Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Transkript

1 Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

2 Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og sinus. Man finder sinus og cosinus til en vinkel ved at tegne vinklen midt i et koordinat-system som vist her. 60º - Man skal også tegne en cirkel med radius en (r ) og med centrum midt i koordinat-systemet. Cirklen kaldes en enheds-cirkel. - Cosinus til en vinkel er første-koordinaten til skæringspunktet mellem vinklens venstre ben og enheds-cirklen. Sinus til en vinkel er anden-koordinaten til skæringspunktet mellem vinklens venstre ben og enheds-cirklen. Her vil vi kun arbejde med vinkler mellem 0º og 90º. Cosinus og sinus vil være mellem 0 og. Altså i intervallet [0;]. I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). På regnemaskinen finder man cos(60º) ved at trykke cos 60. Man får præcis 0,5. Man finder sin(60º) ved at trykke sin 60. Man får et decimaltal, som starter med 0,886. På nogle regnemaskiner skal man taste i modsat rækkefølge. F 60 sin. (cos(60º), sin(60º)) Hvis man kender cosinus eller sinus til en vinkel, kan man finde vinklen ved at trykke Inv cos eller Inv sin. På mange regnemaskiner skal man taste nd i stedet for Inv. Sinus og cosinus kaldes trigonometriske funktioner. sin(60º) 60º cos(60º) Eksempler på opgaver Find cosinus til 5º Hvilken vinkel har sinus-værdien 0,9? På regnemaskinen trykkes cos 5. Man får cos(5º) 0,89 På regnemaskinen trykkes Inv sin 0,9. Man får 70º. Side

3 Trigonometri Vi skal især arbejde med vinkler i retvinklede trekanter. B Ved siden af er tegnet en retvinklet trekant ABC, hvor c (hypotenusen) har længden en. Nedenfor er trekanten placeret i en enhedscirkel. Hypotenusen er radius i cirklen. Trekantens to andre sider a og b (kateterne) har længderne sin( A) og cos( A). A c b a C Herunder er tegnet to andre trekanter med de samme vinkler som trekant ABC. Trekanterne har præcis samme form som ABC, men den ene er formindsket og den anden forstørret. Man siger, at de tre trekanter er ligedannede. c b cos( A) a sin( A) Siderne i den lille trekant er halvt så lange som i ABC. Siderne i den store trekant er tre gange så lange sider som i ABC. sin( A) 0,5 0,5 sin( A) 0,5 cos( A) cos( A) Man kan finde kateterne i retvinklede trekanter med disse formler: Længden af en katete længden af hypotenusen cosinus til den hosliggende vinkel Længden af en katete længden af hypotenusen sinus til den modstående vinkel Hosliggende vinkel Hypotenuse Katete Modstående vinkel Modstående vinkel Hypotenuse Hosliggende vinkel Katete Formlerne gælder for begge kateter, men det er svært at huske, hvilken vinkel der er hosliggende, og hvilken vinkel der er modstående. Tænk dig godt om! Side

4 Trigonometri B I en retvinklet trekant ABC er hypotenusen 5 cm og B er 5º. Hvor stor er A? Hvor lange er kateterne? c 5 cm 5º a Vinkelsummen i en trekant er 80º, og den rette vinkel C er 90º. Derfor får man: A 80º 90º 5º 7º A b C Længden af kateterne kan findes med en af formlerne på forrige side. c er hypotenusen. A er modstående til kateten a. B er modstående til kateten b. Man får: a c sinus til den modstående vinkel c sin( A) 5 sin(7º),009 cm. b c sinus til den modstående vinkel c sin( B) 5 sin(5º),99 cm. Man kan også bruge formlen med cosinus til den hosliggende vinkel. Prøv selv! Skrå side Tegningen viser en gavl på et hus. Husets bredde er 8 m, muren er,5 m høj, og tagets hældning er 0º. Hvor lang er gavlens skrå side? Hvor højt er huset? 0º 8 m,5 m Husets højde Den øverste del af gavlen kan opdeles i to retvinklede trekanter. Den skrå side er hypotenusen c. c A er hosliggende til kateten b. Man får: b c cosinus til den hosliggende vinkel b c cos( A) c cos(0º) Ved ligningsløsning fås: c,6 m cos(0 ) For at finde huset højde skal man først finde kateten a, som er tagets højde. Man får: a c sinus til den modstående vinkel c sin( A),6 sin(0º), m Husets højde bliver murens højde + tagets højde:,5 m +, m,8 m. A 0º b m B a C Side

5 Trigonometri Man kan finde de ikke-rette vinkler i retvinklede trekanter med disse formler: Cosinus til en vinkel Den hosliggende katete Hypotenusen Sinus til en vinkel Den modstående katete Hypotenusen Hypotenuse Modstående katete Vinkel Hosliggende katete Vinkel Hypotenuse Hosliggende katete Modstående katete Formlerne gælder for begge de ikke-rette vinkler, men det er svært at huske, hvilken katete der er hosliggende, og hvilken katete der er modstående. Tænk dig godt om! I en retvinklet trekant ABC er hypotenusen 8,5 cm, og kateten a er cm. c 8,5 cm B a cm Hvor stor er A? Hvor lang er kateten b? A b C Kateten a er modstående til A. Man får først: Den modstående katete a sin( A) 0,7 Hypotenusen c 8,5 Derefter tastes: Inv sin 0,7, og man får A 8º Men man kan også få resultatet i en beregning ved at taste: Inv sin ( 8,5 ). Man kan finde kateten b på flere måder. Man kan f bruge, at A er hosliggende til b. Man får: b c cosinus til den hosliggende vinkel c cos( A) 8,5 cos( 8º) 7,5 cm Man kan også bruge Pythagoras formel for sidelængderne i en retvinklet trekant: a + b c. Prøv selv! Side 5 5

6 Trigonometri Tangens Du skal lære endnu en trigonometrisk funktion at kende. Det er tangens. Man kan finde tangens til en vinkel ved at tegne en lodret linje gennem punktet (,0). Tangens er anden-koordinaten til det sted, hvor vinklens venstre ben skærer denne linje. Tegningen viser tangens til 0º. Man skriver blot tan(0º). På regnemaskinen finder man tan(0º) ved at trykke tan 0. Man får et decimaltal, der starten med 0,89. Man kan se, at tan(0º) 0. Når vinklen vokser bliver tangens større, og der er ingen øvre grænse. Man kan ikke finde tan(90º), da vinklens venstre ben går lodret op og aldrig skærer linjen. Når vinklen bliver større end 90º, bliver tangens negativ. Men her vil vi kun kikke på tangens til vinkler mellem 0º og 90º. 0º, tan(0º)) tan(0º) Eksempler på opgaver Find tangens til 60º Hvilken vinkel har tangens-værdien? På regnemaskinen tastes tan 60. Man får tan(60º),7 På regnemaskinen tastes Inv tan. Man får 5º. Til højre er tegnet en retvinklet trekant ABC, hvor kateten b har længden en. Nederst til højre er trekanten placeret i en enhedscirkel. Siden a må have længden tan( A). c B a Nedenfor er tegnet to trekanter, som er ligedannede med trekant ABC. I den ene er siderne halvt så lange. I den anden er tre gange så lange. A b C 0,5 tan( A) 0,5 tan( A) c a tan( A) b Side 6 6

7 Trigonometri Man kan finde længden af en katete i en retvinklet trekant med denne formel: Længden af en katete længden af den anden katete tangens til den modstående vinkel Modstående vinkel Katete Den anden katete Modstående vinkel Den anden katete Katete Formlerne gælder for begge kateter, men tænk dig godt om, når du bruger dem! Tegningen viser en stige, der står op ad en mur. Stigen står,0 m fra muren, og vinklen er 75º. Hvor højt når stigen op på muren? Hvor lang er stigen? c B a Stigen, jorden og muren danner en retvinklet trekant. A er modstående til kateten a. Man kan beregne, hvor langt stigen når op, således: a b tan( A) a,0 tan(75 ),8 m 75º,0 m A 75º C b,0 Stigens længde kan findes således: a c sin( A),8 c sin(75 ) Ved ligningsløsning fås: c,8,6 m sin(75 ) Man kan også finde stigens længde med en af de andre formler med cosinus og sinus eller ved at bruge Pythagoras formel for sidelængderne i en retvinklet trekant: a + b c. Prøv selv! Side 7 7

8 Trigonometri Man kan finde de ikke-rette vinkler i en retvinklet trekant med denne formel: Den modstående katete Tangens til en vinkel Den hosliggende katete Vinkel Hosliggende katete Modstående katete Modstående katete Vinkel Hosliggende katete Formlerne gælder for begge ikke-rette vinkler, men tænk dig godt om, når du bruger dem! B I en retvinklet trekant ABC er kateten b 8,5 cm og kateten a 5, cm. c a 5, cm Hvor stor er A? Hvor lang er hypotenusen? A b 8,5 cm C Den modstående katete a 5, Man får først: tan( A) 0, 6 Den hosliggende katete b 8,5 Derefter tastes Inv sin 0,6, og man får A º Man kan også på en gang taste Inv tan ( 5, 8,5 ). Hypotenusen c kan findes på flere måder. Man kan f gøre således: b c cos( A) 8,5 c cos( ) Ved ligningsløsning fås: c 8,5 0,0 cm cos( ) I starten af dette afsnit blev tangens beskrevet som anden-koordinaten til et punkt som vist på tegningen. sin(v) Den helt rigtige definition er tan(v). cos(v) De to metoder giver det samme resultat, men den geometriske beskrivelse er lettere at bruge, når man arbejder med retvinklede trekanter. - - v (, tan(v)) Side 8 8

9 Median, kvartil, boksplot og sumkurver Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet op efter størrelse. Medianen angiver grænsen mellem den største og den mindste halvdel af tallene. Eksempler på opgaver På en arbejdsplads er der syv ansatte. De får disse lønninger (kr./time): 98, 08, 9,, 9, 56 og 75. Hvad er median-lønnen? På en arbejdsplads er der seks ansatte. De får disse lønninger (kr./time): 0, 7, 8,, og 5. Hvad er median-lønnen? Når der er et ulige antal lønninger, er medianen det midterste tal. Når der er et lige antal lønninger, er medianen midt imellem de to midterste tal Median-lønnen bliver derfor kr./time Tallet midt imellem 8 og er 0. Median-lønnen bliver derfor 0 kr./time. 8 + Tallet kan evt. beregnes: 0 I eksemplerne ovenfor er medianen løn-grænsen mellem den dårligst lønnede halvdel og den bedst lønnede halvdel af de ansatte. Kvartil betyder en kvart (en fjerdedel) eller 5%. Man taler om. kvartil,. kvartil og. kvartil.. kvartil er det midterste af de tal, som ligger under medianen.. kvartil er det midterste af de tal, som ligger over medianen.. kvartil er det samme som medianen. Ved en fartkontrol måler politiet disse hastigheder (km/time) på biler: 98, 80, 79, 8, 9, 85, 8, 78, 87, 05 og 78. Hvad er median-hastigheden for bilerne? Hvad er. kvartil og. kvartil? Tallene skrives først op efter størrelse: Medianen findes som det midterste tal: 8 km/time Side 9

10 . kvartil findes på samme måde som medianen, men man kikker kun på de tal, som er under medianen.. kvartil findes på samme måde som medianen, men man kikker kun på de tal, som er over medianen Man får, at. kvartil er 79 km/time, og. kvartil er 9 km/time På et basketball-hold er der otte spillere. Deres højde (cm) er: 05, 9, 88, 98, 0, 79, 07 og 0. Hvad er median-højden for spillerne? Hvad er. kvartil og. kvartil? Tallene skrives op efter størrelse, og median og kvartiler findes som midtpunkter som vist: , Man får:. kvartil er 90 cm. Medianen er 99,5 cm.. kvartil er 06 cm Median og kvartiler kan defineres på flere måder Ovenfor er median og kvartiler defineret som de midterste tal. Der findes også en anden definition af median og kvartiler, som du kan støde ind i nogle steder: - Medianen er det største tal, som tilhører den mindste halvdel (50%) af tallene. -. kvartil er det største tal, som tilhører den mindste fjerdedel (5%) af tallene. -. kvartil er det største tal, som tilhører de mindste tre fjerdedele (75%) af tallene. Hvis man bruger denne definition på basketball-spillerne i eksemplet ovenfor, får man, at. kvartil er 88 cm, medianen er 98 cm og. kvartil er 05 cm. Tænk selv over hvorfor! I eksemplerne i dette hæfte indgår der kun ganske få tal (lønningerne for syv ansatte, højden på otte basketball-spillere osv.). Ellers ville det være uoverskueligt at regne på tallene. Men så kan de to definitioner desværre give forskellige resultater. I praksis (uden for matematik-bøger) bruger man næsten kun median og kvartiler, når man beskriver meget store mængder af tal. F lønningerne for alle lærere i Danmark eller højden på alle piger, der har en bestemt alder. Når tal-mængderne er så store, har det ingen praktisk betydning, hvilken definition, man bruger. Side 0

11 Man kan let tro, at median og middelværdi er det samme tal, men det er sjældent tilfældet. Eksempler på opgaver På en arbejdsplads er der fem ansatte, som får disse lønninger (kr./time): 0, 0, 50, 60 og 70. Hvad er median-lønnen? Hvad er middelværdien? På en arbejdsplads er der fem ansatte, som får disse lønninger (kr./time): 00, 0, 50, 60 og 70. Hvad er median-lønnen? Hvad er middelværdien? På en arbejdsplads er der fem ansatte, som får disse lønninger (kr./time): 0, 0, 50, 60 og 00. Hvad er median-lønnen? Hvad er middelværdien? Median-lønnen er 50 kr. i alle tre opgaver. Det er det midterste tal, når tallene står efter størrelse. Middelværdien er forskellig i de tre opgaver. Man får: kr kr kr Forestil dig, at det er de samme fem personer, som opgaverne handler om. Hvis lønnen falder for en af de lavest lønnede, eller lønnen stiger for en af de højst lønnede, påvirker det ikke medianen, men det påvirker naturligvis middelværdien. Man kan vise medianen og kvartilerne sammen med mindste- og største-værdi i et boksplot. Tabellen viser resultatet af en undersøgelse af prisen på en liter letmælk i en række butikker. Lav et boksplot ud fra tallene. Mindsteværdværdi Største-. kvartil Median. kvartil,95 kr. 5,75 kr. 7,0 kr. 8, 5 kr. 9,95 kr. Man laver et boksplot i et koordinatsystem som vist. Mindste-værdi. kvartil median. kvartil Største-værdi Man markerer først medianen og de to kvartiler og tegner en boks. Derefter markerer man mindste-værdi og største-værdi, og tegner to linje-stykker. Alle boksplottets fire vandrette dele svarer til 5% af mælkepriserne Side

12 Boksplottet viser højdefordelingen i cm for en gruppe mænd. Aflæs mindste-værdi, største-værdi, median og kvartiler. Fortæl lidt om, hvad disse tal viser om mændenes højde Mindste-værdien er 58 cm. Største-værdien er cm. Median-højden er 8 cm.. kvartil er 75 cm, og. kvartil er 87 cm. Tallene viser (f), at den midterste halvdel af mændenes højder ligger inden for et lille interval på cm, mens alle mændenes højder er fordelt på et stort interval på 58 5 cm. Hvis man kender frekvens-tallene for en grupperet fordeling, kan man finde median og kvartiler ved først at beregne de summerede frekvenser og derefter tegne en sumkurve. Det er lidt kompliceret, men jeg vil prøve at vise det i det næste eksempel. Tabellen viser frekvens-fordelingen for højden på en gruppe kvinder. Lav en tabel med summerede frekvenser. Lav et histogram. Lav en sumkurve. Find median og kvartiler vha. sumkurven. Tabellen kommer til at se ud som vist til højre. De summerede frekvenser findes ved at lægge frekvenser sammen. F er den summerede frekvens for intervallet [60 ; 70[ på 58%. Tallet er fundet som % + 8% + 7%. Den summerede frekvens for [60 ; 70[ er altså frekvensen af alle dem, som har en højde på op til lige under 70 cm. Det betyder; at 58% af kvinderne er under 70 cm. Højde i cm Frekvens [0 ; 50[ % [50 ; 60[ 8% [60 ; 70[ 7% [70 ; 80[ 8% [80 ; 90[ % [90 ; 00[ % Ialt 00% Højde i cm Frekvens Sum. frekv. [0 ; 50[ % % [50 ; 60[ 8% % [60 ; 70[ 7% 58% [70 ; 80[ 8% 86% [80 ; 90[ % 98% [90 ; 00[ % 00% Ialt 00% Side 5

13 På det øverste diagram er der både tegnet et histogram og en sumkurve. Man kan sagtens lave en sumkurve uden at tegne et histogram, men det giver et fint billede, når man tegner dem sammen. Sumkurven viser de summerede frekvenser fra tabellen. Man starter med at afsætte punktet (Første intervals start-punkt, 0). Altså (0, 0). Derefter afsætter man punkter af typen (Interval-endepunkt, summeret frekvens). Altså (50, ), (60, ) osv. Man kan se at sumkurven er mest stejl i de intervaller, hvor histogrammet er højt, og der derfor er mange personer. Kurven viser, hvor mange af pigerne, der er op til en bestemt højde. F kan man se, at ca. 7% er op til 75 cm På det nederste diagram er histogrammet fjernet for ikke at få for mange streger med. I stedet er der lavet vandrette markeringer ud for 5%, 50% og 75%. Vha. disse markeringer kan man aflæse, at:. kvartil er ca. 6 cm median-højden er ca. 68 cm. kvartil er ca. 76 cm Brugen af sumkurver forudsætter, at fordelingen inden for de enkelte intervaller er nogenlunde jævn. F at de 7% af kvinderne, som er i intervallet [60 ; 70[, er nogenlunde jævnt fordelt på højderne imellem 60 cm og 70 cm Side 6

14 Potensfunktioner Funktioner der kan skrives på formen y a b kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y y y 0,5 - y a og b a og b a 0,5 og b a og b Bemærk: Hvis b bliver b usynlig. Man skriver f sjældent Tallet a (potens-tallet) kaldes for eksponenten. y men kun y. Lav for 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne f() 0,5 og g(). Tabellen kan se således ud: g() g() ,5 0 0,5,5 8,5 8,5 0, Graferne ser ud som vist til højre. Da nogle af y-værdierne er ret store, er hele tabellen ikke vist på graferne. Man kan se på både tabellen og graferne: - at begge grafer starter i (0,0) - at begge grafer vokser hurtigere og hurtigere - at vokser hurtigst og hele tiden ligger over 0,5. Når a (eksponenten) er større end en (a > ), gælder der: Funktionen vokser hurtigere og hurtigere. Jo større b (tallet man ganger med) er, jo mere vokser funktionen g() f() 0,5 Side

15 Lav for 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne Tabellen kan se således ud: f() og g() f() g() 0, Husk at man kan finder potenser ved at trykke ^ på regnemaskinen. Eller evt. y. Graferne ser ud som vist til højre. Da nogle af y-værdierne er meget store, er hele tabellen ikke vist på graferne. Man kan se på både tabellen og graferne: - at begge grafer starter i (0,0) - at begge grafer vokser hurtigere og hurtigere - at vokser hurtigere end. Når a (eksponenten) er større end en (a > ), gælder der: Funktionen vokser hurtigere og hurtigere. Jo større a er, jo hurtigere vokser funktionen g() Hvis man forstørrer den nederste venstre del af graferne op, ser de således ud: 0 0 f() 0 f() g() 0 Man kan se, at g() er mindre end f() i intervallet mellem 0 og. Tænk selv over hvorfor. Du kan evt. lave en tabel med mange små -værdier mellem 0 og Side 5

16 Rumfanget af en kugle kan beregnes med formlen V π r. V er rumfanget og r er radius. Vis at rumfanget er en potensfunktion af radius. Lav en tabel og en graf for funktionen. Hvad skal radius være, hvis kuglens rumfang skal være liter (.000 cm )? Formlen Altså: V,8879 r svarende til V π r svarer til en potensfunktion, hvor b π, y,8879 og a. Tabellen kan se således ud. Tallene er afrundede. r (cm) V (cm ) 0,9,5, 68, 5,6 90,8 7 5 Grafen ser ud som vist til højre. Man kan finde den radius, der giver et rumfang på.000 cm på flere måder. - Man kan aflæse på grafen, hvis man laver en pæn graf på mm-papir. - Hvis man tegner grafen vha. et computer-program, har programmet måske en aflæse-funktion. - Man kan prøve sig frem (simulering). Man kan se ud fra tabellen, at den rigtige radius må være mellem 6 cm og 7 cm og sikkert nærmest på 6 cm. - Man kan få det helt præcise svar ved at løse ligningen.000,8879 r Man får:,8879 r.000 r, r, ,7.. 6, cm V,8879 r Side 6

17 Hvad betyder eksponenten? Det lille tal kaldes eksponenten. Men hvad betyder de forskellige slags eksponenter? Eksponent Eksponenten er et helt tal og større end nul: betyder Bemærk:, betyder, betyder betyder. Men man skriver næsten aldrig Eksponenten er en brøk eller et decimal-tal: Du skal huske, at 0,5 betyder, osv.. 0,... betyder osv. Men det er meget svært at forklare, hvad potenser, der ikke er hele tal (f Du kan roligt trykke på ^ (eller evt. y ) uden at tænke over betydningen.,7 ), generelt betyder. Eksponenten er negativ: - betyder, - betyder, - betyder, -,5 betyder,5 osv. Lav for 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne Tabellen kan se således ud. De fleste tal er afrundede. 0,5 f() og,5 g() 0, ,5 f() 0,,7,,5,65,8,6,5 g() 0,5 0 0,5,9,97,8,7,70 5,69 6,7 7,79 8,89 Graferne ser således ud.,5 Grafen for g() 0,5 buer kun ganske svagt opad. Grafen ligner næsten en ret linje, men den vokser faktisk mere og mere. 0,5 Grafen for f() buer den anden vej. Funktionsværdien vokser mindre og mindre. Men den kan vokse i det uendelige. Husk på at 0,5, og når er et stort tal, bliver også stor g() 0,5,5 0,5 f() Side 5 7

18 Lav tabel og graf for potensfunktionerne - f(). - Husk at betyder eller blot. - På regnemaskinen finder man f 5 ved at trykke 5 ^ (-). 0 kan ikke bruges som -værdi, men vi tager nogle små decimaltal med i tabellen. Tabellen kan se således. De fleste tal er afrundede. f() 0,5 0,5 0,75, ,556 0,889 0,5 0, 0,5 0,08 0,0 0,0 Grafen ser ud som vist til højre. Når vokser bliver f() mindre, men f() kan aldrig blive 0. Alle grafer for potensfunktioner med negativ eksponent vil ligne grafen til højre. Jo mere negativ eksponenten er, jo hurtigere falder funktionsværdien. Tænk på at omvendt proportionale funktioner også er potensfunktioner. y kan jo f skrives som y. Grafen til højre ligner også graferne for omvendt proportionale funktioner, men grafen er ikke symmetrisk på samme måde som en rigtig hyperbel Eksemplerne i dette afsnit viser, at potensfunktioner og deres grafer er meget forskellige. Der findes regler for, hvorledes grafernes form afhænger af eksponenten a, men de er indviklede. Du kan evt. læse mere andre steder. I eksemplerne med positiv eksponent blev der brugt både nul og positive tal som -værdier. I eksemplet på denne side kunne man ikke bruge nul som -værdi, fordi eksponenten er negativ. Men hvis eksponenten er et helt positivt tal (f y 0, eller y 7 ), kan man sagtens sætte negative tal ind som -værdier. Side 6 8

19 Lav tabel og graf for funktionen f(). Vi tager både negative og positive -værdier med. Vi får: f() Grafen ser ud som vist til højre. Den er symmetrisk og kaldes en parabel. (0,0) er toppunkt, og y-aksen er symmetriakse. Herunder er tegnet graferne for disse to funktioner: g() 0,5,5 h() + Funktionere er ikke rigtige potensfunktioner pga. forskrifternes form, men begge grafer er symmetriske buer ligesom grafen for y Alle funktioner, der kan skrives på formen y a + b + c, hvor a 0, har den slags symmetriske grafer g() 0,5 h(), Funktioner på formen y a + b + c, hvor a 0, kaldes andengrads-funktioner eller andengrads-polynomier. Graferne kaldes parabler. Hvis a > 0 vender parablen benene opad. Hvis a < 0 vender parablen benene nedad. Hvis (og kun hvis) b 0 og c 0, er funktionen også en potensfunktion. F y Men man bruger bogstaverne a og b forskelligt. Potensfunktionen med eksponenten skrives normalt y b Andengrads-funktionen skrives y a y Side 7 9

20 To lineære ligninger med to ubekendte Ligningen + y har to ubekendte: og y. Ligningens løsninger er de talpar (, y), som får lighedstegnet til at passe. F er (, 6) en løsning. Hvis man sætter og y 6 ind, så passer lighedstegnet. Man får nemlig: + y Men ligningen har mange andre løsninger. Kontroller selv at (0, ) og (, 8) f også er løsninger. Omskriv ligningen + y til en forskrift for en lineær funktion. Tegn også grafen for funktionen og beskriv løsningerne til ligningen Ved at bruge metoderne fra ligningsløsning kan ligningen omskrives til en funktionsforskrift: + y + y + + y + Ligningen betyder altså det samme som forskriften for den lineære funktion y +. Ud fra funktionsforskriften kan man lave en tabel: y Alle talpar i tabellen er løsning til ligningen. Ud fra tabellen kan man tegne grafen til højre. Alle punkter på linjen svarer til et talpar, som er løsning, så der er faktisk uendelig mange løsninger!! Ligninger med to ubekendte, der kan omskrives til en lineær funktion, kaldes lineære ligninger. Side 0

21 Hvis man har to lineære ligninger med to ubekendte, kan man: - omskrive hver ligning til en lineær funktion - tegne graferne for funktionerne i et koordinatsystem - aflæse linjernes skæringspunkt Skæringspunktet er løsning til begge ligninger To ligninger med to ubekendte kaldes ofte et ligningssystem. Find løsningen til ligningssystemet y 6 og + y De to ligninger omskrives hver for sig til lineære funktioner. Man får: y 6 + y y y 6 y 6 y + y y + y + y 0,5 + Der laves en tabel for begge funktioner. Man får f: y y 0,5 + 0 Ud fra tabellen kan man tegne graferne til højre. Ud fra både tabel og grafer kan man se, at skæringspunktet er (, ). Løsningen til ligningssystemet er og y Hvis to ligninger med to ubekendte kan omskrives til - den samme lineære funktion (linjerne ligger oven i hinanden), så er alle talpar på linjen løsninger. -6 Hvis to ligninger med to ubekendte kan omskrives til forskrifterne for to parallelle linjer, som ikke skærer hinanden, så er der ingen løsninger. -8 Side

22 Man kan godt løse to ligninger med to ubekendte uden at tegne grafer. Her er vist to metoder: Find løsningen til ligningssystemet + y og + y De to ligninger omskrives først således, at enten eller y står alene til venstre i begge ligninger. Her er valgt y: + y + y y + + y + y y + y + y 0,5 + Det er lige meget, om man får eller y til at stå alene i begge ligninger. Gør det, som ser ud til at være lettest. Derefter kan man sætte højresiderne lig med hinanden for at finde. Man får: + 0, ,5 + +,5,5,5,5 0, eller 0, Til sidst findes y ved at sætte 0, ind i en af de oprindelige ligninger: + y 0, + y, + y, + y,, Det er lige meget, hvilken ligning man bruger. Tag den, som ser ud til at være lettest at løse. Løsningen er altså 0, og y 0,8 y 0,8 Man kan let lave fejl, så det er en god ide at kontrollere sine udregninger ved at sætte løsningen ind i de oprindelige ligninger. Det kan gøres således: 0, + 0,8, + 0,8 0, + 0,8 0,8 +, Side

23 Ligningssystemet kan også løses således: Man ganger først en af ligningerne med et tal, således at der er enten det samme antal eller det samme antal y i begge ligninger. Her ganges den første ligning med for at få y begge steder: ( + y) + y 8 Derefter trækkes ligningerne fra hinanden. Venstre side fra venstre side. Højre side fra højre side. Man få en ny ligning med kun en ubekendt. Her er det : + y 8 + y 0 Derefter løses den nye ligning for at finde : , Nogle gange kan det være nødvendigt at gange begge ligninger med hvert sit tal for at få enten det samme antal eller det samme antal y. Resultatet bruges til sidst til at finde y på samme måde som på forrige side. Prøv selv! Lineære ligninger skrives ofte på formen a + by c. I eksemplet + y er a, b og c. Men lineære ligninger kan godt se anderledes ud. Her er et par eksempler: y y y 6 + Begge ligninger kan omskrives til både formen a + by c og til funktionsforskriften for en lineær funktion. Prøv selv. Det er ikke alle ligninger med to ubekendte, der lineære. Her er et par eksempler: Ligningen 5 y + kan omskrives til funktionsforskriften y 5. Det er en andengradsfunktion. Grafen kaldes en parabel og har form som en bue. Ligningens løsninger er alle de talpar, som er punkter på grafen. Ligningen y kan omskrives til funktionsforskriften y. Det er en omvendt proportional funktion. Grafen kaldes en hyperbel og består af to buer. Ligningens løsninger er alle de talpar, som er punkter på grafen. Side