Om hvordan Google ordner websider
|
|
- Max Hald
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske websider der indeholder ordene. Det er imponerende nok i sig selv, men dog forståeligt når man ved at Google laver index lister over hvilke sider der indeholder de forskellige ord. Mere imponerende er det at man som oftest finder den eller de sider man er interesseret i blandt de allerførste af de sider der bliver vist. Man må spørge sig selv Hvordan kan Google vide hvilke sider jeg er interesseret i? - hvor har Google den viden fra?. Det sidste spørgsmål kan vi let svare på. Google har sin viden fra websiderne da det er den eneste viden der er til rådighed for maskinen. Det interessante spørgsmål er derfor hvordan Google ud fra websiderne finder ud af hvad jeg er interesseret i, når den ikke ved andet om mig end de søgeord jeg har indtastet. Grundideen er at de forskellige webbrugere og forfattere ligner hinanden og har fælles interesser. Google har kun viden om forfatterne, og det kun gennem de websider de laver. Maskinen sidder jo ikke og læser og forstår teksten på siderne. Maskinen skal foretage en rangordning af siderne, så de mest interessante kommer først. Det er sidernes relationer til hinanden der skal bruges. Det er med andre ord de links der er på siderne som Google aflæser og benytter til at lave en ordning. I det følgende skal vi se på hvordan det sker. Den følgende beskrivelse bygger primært på en artikel af David Austin fra Grand Valley State University. Artiklen kan findes på Vi skal forestille os at vi nummererer alle websider. Jeg ved ikke hvor mange der er. Lad os sige der er N Så har vi noget af den rigtige størrelsesorden. En surfer kigger på side nr.j indtil han skifter til side nr. i. Vi vil lade p ij være sandsynligheden for at han skifter fra side j til side i. Da p ij er en sandsynlighed, er 0 p ij 1. Vores model af en surfer er en der hele tiden 1
2 er i gang og skifter fra den ene side til den anden kun afbrudt af pauser til kaffe, søvn og lignende. Der skal derfor for hvert j gælde at p 1j + p 2j + + p Nj 1. Venstresiden er sandsynligheden for at surferen skifter fra side j til en vilkårlig anden side hvilket han gør med sikkerhed, altså med sandsynligheden 1. Vi kan forestille os at alle disse sandsynligheder opstilles i et kvadratisk skema p 11 p 12 p 1N p 21 p 22 p 2N G p N1 p N2 p NN Skemaet kaldes en matrix (Bøjningsformer: matricen, matricer. Opgaven for Google er ud fra de links der findes i websiderne, at finde fornuftige værdier for sandsynlighederne p ij, og ud fra disse at finde den bedste ordning af websiderne. I første tilnærmelse betragter vi en side j med et antal links. Hvis siden f.eks. indeholder tre links til siderne med numrene a, b og c antager vi at der er lige stor sandsynlighed for at surferen skifter til hver af disse. Under antagelse af at surferen ikke vælger at gå til en helt anden side skal derfor p aj p bj p cj 1 3 idet summen af sandsynlighederne skal være 1. For alle andre værdier af i sættes p ij 0. Mere generelt hvis siden j indeholder k links, sættes p ij 1 hvis der er k et link til siden i, og p ij 0 ellers. Hvis en side j ikke har links giver ovenstående regel ingen sandsynligheder p ij. Vi siger da som en ny regel at der er samme sandsynlighed for at gå til en hvilkensomhelst side, dvs. vi sætter p ij 1 N. Dermed er formlen p 1j +p 2j + +p Nj 1 også opfyldt i dette tilfælde. Vi foretager en sidste korrektion af formlen begrundet i at selv om en side har links kan det alligevel godt være at surferen vælger at gå til en helt anden side. Vi vil sige at der er en sandsynlighed α for at surferen følger et link og sandsynligheden 1 α for at surferen i stedet går til en tilfældig side. Formlen ændres da til p ij α + 1 α når siden j har k links og i er en af dem. Hvis i ikke er en af k N de k links er p ij 1 α. Hvis ikke der er links fra siden j er fortsat p N ij 1. N Størrelsen af α kan der dels argumenteres for ud fra surferes praksis og dels ud fra matematiske grunde som berøres nedenfor. Google har valgt α Den Google matrix G vi nu er nået frem til er en grov model for surfing. Der er naturligvis ingen der kender de rigtige sandsynligheder for så vidt som de overhovedet giver mening. Det viser sig imidlertid at matricen indeholder information nok til at føre til imponerende resultater i praksis. Vi skal nu se på hvordan vi fra G kan udlede en rangordning af siderne. Det gør vi ved til hver webside i at knytte en sandsynlighed w i for at det er den man fore- 2
3 trækker. Der skal derfor gælde at w 1 +w 2 + +w N 1 som er sandsynligheden for at man foretrækker noget som helst. Ved en søgning finder Google først alle de sider der indeholder søgeordene. Dernæst ordnes de sådan at den fundne side i med størst værdi for w i kommer først og de øvrige derefter med faldende værdier af sandsynlighederne. Der skal endvidere gælde at w i p i1 w 1 + p i2 w 2 + p i3 w p in w N. Hvordan kan vi forstå denne formel? Vi kan forestille os at der til stadighed er et stort antal surfere. Da kan w i fortolkes som den brøkdel af dem der er på side i. Leddet p ij w j kan nu fortolkes som den brøkdel der er på side j og derfra skifter til side i. Summen p i1 w 1 + p i2 w 2 + p i3 w p in w N bliver da den brøkdel der ender på side i efter at alle har skiftet til næste side. Vi antager at det til stadig er den samme brøkdel w i der er på side i selv om det naturligvis ikke er de samme surfere. Det er kun deres antal der er det samme. Dermed må den udregnede sum være w i som det fremgår af ligningen. Selv om vi her har forudsat at sandsynlighederne w i er konstante, er det naturligvis ikke rigtigt. De vil ændre sig i takt med at internettets udbud af websider udvikler sig. Pointen er bare at w i ændrer sig langsomt i forhold til hvor hurtigt surferne skifter side. Vi har nu opstillet et ligningssystem til bestemmelse af sandsynlighederne w i for i 1, 2,, N. Nemlig de N ligninger w i p i1 w 1 + p i2 w 2 + p i3 w p in w N svarende til i 1, 2,, N. Hertil kommer ligningen w 1 + w w N 1 Vi har altså N + 1 ligninger med N ubekendte. Når man betænker at N har en størrelse på mange milliarder, kan løsning af dette ligningssystem nok forekomme skræmmende. Tidligere løste Google det en gang hver måned. Det tog et par dage hver gang under anvendelse af et stort antal computere. Nu sker genberegningen hyppigere for bedre at afspejle de stadige ændringer der sker. Når det overhovedet er muligt at løse et så stort ligningssystem, er det fordi matricen har nogle specielle egenskaber. Det er en stokastisk matrix med positive elementer. Det betyder at alle de indgående tal p ij > 0 og summerne p 1j + p 2j + + p Nj 1 for alle værdier af j 1, 2,, N. Man kan da anvende en sætning (Perrons sætning som for det første sikrer at systemet overhovedet har en løsning, og for det andet viser at der er en forholdsvis simpel måde at løse det på. 3
4 Vi skal ikke her komme nærmere ind på sætningen og hvordan man løser det store ligningssystem, men vi kan se løsningsmetoden illustreret ved at se metoden anvendt på et eksempel for N 2. ( ( Betragt matricen A. Vi vil også betragte et talpar v. 0.9 Vi kalder et sådant par en vektor. Læg mærke til at matricen er en stokastisk matrix med positive elementer. Vektoren kalder vi også en stokastisk vektor da tallene begge er 0 og deres sum er 1. ( a b En matrix kan operere på en vektor c d formel ( ( a b x c d y ( x y ( ax + by cx + dy som udtrykt ved følgende I eksemplet får vi Av ( ( ( Bemærk at denne vektor igen er en stokastisk vektor. Det vil altid være tilfældet når matricen er en stokastisk matrix og vektoren er en stokastisk vektor. Hvis vi lader A operere på resultatet får vi ( ( A 2 v 0.43 ( og en gang til A 3 v ( ( ( og endnu en gang og en 5 te gang A 4 v A 5 v ( ( ( ( ( (
5 Hvis vi fortsætter på denne måde vil vi hurtigt nærme os vektoren ( w Hvis vi havde startet med et andet valg af den stokastiske vektor v havde vi fået andre tal undervejs, men vektorerne ville igen nærme sig til den samme vektor w om hvilken der derfor gælder at Aw w. Med den måde matricen virker på vektoren svarer denne ligning til Google ligningen. Den måde Google løser ligningssystemet på er ved at starte med en stokastisk vektor w som nu har lige så mange elementer som der er websider. Det betyder ikke så meget hvad det er for en vektor. Dernæst anvendes Google matricen G på w og resultaterne et antal gange indtil ændringerne er ubetydelige. Så har Google sin nye vektor til rangordning af websiderne. Størrelsen af sandsynligheden α har betydning for hvor hurtigt processen nærmer sig w. En lille værdi af α giver hurtigere tilnærmelse. Til gengæld vil en stor værdi lægge større vægt på betydningen af links. Der skal her laves et kompromis. Som nævnt ovenfor har Google valgt α
6 Matematisk addendum Det følgende er skrevet for læsere med den nødvendige matematiske baggrund med henblik på at uddybe nogle punkter som ikke blev behandlet ovenfor. Google ligningerne kan opskrives Gw w hvor G er Google matricen som behandlet ovenfor, og w er den ønskede stokastiske vektor bestående af websidernes vægte. Med andre ord skal 1 være en egenværdi for G, og w er en tilhørende egenvektor. Det er let at se at 1 er en egenværdi for G. Lad nemlig j være vektoren hvor alle komponenter er 1. Så er G T j j. Det er nemlig bare en anden måde at udtrykke kravet om at G er en stokastisk matrix. Men det betyder at j er en egenvektor for den transponerede matrix svarende til egenværdien 1. Da G og G T har det samme karakteristiske polynomium og de samme egenværdier, er 1 også en egenværdi for G. Dette hjælper os ikke med at finde w, så vi skal i stedet se på problemet fra en mere geometrisk vinkel. Lad {x R N j x 1, 0 x i 1} hvor x i er den i te koordinat af x. er et simplex af dimension N 1, og der gælder at G. For at se det bemærker vi at for x er Gx også en stokastisk vektor, dvs. Gx j 1. Da alle komponemter i G er ikke negative bliver alle koordinater for Gx også ikke negative. Dermed er Gx. Randen af består af de vektorer x hvor en eller flere af koordinaterne er 0. Da alle komponenter i G er positive (ikke 0 ligger Gx i det indre af. Ved at betragte G : kan vi benytte Browers fixpunktsætning (se nedenfor til at konkludere at G har et fixpunkt, dvs. der er en vektor i w, så Gw w. Dermed har vi bevist eksistensen af en løsning til Google ligningerne. Vi ser endvidere at w ligger i det indre af, dvs. alle koordinater w i > 0. Vi skal nu vise at vi kan finde w ved at starte med en vilkårlig vektor w 0 og betragte følgen w n G n w 0. Da vil w n w for n. Vi betragter underrummet U R N bestående af vektorer ortogonale til j. Dvs vektorer hvor summen af koordinaterne er 0. G afbilder U ind i sig selv. Lad 0 w. Dvs. vi translaterer simplekset ned i U ved hjælp af egenvektoren w. Da G er også G 0 0 og G 0 er indeholdt i det indre af 0. Da G 0 er kompakt findes der et tal r > 1 så rg 0 0. Definer Z 0 rg 0, Z 1 G 0, Z 2 1 r Z 1,... så Z n+1 1 r Z n. Da Z 0 0, er GZ 0 G 0 Z 1. Da G er lineær følger det rekursivt at GZ n Z n+1. Derfor er G n 0 Z n for n 1. Da r > 1 vil diameteren af mængden Z n 1 r n Z 0 gå mod 0 for n. Det medfører at for en vilkårlig vektor z 0 vil følgen z, Gz, G 2 z, G 3 z, konvergere 6
7 mod 0 for n. Vi vender nu tilbage til hvori vi fandt egenvektoren w, dvs. Gw w. En vilkårlig vektor w 0 kan vi skrive som w 0 w + z 0 hvor z 0 0. Derfor vil følgen w n G n w 0 G n w + G n z 0 w + G n z 0 w for n. Hermed har vi vist at man kan finde egenvektoren w ved at starte med en vilkårlig stokastisk vektor w 0. Når man anvender G tilstrækkeligt mange gange kan man tilnærme w vilkårligt godt. I tillæg følger det at w er entydigt bestemt. Egenværdien 1 har altså multiplicitet 1. Hvis λ er en anden reel egenværdi for G, må egenrummet E λ U idet R N U Rw er en opspaltning som direkte sum af invariante underrum. Lad x være en egenvektor med x 1. Så gælder der dels at G n x λ n x, og at G n x 1 x. Der må derfor gælde at λ 1. Med et lignende, men lidt mere besværligt r n r argument kan man se at der også for komplekse egenværdier må gælde at λ 1. r Vi har nu set at Google ligningerne har en entydig løsning. Vi har også fået en metode til i princippet at løse dem, men er det muligt i praksis når N har en størrelse på mange milliarder? Matricen G er så stor at man ikke engang kan tænke på at skrive den op. Det er muligt på grund af matricens specielle form. Vi kan opskrive G på formen G αh + αa + (1 α 1 N J hvor J er matricen hvor alle komponenter er 1, H er vores første tilnærmelse til Google matricen og A er tilføjelsen til den ved første modifikation. Dvs. for H er komponenten i position ij 1 når siden j har k links hvoraf en går til siden i. Alle k øvrige komponenter i H er 0. I matricen A er komponenten i position ij 1 for N alle i når siden j ikke indeholder links. De øvrige søjler indeholder 0. Lad nu x. For at udregne Gx skal vi udregne Hx, Ax og Jx og kombinere resultaterne. Først Hx: Hver webside indeholder i middel omkring 10 links. Når der således i middel er ca 10 komponenter i hver søjle der er forskellig fra 0, må det samme gælde for rækkerne. Det er derfor overkommeligt at udregne Hx. Det vil kræve ca. 10N multiplikationer og additioner. Dernæst Ax: Alle rækker er ens i denne matrix. Derfor bliver alle koordinater i Ax ens. Den fælles værdi er 1 gange summen af x N i summeret over de i for hvilken siden i er uden links. Der kræves altså mindre end N additioner. Endelig Jx: Dette kræver slet ingen udregninger idet resultatet bliver Jx 1 N j, idet j som ovenfor er vektoren hvor alle koordinater er 1. 7
8 Browers fixpunktsætning Lad D n {x R n x 1}. Browers fixpunktsætning siger da at enhver kontinuert afbildning f : D n D n har et fixpunkt, dvs. der findes et punkt x D n for hvilket f(x x. Der findes flere beviser for sætningen. Man kan gå frem som følger. Hvis vi antager at der ikke er noget fixpunkt, for afbildningen f, kan vi definere en kontinuert afbildning h : D n S n 1 {x R n x 1} ved at lade h(x være defineret ved at de tre punkter h(x, x, f(x ligger på en ret linie i den angivne rækkefølge og h(x S n 1. Der gælder da at h(x x når x S n 1. Dvs, sammensætningen S n 1 D n S n 1 er identitetsafbildningen idet den første af afbildningerne er inklusionen der afbilder x i x. Ved anvendelse af teori for homologi eller homotopigrupper kan man vise at dette ikke er muligt. Der kan derfor ikke eksistere en afbildning f uden fixpunkter. For n 2 kan man afslutte beviset med lidt enklere midler. Vi kan for 0 t 1 definere en afbildning g t : S 1 S 1 ved g t (x h(tx. Det er en kontinuert deformation som for t 0 er g 0 (x h(0 og g 1 (x x. Vi kan betragte g t som en lukket kurve i den komplekse plan som ikke går gennem 0. Omløbstallet om 0 ændres ikke ved kontinuert deformation af kurven. Nu kommer modstriden ved at g 1 har omløbstal 1 medens den konstante afbildning g 0 har omløbstal 0. 8
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs mereLinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse
LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereMiniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereDesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mereDM02 opgaver ugeseddel 2
DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereArbejdsmiljøgruppens problemløsning
Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase
Læs mereOpgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.
Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereBogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45
Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereInduktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen
36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske
Læs mereGrafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereVEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.
VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af
Læs mereFinde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Læs mereModule 2: Beskrivende Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning
Læs mereStatistikkompendium. Statistik
Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over
Læs mereManual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.
Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Læs mereStatistik med GeoGebra
Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens
Læs merePolynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Læs mereAPV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1
APV og trivsel 2015 APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 I efteråret 2015 skal alle arbejdspladser i Frederiksberg Kommune udarbejde en ny grundlæggende APV og gennemføre en trivselsundersøgelse.
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs mereStart med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold.
Start med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold. Her ses da alle sider og undersider som siden fodbold indeholder. Nu kan du gå i gang med f.eks. at tilføje nye sider. Klik
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereRediger eller opret institutionsmedarbejder på en ungdomsuddannelse
Rediger eller opret institutionsmedarbejder på en ungdomsuddannelse Institutionens brugeradministrator på Optagelse.dk kan oprette medarbejdere med forskellige roller og rettigheder. Når du opretter en
Læs mereTeam Succes Vestre Engvej 10, 1. Sal, Vejle 7100 E-mail: info@team-succe.dk Tlf. Nr.: 75 73 22 99
Team Succes Vestre Engvej, 1. Sal, Vejle E-mail: info@team-succe.dk Tlf. Nr.: 5 3 99 Udarbejdet af foreningen Team Succes daglige ledelse Statusrapport for årgang /11 Denne statusrapport er udarbejdet
Læs mereMatematik Eksamensprojekt
Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende
Læs mereFunktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereProjekt 4.8. Kerners henfald (Excel)
Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Læs mereNavneregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 2 Navneregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Navneregning 2-5 Elevaktiviteter til Navneregning 2.1 Værdifulde navne M-Æ
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereEKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE
EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE Briefing Vi er to specialestuderende fra Institut for Statskundskab, og først vil vi gerne sige tusind tak fordi du har taget dig tid til at deltage i interviewet! Indledningsvis
Læs mereInverse funktioner. John V Petersen
Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...
Læs mereDet er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden
DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage
Læs mereProgrammering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C
Navn: Casper Hermansen Klasse: 2.7 Fag: Skole: Roskilde tekniske gymnasium Side 1 af 16 Indhold Indledende aktivitet... 3 Projektbeskrivelse:... 3 Krav:... 3 Målgrupper:... 3 Problemformulering:... 3 Diskussion
Læs mere13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius
SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A
Læs mereVIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium
VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...
Læs mereAndengradspolynomier
Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereNår mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet
Når mor eller far er ulykkesskadet når mor eller far er ulykkesskadet 2 Til mor og far Denne brochure er til børn mellem 6 og 10 år, som har en forælder, der er ulykkesskadet. Kan dit barn læse, kan det
Læs mere2013-7. Vejledning om mulighederne for genoptagelse efter såvel lovbestemte som ulovbestemte regler. 10. april 2013
2013-7 Vejledning om mulighederne for genoptagelse efter såvel lovbestemte som ulovbestemte regler Ombudsmanden rejste af egen drift en sag om arbejdsskademyndighedernes vejledning om mulighederne for
Læs mereMatematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:
Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereL: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke.
Bilag 4 Transskription af Per Interviewere: Louise og Katariina L: Louise K: Katariina L: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke. L: Vi vil gerne høre lidt
Læs mereI e-mail af 12. december 2013 har I klaget over Kommunens overkørselstilladelse af 18. november 2013 til ejendommen O vej 36A.
Dato 17. juni 2014 Dokument 13/23814 Side Etablering af en ny udvidet overkørsel I e-mail af 12. december 2013 har I klaget over Kommunens overkørselstilladelse af 18. november 2013 til ejendommen O vej
Læs mereNetværksguide. sådan bruger du dit netværk. Danmarks måske stærkeste netværk
Netværksguide sådan bruger du dit netværk Danmarks måske stærkeste netværk Step 1 Formålet med guiden Hvor kan netværk hjælpe? Netværk er blevet et centralt middel, når det gælder om at udvikle sig fagligt
Læs mereDen svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Læs mereLille Georgs julekalender 08. 1. december
1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken
Læs mereDet danske sundhedsvæsen
Det danske sundhedsvæsen Undervisningsmateriale til sprogskoler Kapitel 8: Undersøgelse for brystkræft (mammografi) 8 Undersøgelse for brystkræft (mammografi) Brystkræft Brystkræft er en alvorlig sygdom.
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereSikker Slank kort fortalt Til indholdsfortegnelsen side: 1
Sikker Slank kort fortalt Til indholdsfortegnelsen side: 1 Sikker Slank Kort fortalt Af John Buhl e-bog Forlaget Nomedica 1. udgave juni 2016 ISBN: 978-87-90009-34-2 Sikker Slank kort fortalt Til indholdsfortegnelsen
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereVejledning til personlige funktioner på MIT DANSKE ARK ( eksklusive profil og cv) Indholdsfortegnelse:
Vejledning til personlige funktioner på MIT DANSKE ARK ( eksklusive profil og cv) Indholdsfortegnelse: Side 2: Nyheder valg til personligt nyhedsbrev, Mine Nyheder og visning på enkeltsider Side 3: Funktionen
Læs mere1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU
ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII
Læs mereKonsekvenser af direkte adgang til fysioterapeut
N O T A T Konsekvenser af direkte adgang til fysioterapeut Direkte adgang til fysioterapi uden en henvisning fra patientens praktiserende læge kræver en ændring i både overenskomsten med Danske Fysioterapeuter
Læs mereSpørgeskema på HVAL.DK
Skive, d. 24-05-2006 Journal nr. 7.5.286 Spørgeskema på HVAL.DK Et webbaseret værktøj udviklet af Programdatateket i Viborg amt i forbindelse med Videndeling. Indholdsfortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE 2
Læs mereLineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
Læs mereNotat om håndtering af aktualitet i matrikulære sager
Notat om håndtering af aktualitet i matrikulære sager Ajourføring - Ejendomme J.nr. Ref. lahni/pbp/jl/ruhch Den 7. marts 2013 Introduktion til notatet... 1 Begrebsafklaring... 1 Hvorfor er det aktuelt
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5
Læs mereDjøf Offentlig Formandens vedtægtstale
Djøf Offentlig Formandens vedtægtstale Så er vi kommet til dagens højdepunkt, som jeg ved, alle har glædet sig til. Ja, jeg joker, og faktisk også lidt med urette. For jeg ser de vedtægtsændringer, som
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereSuccesfuld start på dine processer. En e-bog om at åbne processer succesfuldt
Succesfuld start på dine processer En e-bog om at åbne processer succesfuldt I denne e-bog får du fire øvelser, der kan bruges til at skabe kontakt, fælles forståelser og indblik. Øvelserne kan bruges
Læs mereTilstandsligningen for ideale gasser
ilstandsligningen for ideale gasser /8 ilstandsligningen for ideale gasser Indhold. Udledning af tilstandsligningen.... Konsekvenser af tilstandsligningen...4 3. Eksempler og opgaver...5 4. Daltons lov...6
Læs mereHerningegnens Lærerforening E-MAIL 121@dlf.org WWW.DLF121.DK DLF KREDS 121 PONTOPPIDANSVEJ 4 7400 HERNING TLF. 97 12 31 33
Herningegnens Lærerforening E-MAIL 121@dlf.org WWW.DLF121.DK DLF KREDS 121 PONTOPPIDANSVEJ 4 7400 HERNING TLF. 97 12 31 33 ANALYSENOTAT Medlemsundersøgelse November 2015 Baggrund Herningegnens Lærerforening
Læs mereLæsevejledning til resultater på regionsplan
Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...
Læs mereÅrsafslutning i SummaSummarum 4
Årsafslutning i SummaSummarum 4 Som noget helt nyt kan du i SummaSummarum 4 oprette et nyt regnskabsår uden, at det gamle (eksisterende) først skal afsluttes. Dette betyder, at det nu er muligt at bogføre
Læs mereFørstehjælp til opgaver
Førstehjælp til opgaver * Hørt i udlånet * Bliv informationskompetent * Hvad er viden? * Hvad er en kilde? * Kildekritik * Skal jeg læse alt, før jeg skriver? * Hvor meget skal jeg henvise * Litteraturliste
Læs merePERSONALE- OG LEDELSESPOLITIKKEN SAT I SPIL
114659_Manual_250x250 17/10/03 13:38 Side 1 Kunde & Co. Frederiksholms Kanal 6 1220 København K Tlf: 33 92 40 49 perst@perst.dk www.perst.dk Løngangstræde 25, 4. 1468 København K Tlf: 38 17 81 00 cfu@cfu-net.dk
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereTil underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen.
Til underviseren Her er nogle små skrivelser med information til forældrene om Perspekt 3. Du kan bruge dem til løbende at lægge på Forældreintra eller lignende efterhånden som undervisningen skrider frem.
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereNews & Updates Arbejds- og Ansættelsesret. Vikarer ikke omfattet af brugervirksomheds overenskomst
Vikarer ikke omfattet af brugervirksomheds overenskomst - februar 2016 Vikarer ikke omfattet af brugervirksomheds overenskomst Vikarbureauansatte vikarer var ikke omfattet af en brugervirksomheds kollektive
Læs mereRedskaber til bedre offentlig privat samarbejde Værdikæden afdækningsværktøj til udbudsprocessen
Redskaber til bedre offentlig privat samarbejde Værdikæden afdækningsværktøj til udbudsprocessen Når samarbejdet mellem det offentlige og det privat indimellem knirker eller ikke fungerer, er en af de
Læs mereLinAlgDat 2014/2015 Google s page rank
LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 2. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereBilag 14: Transskribering af interview med Anna. Interview foretaget d. 20. marts 2014.
Bilag 14: Transskribering af interview med Anna. Interview foretaget d. 20. marts 2014. Anna er 14 år, går på Virupskolen i Hjortshøj, og bor i Hjortshøj. Intervieweren i dette interview er angivet med
Læs merePsykisk arbejdsmiljø og stress blandt medlemmerne af FOA
Psykisk arbejdsmiljø og stress blandt medlemmerne af FOA November 2006 2 Medlemsundersøgelse om psykisk arbejdsmiljø og stress FOA Fag og Arbejde har i perioden 1.-6. november 2006 gennemført en medlemsundersøgelse
Læs merePotens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder
Læs mereInverse funktioner og Sektioner
Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mere