LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse

Transkript

1 LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra at man i de første 9 minutter ikke må benytte elektroniske hjælpemidler som lommeregnere eller computere. I de sidste 9 minutter må sådanne hjælpemidler gerne benyttes, men det er ikke tilladt at argumentere ud fra dem i besvarelsen. Man må gerne argumentere ud fra den vedlagte udskrift af en Maple-session. De i alt ti underspørgsmål vægtes lige ved bedømmelsen. Besvarelsen kan indskrives med blyant. Ved den samlede bedømmelse indregnes, med vægt 3%, et pointtal som blev givet med udgangspunkt i vurderinger af skriftlige opgavebesvarelser i kursets forløb. I løbet af hele eksamen skal eventuelle kommunikationsfaciliteter i lommeregnere og computere være slået fra. En vejledende besvarelse er indført i lilla tekst.

2 LinAlg Januar 9 Side af pgave Ved løsning af denne opgave kan man med fordel argumentere ud fra resultaterne i det vedlagte Maple-arbejdsark. Betragt 4 4-matricen A = (a) Find samtlige løsninger til det lineære ligningssystem x A x x 3 = x 4 (b) Lad f : R 4 R 4 være den lineære afbildning x x f x x 3 = A x x 3 x 4 x 4 Bestem en basis for ker f. Der skal argumenteres for at de fundne vektorer er lineært uafhængige. (a) Af Maplearket ses, at vi kan vælge x 3 = s og x 4 = t frit, og vi får derefter følgende ligninger til bestemmelse af x, x : x + x + 3t =, x s + t = altså (b) ligningerne altså x 4s t x x 3 = s t + s, s, t R. x 4 t Kernen for f er løsningsmængden til ligningen A X =. Maplearket viser, at vi skal løse x + x + 3t =, x s + t =, 4s t ker f = { s t s s, t R}, t

3 LinAlg Januar 9 Side 3 af hvilket også kan skrives som 4 ker f = span{, }. De angivne søjler er ikke proportionale f.eks. fordi der står, på fjerde plads. Dermed er de to søjler lineært uafhængige, og udgør derfor en basis for det underrum de udspænder, dvs for ker f. pgave Betragt matricerne A = 3 4, B(x) = 3 4, x R x 9 6 (a) Udregn det A og vis, at det B(x) = 8 x. Ved begge udregninger skal der angives detaljerede mellemregninger. (b) Bestem mængden af de x R for hvilke B(x)B(x 3 ) ikke er invertibel. (a) Determinanten af A kan f.eks. udregnes ved pilereglen eller ved at udføre to rækkeoperationer: R R R, R3 R3 4R, hvorved A reduceres til, 5 så ( ) det(a) = det = =. 5 Ved udvikling efter anden søjle finder vi det B(x) = ( ) + 4 det A + ( ) 4+ x det 3 4 Den sidste determinant udregnes ved f.eks ved pilereglen til = (Ellers ved først at lave et par rækkereduktioner), altså det B(x) = 8 x. (b) Idet det(b(x)b(x 3 )) = det B(x) det B(x 3 ) = ( x 8)( x 3 8), og idet en matrix ikke er invertibel netop når dens determinant er, ser vi, at den angivne matrix ikke er invertibel netop når ( x 8)( x 3 8) =, altså netop når x = 8 eller x 3 = 8. Det sidste er det samme som at x =. Den ønskede mængde M er altså M = {, 8}.

4 LinAlg Januar 9 Side 4 af pgave 3 Betragt den lineære afbildning f : R 3 R 4 defineret ved x f x = x 3 x + x 3 3x x x x + 3x x 3 (a) Bestem en matrix A så x x f x = A x x 3 x 3 (b) Løs ligningssystemet og find dimensionen af billedet f(r 3 ). x A x = x 3 (a) Vi udregner f = 3, f =, 3 f =, og ifølge søjlereglen er f(e j ) lig med j te søjle i den søgte matrix, altså A = 3 3 (b) Ved løsning af det anførte ligningssystem ser vi, at x =. Af anden ligning får vi så x =, men så giver første ligning at x 3 =. Dermed passer også den fjerde ligning, så ligningssystemet har kun nulløsningen. Det betyder at ker f = {o}, og dimensionsætningen giver så 3 = dim ker f + dim f(r 3 ), altså dim f(r 3 ) = 3.

5 LinAlg Januar 9 Side 5 af pgave 4 Betragt vektorerne a = i R 4 og lad U = span{a, a, a 3 }., a = 3 5 3, a 3 = 5 (a) Vis, at dim U = og bestem en ortonormal basis u, u for U. (b) Lad Bestem ortogonalprojektionen af a på U. a = (a) Vi opstiller de 3 søjler i en 4 3-matrix og udfører rækkeoperationer , hvor vi i første skridt brugte operationerne R R R, R3 R3 + R, R4 R4 R og i sidste skridt R3 R3 R. Den sidste matrix viser - via udtyndingsalgoritmen - at søjlerne a, a er lineært uafhængige og a 3 er en linearkombination af a, a. Dermed er vist, at dim U = og (a, a ) er en basis for U. Gram-Schmidt proceduren fortæller, at vi skal sætte b = a og b = a a b b b b = Dermed er (b, b ) en ortogonal basis for U. Da b =, b = 8 får vi en ortonormal basis (u, u ) for U givet ved at dividere med længderne u = / / / /, u =

6 LinAlg Januar 9 Side 6 af (b) rtogonalprojektionen af a på U er givet som / P U (a) = a u u + a u u = u u = 3/ / / pgave 5 Ved løsning af denne opgave kan man med fordel argumentere ud fra resultaterne i det vedlagte Maple-arbejdsark. Betragt matricen 5 3 B = (a) Bestem en vektor a a = a a 3 R4 a 4 som opfylder B a = og a + a + a 3 + a 4 =. (b) Bestem en ortogonal matrix S så 3 S B S t = 4 8 (a) Ifølge Maplearket har B egenværdien og egenrummet er udspændt af søjlen / / Vi skal altså bestemme et tal t R så t + t + t + =

7 LinAlg Januar 9 Side 7 af hvilket giver t =. Dermed er den søgte vektor a bestemt som /4 a = /4 / (b) Fra Maplearket ved vi, at den symmetriske matrix B har egenværdierne, 3, 8, 4, og de fire angivne søjler er ortogonale egenvektorer til disse egenværdier i den angivne rækkefølge. Vi skal normalisere disse vektorer og opstille dem i en matrix, idet vi tager dem i samme rækkefølge som diagonalelementerne i den angivne diagonalmatrix i spørgsmålet. Disse fire søjler udgør en ortonormal basis A for R 4 og den tilsvarende matrix er koordinattransformationsmatricen for skift fra denne basis til standardbasis E. Vi har altså fundet matricen / 3 / / 6 ET A = / 3 / / 6 / 3 / 6 og vi ved at er den givne diagonalmatrix. Dermed har vi så vi finder S ved transponering: AT E B E T A S t = E T A, / 3 / 3 / 3 S = / / / 6 / 6 / 6

8 LinAlg Januar 9 Side 8 af with LinearAlgebra : pgave A d,,k4,,,k5, 3 K,,K6,K, 3,K9, 4,,K, ; K A := 3 K4 K5 K6 K9 K 3 K 4 () GaussianElimination A ; 3 K () pgave 5 B d 5,K3,K, K3, 5,K, K,K,,,,, 4 ; 5 K3 K B := K3 5 K K K 4 (3) Eigenvectors B ; K K 3 8, K (4) 4