 3 = Vælg x 3 = 0 og løs x 2 = 16. Indsæt i første ligning 2x = Dette giver partikulær løsning (x 1,x 2,x 3 ) = (2, 16, 0) Calculus Uge
56 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 - fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 + 2x x x 3 = 2 2x x 3 = x 3 = x x Calculus Uge
57 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 - fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 + 2x x x 3 = 2 2x x 3 = x 3 = x x hvor x 3 kan vælges frit. Calculus Uge
58 1 ligning 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1 Calculus Uge
59 1 ligning 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1 1. Vælg x 3 = x 2 = 0 og løs x 1 = 1 Calculus Uge
60 1 ligning 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1 1. Vælg x 3 = x 2 = 0 og løs x 1 = 1 2. Det giver partikulær løsning (x 1,x 2,x 3 ) = (1, 0, 0) Calculus Uge
61 1 ligning 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 - fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 x = x 2 x 3 1 x x x 3 0 x 3 = x x Calculus Uge
62 1 ligning 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1 - fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 x = x 2 x 3 1 x x x 3 0 x 3 = x x hvor både x 2 og x 3 kan vælges frit. Calculus Uge
63 Løsningsrummet [LA] 5 Lineære ligningssystemer Sætning 7 Løsningsmœngden til et homogent lineœrt ligningssystem med n ubekendte Ax = 0 er et lineœrt underrum N A R n kaldet løsningsrummet eller nulrummet. Calculus Uge
64 Løsningsrummet [LA] 5 Lineære ligningssystemer Sætning 7 Løsningsmœngden til et homogent lineœrt ligningssystem med n ubekendte Ax = 0 er et lineœrt underrum N A R n kaldet løsningsrummet eller nulrummet. Bevis Simple regneregler for matrix multiplikation giver Ax = 0, Ay = 0 A(x + y) = 0 Calculus Uge
65 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0 Calculus Uge
66 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1. x 3 = x 4 og x 1 = x 2. x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0 Calculus Uge
67 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1. x 3 = x 4 og x 1 = x x 4 og x 2 kan vælges frit. x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0 Calculus Uge
68 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel - fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = x 2 x 2 x 4 = x 2 x x Calculus Uge
69 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel - fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = x 2 x 2 x 4 = x 2 x x Løsningsrummet er span af vektorerne 1 1 0, Calculus Uge
70 Løsninger og nulrum [LA] 5 Lineære ligningssystemer Sætning 8 Givet en partikulœr løsning u til det lineœre ligningssystem med n ubekendte Ax = b så er løsningsmœngden {x R n Ax = b} = u + N A Calculus Uge
71 Løsninger og nulrum [LA] 5 Lineære ligningssystemer Sætning 8 Givet en partikulœr løsning u til det lineœre ligningssystem med n ubekendte Ax = b så er løsningsmœngden {x R n Ax = b} = u + N A Bevis Simple regneregler for matrix multiplikationen giver Au = b, Ax = 0 A(u + x) = b Calculus Uge
72 Test Løsningsmængde [LA] 5 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (b 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Afkryds det sande: (a) (b) (c) Calculus Uge
73 Test Løsningsmængde [LA] 5 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (b 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Afkryds det sande: (a) (b) (c) Løsning Gør prøve A 0 = 0 b Calculus Uge
74 Test Løsningsmængde [LA] 5 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (b 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Løsning Gør prøve Afkryds det sande: A 0 = 0 b (a) (b) (c) Calculus Uge
75 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 2 Calculus Uge
76 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 2 1. x 3 = 2, x 1 = 1 og x 2 = x 4 = 0 Calculus Uge
77 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 2 1. x 3 = 2, x 1 = 1 og x 2 = x 4 = 0 2. Giver en partikulær løsning (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (1, 0, 2, 0) Calculus Uge
78 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel - fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 x 2 x 2 2 x 4 = x x x Calculus Uge
79 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel - fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 x 2 x 2 2 x 4 = x x x Løsningsmængden er (1, 0, 2, 0) plus en vilkårlig vektor fra underrummet af alle linearkombinationer af vektorerne ( 1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) Calculus Uge
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/55/37584246.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Oversigt [LA] 6, 7, 8
![Oversigt [LA] 6, 7, 8](/thumbs/40/21648714.jpg "Oversigt [LA] 6, 7, 8")
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Oversigt [LA] 6, 7, 8
![Oversigt [LA] 6, 7, 8](/thumbs/29/13647802.jpg "Oversigt [LA] 6, 7, 8")
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/70/62452762.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
DesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Nøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/52/30090298.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER
LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/74/70906933.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
![Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3](/thumbs/91/105982264.jpg "Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3")
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
To ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer
Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden
LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse
LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra
Lineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17](/thumbs/62/47131431.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Matricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
DesignMat Uge 11. Vektorrum
DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en
1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
Oversigt [LA] 11, 12, 13
![Oversigt [LA] 11, 12, 13](/thumbs/69/60570115.jpg "Oversigt [LA] 11, 12, 13")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Undervisningsnotat. Matricer
Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet
TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:
Om hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Lineær Algebra. Differentialligninger
Lineær Algebra og Differentialligninger til Calculus 1 og 2 Århus 2005 Anders Kock og Holger Andreas Nielsen Indhold 1 Koordinatvektorer........................ 1 2 Matricer..............................
LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH
LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som
Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
MASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Note om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Calculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer
Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
![Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion](/thumbs/71/64059563.jpg "Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Matematik H1. Lineær Algebra
Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages
3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Lineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Matematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Carl Friedrich Gauß ( ), malet af Christian Albrecht Jensen. Lineær algebra. Ib Michelsen
Carl Friedrich Gauß 777 8, malet af Christian Albrecht Jensen Lineær algebra Ikast Ikast Version Hæftet her skal ses som et supplement til Klaus Thomsens forelæsninger på Aarhus Universitet og låner flittigt
MATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden
Matricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
![Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4](/thumbs/40/21809007.jpg "Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4")
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Lineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10
Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer
TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere
DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
MATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode (håndregning),
Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Matematik H1. Lineær Algebra
Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August ii 3 oplag, juni 5 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. januar,
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Funktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Inverse funktioner. John V Petersen
Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...
Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Løsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning
DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
Lineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix